الازدواجية (الهندسة الإسقاطية)

بما أن المستوى الإسقاطي الحقيقي ، PG(2, R ) ، هو مستوى ثنائي ذاتي، فهناك عدد من أزواج النتائج المعروفة التي تُعدّ ثنائية لبعضها البعض. بعض هذه النتائج هي:

• نظرية ديزارج ⇔ عكس نظرية ديزارج
• نظرية باسكال ⇔ نظرية بريانشون
• نظرية مينيلوس ⇔ نظرية سيفا

لا يمكن تحويل البيانات إلى ثنائية فحسب، بل يمكن أيضًا تحويل أنظمة النقاط والخطوط إلى ثنائية.

تُسمى مجموعة من m نقطة و n خطًا بتكوين ( m _c , n _d ) إذا كان c من الخطوط n يمر بكل نقطة و d من النقاط m تقع على كل خط. ويُسمى الشكل الثنائي لتكوين ( m _c , n _d ) بتكوين ( n _d , m _c ) . وبالتالي، فإن الشكل الثنائي للرباعي، وهو تكوين (4 ₃ , 6 ₂ ) لأربع نقاط وستة خطوط، هو شكل رباعي، وهو تكوين (6 ₂ , 4 ₃ ) لست نقاط وأربعة خطوط. ^{[ 4 ]}

مجموعة جميع النقاط على خط، والتي تُسمى المدى الإسقاطي ، لها كمزدوج لها حزمة من الخطوط ، وهي مجموعة جميع الخطوط على نقطة، في بُعدين، أو حزمة من المستويات الفائقة في أبعاد أعلى. قطعة مستقيمة على خط إسقاطي لها كمزدوج لها الشكل الذي تمسحه هذه الخطوط أو المستويات الفائقة، وهو إسفين مزدوج . ^{[ 5 ]}

الازدواجية المستوية هي دالة من مستوى إسقاطي C = ( P , L , I) إلى مستواه المزدوج C ^* = ( L , P , I ^* ) (انظر §  مبدأ الازدواجية ^أعلاه ) تحافظ على التلاقي . أي أن الازدواجية المستوية σ تُسقط النقاط على الخطوط والخطوط على النقاط ( Pσ = L و Lσ = P ) بحيث إذا كانت النقطة ^Q تقع على خط m (يرمز لها بـ QIm ) ، ^فإن QIm ⇔ mσI * Qσ . تُسمى الازدواجية المستوية المتماثلة بالارتباط . ^{[ 6 ]} وجود الارتباط يعني أن المستوى ^{الإسقاطي C} مزدوج ذاتيًا .

لا يشترط أن يكون المستوى الإسقاطي C في هذا التعريف مستوى ديزارغي . مع ذلك، إذا كان كذلك، أي C = PG(2, K ) حيث K حلقة قسمة (حقل معكوس)، فإن الازدواجية، كما هو مُعرَّف أدناه للفضاءات الإسقاطية العامة ، تُعطي ازدواجية مستوية على C تُحقق التعريف أعلاه.

الازدواجية δ للفضاء الإسقاطي هي تبديل للفضاءات الفرعية لـ PG( n , K ) (يرمز لها أيضًا بـ KPn ) ^حيث K حقل ( أو بشكل أعم حقل منحرف ( حلقة قسمة )) يعكس التضمين، ^{[ 7 ]} أي :

S ⊆ T يستلزم S ^δ ⊇ T ^δ لجميع الفضاءات الجزئية S و T من PG( n , K ) . ^{[ 8 ]}

وبالتالي، فإن الازدواجية تبدل الكائنات ذات البعد r مع الكائنات ذات البعد n − 1 − r (أي البعد المشترك r + 1 ). أي أنه في فضاء إسقاطي ذي بعد n ، تتوافق النقاط (البعد 0) مع المستويات الفائقة (البعد المشترك 1)، وتتوافق الخطوط الواصلة بين نقطتين (البعد 1) مع تقاطع مستويين فائقين (البعد المشترك 2)، وهكذا.

