مسلمة التوازي

في الهندسة ، تُعدّ مسلمة التوازي المسلمة الخامسة في كتاب الأصول لإقليدس ، وهي بديهية مميزة في الهندسة الإقليدية . وتنص على أنه في الهندسة ثنائية الأبعاد:

إذا تقاطع خط مستقيم مع خطين مستقيمين آخرين مكونين زاويتين داخليتين على نفس الجانب أقل من زاويتين قائمتين ، فإن الخطين، إذا امتدا إلى ما لا نهاية، يلتقيان على ذلك الجانب الذي يكون مجموع الزوايا فيه أقل من زاويتين قائمتين.

ويمكن صياغة ذلك أيضاً على النحو التالي:

إذا تقاطع خط مستقيم مع خطين مستقيمين آخرين، فإن مجموع الزاويتين الداخليتين على نفس الجانب أقل من زاويتين قائمتين إذا وفقط إذا كان الخطان، إذا امتدا إلى ما لا نهاية، يلتقيان على ذلك الجانب.

يكمن الفرق بين الصيغتين في عكس الصيغة الأولى:

إذا تقاطع خط مستقيم مع خطين مستقيمين آخرين يتقاطعان على جانب ما من الخط الأول، فإن مجموع الزاويتين الداخليتين على هذا الجانب أقل من زاويتين قائمتين.

يُثبت هذا الادعاء الأخير في كتاب الأصول لإقليدس باستخدام حقيقة أن خطين مختلفين لا يتقاطعان إلا في نقطة واحدة على الأكثر. وعلى العكس، يُشير هذا الادعاء الأخير إلى أنه لا يمكن لخطين مختلفين أن يتقاطعا في نقطتين (ارسم خطًا يمر بين نقطتي التقاطع، ثم طبّق الادعاء على جانبي هذا الخط).

لا تتناول هذه الصيغة الأصلية للمسلمة الخطوط المتوازية تحديدًا؛ ^{[ 1 ]} إلا أن عكسها والصيغة الثانية تشيران إلى وجود خطوط متوازية، لأنه إذا كان مجموع الزوايا الداخلية يساوي زاويتين قائمتين، فإن الخطين لا يتقاطعان. وقد قدّم إقليدس تعريف الخطوط المتوازية في الكتاب الأول، التعريف 23 ^{[ 2 ]} قبل المسلمات الخمس مباشرةً. ^{[ 3 ]}

الهندسة الإقليدية هي هندسة تحقق جميع بديهيات إقليدس، بما في ذلك مسلمة التوازي وعكسها. أما الهندسات غير الإقليدية فهي هندسات لا تحقق الصيغة الثانية للمسلمة. فالهندسة الزائدية هي هندسة لا تحقق المسلمة الأصلية، والهندسة الإهليلجية هي هندسة لا تحقق عكس المسلمة. وبالتحديد، في الهندسة الكروية ، يتقاطع خطان في نقطتين فقط.

لطالما اعتُبرت المسلّمة بديهية أو حتمية، لكن البراهين كانت عصية على الفهم. وفي نهاية المطاف، اكتُشف أن عكس المسلّمة يُعطي هندسات صحيحة، وإن كانت مختلفة. تُعرف الهندسة التي لا تنطبق عليها مسلّمة التوازي أو عكسها بالهندسة غير الإقليدية . أما الهندسة المستقلة عن المسلّمة الخامسة لإقليدس، والتي تفترض أن خطين مختلفين يتقاطعان في نقطة واحدة على الأكثر (أي أنها تفترض فقط ما يُعادل المسلّمات الأربع الأولى في الهندسة الحديثة)، فتُعرف بالهندسة المطلقة (أو أحيانًا "الهندسة المحايدة").

