السطح الروماني

في الرياضيات ، يُعرف السطح الروماني أو سطح شتاينر بأنه تحويل ذاتي التقاطع للمستوى الإسقاطي الحقيقي إلى الفضاء ثلاثي الأبعاد ، ويتميز بدرجة عالية من التناظر . هذا التحويل ليس غمرًا للمستوى الإسقاطي، إلا أن الشكل الناتج عن إزالة ست نقاط شاذة هو غمر. سُمي بهذا الاسم نسبةً إلى جاكوب شتاينر الذي اكتشفه في روما عام ١٨٤٤. ^{[ ١ ]}

أبسط طريقة لرسمها هي اعتبارها صورة كرة مركزها نقطة الأصل أسفل الخريطة.${\displaystyle f(x,y,z)=(yz,xz,xy).}$وهذا يعطي صيغة ضمنية لـ

${\displaystyle x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}-r^{2}xyz=0.\,}$

كذلك، فإن أخذ معلمات الكرة بدلالة خط الطول ( θ ) وخط العرض ( φ ) يعطي معادلات بارامترية للسطح الروماني على النحو التالي:

${\displaystyle x=r^{2}\cos \theta \cos \varphi \sin \varphi }$

${\displaystyle y=r^{2}\sin \theta \cos \varphi \sin \varphi }$

${\displaystyle z=r^{2}\cos \theta \sin \theta \cos ^{2}\varphi }$

نقطة الأصل هي نقطة ثلاثية، وكل من المستويات xy و yz و xz مماسية للسطح عند هذه النقطة. أما نقاط التقاطع الذاتي الأخرى فهي نقاط ثنائية، تُحدد قطعًا مستقيمة على طول كل محور إحداثي تنتهي بست نقاط تضييق. يتمتع السطح بأكمله بتناظر رباعي الأوجه . وهو نوع خاص (يُسمى النوع 1) من أسطح شتاينر، أي إسقاط خطي ثلاثي الأبعاد لسطح فيرونيز .

لتبسيط الأمر، سنقتصر على دراسة الحالة r = 1. بفرض أن الكرة معرفة بالنقاط ( x , y , z ) بحيث

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,\,}$

نطبق على هذه النقاط التحويل T المعرف بواسطة${\displaystyle T(x,y,z)=(yz,zx,xy)=(U,V,W),\,}$يقول.

لكن بعد ذلك لدينا

${\displaystyle {\begin{محاذاة}U^{2}V^{2}+V^{2}W^{2}+W^{2}U^{2}&=z^{2}x^{2}y^{4}+x^{2}y^{2}z^{4}+y^{2}z^{2}x^{4}= (x^{2}+y^{2}+z^{2})(x^{2}y^{2}z^{2})\\[8pt]&=(1)(x^{2}y^{2}z^{2})=(xy)(yz)(zx)=UVW,\end{محاذاة}}}$

وهكذا${\displaystyle U^{2}V^{2}+V^{2}W^{2}+W^{2}U^{2}-UVW=0\,}$حسب الرغبة.

على العكس من ذلك ، لنفترض أن لدينا ( U ، V ، W ) التي تحقق

(*)${\displaystyle U^{2}V^{2}+V^{2}W^{2}+W^{2}U^{2}-UVW=0.\,}$

نثبت أنه يوجد ( x , y , z ) بحيث

(**)${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,\,}$

والتي${\displaystyle U=xy,V=yz,W=zx,\,}$

باستثناء واحد: في الحالة 3.ب أدناه، نوضح أنه لا يمكن إثبات ذلك.

1. في حالة عدم كون أي من U أو V أو W يساوي صفرًا، يمكننا أن نضع

${\displaystyle x={\sqrt {\frac {WU}{V}}},\ y={\sqrt {\frac {UV}{W}}},\ z={\sqrt {\frac {VW}{U}}}.\,}$

(لاحظ أن (*) يضمن إما أن تكون جميع قيم U و V و W موجبة، أو أن يكون اثنان منها فقط سالبين. لذا فإن هذه الجذور التربيعية هي لأعداد موجبة.)

من السهل استخدام (*) للتأكد من أن (**) ينطبق على x و y و z المعرفة بهذه الطريقة.

2. لنفترض أن W تساوي صفرًا. من (*) هذا يعني${\displaystyle U^{2}V^{2}=0\,}$

وبالتالي، يجب أن يكون أحد المتغيرين U أو V على الأقل مساوياً للصفر أيضاً. وهذا يُثبت أنه من المستحيل أن يكون أحد المتغيرات U أو V أو W مساوياً للصفر فقط.