يمكن التعبير عن علاقة تبادلية بسيطة (أو بالأحرى علاقة ارتباط) بالعلاقة u _P ↔ u _H بين النقاط والمستويات الفائقة. ويمتد هذا ليشمل علاقة تبادلية بين الخط الناتج عن نقطتين وتقاطع مستويين فائقين من هذا النوع، وهكذا.

على وجه التحديد، في المستوى الإسقاطي PG (2, K ) ، حيث K حقل، لدينا الارتباط المعطى بالعلاقة التالية: النقاط ذات الإحداثيات المتجانسة ( a , b , c ) ↔ الخطوط ذات المعادلات ax + by + cz = 0. في الفضاء الإسقاطي PG(3, K ) ، يكون الارتباط كما يلي: النقاط ذات الإحداثيات المتجانسة ( a , b , c , d ) ↔ المستويات ذات المعادلات ax + by + cz + dw = 0 . كما _أن هذا الارتباط _سيرسم خطًا محددًا بنقطتين ( a1 _، b1 _، c1 ، d1 ) و ( a2 ، b2 ، _{c2 ، d2} ) إلى الخط الذي _يمثل تقاطع المستويين بمعادلات a1x + b1y + c1z + _{d1w =} 0 و a2x + b2y + c2z + _{d2w =} 0 _.​_​​​_​​​_​​

الشكل الخطي المزدوج المرتبط بهذه العلاقة هو:

φ ( u , x ) = u _H ⋅ x _P = u ₀ x ₀ + u ₁ x ₁ + ... + u _n x _n ,

حيث يكون التماثل المضاد المرافق σ = id . وبالتالي، فهذه صيغة ثنائية الخطية (لاحظ أن K يجب أن يكون حقلاً). ويمكن كتابة ذلك في صورة مصفوفة (بالنسبة للأساس القياسي ) كما يلي:

φ ( u , x ) = u _H G x _P ,

حيث G هي مصفوفة الوحدة ( n + 1) × ( n + 1) ، باستخدام الاصطلاح القائل بأن u _H هو متجه صف و x _P هو متجه عمود.

يتم تحديد العلاقة من خلال:

${\displaystyle \pi (\mathbf {x} _{P})=(G\mathbf {x} _{P})^{\mathsf {T}}=(\mathbf {x} _{P})^{\mathsf {T}}=\mathbf {x} _{H}.}$

كما في المثال السابق، يمكن استخدام المصفوفات لتمثيل الثنائيات. ليكن π ثنائية لـ PG( n , K ) حيث n > 1، وليكن φ الشكل شبه الخطي المرتبط به (مع التماثل الذاتي المضاد σ ) على فضاء المتجهات الأساسي V ذي البعد ( n + 1 ) . بفرض وجود أساس { eᵢ _} لـ V ، يمكننا تمثيل هذا الشكل كما يلي:

${\displaystyle \varphi (\mathbf {u} ,\mathbf {x} )=\mathbf {u} ^{\mathsf {T}}G(\mathbf {x} ^{\sigma }),}$

حيث G مصفوفة غير منفردة من الرتبة ( n + 1) × ( n + 1) على K ، وتُكتب المتجهات كمتجهات عمودية. ويعني الرمز x ^σ تطبيق التماثل العكسي σ على كل إحداثية من إحداثيات المتجه x .

والآن، عرّف الازدواجية بدلالة إحداثيات النقاط كما يلي:

${\displaystyle \pi (\mathbf {x} )=(G(\mathbf {x} ^{\sigma }))^{\mathsf {T}}.}$

إذا كانت π ثنائيةً لـ PG( n , K ) ، حيث K حقلٌ معكوس، فإن الترميز الشائع يُعرَّف بـ π ( S ) = S⊥ للفضاء الجزئي S من PG( n , K ) . بالتالي، ^فإن القطبية هي ثنائيةٌ يكون فيها ^S⊥⊥ = S لكل فضاء جزئي S من PG( n , K ) . ومن الشائع أيضًا تجاوز ذكر الفضاء الثنائي وكتابة التعبير بدلالة الصيغة الخطية المزدوجة المرتبطة به:

${\displaystyle S^{\bot }=\{\mathbf {u} {\text{ in }}V\colon \varphi (\mathbf {u} ,\mathbf {x} )=0{\text{ for all }}\mathbf {x} {\text{ in }}S\}.}$

يكون الشكل شبه الخطي φ انعكاسيًا إذا كان φ ( u , x ) = 0 يستلزم φ ( x , u ) = 0 .

