انفجار

في الرياضيات ، يُعدّ التضخيم نوعًا من التحويلات الهندسية التي تستبدل فضاءً جزئيًا من فضاءٍ مُعطى بفضاء جميع الاتجاهات الخارجة من ذلك الفضاء الجزئي. على سبيل المثال، يُستبدل تضخيم نقطة في مستوىً ما تلك النقطة بالفضاء المماسي المُسقط عند تلك النقطة. ويُشبه هذا التشبيه تكبير جزء من صورة فوتوغرافية، وليس تشبيهًا بانفجار . أما العملية العكسية فتُسمى التخفيض .

تُعدّ عمليات النفخ التحويلَ الأساسي في الهندسة الثنائية النسبية ، لأنّ كلّ تشاكل ثنائي نسبي بين أصناف إسقاطية هو عملية نفخ. تنصّ نظرية التحليل الضعيف على أنّه يُمكن تحليل أيّ دالة ثنائية نسبية إلى تركيب من عمليات نفخ بسيطة للغاية. وتُولّد عمليات النفخ زمرة كريومونا ، وهي زمرة التشاكلات الذاتية الثنائية النسبية للمستوى.

إلى جانب أهميتها في وصف التحويلات الثنائية النسبية، تُعدّ عمليات النفخ طريقةً مهمةً لبناء فضاءات جديدة. فعلى سبيل المثال، تعتمد معظم إجراءات حلّ التفردات على نفخ هذه التفردات حتى تصبح سلسة. ومن نتائج ذلك إمكانية استخدام عمليات النفخ لحلّ تفردات الخرائط الثنائية النسبية.

تقليديًا، كانت عمليات النفخ تُعرَّف خارجيًا، وذلك بتعريفها أولًا على فضاءات مثل الفضاء الإسقاطي باستخدام بناء صريح في الإحداثيات، ثم تعريفها على فضاءات أخرى بدلالة تضمين. وينعكس هذا في بعض المصطلحات، مثل مصطلح التحويل المونيدي الكلاسيكي. أما الهندسة الجبرية المعاصرة ، فتتعامل مع النفخ كعملية جوهرية على تنوع جبري . من هذا المنظور، يُعد النفخ الطريقة الشاملة (بمعنى نظرية الفئات ) لتحويل تنوع فرعي إلى قاسم كارتييه .

يمكن أيضًا تسمية عملية النفخ بالتحويل المونويدي ، أو التحويل التربيعي المحلي ، أو التمدد ، أو عملية سيجما ، أو خريطة هوبف .

أبسط مثال على الانفجار هو انفجار نقطة في مستوى. ويمكن ملاحظة معظم السمات العامة للانفجار في هذا المثال.

يمكن وصف الانفجار وصفًا تركيبيًا على أنه تطابق وقوعي. تذكر أن غراسمانيان${\displaystyle \mathbf {Gr} (1,2)}$يُحدد هذا الشكل مجموعة جميع الخطوط المارة بنقطة في المستوى. وهو عبارة عن تكبير للمستوى الإسقاطي.${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$عند النقطة${\displaystyle P}$، والتي سنرمز إليها${\displaystyle X}$، يكون

${\displaystyle X=\{(Q,\ell )\mid P,\,Q\in \ell \}\subseteq \mathbf {P} ^{2}\times \mathbf {Gr} (1,2).}$

هنا${\displaystyle Q}$يشير إلى نقطة أخرى في${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$و${\displaystyle \ell }$هو عنصر من عناصر غراسمانيان.${\displaystyle X}$هو صنف إسقاطي لأنه صنف فرعي مغلق ناتج عن أصناف إسقاطية. ويأتي مع تماثل طبيعي${\displaystyle \pi }$ل${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$هذا يأخذ الزوجين${\displaystyle (Q,\ell )}$ل${\displaystyle Q}$هذا التشاكل هو تشاكل على المجموعة المفتوحة الجزئية لجميع النقاط${\displaystyle (Q,\ell )\in X}$مع${\displaystyle Q\neq P}$لأن الخط${\displaystyle \ell }$يتم تحديد ذلك من خلال هاتين النقطتين. عندما${\displaystyle Q=P}$ومع ذلك، فإن الخط${\displaystyle \ell }$يمكن أن يكون أي خط يمر${\displaystyle P}$تتوافق هذه الخطوط مع فضاء الاتجاهات عبر${\displaystyle P}$، وهو متماثل مع${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}}$. هذا${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}}$يُطلق عليه اسم القاسم الاستثنائي ، وهو بحسب التعريف الفضاء الطبيعي المسقط عند${\displaystyle P}$. لأن${\displaystyle P}$إذا كانت نقطة، فإن الفضاء العمودي هو نفسه الفضاء المماسي، لذا فإن القاسم الاستثنائي متماثل مع الفضاء المماسي المسقط عند هذه النقطة.${\displaystyle P}$.

