سطح إنريكي

في الرياضيات ، تُعرف أسطح إنريكيس بأنها أسطح جبرية يكون فيها عدم الانتظام q = 0، وتكون حزمة الخطوط الأساسية K غير تافهة ولكن مربعها تافه. جميع أسطح إنريكيس إسقاطية (وبالتالي كاهلرية على الأعداد المركبة )، وهي أسطح إهليلجية من الجنس 0. على حقول ذات خاصية لا تساوي 2، تُعتبر هذه الأسطح خارج قسمة لأسطح K3 على زمرة من الرتبة 2 تعمل بدون نقاط ثابتة، ونظريتها مشابهة لنظرية أسطح K3 الجبرية. دُرست أسطح إنريكيس بالتفصيل لأول مرة على يد إنريكيس ( 1896 ) كإجابة على سؤال ناقشه كاستلنوفو (1895) حول ما إذا كان السطح الذي يحقق q = p _g = 0 بالضرورة سطحًا كسريًا، على الرغم من أن بعض تطابقات راي التي قدمها راي ( 1882 ) سابقًا تُعد أيضًا أمثلة على أسطح إنريكيس.  

يمكن تعريف أسطح إنريكيس على حقول أخرى أيضًا. ففي الحقول ذات الخاصية غير 2، بيّن آرتين (1960) أن النظرية مشابهة لتلك الخاصة بالأعداد المركبة. أما في الحقول ذات الخاصية 2، فيُعدَّل التعريف، وتظهر عائلتان جديدتان، تُسميان أسطح إنريكيس المفردة وأسطح إنريكيس فائقة التفرد، وقد وصفهما بومبيري ومومفورد (1976) . وترتبط هاتان العائلتان الإضافيتان بمخططي الزمر الجبرية غير المنفصلة من الرتبة 2 في الخاصية 2.

تكون الأجناس المتعددة P  n  مساويةً لـ 1 إذا كان n زوجيًا، و 0 إذا كان n فرديًا. المجموعة الأساسية من الرتبة 2. مجموعة التماثل الثانية H 2 ( X , Z ) متماثلة مع مجموع الشبكة الزوجية الوحيدة أحادية المعامل II 1,9 ذات البعد 10 والإشارة -8، ومجموعة من الرتبة 2.

ماسة هودج:

تشكل أسطح إنريكيس المميزة عائلة متصلة ذات 10 أبعاد، والتي أظهر كوندو (1994) أنها عقلانية.

في الخاصية 2، توجد بعض العائلات الجديدة من أسطح إنريكيس، والتي تُسمى أحيانًا أسطح إنريكيس شبهية أو أسطح إنريكيس غير الكلاسيكية أو أسطح إنريكيس (الفائقة) التفردية . (لا يعني مصطلح "التفرد" أن السطح يحتوي على نقاط تفرد، بل يعني أن السطح "خاص" بطريقة ما). في الخاصية 2، تم تعديل تعريف أسطح إنريكيس: حيث تُعرَّف بأنها أسطح دنيا يكون صنفها الكنسي K مكافئًا عدديًا للصفر، ويكون عدد بيتي الثاني فيها 10. (في الخصائص الأخرى غير 2، يكون هذا مكافئًا للتعريف المعتاد). يوجد الآن 3 عائلات من أسطح إنريكيس:

• في النظام الكلاسيكي: بُعد (H ¹ (O)) يساوي صفرًا. هذا يعني أن 2 K = صفر، لكن K لا يساوي الصفر، وPic ^τ هو Z /2 Z. السطح هو خارج قسمة سطح غورنشتاين مفرد مُختزل بواسطة مخطط المجموعة μ ₂ .
• المفرد: بُعد (H ¹ (O)) يساوي 1، ويتأثر بشكل غير تافه بتشاكل فروبينيوس الداخلي. هذا يعني أن K = 0، وأن Pic ^τ هو μ _2. السطح هو خارج قسمة سطح K3 بواسطة مخطط المجموعة Z/2Z.
• السطح الفائق التفرد: بُعد (H ¹ (O)) يساوي 1، ويتأثر بشكل تافه بتشاكل فروبينيوس الداخلي. هذا يعني أن K = 0، وأن Pic ^τ هو α _2. السطح هو خارج قسمة سطح غورنشتاين مفرد مُختزل على مخطط المجموعة α ₂ .

جميع أسطح إنريكيس هي أسطح إهليلجية أو شبه إهليلجية.