ربما يكون أشهر مكافئ لفرضية إقليدس المتوازية، المشروطة بفرضياته الأخرى، هو بديهية بلايفير ، التي سميت على اسم عالم الرياضيات الاسكتلندي جون بلايفير ، والتي تنص على ما يلي:

في المستوى، إذا أُعطي خط ونقطة لا تقع عليه، فإنه يمكن رسم خط واحد على الأكثر موازٍ للخط المعطى يمر عبر تلك النقطة. ^{[ 4 ]}

لا يُعدّ هذا المبدأ بحد ذاته مكافئًا منطقيًا لمسلمة التوازي الإقليدية، إذ توجد هندسات يكون فيها أحدهما صحيحًا والآخر خاطئًا. مع ذلك، في وجود المبادئ المتبقية التي تُشكّل الهندسة الإقليدية، يُمكن استخدام أحدهما لإثبات الآخر، لذا فهما متكافئان في سياق الهندسة المطلقة . ^{[ 5 ]}

طُرحت العديد من العبارات الأخرى المكافئة لمسلمة التوازي، بعضها يبدو في البداية غير ذي صلة بالتوازي، وبعضها الآخر يبدو بديهيًا لدرجة أن من زعموا إثبات مسلمة التوازي من مسلمات إقليدس الأخرى افترضوها دون وعي . وتشمل هذه العبارات المكافئة ما يلي:

1. يوجد خط واحد فقط يمكن رسمه موازياً لخط آخر يمر بنقطة خارجية. ( مبدأ بلايفير )
2. مجموع الزوايا في كل مثلث يساوي 180 درجة ( مسلمة المثلث ).
3. يوجد مثلث مجموع زواياه يساوي 180 درجة.
4. مجموع الزوايا هو نفسه في كل مثلث.
5. يوجد زوج من المثلثات المتشابهة ، ولكنها غير متطابقة .
6. يمكن إحاطة كل مثلث بدائرة محيطة .
7. إذا كانت ثلاث زوايا من زوايا الشكل الرباعي زوايا قائمة ، فإن الزاوية الرابعة تكون أيضاً زاوية قائمة.
8. يوجد شكل رباعي تكون فيه جميع الزوايا قائمة، أي مستطيل .
9. يوجد زوج من الخطوط المستقيمة التي تبعد مسافة ثابتة عن بعضها البعض.
10. الخطان المتوازيان مع نفس الخط يكونان متوازيين أيضاً مع بعضهما البعض.
11. في المثلث القائم الزاوية ، يساوي مربع الوتر مجموع مربعي الضلعين الآخرين ( نظرية فيثاغورس ). ^{[ 6 ] [ 7 ]}
12. قانون جيب التمام ، وهو تعميم لنظرية فيثاغورس.
13. لا يوجد حد أعلى لمساحة المثلث . ( مبدأ واليس ) ^{[ 8 ]}
14. زوايا قمة الشكل الرباعي ساكيري هي 90 درجة.
15. إذا تقاطع خط مستقيم مع أحد خطين متوازيين، وكلاهما يقعان في نفس المستوى مع الخط الأصلي، فإنه يتقاطع أيضًا مع الخط الآخر. ( مبدأ بروكلس ) ^{[ 9 ]}

مع ذلك، تفقد البدائل التي تستخدم كلمة "متوازي" بساطتها عند الحاجة إلى توضيح أيٍّ من التعريفات الأربعة الشائعة لكلمة "متوازي" المقصود  - التباعد الثابت، عدم التقاطع، تساوي الزوايا عند تقاطع خط ثالث، أو تساوي الزوايا عند تقاطع أي خط ثالث - إذ إن  تكافؤ هذه التعريفات الأربعة هو في حد ذاته أحد الافتراضات البديهية التي تُعادل مسلمة إقليدس الخامسة. في القائمة أعلاه، يُفترض دائمًا أن المقصود هو الخطوط غير المتقاطعة. على سبيل المثال، إذا فُسِّرت كلمة "متوازي" في بديهية بلايفير على أنها تعني "التباعد الثابت" أو "تساوي الزوايا عند تقاطع أي خط ثالث"، فإنها لم تعد تُعادل مسلمة إقليدس الخامسة، ويمكن إثباتها من التعريفات الأربعة الأولى (تنص البديهية على "يوجد خط واحد على الأكثر..."، وهو ما يتوافق مع عدم وجود مثل هذه الخطوط). مع ذلك، إذا اعتُبر التعريف بحيث تكون الخطوط المتوازية هي الخطوط التي لا تتقاطع، أو التي يتقاطع معها خط ما بنفس الزوايا، فإن بديهية بلايفير تُكافئ سياقيًا المسلّمة الخامسة لإقليدس، وبالتالي فهي مستقلة منطقيًا عن المسلّمات الأربع الأولى. تجدر الإشارة إلى أن التعريفين الأخيرين ليسا متكافئين، لأنه في الهندسة الزائدية، لا ينطبق التعريف الثاني إلا على الخطوط فائقة التوازي .