تكون الازدواجية قطبية إذا وفقط إذا كان الشكل الخطي (غير المنحط) الذي يحددها انعكاسياً. ^{[ 12 ]}

تم تصنيف الأقطاب، وهي نتيجة لبيركوف وفون نيومان (1936) أُعيد إثباتها عدة مرات. ^{[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]} ليكن V فضاءً متجهيًا (يساريًا) فوق الحقل المائل K، وليكن φ شكلًا خطيًا انعكاسيًا غير منحل على V مع تماثل مضاد مرافق σ . إذا كان φ هو الشكل الخطي المرتبط بقطبية ما، فإنه إما:

1. σ = id (وبالتالي، K حقل) و φ ( u , x ) = φ ( x , u ) لكل u و x في V ، أي أن φ دالة ثنائية الخطية. في هذه الحالة، تُسمى القطبية متعامدة (أو عادية ). إذا كانت خاصية الحقل K تساوي اثنين، فإنه لكي تكون φ متعامدة في هذه الحالة، يجب أن يوجد متجه z بحيث φ ( z , z ) ≠ 0 ، وتُسمى القطبية شبه قطبية . ^{[ 15 ]}
2. σ = id (وبالتالي، K حقل) و φ ( u , u ) = 0 لجميع u في V. تسمى القطبية بالقطبية الصفرية (أو القطبية التبسيطية ) ولا يمكن أن توجد إلا عندما يكون البعد الإسقاطي n فرديًا.
3. σ ² = id ≠ σ (هنا K ليس بالضرورة أن يكون حقلاً) و φ ( u , x ) = φ ( x , u ) ^σ لجميع u , x في V. تسمى هذه القطبية بالقطبية الوحدوية (أو القطبية الهرميتية ).

تُعتبر النقطة P في PG( n , K ) نقطة مطلقة (نقطة مترافقة ذاتيًا) بالنسبة للقطبية ⊥ إذا كانت P(n , K) ^⊥ . وبالمثل، يُعتبر المستوى الفائق H مستوىً فائقًا مطلقًا (مستوىً فائقًا مترافقًا ذاتيًا) إذا كان H ^⊥ I( H) . بعبارة أخرى، تُعتبر النقطة x نقطة مطلقة ذات قطبية π وشكل خطي مزدوج مرتبط بها φ إذا كان φ ( x , x ) = 0 ، وإذا كُتبت φ بدلالة المصفوفة G ، ^فإن x = ⁰ .

يمكن وصف مجموعة النقاط المطلقة لكل نوع من أنواع القطبية. ونقتصر مرة أخرى على حالة كون K حقلاً. ^{[ 16 ]}

1. إذا كان K حقلاً لا تساوي خاصيته اثنين، فإن مجموعة النقاط المطلقة لقطبية متعامدة تُشكّل سطحًا تربيعيًا غير شاذ (إذا كان K لانهائيًا، فقد يكون هذا السطح فارغًا). أما إذا كانت الخاصية اثنين، فإن النقاط المطلقة لقطبية زائفة تُشكّل مستوىً فائقًا.
2. جميع نقاط الفضاء PG(2 s + 1, K ) هي نقاط مطلقة ذات قطبية صفرية.
3. تشكل النقاط المطلقة لقطبية هيرميتية تنوعًا هيرميتيًا ، والذي قد يكون فارغًا إذا كانت K لانهائية.

