التحويل الهندسي

في الرياضيات ، التحويل الهندسي هو أي تقابل لمجموعة مع نفسها (أو مع مجموعة أخرى مماثلة) مع أساس هندسي بارز ، مثل الحفاظ على المسافات أو الزوايا أو النسب (المقياس). وبشكل أكثر تحديدًا، هو دالة يكون مجالها ومداها مجموعات من النقاط - غالبًا ما تكون فضاء إحداثيات حقيقي .${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$أو${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$– بحيث تكون الدالة تقابلية، وبالتالي توجد دالة عكسية لها . ^{[ 1 ]} يمكن تناول دراسة الهندسة من خلال دراسة هذه التحويلات، كما هو الحال في هندسة التحويلات . ^{[ 2 ]}

يمكن تصنيف التحويلات الهندسية حسب بُعد مجموعات معاملاتها (وبذلك يمكن التمييز بين التحويلات المستوية والتحويلات المكانية، على سبيل المثال). كما يمكن تصنيفها وفقًا للخصائص التي تحافظ عليها.

• تحافظ الإزاحات على المسافات والزوايا الموجهة (مثل الانتقالات )؛ ^{[ 3 ]}
• تحافظ التماثلات على الزوايا والمسافات (على سبيل المثال، التحويلات الإقليدية )؛ ^{[ 4 ] [ 5 ]}
• تحافظ أوجه التشابه على الزوايا والنسب بين المسافات (على سبيل المثال، تغيير الحجم)؛ ^{[ 6 ]}
• تحافظ التحويلات الأفينية ^على التوازي (مثل التوسيع والقص )؛ ^{[ 5 ] [ 7} ]
• تحافظ التحويلات الإسقاطية على الاستقامة ؛ ^{[ 8 ]}

تحتوي كل فئة من هذه الفئات على الفئة السابقة لها. ^{[ 8 ]}

• إن تحويلات موبيوس باستخدام الإحداثيات المركبة على المستوى (وكذلك انعكاس الدائرة ) تحافظ على مجموعة جميع الخطوط والدوائر، ولكنها قد تبدل الخطوط والدوائر.

• 
  الصورة الأصلية (مستندة إلى خريطة فرنسا)
• 
  التساوي القياسي
• 
  تشابه
• 
  التحويل الأفيني
• 
  التحويل الإسقاطي
• 
  الانقلاب

• تحافظ التحويلات المطابقة على الزوايا، وهي، من الدرجة الأولى، أوجه تشابه.
• تحافظ التحويلات متساوية المساحة على المساحات في الحالة المستوية أو الأحجام في الحالة ثلاثية الأبعاد. ^{[ 9 ]} وهي، من الدرجة الأولى، تحويلات تآلفية ذات محدد يساوي 1.
• تحافظ التحويلات المتماثلة (التحويلات ثنائية الاستمرارية) على جوارات النقاط.
• التحويلات التفاضلية (التحويلات ثنائية التفاضل) هي التحويلات التي تكون تآلفية من الدرجة الأولى؛ فهي تحتوي على التحويلات السابقة كحالات خاصة، ويمكن تحسينها بشكل أكبر.

• 
  التحويل المطابق
• 
  تحويل متساوي المساحة
• 
  التشبيه المتماثل
• 
  التماثل الشكلي

تشكل التحويلات من نفس النوع مجموعات قد تكون مجموعات فرعية من مجموعات تحويل أخرى.

تُعبّر العديد من التحويلات الهندسية باستخدام الجبر الخطي. التحويلات الخطية التقابلية هي عناصر من زمرة خطية عامة . التحويل الخطي A غير منفرد. بالنسبة لمتجه صف v ، فإن حاصل ضرب المصفوفة vA يُعطي متجه صف آخر w = vA .

منقول متجه الصف v هو متجه العمود v ^T ، ومنقول المساواة أعلاه هو${\displaystyle w^{T}=(vA)^{T}=A^{T}v^{T}.}$هنا يوفر A ^T إجراءً يساريًا على متجهات الأعمدة.

في هندسة التحويلات، توجد تركيبات AB . بدءًا من متجه صف v ، يكون الفعل الأيمن للتحويل المركب هو w = vAB . بعد النقل،

${\displaystyle w^{T}=(vAB)^{T}=(AB)^{T}v^{T}=B^{T}A^{T}v^{T}.}$

وبالتالي، بالنسبة لـ AB، فإن فعل المجموعة اليسرى المرتبط به هو${\displaystyle B^{T}A^{T}.}$في دراسة المجموعات المتضادة ، يتم التمييز بين أفعال المجموعات المتضادة لأن المجموعات التبادلية هي المجموعات الوحيدة التي تتساوى فيها هذه الأضداد.

• تحويل الإحداثيات
• برنامج إرلانجن
• التناظر (الهندسة)
• حركة
• انعكاس
• التحول الجامد
• تناوب
• الطوبولوجيا
• مصفوفة التحويل

• أدلر، إيرفينغ (2012) [1966]، نظرة جديدة على الهندسة ، دوفر، ISBN 978-0-486-49851-5
• دينيس، زد بي ؛ غولدينغ، إي دبليو (1967). الهندسة من خلال التحويلات (3 مجلدات): هندسة التشوه ، هندسة التطابق ، والمجموعات والإحداثيات . نيويورك: هيردر وهيردر.
• ديفيد غانز – التحولات والهندسة .
• هيلبرت، ديفيد ؛ كوهن-فوسن، ستيفان (1952). الهندسة والخيال (  الطبعة الثانية). تشيلسي. ISBN 0-8284-1087-9.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
• جون مكليلاري (2013) الهندسة من منظور قابل للتفاضل ، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 978-0-521-11607-7
• مودينوف، ب.س.؛ بارخومينكو، أ.س. (1965). التحويلات الهندسية (مجلدان): التحويلات الإقليدية والتحويلات الأفينية ، والتحويلات الإسقاطية . نيويورك: دار النشر الأكاديمية.
• أ. ن. بريسلي – الهندسة التفاضلية الابتدائية .
• ياغلوم، آي إم (1962، 1968، 1973، 2009). التحويلات الهندسية (4 مجلدات). دار راندوم هاوس (الجزء الأول والثاني والثالث)، جمعية الرياضيات الأمريكية (الجزء الأول والثاني والثالث والرابع).