منذ البداية، تعرضت هذه المسلّمة للهجوم باعتبارها قابلة للإثبات، وبالتالي ليست مسلّمة، ولأكثر من ألفي عام، بُذلت محاولات عديدة لإثبات (استنباط) المسلّمة الموازية باستخدام المسلّمات الأربع الأولى لإقليدس. ^{[ 10 ]} والسبب الرئيسي وراء السعي الحثيث لإثباتها هو أنها، على عكس المسلّمات الأربع الأولى، ليست بديهية. وإذا كان ترتيب المسلّمات في كتاب الأصول ذا دلالة، فإنه يشير إلى أن إقليدس لم يُدرج هذه المسلّمة إلا عندما أدرك أنه لا يستطيع إثباتها أو المضي قدمًا بدونها. ^{[ 11 ]} بُذلت محاولات عديدة لإثبات المسلّمة الخامسة من المسلّمات الأربع الأخرى، وقُبل الكثير منها كبرهان لفترات طويلة إلى أن اكتُشف الخطأ. وكان الخطأ دائمًا هو افتراض خاصية "بديهية" تبيّن أنها مكافئة للمسلّمة الخامسة ( بديهية بلايفير ). على الرغم من معرفة هذه البديهية منذ عهد بروكلس، إلا أنها اشتهرت باسم بديهية بلايفير بعد أن كتب جون بلايفير تعليقًا شهيرًا على كتابات إقليدس عام ١٧٩٥، اقترح فيه استبدال البديهية الخامسة لإقليدس ببديهيته الخاصة. واليوم، بعد مرور أكثر من ألفين ومائتي عام، لا تزال البديهية الخامسة لإقليدس قائمة.

كتب بروكلس (410-485) تعليقًا على كتاب الأصول ، حيث علّق فيه على محاولات البراهين لاستنتاج المسلّمة الخامسة من المسلّمات الأربع الأخرى؛ ولاحظ على وجه الخصوص أن بطليموس قدّم "برهانًا" خاطئًا. ثمّ قدّم بروكلس برهانًا خاطئًا خاصًا به. ومع ذلك، فقد قدّم مسلّمة تُعادل المسلّمة الخامسة.

حاول ابن الهيثم (965-1039)، وهو عالم رياضيات عربي ، إثبات مسلمة التوازي باستخدام البرهان بالتناقض ، ^{[ 12 ]} وفي سياق ذلك، أدخل مفهوم الحركة والتحويل إلى الهندسة . ^{[ 13 ]} وقد صاغ الشكل الرباعي لامبرت ، الذي أطلق عليه بوريس أبراموفيتش روزنفيلد اسم "الشكل الرباعي لامبرت-ابن الهيثم"، ^{[ 14 ]} ويحتوي برهانه على عناصر مشابهة لتلك الموجودة في الأشكال الرباعية لامبرت وبديهية بلايفير . ^{[ 15 ]}