عند تركيبها مع نفسها، تُنتج دالة الارتباط φ ( xP ₎ = xH (في أي بُعد) دالة التطابق ، لذا فهي دالة قطبية. مجموعة النقاط المطلقة لهذه القطبية هي النقاط التي تحقق إحداثياتها المتجانسة المعادلة التالية _:

x _H ⋅ x _P = x ₀ x ₀ + x ₁ x ₁ + ... + x _n x _n = x ₀ ² + x ₁ ² + ... + x _n ² = 0 .

تعتمد النقاط الموجودة في هذه المجموعة على الحقل K. إذا كان K = R، فإن المجموعة فارغة، ولا توجد نقاط مطلقة (ولا مستويات فائقة مطلقة). من ناحية أخرى، إذا كان K = C، فإن مجموعة النقاط المطلقة تُشكّل سطحًا تربيعيًا غير مُنحط ( قطعًا مخروطيًا في فضاء ثنائي الأبعاد). إذا كان K حقلًا منتهيًا ذو خاصية فردية ، فإن النقاط المطلقة تُشكّل أيضًا سطحًا تربيعيًا، أما إذا كانت الخاصية زوجية، فإن النقاط المطلقة تُشكّل مستوى فائقًا (وهذا مثال على شبه قطبية).

في أي ثنائية، تُسمى النقطة P قطب المستوى الفائق P ^⊥ ، ويُسمى هذا المستوى الفائق قطب النقطة P. باستخدام هذه المصطلحات، فإن النقاط المطلقة للقطبية هي النقاط التي تقع على أقطابها، والمستويات الفائقة المطلقة هي المستويات الفائقة التي تقع على أقطابها.

بحسب نظرية ويدربورن، فإن كل حقل منحرف منتهٍ هو حقل، ولا يمكن أن يوجد تشاكل ذاتي من الرتبة الثانية (باستثناء التطابق) إلا في حقل منتهٍ رتبته مربع. تساعد هذه الحقائق في تبسيط الوضع العام للمستويات الديزارجية المنتهية . لدينا: ^{[ 17 ]}

إذا كانت π قطبية المستوى الإسقاطي المحدود ديزارغيسيان PG(2, q ) حيث q = ε لبعض الأعداد الأولية p ، فإن عدد النقاط المطلقة لـ π هو q + 1 إذا كانت π متعامدة ^، أو q = ^3/2 + 1 إذا كانت π وحدوية. في حالة التعامد، تقع النقاط المطلقة على قطع مخروطي إذا كان p فرديًا، أو تشكل خطًا مستقيمًا إذا كان p = 2. أما الحالة الوحدوية فلا تتحقق إلا إذا كان q مربعًا؛ فتشكل النقاط المطلقة والخطوط المستقيمة وحدةً .

في حالة المستوى الإسقاطي العام حيث تعني الازدواجية ازدواجية المستوى ، تظل تعريفات القطبية والعناصر المطلقة والقطب والقطبي كما هي.

لنفترض أن P يمثل مستوى إسقاطي من الرتبة n . يمكن إثبات ذلك باستخدام حجج العد، وذلك بالنسبة لقطبية π لـ P : ^{[ 17 ]}

عدد النقاط (الخطوط) غير المطلقة التي تقع على خط (نقطة) غير مطلق هو عدد زوجي.

علاوة على ذلك، ^{[ 18 ]}

للقطبية π عدد لا يقل عن n + 1 نقطة مطلقة، وإذا لم يكن n مربعًا، فلها n + 1 نقطة مطلقة بالضبط. إذا كان لـ π عدد n + 1 نقطة مطلقة بالضبط ، فإن:

1. إذا كان n فرديًا، فإن النقاط المطلقة تشكل شكلًا بيضاويًا تكون مماساته هي الخطوط المطلقة؛ أو
2. إذا كان n زوجيًا، فإن النقاط المطلقة تقع على خط غير مطلق.