لإعطاء إحداثيات على الصورة المكبرة، يمكننا كتابة معادلات لتطابق التصادم المذكور أعلاه. أعطِ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$إحداثيات متجانسة${\displaystyle [X_{0}:X_{1}:X_{2}]}$في أي${\displaystyle P}$هذه هي النقطة${\displaystyle [P_{0}:P_{1}:P_{2}]}$. من خلال الازدواجية الإسقاطية ،${\displaystyle \mathbf {Gr} (1,2)}$متماثل مع${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$لذلك يمكننا إعطاؤها إحداثيات متجانسة${\displaystyle [L_{0}:L_{1}:L_{2}]}$سطر${\displaystyle \ell _{0}=[L_{0}:L_{1}:L_{2}]}$هي مجموعة الكل${\displaystyle [X_{0}:X_{1}:X_{2}]}$بحيث${\displaystyle X_{0}L_{0}+X_{1}L_{1}+X_{2}L_{2}=0}$لذلك، يمكن وصف الانفجار بأنه

${\displaystyle X={\bigl \{}{\bigl (}[X_{0}:X_{1}:X_{2}],[L_{0}:L_{1}:L_{2}]{\bigr )}\mid P_{0}L_{0}+P_{1}L_{1}+P_{2}L_{2}=0,\,X_{0}L_{0}+X_{1}L_{1}+X_{2}L_{2}=0{\bigr \}}\subseteq \mathbf {P} ^{2}\times \mathbf {P} ^{2}.}$

الانفجار هو تماثل بعيد عن${\displaystyle P}$وبالعمل في المستوى الأفيني بدلاً من المستوى الإسقاطي، يمكننا الحصول على معادلات أبسط للانفجار. بعد التحويل الإسقاطي ، يمكننا أن نفترض أن${\displaystyle P=[0:0:1]}$. يكتب${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$بالنسبة للإحداثيات على المستوى الأفيني${\displaystyle \{X_{2}\neq 0\}}$الحالة${\displaystyle P\in \ell }$يشير ذلك إلى أن${\displaystyle L_{2}=0}$لذلك يمكننا استبدال غراسمانيان بـ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}}$ثم يأتي الانفجار كنوع مختلف

${\displaystyle {\bigl \{}{\bigl (}(x,y),[z:w]{\bigr )}\mid xz+yw=0{\bigr \}}\subseteq \mathbf {A} ^{2}\times \mathbf {P} ^{1}.}$

من الشائع تغيير الإحداثيات لعكس إحدى الإشارات. عندئذٍ يمكن كتابة التكبير على النحو التالي:

${\displaystyle \left\{{\bigl (}(x,y),[z:w]{\bigr )}\mid \det {\begin{bmatrix}x&y\\w&z\end{bmatrix}}=0\right\}.}$

هذه المعادلة أسهل في التعميم من المعادلة السابقة.

يمكن تصور الانفجار بسهولة إذا أزلنا نقطة اللانهاية من غراسمانيان، على سبيل المثال عن طريق وضع${\displaystyle w=1}$والحصول على سطح السرج القياسي${\displaystyle y=xz}$في الفضاء ثلاثي الأبعاد.

يمكن أيضًا وصف عملية الانفجار باستخدام الإحداثيات مباشرةً على الفضاء العمودي للنقطة. ومرة ​​أخرى، نعمل على المستوى الأفيني.${\displaystyle \mathbf {A} ^{2}}$الفضاء العمودي على نقطة الأصل هو الفضاء المتجهي${\displaystyle {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}}$، أين${\displaystyle {\mathfrak {m}}=(x,y)}$يمثل هذا المثال الأعظمي للأصل. جبريًا، فإن إسقاط هذا الفضاء المتجهي هو Proj لجبره المتناظر ، أي

${\displaystyle X=\operatorname {Proj} \bigoplus _{r=0}^{\infty }\operatorname {Sym} _{k[x,y]}^{r}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}.}$

في هذا المثال، يكون لهذا وصف محدد على النحو التالي:

${\displaystyle X=\operatorname {Proj} k[x,y][z,w]/(xz-yw),}$

أين${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$لها درجة  صفر و${\displaystyle z}$و${\displaystyle w}$حاصل على الدرجة  الأولى.