3. لنفترض أن اثنين فقط من U و V و W يساويان صفرًا. وبدون فقدان للعمومية، نفترض

(***)${\displaystyle U\neq 0,V=W=0.\,}$

ويترتب على ذلك أن${\displaystyle z=0,\,}$

(منذ${\displaystyle z\neq 0,\,}$يشير ذلك إلى أن${\displaystyle x=y=0,\,}$وبالتالي${\displaystyle U=0,\,}$متناقض (***).)

أ. في الحالة الفرعية حيث

${\displaystyle |U|\leq {\frac {1}{2}},}$

إذا حددنا x و y بواسطة

${\displaystyle x^{2}={\frac {1+{\sqrt {1-4U^{2}}}}{2}}}$

و${\displaystyle y^{2}={\frac {1-{\sqrt {1-4U^{2}}}}{2}},}$

وهذا يضمن صحة (*). ومن السهل التحقق من ذلك.${\displaystyle x^{2}y^{2}=U^{2},\,}$

وبالتالي فإن اختيار إشارات x و y بشكل مناسب سيضمن${\displaystyle xy=U.\,}$

بما أن${\displaystyle yz=0=V{\text{ و }}zx=0=W,\,}$

وهذا يدل على أن هذه الحالة الفرعية تؤدي إلى العكس المطلوب.

ب. في هذه الحالة الفرعية المتبقية من الحالة 3 ، لدينا${\displaystyle |U|>{\frac {1}{2}}.}$

منذ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1,\,}$

من السهل التحقق من ذلك${\displaystyle xy\leq {\frac {1}{2}},}$

وبالتالي في هذه الحالة، حيث${\displaystyle |U|>1/2,\ V=W=0,}$

لا يوجد ( x , y , z ) يحقق${\displaystyle U=xy,\ V=yz,\ W=zx.}$

وبالتالي فإن حلول المعادلة (*) هي ( U , 0, 0) مع${\displaystyle |U|>{\frac {1}{2}}}$

وبالمثل، (0، V ، 0) مع ${\displaystyle |V|>{\frac {1}{2}}}$

و (0، 0، W ) مع${\displaystyle |W|>{\frac {1}{2}}}$

(كل منها جزء غير مضغوط من محور إحداثيات، في جزأين) لا تتوافق مع أي نقطة على السطح الروماني .

4. إذا كانت النقطة ( U , V , W ) هي النقطة (0, 0, 0)، فإذا كان أي اثنين من x و y و z يساويان صفرًا، وكان للثالث قيمة مطلقة تساوي 1، فمن الواضح${\displaystyle (xy,yz,zx)=(0,0,0)=(U,V,W)\,}$حسب الرغبة.

هذا يشمل جميع الحالات المحتملة.

لنفترض أن كرة نصف قطرها r ، وخط طولها φ ، وخط عرضها θ . عندئذٍ تكون معادلاتها البارامترية هي

${\displaystyle x=r\,\cos \theta \,\cos \phi ,}$

${\displaystyle y=r\,\cos \theta \,\sin \phi ,}$

${\displaystyle z=r\,\sin \theta .}$

ثم، بتطبيق التحويل T على جميع النقاط على هذه الكرة، ينتج

${\displaystyle x'=yz=r^{2}\,\cos \theta \,\sin \theta \,\sin \phi ,}$

${\displaystyle y'=zx=r^{2}\,\cos \theta \,\sin \theta \,\cos \phi ,}$

${\displaystyle z'=xy=r^{2}\,\cos ^{2}\theta \,\cos \phi \,\sin \phi ,}$

وهي النقاط الموجودة على السطح الروماني. ولتكن φ تتراوح من 0 إلى 2π، ولتكن θ تتراوح من 0 إلى π /2 .

The sphere, before being transformed, is not homeomorphic to the real projective plane, RP². But the sphere centered at the origin has this property, that if point (x,y,z) belongs to the sphere, then so does the antipodal point (-x,-y,-z) and these two points are different: they lie on opposite sides of the center of the sphere.