حاول عالم الرياضيات والفلك والفيلسوف والشاعر الفارسي عمر الخيام (1050-1123) إثبات المسلّمة الخامسة من مسلّمة أخرى مُعطاة صراحةً (مستندة إلى المبدأ الرابع من المبادئ الخمسة للفيلسوف أرسطو ) ، وهي: "يتقاطع خطان مستقيمان متقاربان، ويستحيل أن يتباعد خطان مستقيمان متقاربان في اتجاه تقاربهما". ^{[ 16 ]} وقد استنتج بعض النتائج السابقة المتعلقة بالهندسة الإهليلجية والهندسة الزائدية ، مع أن مسلّمته استبعدت الاحتمال الأخير. ^{[ 17 ]} كما تناول عمر الخيام لأول مرة شكل ساكيري الرباعي في أواخر القرن الحادي عشر في الكتاب الأول من " تفسيرات صعوبات مسلّمات إقليدس" . ^{[ 14 ]} وخلافًا للعديد من مُعلّقي إقليدس قبله وبعده (بمن فيهم جيوفاني جيرولامو ساكيري )، لم يكن الخيام يحاول لإثبات مسلمة التوازي بحد ذاتها، ولكن لاستنتاجها من مسلمته المكافئة. أدرك أن ثلاثة احتمالات تنشأ عن حذف مسلمة إقليدس الخامسة؛ فإذا تقاطع عمودان على خط مستقيم مع خط آخر، فإن اختيارًا دقيقًا للخط الأخير يمكن أن يجعل الزوايا الداخلية عند التقائه بالعمودين متساوية (أي أنه يكون موازيًا للخط الأول). إذا كانت هذه الزوايا الداخلية المتساوية قائمة، نحصل على مسلمة إقليدس الخامسة، وإلا فلا بد أن تكون إما حادة أو منفرجة. بيّن أن حالتي الزاوية الحادة والمنفرجة تؤديان إلى تناقضات عند استخدام مسلمته، ولكن من المعروف الآن أن مسلمته مكافئة للمسلمة الخامسة.

كتب ناصر الدين الطوسي (1201-1274)، في كتابه "الرسالة الشافعية في الخط المتوازي " (1250)، نقدًا مفصلًا لمسلمة التوازي ومحاولة الخيام إثباتها قبل قرن من الزمان. حاول ناصر الدين استنباط برهانٍ على مسلمة التوازي بالتناقض. ^{[ 18 ]} كما تناول حالات ما يُعرف اليوم بالهندسة الإهليلجية والزائدية، مع أنه استبعد كلتيهما. ^{[ 17 ]}

كتب صدر الدين، نجل ناصر الدين، كتابًا في هذا الموضوع عام ١٢٩٨، مستندًا إلى أفكار والده المتأخرة، وقدّم فيه أحد أوائل الحجج المؤيدة لفرضية غير إقليدية تُعادل مسلمة التوازي. "وقد راجع بشكل أساسي كلًا من النظام الإقليدي للبديهيات والمسلمات، وبراهين العديد من القضايا الواردة في كتاب الأصول ." ^{[ ١٨ ] [ ١٩ ]} نُشر عمله في روما عام ١٥٩٤، ودرسه علماء الهندسة الأوروبيون. شكّل هذا العمل نقطة انطلاق عمل ساكيري في هذا الموضوع ^{[ ١٨ ]} ، والذي بدأ بنقد عمل صدر الدين وعمل واليس. ^{[ ٢٠ ]}

استخدم جيوردانو فيتالي (1633-1711)، في كتابه "إقليدس المُعاد" (1680، 1686)، رباعي خيام-ساكيري لإثبات أنه إذا كانت ثلاث نقاط متساوية البعد على القاعدة AB والقمة CD، فإن AB وCD متساويتان البعد في كل مكان. وقد تابع جيرولامو ساكيري (1667-1733) نفس خط الاستدلال بشكل أكثر شمولاً، حيث توصل بشكل صحيح إلى نتيجة غير منطقية من الحالة المنفرجة (انطلاقًا، مثل إقليدس، من الافتراض الضمني بأن الخطوط يمكن تمديدها إلى ما لا نهاية وأن لها طولًا لا نهائيًا)، لكنه فشل في دحض الحالة الحادة (على الرغم من أنه تمكن من إقناع نفسه خطأً بأنه قد فعل ذلك).