بالنسبة للأعداد الحقيقية أو المركبة، يكون للانفجار وصف طوبولوجي على أنه مجموع متصل${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}\#\mathbf {P} ^{2}}$افترض أن${\displaystyle P}$الأصل في${\displaystyle \mathbf {A} ^{2}\subseteq \mathbf {P} ^{2}}$واكتب${\displaystyle L}$للخط عند اللانهاية . ${\displaystyle \mathbf {A} ^{2}\backslash \{0\}}$يحتوي على خريطة انعكاس${\displaystyle {t}}$والذي يرسل${\displaystyle (x,y)}$ل${\displaystyle \left({\frac {x}{\vert x\vert ^{2}+\vert y\vert ^{2}}},{\frac {y}{\vert x\vert ^{2}+\vert y\vert ^{2}}}\right)}$. ${\displaystyle t}$هو انعكاس الدائرة بالنسبة للكرة الوحدة${\displaystyle S}$إنه يُصلح${\displaystyle S}$، ويحافظ على كل خط يمر عبر نقطة الأصل، ويبدل الجزء الداخلي من الكرة بالجزء الخارجي.${\displaystyle t}$يمتد إلى خريطة متصلة${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}\backslash \{0\}\to \mathbf {A} ^{2}}$عن طريق إرسال الخط عند اللانهاية إلى نقطة الأصل. هذا الامتداد، الذي نرمز إليه أيضًا${\displaystyle t}$يمكن استخدامها لإنشاء التكبير. لنفترض${\displaystyle C}$يرمز إلى مكمل كرة الوحدة. التكبير${\displaystyle X}$هو المشعب الناتج عن ربط نسختين من${\displaystyle C}$على امتداد${\displaystyle S}$. ${\displaystyle X}$يأتي مع خريطة${\displaystyle \pi }$ل${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$وهو ما يمثل الهوية الموجودة في النسخة الأولى من${\displaystyle C}$و${\displaystyle t}$في النسخة الثانية من${\displaystyle C}$هذه الخريطة هي تماثل من${\displaystyle P}$والألياف فوق${\displaystyle P}$هل الخط عند اللانهاية في النسخة الثانية من${\displaystyle C}$كل نقطة في هذا الخط تُقابل خطًا فريدًا يمر عبر نقطة الأصل، لذا فإن الليف فوق${\displaystyle \pi }$يتوافق مع الاتجاهات العمودية الممكنة عبر نقطة الأصل.

ل${\displaystyle \mathbf {CP} ^{2}}$ينبغي أن تُنتج هذه العملية مشعبًا موجهًا. ولتحقيق ذلك، يجب أن تكون النسختان من${\displaystyle C}$يجب أن تُعطى اتجاهات معاكسة. بالرموز،${\displaystyle X}$يكون${\displaystyle \mathbf {CP} ^{2}\#{\overline {\mathbf {CP} ^{2}}}}$، أين${\displaystyle {\overline {\mathbf {CP} ^{2}}}}$يكون${\displaystyle \mathbf {CP} ^{2}}$مع عكس الاتجاه القياسي.

ليكن Z هو نقطة الأصل في الفضاء المركب ذي البعد n ، C ⁿ . أي أن Z هي النقطة التي تكون عندها دوال الإحداثيات n${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$يتلاشى في آن واحد. ليكن P ^{n - 1} فضاءً إسقاطيًا عقديًا ذا أبعاد ( n - 1) وإحداثيات متجانسة.${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}$. يترك${\displaystyle {\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}}$لتكن المجموعة الجزئية من C ⁿ × P ^{n - 1} التي تحقق المعادلات في آن واحد${\displaystyle x_{i}y_{j}=x_{j}y_{i}}$بالنسبة لـ i، j = 1، ...، n . الإسقاط

${\displaystyle \pi$ :\mathbf {C} ^{n}\times \mathbf {P} ^{n-1}\to \mathbf {C} ^{n}}

يؤدي بشكل طبيعي إلى إنشاء خريطة هولومورفية

${\displaystyle \pi$ :{\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}\to \mathbf {C} ^{n}.}

هذه الخريطة π (أو، في كثير من الأحيان، الفضاء)${\displaystyle {\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}}$) يسمى الانفجار (يكتب بشكل مختلف blow up أو blowup ) لـ C ⁿ .

يُعرَّف القاسم الاستثنائي E بأنه الصورة العكسية لموضع النفخ Z تحت تأثير π. من السهل ملاحظة ذلك.

${\displaystyle E=Z\times \mathbf {P} ^{n-1}\subseteq \mathbf {C} ^{n}\times \mathbf {P} ^{n-1}}$

هو نسخة من الفضاء الإسقاطي. وهو قاسم فعال . بعيدًا عن E ، فإن π هو تماثل بين${\displaystyle {\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}\setminus E}$و C ⁿ \ Z ؛ إنها دالة ثنائية نسبية بين${\displaystyle {\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}}$و C ⁿ .

