خط عند اللانهاية

في الهندسة والطوبولوجيا ، يُعرف الخط عند اللانهاية بأنه خط إسقاطي يُضاف إلى المستوى الأفيني لإغلاق خصائص التلاقي للمستوى الإسقاطي الناتج وإزالة الحالات الاستثنائية منها . ويُسمى الخط عند اللانهاية أيضًا بالخط المثالي . ^{[ 1 ]}

في الهندسة الإسقاطية، يتقاطع أي زوج من الخطوط دائمًا في نقطة ما، لكن الخطوط المتوازية لا تتقاطع في المستوى الحقيقي. يُضاف الخط عند اللانهاية إلى المستوى الحقيقي، وبذلك يكتمل المستوى، لأن الخطوط المتوازية تتقاطع الآن عند نقطة تقع على الخط عند اللانهاية. كذلك، إذا لم يتقاطع أي زوج من الخطوط عند نقطة على الخط، فإن هذا الزوج من الخطوط يكون متوازيًا.

يتقاطع كل خط مع الخط الموجود في اللانهاية عند نقطة ما. وتعتمد نقطة تقاطع الخطوط المتوازية على ميل الخطوط فقط، وليس على نقطة تقاطعها مع المحور الصادي .

في المستوى الأفيني، يمتد الخط في اتجاهين متعاكسين. أما في المستوى الإسقاطي، فيلتقي هذان الاتجاهان عند نقطة على الخط عند اللانهاية. لذا، فإن الخطوط في المستوى الإسقاطي عبارة عن منحنيات مغلقة ، أي أنها دائرية وليست خطية. وينطبق هذا على الخط عند اللانهاية نفسه؛ فهو يتقاطع مع نفسه عند نقطتيه الطرفيتين (اللتين ليستا نقطتي نهاية فعليتين)، وبالتالي فهو دائري بالفعل.

إذا نظرنا إلى المستوى الأفيني الحقيقي، فيمكننا تصور الخط عند اللانهاية كدائرة تحيط به. ومع ذلك، فإن النقاط المتقابلة قطريًا على الدائرة متكافئة - فهي نفس النقطة. إن دمج المستوى الأفيني الحقيقي مع الخط عند اللانهاية يُشكل المستوى الإسقاطي الحقيقي .${\displaystyle \mathbb {R} P^{2}}$.

يمكن اعتبار القطع الزائد منحنى مغلقًا يتقاطع مع الخط عند اللانهاية في نقطتين مختلفتين. تُحدد هاتان النقطتان بميلَي خطي التقارب للقطع الزائد . وبالمثل، يمكن اعتبار القطع المكافئ منحنى مغلقًا يتقاطع مع الخط عند اللانهاية في نقطة واحدة. تُحدد هذه النقطة بميل محور القطع المكافئ. إذا قُسِّم القطع المكافئ عند رأسه إلى زوج متناظر من "القرنين"، فإن هذين القرنين يصبحان أكثر توازيًا كلما ابتعدنا عن الرأس، ويكونان في الواقع متوازيين مع المحور ومع بعضهما البعض عند اللانهاية، بحيث يتقاطعان عند الخط عند اللانهاية.

النظير للمستوى الإسقاطي المركب هو "خط" عند اللانهاية، وهو (بطبيعة الحال) خط إسقاطي مركب . يختلف هذا طوبولوجيًا تمامًا، إذ أنه كرة ريمان ، وهي بالتالي كرة ثنائية الأبعاد ، تُضاف إلى فضاء أفيني مركب ثنائي الأبعاد.${\displaystyle \mathbb {C} }$(أي أربعة أبعاد حقيقية )، مما ينتج عنه فضاء متراص رباعي الأبعاد . والنتيجة قابلة للتوجيه ، بينما المستوى الإسقاطي الحقيقي ليس كذلك.

كان الخط المعقد عند اللانهاية شائع الاستخدام في هندسة القرن التاسع عشر. في الواقع، كانت إحدى أكثر الحيل استخدامًا هي اعتبار الدائرة قطعًا مخروطيًا يمر بنقطتين عند اللانهاية، وهما حلول المعادلة التفاضلية.

$${\displaystyle X^{2}+Y^{2}=0.}$$

هذه المعادلة هي الشكل الذي تتخذه معادلة أي دائرة عند حذف الحدود ذات الرتبة الأدنى في X و Y. وبشكل أكثر دقة، ينبغي استخدام الإحداثيات المتجانسة.

$${\displaystyle [X:Y:Z]}$$

ولاحظ أن الخط عند اللانهاية يتم تحديده عن طريق ضبط Z = 0 .

إن جعل المعادلات متجانسة عن طريق إدخال قوى Z ، ثم وضع Z = 0 ، يؤدي بالضبط إلى إزالة الحدود ذات الرتبة الأدنى.

وبالتالي، بحل المعادلة، نجد أن جميع الدوائر "تمر" بالنقاط الدائرية عند اللانهاية.

$${\displaystyle I=[1:i:0],\quad J=[1:-i:0].}$$

هذه نقاط مركبة بالطبع، لأي مجموعة تمثيلية من الإحداثيات المتجانسة. ولأن المستوى الإسقاطي يمتلك زمرة تناظر كبيرة بما يكفي، فهي ليست نقاطًا مميزة بأي حال من الأحوال. والخلاصة هي أن عائلة الدوائر ذات المعاملات الثلاثة يمكن اعتبارها حالة خاصة من النظام الخطي للقطوع المخروطية التي تمر بنقطتين مختلفتين معطيتين P و Q.

• الهندسة الإهليلجية §  المستوى الإهليلجي
• المستوى الفائق عند اللانهاية
• مسلمة التوازي
• مستوى عند اللانهاية
• نقطة في اللانهاية