The transformation T converts both of these antipodal points into the same point,

${\displaystyle T:(x,y,z)\rightarrow (yz,zx,xy),}$

${\displaystyle T:(-x,-y,-z)\rightarrow ((-y)(-z),(-z)(-x),(-x)(-y))=(yz,zx,xy).}$

Since this is true of all points of S², then it is clear that the Roman surface is a continuous image of a "sphere modulo antipodes". Because some distinct pairs of antipodes are all taken to identical points in the Roman surface, it is not homeomorphic to RP², but is instead a quotient of the real projective plane RP² = S² / (x~-x). Furthermore, the map T (above) from S² to this quotient has the special property that it is locally injective away from six pairs of antipodal points. Or from RP² the resulting map making this an immersion of RP² — minus six points — into 3-space.

The Roman surface has four bulbous "lobes", each one on a different corner of a tetrahedron.

A Roman surface can be constructed by splicing together three hyperbolic paraboloids and then smoothing out the edges as necessary so that it will fit a desired shape (e.g. parametrization).

Let there be these three hyperbolic paraboloids:

• x = yz,
• y = zx,
• z = xy.

These three hyperbolic paraboloids intersect externally along the six edges of a tetrahedron and internally along the three axes. The internal intersections are loci of double points. The three loci of double points: x = 0, y = 0, and z = 0, intersect at a triple point at the origin.

For example, given x = yz and y = zx, the second paraboloid is equivalent to x = y/z. Then

${\displaystyle yz={y \over z}}$

and either y = 0 or z² = 1 so that z = ±1. Their two external intersections are

• x = y, z = 1;
• x = −y, z = −1.

Likewise, the other external intersections are

• x = z, y = 1;
• x = − z , y = −1;
• y = z , x = 1;
• y = − z , x = −1.

لنرَ كيف يتم تجميع الأجزاء. نصل القطع المكافئ y = xz و x = yz . والنتيجة موضحة في الشكل 1.

يظهر القطع المكافئ y = xz باللونين الأزرق والبرتقالي. ويظهر القطع المكافئ x = yz باللونين السماوي والبنفسجي. في الصورة، يُلاحظ تقاطع القطعين المكافئين على طول المحور z = 0. إذا تم تمديد القطعين المكافئين، فسيُلاحظ أيضًا تقاطعهما على طول الخطوط.

• z = 1، y = x ؛
• z = −1، y = − x .

يبدو القطعان المكافئان معًا كزوج من زهور الأوركيد المتصلة ظهرًا لظهر.

الآن، قم بتطبيق القطع المكافئ الزائدي الثالث، z = xy ، عليهما. والنتيجة موضحة في الشكل 2.

في الاتجاهين الغربي الجنوبي الغربي والشرقي الشمالي الشرقي في الشكل 2، يوجد زوج من الفتحات. هذه الفتحات عبارة عن فصوص، ويجب إغلاقها. عند إغلاق الفتحات، نحصل على السطح الروماني الموضح في الشكل 3.

يمكن رؤية زوج من الفصوص في الاتجاهين الغربي والشرقي من الشكل 3. زوج آخر من الفصوص مخفي أسفل القطع المكافئ الثالث ( z = xy ) ويقع في الاتجاهين الشمالي والجنوبي.

إذا تم رسم القطع المكافئ الزائدي الثلاثة المتقاطعة بعيدًا بما يكفي بحيث تتقاطع على طول حواف رباعي الأوجه، فإن النتيجة تكون كما هو موضح في الشكل 4.

يُرى أحد الفصوص من الأمام - رأسًا على عقب - في الشكل 4. ويمكن رؤية الفص على أنه أحد الزوايا الأربع للهرم الرباعي.

إذا تم تقريب الحواف الحادة للسطح المستمر في الشكل 4 - أي تم تسويتها - فإن النتيجة ستكون السطح الروماني في الشكل 5.

يظهر أحد فصوص السطح الروماني من الأمام في الشكل 5، وشكله المنتفخ - الشبيه بالبالون - واضح.

إذا تم تدوير السطح في الشكل 5 بزاوية 180 درجة ثم قلبه رأسًا على عقب، فإن النتيجة ستكون كما هو موضح في الشكل 6.

يُظهر الشكل 6 ثلاثة فصوص عند النظر إليها من الجانب. بين كل زوج من الفصوص يوجد موضع لنقاط مزدوجة تُقابل محور إحداثيات. تتقاطع المواضع الثلاثة عند نقطة ثلاثية في نقطة الأصل. الفص الرابع مخفي ويشير إلى الاتجاه المعاكس تمامًا للناظر. السطح الروماني الموضح في أعلى هذه المقالة يحتوي أيضًا على ثلاثة فصوص عند النظر إليه من الجانب.