أما إذا نظرنا بدلاً من ذلك إلى الإسقاط الهولومورفي

${\displaystyle q\colon {\tilde {\mathbf {C} ^{n}}}\to \mathbf {P} ^{n-1}}$

نحصل على حزمة الخط التكرارية لـ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n-1}}$ويمكننا تحديد القاسم الاستثنائي${\displaystyle \lbrace Z\rbrace \times \mathbf {P} ^{n-1}}$بقسمه الصفري، أي${\displaystyle \mathbf {0} \colon \mathbf {P} ^{n-1}\to {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{n-1}}}$والتي تُخصص لكل نقطة${\displaystyle p}$العنصر الصفري${\displaystyle \mathbf {0} _{p}}$في الألياف فوق${\displaystyle p}$.

وبشكل أعم، يمكن للمرء أن يفجر أي بُعد رمزي-${\displaystyle k}$شعبة فرعية معقدة${\displaystyle Z}$ل${\displaystyle \mathbf {C} ^{n}}$لنفترض أن${\displaystyle Z}$هو موضع المعادلات${\displaystyle x_{1}=\cdots =x_{k}=0}$ودع${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{k}}$إحداثيات متجانسة على${\displaystyle \mathbf {P} ^{k-1}}$ثم الانفجار${\displaystyle {\tilde {\mathbf {C} }}^{n}}$هو موضع المعادلات${\displaystyle x_{i}y_{j}=x_{j}y_{i}}$للجميع${\displaystyle 1\leq i,j\leq k}$، في الفضاء${\displaystyle \mathbf {C} ^{n}\times \mathbf {P} ^{k-1}}$.

وبشكل أعم، يمكن للمرء أن يفجر أي فضاء فرعي لأي فضاء معقد${\displaystyle X}$بتطبيق هذا البناء محليًا. والنتيجة، كما في السابق، هي استبدال موضع الانفجار${\displaystyle Z}$مع المقسوم عليه الاستثنائي${\displaystyle E}$بعبارة أخرى، الخريطة المكبرة

${\displaystyle \pi$ :{\tilde {X}}\to X}

هو رسم خرائط ثنائي النسبي، بعيدًا عن${\displaystyle E}$، مما يؤدي إلى تماثل، و، على${\displaystyle E}$، تليف محلي بسيط مع ألياف${\displaystyle \mathbf {P} ^{k-1}}$في الواقع، التقييد${\displaystyle \pi |_{E}:E\to Z}$يُنظر إليه بشكل طبيعي على أنه إسقاط الحزمة العادية لـ${\displaystyle Z}$في${\displaystyle X}$.

منذ${\displaystyle E}$إذا كان قاسمًا أملسًا (له بُعد مشترك يساوي 1)، فإن حزمة العمودية الخاصة به هي حزمة خطية . ليس من الصعب إثبات ذلك.${\displaystyle E}$يتقاطع مع نفسه بشكل سلبي. هذا يعني أن حزمته العادية لا تحتوي على مقاطع هولومورفية؛${\displaystyle E}$هو الممثل الوحيد للمركب الأملس لفئة التماثل الخاصة به في${\displaystyle {\tilde {X}}}$. (يفترض${\displaystyle E}$يمكن أن ينحرف هذا الفضاء عن نفسه إلى فضاء فرعي معقد آخر من نفس الفئة. عندئذٍ، سيتقاطع الفضاءان الفرعيان بشكل إيجابي - كما هو الحال دائمًا مع الفضاءات الفرعية المعقدة - مما يناقض التقاطع الذاتي السلبي لـ${\displaystyle E}$.) لهذا السبب يُطلق على المقسوم عليه اسم "استثنائي".

يترك${\displaystyle V}$ليكن بعض التشعبات الفرعية من${\displaystyle X}$بخلاف${\displaystyle Z}$. لو${\displaystyle V}$منفصل عن${\displaystyle Z}$إذن، فإنه لا يتأثر بشكل أساسي بالانفجار على طول${\displaystyle Z}$لكن إذا تقاطع${\displaystyle Z}$إذن، هناك نظيران متميزان لـ${\displaystyle V}$في الانفجار${\displaystyle {\tilde {X}}}$أحدهما هو التحويل الصحيح (أو الصارم ) ، وهو إغلاق لـ${\displaystyle \pi ^{-1}(V\setminus Z)}$; حزمتها العادية في${\displaystyle {\tilde {X}}}$يختلف عادةً عن ذلك الخاص بـ${\displaystyle V}$في${\displaystyle X}$أما الآخر فهو التحويل الكلي ، الذي يتضمن بعضًا من أو كل ما يلي:${\displaystyle E}$إنها في الأساس عملية تراجع لـ${\displaystyle V}$في علم التماثل .