في عام ١٧٦٦، كتب يوهان لامبرت كتاب "نظرية الخطوط المتوازية" (Theorie der Parallellinien) ، لكنه لم ينشره، حيث حاول فيه، كما فعل ساكيري، إثبات المسلّمة الخامسة. استخدم لامبرت شكلاً يُعرف اليوم باسم رباعي لامبرت ، وهو رباعي بثلاث زوايا قائمة (يمكن اعتباره نصف رباعي ساكيري). استبعد سريعًا احتمال أن تكون الزاوية الرابعة منفرجة، كما فعل ساكيري وخيام، ثم شرع في إثبات العديد من النظريات بافتراض وجود زاوية حادة. وعلى عكس ساكيري، لم يشعر لامبرت قط بأنه قد وصل إلى تناقض مع هذا الافتراض. كان قد أثبت النتيجة غير الإقليدية التي تنص على أن مجموع زوايا المثلث يزداد كلما تناقصت مساحته، مما دفعه إلى التكهن بإمكانية وجود نموذج للحالة الحادة على كرة ذات نصف قطر وهمي. لكنه لم يطور هذه الفكرة أكثر من ذلك. ^{[ ٢١ ]}

في حين حاول خيام وساكيري إثبات معضلة إقليدس الخامسة بدحض البدائل الممكنة الوحيدة، شهد القرن التاسع عشر أخيرًا استكشاف علماء الرياضيات لتلك البدائل واكتشافهم للهندسات المتسقة منطقيًا الناتجة عنها. في عام ١٨٢٩، نشر نيكولاي إيفانوفيتش لوباتشيفسكي وصفًا للهندسة الحادة في مجلة روسية غير معروفة (أُعيد نشرها لاحقًا في عام ١٨٤٠ باللغة الألمانية). في عام ١٨٣١، أدرج يانوش بولياي ، في كتابٍ من تأليف والده، ملحقًا يصف الهندسة الحادة، والتي لا شك أنه طورها بشكل مستقل عن لوباتشيفسكي. كما درس كارل فريدريش غاوس المسألة، لكنه لم ينشر أيًا من نتائجه. وعندما سمع غاوس بنتائج بولياي في رسالة من والده، فاركاس بولياي ، قال:

لو بدأتُ بالقول إنني عاجز عن مدح هذا العمل، لربما استغربتم للحظة. لكن لا يسعني إلا أن أقول غير ذلك. فمدحه هو مدح لنفسي. في الواقع، يتطابق مضمون العمل برمته، والمسار الذي سلكه ابنكم، والنتائج التي وصل إليها، تطابقاً تاماً تقريباً مع تأملاتي التي شغلت ذهني جزئياً خلال الثلاثين أو الخمسة والثلاثين عاماً الماضية. ^{[ 22 ]}

طُوِّرت الأشكال الهندسية الناتجة لاحقًا على يد لوباتشيفسكي وريمان وبوانكاريه إلى هندسة زائدية ( الحالة الحادة) وهندسة إهليلجية (الحالة المنفرجة). وفي عام 1868 ، برهن يوجينيو بلترامي أخيرًا على استقلالية مسلمة التوازي عن بديهيات إقليدس الأخرى .

لم يفترض إقليدس عكس مسلمته الخامسة، وهذا أحد أوجه التمييز بين الهندسة الإقليدية والهندسة الإهليلجية . يحتوي كتاب الأصول على برهان لعبارة مكافئة (الكتاب الأول، القضية 27): إذا قطع خط مستقيم خطين مستقيمين وجعل الزوايا المتبادلة بينهما متساوية، فإن الخطين المستقيمين سيكونان متوازيين. وكما أشار دي مورغان ^{[ 23 ]} ، فإن هذا مكافئ منطقيًا لـ (الكتاب الأول، القضية 16). لا تعتمد هذه النتائج على المسلمة الخامسة، ولكنها تتطلب المسلمة الثانية ^{[ 24 ]} التي لا تتحقق في الهندسة الإهليلجية.