• تطابق راي هو مجموعة الخطوط الموجودة في سطحين تربيعيين على الأقل من نظام تربيعي خطي ثلاثي الأبعاد مُعطى في الفضاء ^P3 . إذا كان النظام الخطي عامًا، فإن تطابق راي يُصبح سطح إنريكيس. وقد اكتشف راي هذه الأسطح عام 1882 ، وربما تكون أقدم الأمثلة المعروفة لأسطح إنريكيس.
• خذ سطحًا من الدرجة 6 في فضاء إسقاطي ثلاثي الأبعاد بخطوط مزدوجة على طول حواف رباعي الأوجه ، مثل

${\displaystyle w^{2}x^{2}y^{2}+w^{2}x^{2}z^{2}+w^{2}y^{2}z^{2}+x^{2}y^{2}z^{2}+wxyzQ(w,x,y,z)=0}$

بالنسبة لبعض كثيرات الحدود المتجانسة العامة Q من الدرجة الثانية، فإن تطبيعها يكون سطح إنريكيس. هذه هي مجموعة الأمثلة التي وجدها إنريكيس (1896) .

• ^إن ناتج قسمة سطح K3 على تحويل انعكاسي خالٍ من النقاط الثابتة هو سطح إنريكيس، ويمكن إنشاء جميع أسطح إنريكيس ذات خاصية غير 2 بهذه الطريقة. على سبيل المثال، إذا كان S هو سطح K3 الذي يحقق المعادلة ^{w⁴ +} x⁴ + ^y⁴ + z⁴ = 0 ، وكان T هو التحويل الذاتي من الرتبة 4 الذي يأخذ ( w , x , y , z ) إلى ( w , ix , -y , -iz ) ^، فإن T² يحتوي على ثماني نقاط ثابتة. بتفكيك هذه النقاط الثماني وأخذ ناتج القسمة على T² ^، نحصل على سطح K3 مع تحويل انعكاسي خالٍ من النقاط الثابتة T ، وناتج قسمة هذا السطح على T هو سطح إنريكيس. بدلاً من ذلك، يمكن إنشاء سطح إنريكيس بأخذ ناتج قسمة السطح الأصلي على التحويل الذاتي من الرتبة 4 T ، ثم تحليل النقاط الثماني الشاذة لناتج القسمة. مثال آخر هو أخذ تقاطع ثلاثة أسطح تربيعية على الصورة P _i ( u , v , w ) + Q _i ( x , y , z ) = 0، ثم قسمة الناتج على الانعكاس الذي يأخذ ( u : v : w : x : y : z ) إلى (– x :– y :– z : u : v : w ). بالنسبة للأسطح التربيعية العامة، يكون هذا الانعكاس انعكاسًا خاليًا من النقاط الثابتة لسطح K3، وبالتالي يكون الناتج سطح إنريكيس.

• قائمة الأسطح الجبرية
• تصنيف إنريكي-كودايرا
• صنف فائق التفرد

• آرتين، مايكل (1960)، حول أسطح إنريكيس ، أطروحة دكتوراه، جامعة هارفارد
• الأسطح المعقدة المدمجة بقلم وولف بي بارث ، كلاوس هوليك ، كريس آم بيترز، أنطونيوس فان دي فين ISBN 3-540-00832-2هذا هو الكتاب المرجعي القياسي للأسطح المعقدة المدمجة.
• بومبيري، إنريكو ؛ مامفورد، ديفيد (1976)، "تصنيف إنريكيس للأسطح في الصفحة الثالثة." (ملف PDF) ، Inventiones Mathematicae ، 35 (1): 197-232 ، Bibcode : 1976InMat..35..197B ، doi : 10.1007/BF01390138 ، ISSN 0020-9910 ، MR 0491720 ، S2CID 122816845   
• Castelnuovo، ​​G. (1895)، “Sulle superficie di genere Zero”، Mem. ديلي سوك. ايطالي. Delle Scienze ، الدوري الثالث، 10 : 103- 123
• كوسيك، فرانسوا ر. Dolgachev، Igor V. (1989)، إنريكي السطوح. أنا ، التقدم في الرياضيات، المجلد.  76، بوسطن: بيركهاوزر بوسطن، ISBN 978-0-8176-3417-9، MR 0986969 
• Dolgachev، Igor V. (2016)، مقدمة موجزة عن أسطح إنريكي (PDF)
• إنريكي، فيديريغو (1896)، “Introduzione alla Geometria sopra le superficie algebriche.”، Mem. شركة نفط الجنوب. ايطالي. ديلي ساينز ، 10 : 1- 81
• إنريكي، فيديريجو (1949)، Le Superficie Algebriche (PDF) ، نيكولا زانيتشيلي، بولونيا، MR 0031770 
• كوندو، شيغيوكي (1994)، "عقلانية فضاء المعاملات لأسطح إنريكيس"، كومبوزيتيو ماثيماتيكا ، 91 ( 2): 159-173
• راي، ت. (1882)، Die Geometrie der Lage ، لايبزيغ: Baumgärtnerś Buchhandlung