لتحقيق التفجير بأوسع معانيه، ليكن X مخططًا ، وليكن${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ليكن حزمة متماسكة من المُثُل على X. انفجار X بالنسبة إلى${\displaystyle {\mathcal {I}}}$هو مخطط${\displaystyle {\tilde {X}}}$بالإضافة إلى التشكل

${\displaystyle \pi \colon {\tilde {X}}\rightarrow X}$

بحيث يكون التراجع${\displaystyle \pi ^{-1}{\mathcal {I}}\cdot {\mathcal {O}}_{\tilde {X}}}$هي حزمة قابلة للعكس ، تتميز بهذه الخاصية العامة : لأي تشاكل f : Y → X بحيث${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {I}}\cdot {\mathcal {O}}_{Y}}$هي حزمة قابلة للعكس، و f تتحلل بشكل فريد من خلال π.

لاحظ أن

${\displaystyle {\tilde {X}}=\mathbf {Proj} \bigoplus _{n=0}^{\infty }{\mathcal {I}}^{n}}$

تتمتع هذه الخاصية؛ هكذا يتم بناء النفخ (انظر أيضًا جبر ريس ). هنا، Proj هو بناء Proj على الحزم المتدرجة للحلقات التبادلية .

في عملية تضخيم Cⁿ الموصوفة أعلاه، لم يكن استخدام الأعداد المركبة شرطًا أساسيًا؛ إذ يمكن إجراء عمليات التضخيم على أي ^حقل . على سبيل المثال، ينتج عن التضخيم الحقيقي ^لـ R² عند نقطة الأصل شريط موبيوس ؛ وبالمثل، ينتج عن تضخيم الكرة الثنائية S² المستوى الإسقاطي الحقيقي ^.

يُعدّ تشويه المخروط الطبيعي تقنية تفجير تُستخدم لإثبات العديد من النتائج في الهندسة الجبرية. بفرض مخطط X ومخطط فرعي مغلق V ، يتم تفجير

${\displaystyle V\times \{0\}\ {\text{in}}\ Y=X\times \mathbf {C} \ {\text{or}}\ X\times \mathbf {P} ^{1}}$

ثم

${\displaystyle {\tilde {Y}}\to \mathbf {C} }$

هو تليف. الليف العام متماثل بشكل طبيعي مع X ، بينما الليف المركزي هو اتحاد مخططين: أحدهما هو نفخ X على طول V ، والآخر هو المخروط الطبيعي لـ V مع أليافه المكتملة إلى الفضاءات الإسقاطية.

يمكن أيضًا إجراء عمليات التفجير في الفئة التبسيطية، وذلك بمنح المتشعب التبسيطي بنيةً شبه معقدة متوافقة ، ثم إجراء تفجير معقد. يبدو هذا منطقيًا على المستوى الطوبولوجي البحت؛ إلا أن منح التفجير شكلًا تبسيطيًا يتطلب بعض الحذر، لأنه لا يمكن تمديد الشكل التبسيطي بشكل عشوائي عبر القاسم الاستثنائي E. يجب تغيير الشكل التبسيطي في جوار E ، أو إجراء التفجير عن طريق اقتطاع جوار Z وطي الحدود بطريقة محددة جيدًا. يُفهم هذا على أفضل وجه باستخدام صيغة القطع التبسيطي ، الذي يُعد التفجير التبسيطي حالة خاصة منه. يُعد القطع التبسيطي، إلى جانب العملية العكسية للجمع التبسيطي ، النظير التبسيطي للتشويه على المخروط الطبيعي على طول قاسم أملس.

• نقطة قريبة إلى ما لا نهاية - مفهوم في الهندسة الجبرية 
• حلّ النقاط الشاذة – مفهوم في الهندسة الجبرية 

• فولتون، ويليام (1998). نظرية التقاطع . سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 0-387-98549-2.
• غريفيث، فيليب؛ هاريس، جوزيف (1978). مبادئ الهندسة الجبرية . جون وايلي وأولاده. ISBN 0-471-32792-1.
• هارتشورن، روبن (1977). الهندسة الجبرية . سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 0-387-90244-9.
• ماكدوف، دوسا؛ سالامون، ديتمار (1998). مقدمة في الطوبولوجيا التبسيطية . مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 0-19-850451-9.