انتقد آرثر شوبنهاور في كتابه "العالم كإرادة وفكرة" محاولات إثبات مسلمة التوازي منطقيًا، بدلًا من المفهوم المشترك الرابع لإقليدس (الذي ينص على أن الأشكال المتطابقة متساوية). ومع ذلك، فإن الحجة التي استخدمها شوبنهاور كانت أن المسلمة بديهية بالإدراك، لا أنها ليست نتيجة منطقية للمسلمات الأخرى. ^{[ 25 ]}

تُكافئ مسلمة التوازي اقتران مسلمة لوتشنيتاكسيوم ومسلمة أرسطو . [ ^{26 ] [ 27 ] تنص} الأولى على أن الأعمدة على ضلعي الزاوية القائمة تتقاطع، بينما تنص الثانية على أنه لا يوجد حد أعلى لأطوال المسافات من ضلع الزاوية إلى الضلع الآخر. وكما هو موضح في ^{[ 28 ]،} فإن مسلمة التوازي تُكافئ اقتران الصيغ الهندسية للوقوع التالية لمسلمة لوتشنيتاكسيوم ومسلمة أرسطو :

إذا كان لدينا ثلاثة خطوط متوازية، فهناك خط يتقاطع معها جميعها.

بالنظر إلى خط مستقيم a وخطين متقاطعين مختلفين m و n ، كل منهما مختلف عن a ، يوجد خط مستقيم g يتقاطع مع a و m ، ولكن ليس مع n .

لا يمكن تقسيم مسلمة التوازي إلى اقتران بديهيات التداخل الهندسي هذه إلا في وجود الهندسة المطلقة . ^{[ 29 ]}

• خط عند اللانهاية

• كارول، لويس ، إقليدس ومنافسوه المعاصرون ، دوفر، رقم ISBN 0-486-22968-8
• فابر، ريتشارد ل. (1983)، أسس الهندسة الإقليدية وغير الإقليدية ، نيويورك: مارسيل ديكر، ISBN 0-8247-1748-1
• هندرسون، ديفيد دبليو؛ تايمينا، داينا (2005)، تجربة الهندسة: الإقليدية وغير الإقليدية مع التاريخ (الطبعة الثالثة  )، أبر سادل ريفر، نيوجيرسي: بيرسون برنتيس هول، ISBN 0-13-143748-8
• كاتز، فيكتور ج. (1998)، تاريخ الرياضيات: مقدمة ، أديسون-ويسلي ، رقم ISBN 0-321-01618-1، OCLC 38199387 
• روزنفيلد، بوريس أ. (1988)، تاريخ الهندسة غير الإقليدية: تطور مفهوم الفضاء الهندسي ، سبرينغر ساينس + بيزنس ميديا ، رقم ISBN 0-387-96458-4، OCLC 15550634 
• سميث، جون د. (1992)، "ابن الهيثم المذهل"، المجلة الرياضية ، 76 (475)، الجمعية الرياضية : 189-198 ، doi : 10.2307/3620392 ، JSTOR 3620392 ، S2CID 118597450  
• بوتري، بيير؛ غريس، شارلي؛ ناربو، جوليان؛ شريك، باسكال (2019)، "المسلمات المتوازية وبديهيات الاستمرارية: دراسة آلية في المنطق الحدسي باستخدام Coq" (ملف PDF) ، مجلة الاستدلال الآلي ، 62 : 1-68 ، doi : 10.1007/s10817-017-9422-8 ، S2CID 25900234 
• بامبوكيان، فيكتور؛ شاخت، سيليا (2021)، "البديهية المنتشرة"، نتائج في الرياضيات ، 76 (3): 1-39 ، doi : 10.1007/s00025-021-01424-3 ، S2CID 236236967 
• بامبوكيان، فيكتور (2022)، "حول انقسام مسلمة التوازي"، مجلة الهندسة ، 113 (1) 12: 1-13 ، doi : 10.1007/s00022-022-00626-6 ، S2CID 246281748 
• بامبوتشيان ، فيكتور (2025)، “المسلمة الموازية”، Annali dell'Università di Ferrara Sezioni VII - Scienze Matematiche ، 71 (1) 17: 1–26 ، دوى : 10.1007 / s11565-024-00572-y ، S2CID 274497557 

• على جبال غاوس

إيدر، ميشيل (2000)، آراء حول مسلمة التوازي لإقليدس في اليونان القديمة والإسلام في العصور الوسطى ، جامعة روتجرز ، تاريخ الاطلاع: 23 يناير 2008