السطح الروماني غير قابل للتوجيه ، أي أنه ذو وجه واحد. وهذا ليس واضحاً تماماً. لتوضيح ذلك، انظر مرة أخرى إلى الشكل 3.

تخيل نملةً فوق القطع المكافئ الزائدي "الثالث" ، z = xy . دع هذه النملة تتحرك شمالًا. أثناء حركتها، ستمر عبر القطعين المكافئين الآخرين، كشبح يمر عبر جدار. تبدو هذه القطع المكافئة الأخرى كعقبات فقط بسبب طبيعة التداخل الذاتي. دع النملة تتجاهل جميع النقاط المزدوجة والثلاثية وتمر من خلالها مباشرةً. وهكذا تتحرك النملة شمالًا وتسقط من حافة العالم، إن صح التعبير. تجد نفسها الآن على الفص الشمالي، مختبئةً أسفل القطع المكافئ الثالث في الشكل 3. تقف النملة رأسًا على عقب، على "الخارج" من السطح الروماني.

دع النملة تتحرك باتجاه الجنوب الغربي. ستصعد منحدرًا (مقلوبة) حتى تجد نفسها "داخل" الفص الغربي. الآن دع النملة تتحرك باتجاه الجنوب الشرقي على طول الجانب الداخلي للفص الغربي نحو المحور z = 0 ، دائمًا فوق المستوى xy . بمجرد أن تعبر المحور z = 0، ستكون النملة على "خارج" الفص الشرقي، واقفة في وضعها الطبيعي.

ثم دعها تتحرك شمالًا، فوق "التلة"، ثم نحو الشمال الغربي بحيث تبدأ بالانزلاق لأسفل باتجاه المحور س = ٠. بمجرد أن تعبر النملة هذا المحور، ستجد نفسها "داخل" الفص الشمالي، واقفةً في وضعها الطبيعي. الآن دع النملة تسير نحو الشمال. ستتسلق الجدار، ثم على طول "سقف" الفص الشمالي. تعود النملة إلى القطع المكافئ الزائدي الثالث، ولكن هذه المرة تحته وواقفةً رأسًا على عقب. (قارن بزجاجة كلاين ).

يتكون السطح الروماني من أربعة "فصوص". حدود كل فص عبارة عن ثلاثة خطوط من النقاط المزدوجة. بين كل زوج من الفصوص يوجد خط من النقاط المزدوجة. يحتوي السطح على ثلاثة خطوط من النقاط المزدوجة، تقع (في التمثيل البارامتري المذكور سابقًا) على محاور الإحداثيات. تتقاطع خطوط النقاط المزدوجة الثلاثة عند نقطة ثلاثية تقع على نقطة الأصل. تقسم النقطة الثلاثية خطوط النقاط المزدوجة إلى نصفين، ويقع كل نصف خط بين زوج من الفصوص. قد يتوقع المرء من العبارات السابقة وجود ما يصل إلى ثمانية فصوص، فص واحد في كل ثمن من الفضاء المقسم بواسطة مستويات الإحداثيات. لكن الفصوص تشغل أثمانًا متناوبة: أربعة أثمان فارغة وأربعة أخرى تشغلها الفصوص.

لو تم رسم السطح الروماني داخل رباعي الأوجه بأقل حجم ممكن، لوجدنا أن كل ضلع من أضلاع رباعي الأوجه يلامس السطح الروماني عند نقطة ما، وأن كل نقطة من هذه النقاط الست هي نقطة ويتني الشاذة . تقع هذه النقاط الشاذة، أو نقاط التضييق، جميعها على حواف الخطوط الثلاثة للنقاط المزدوجة، وتُعرَّف بهذه الخاصية: أنه لا يوجد مستوى يلامس أي سطح عند النقطة الشاذة.

• سطح الصبي - غمر المستوى الإسقاطي بدون أغطية متقاطعة.
• المجسم السداسي الرباعي – مجسم متعدد الأوجه يشبه إلى حد كبير السطح الروماني.

• أ. كوفمان، " أسطح شتاينر "
• وايسشتاين، إريك دبليو. "السطح الروماني" . عالم الرياضيات .
• الأسطح الرومانية في بنك المنحنيات الوطني (موقع جامعة ولاية كاليفورنيا)
• أشاي داروادكر، المجسم السباعي والسطح الروماني، نماذج الهندسة الإلكترونية، 2004.