سطح فيرونيزي

في الرياضيات ، يُعد سطح فيرونيز سطحًا جبريًا في فضاء إسقاطي خماسي الأبعاد ، ويُجسّد بواسطة تضمين فيرونيز ، وهو تضمين المستوى الإسقاطي المُعطى بواسطة النظام الخطي الكامل للقطوع المخروطية . سُمّي هذا السطح نسبةً إلى جوزيبي فيرونيز (1854-1917). ويُعرف تعميمه إلى أبعاد أعلى باسم مُتنوّع فيرونيز .

يُتيح السطح إمكانية تضمينه في الفضاء الإسقاطي رباعي الأبعاد المُعرَّف بالإسقاط من نقطة عامة في الفضاء خماسي الأبعاد. ويُطلق على إسقاطه العام إلى الفضاء الإسقاطي ثلاثي الأبعاد اسم سطح شتاينر .

السطح الفيروني هو صورة للخريطة

${\displaystyle \nu$ :\mathbb {P} ^{2}\to \mathbb {P} ^{5}}

مقدم من

${\displaystyle \nu$ :[x:y:z]\mapsto [x^{2}:y^{2}:z^{2}:yz:xz:xy]}

أين${\displaystyle [x:\cdots ]}$تشير إلى الإحداثيات المتجانسة . الخريطة${\displaystyle \nu }$يُعرف باسم تضمين فيرونيز.

ينشأ سطح فيرونيز بشكل طبيعي في دراسة القطوع المخروطية . والقطع المخروطي هو منحنى مستوٍ من الدرجة الثانية، وبالتالي يُعرَّف بالمعادلة التالية:

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dxz+Eyz+Fz^{2}=0.}$

الاقتران بين المعاملات${\displaystyle (A,B,C,D,E,F)}$والمتغيرات${\displaystyle (x,y,z)}$تكون الدالة خطية في المعاملات وتربيعية في المتغيرات؛ أما تحويل فيرونيز فيجعلها خطية في المعاملات وخطية في أحاديات الحدود. وبالتالي، بالنسبة لنقطة ثابتة${\displaystyle [x:y:z],}$الشرط الذي يجعل القطع المخروطي يحتوي على النقطة هو معادلة خطية في المعاملات، مما يضفي طابعًا رسميًا على العبارة القائلة بأن "المرور عبر نقطة يفرض شرطًا خطيًا على القطوع المخروطية".

تعمم خريطة فيرونيز أو تنوع فيرونيز هذه الفكرة لتشمل التطبيقات ذات الدرجة العامة d في n + 1 متغيرًا. أي أن خريطة فيرونيز ذات الدرجة d هي الخريطة

${\displaystyle \nu _{d}\colon \mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {P} ^{m}}$

حيث m معطى بواسطة معامل المجموعة المتعددة ، أو بشكل أكثر شيوعًا معامل ذي الحدين ، كما يلي:

${\displaystyle m=\left(\!\!{n+1 \choose d}\!\!\right)-1={n+d \choose d}-1.}$

ترسل الخريطة${\displaystyle [x_{0}:\ldots :x_{n}]}$لجميع الحدود الجبرية الممكنة ذات الدرجة الكلية d (والتي يوجد منها${\displaystyle m+1}$لدينا${\displaystyle n+1}$بما أن هناك${\displaystyle n+1}$المتغيرات${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$للاختيار من بينها؛ ونطرح${\displaystyle 1}$منذ الفضاء الإسقاطي${\displaystyle \mathbb {P} ^{m}}$لديه${\displaystyle m+1}$الإحداثيات. تُظهر المساواة الثانية أنه بالنسبة لبُعد المصدر الثابت n، يكون بُعد الهدف متعدد الحدود في d من الدرجة n ومعامل رئيسي${\displaystyle 1/n!.}$

بالنسبة للدرجات المنخفضة،${\displaystyle d=0}$هي الخريطة الثابتة التافهة إلى${\displaystyle \mathbf {P} ^{0},}$و${\displaystyle d=1}$خريطة الهوية على${\displaystyle \mathbf {P} ^{n},}$لذا يُعتبر d عمومًا 2 أو أكثر.

يمكن تعريف خريطة فيرونيز بطريقة لا تعتمد على الإحداثيات، كما يلي:

${\displaystyle \nu _{d}:\mathbb {P} (V)\ni [v]\mapsto [v^{d}]\in \mathbb {P} ({\rm {{Sym}^{d}V)}}}$

حيث V هو أي فضاء متجهي ذو بُعد محدود، و${\displaystyle {\rm {{Sym}^{d}V}}}$هي قواها المتناظرة من الدرجة d . وهذا متجانس من الدرجة d تحت الضرب القياسي على V ، وبالتالي ينتقل إلى تطبيق على الفضاءات الإسقاطية الأساسية .

إذا عُرِّف الفضاء المتجهي V على حقل K ذي خاصية غير صفرية ، فيجب تعديل التعريف ليُفهم على أنه تحويل إلى الفضاء الثنائي لكثيرات الحدود على V. وذلك لأنه بالنسبة للحقول ذات الخاصية المحدودة p ، فإن القوى p لعناصر V ليست منحنيات طبيعية نسبية ، بل هي خط مستقيم. (انظر، على سبيل المثال، كثير الحدود الجمعي لمعالجة كثيرات الحدود على حقل ذي خاصية محدودة).

إن صورة التنوع تحت خريطة فيرونيز هي تنوع بحد ذاته، وليست مجرد مجموعة قابلة للإنشاء ؛ علاوة على ذلك، فهما متماثلان بمعنى أن الخريطة العكسية موجودة ومنتظمة - خريطة فيرونيز ثنائية الانتظام . وبشكل أدق، فإن صور المجموعات المفتوحة في طوبولوجيا زاريسكي هي مجموعات مفتوحة أيضاً.

• يُعد سطح فيرونيز النوع الوحيد من أنواع سيفيري ذات البعد 2

• جو هاريس ، الهندسة الجبرية، دورة تمهيدية ، (1992) سبرينغر-فيرلاغ، نيويورك. ISBN 0-387-97716-3