تم تقديم حد أعلى لعدد النقاط المطلقة في حالة كون n مربعًا بواسطة Seib ^{[ 19 ]} ويمكن إثبات ذلك من خلال حجة توافقية بحتة: ^{[ 20 ]}

للقطبية π في مستوى إسقاطي ذي رتبة مربعة ⁿ = s² عدد أقصى من النقاط المطلقة s³ + 1. علاوة على ذلك، إذا كان عدد النقاط المطلقة s³ + 1 ، ^فإن النقاط المطلقة والخطوط المطلقة تُشكّل وحدةً (أي أن كل خط في المستوى يتقاطع مع هذه المجموعة من النقاط المطلقة إما في ^نقطة واحدة أو s + 1 نقطة). ^{[ 21 ]}

إن الطريقة التي يمكن استخدامها لإنشاء قطبية المستوى الإسقاطي الحقيقي تنطلق من إنشاء ازدواجية جزئية في المستوى الإقليدي .

في المستوى الإقليدي، نُثبِّت دائرة C مركزها O ونصف قطرها r . لكل نقطة P غير O، ^{نُعرِّف} نقطة صورتها Q بحيث يكون OP ⋅ OQ = r² . يُسمى التحويل P → Q بالانعكاس بالنسبة للدائرة C. يُسمى الخط p المار بـ Q والعمودي على الخط OP بالقطب ^{[ 22 ]} للنقطة P بالنسبة للدائرة C.

ليكن q خطًا مستقيمًا لا يمر بالنقطة O. نسقط عمودًا من O إلى q، يتقاطع مع q عند النقطة P (وهي أقرب نقطة لـ q إلى O). تُسمى صورة P بعد انعكاسها بالنسبة إلى C قطب q [ 22 ] . إذا كانت النقطة M تقع على الخط q ( الذي ^{لا يمر بالنقطة} O ) ، فإن قطب q يقع على قطب M ، والعكس صحيح. تُسمى عملية الحفاظ على التلاقي، التي تُحوّل فيها النقاط والخطوط إلى أقطابها بالنسبة إلى C ، بالانعكاس ^{[ 23 ]} .

لتحويل هذه العملية إلى علاقة ارتباطية، يجب توسيع المستوى الإقليدي (وهو ليس مستوى إسقاطيًا) إلى المستوى الإقليدي الممتد بإضافة خط عند اللانهاية ونقاط عند اللانهاية تقع على هذا الخط. في هذا المستوى الممتد، نُعرّف قطب النقطة O بأنه الخط عند اللانهاية (و O هي قطب الخط عند اللانهاية)، وأقطاب الخطوط المارة بـ O هي نقاط اللانهاية التي يكون عندها قطب الخط، إذا كان ميله s ( ≠ 0)، هو النقطة اللانهائية المرتبطة بفئة الخطوط المتوازية ذات الميل −1/ s . قطب المحور x هو نقطة اللانهاية للخطوط الرأسية، وقطب المحور y هو نقطة اللانهاية للخطوط الأفقية.

يمكن تعميم بناء علاقة الارتباط القائمة على الانعكاس في دائرة، والمذكورة أعلاه، باستخدام الانعكاس في قطع مخروطي (في المستوى الحقيقي الممتد). وتكون علاقات الارتباط التي تُبنى بهذه الطريقة من الرتبة الثانية، أي من حيث القطبية.

الصياغة الجبرية

سنصف هذه القطبية جبريًا باتباع البناء المذكور أعلاه في حالة كون C هي دائرة الوحدة (أي r = 1 ) المتمركزة عند نقطة الأصل.

النقطة الأفينية P ، بخلاف نقطة الأصل، ذات الإحداثيات الديكارتية ( a , b )، يكون معكوسها في دائرة الوحدة هو النقطة Q ذات الإحداثيات،

${\displaystyle \left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}},{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}\right).}$

الخط الذي يمر عبر النقطة Q والذي يكون عموديًا على الخط OP له معادلة ax + by = 1 .

بالانتقال إلى الإحداثيات المتجانسة باستخدام التضمين ( a , b ) ↦ ( a , b , 1) ، يتم الحصول على الامتداد إلى المستوى الإسقاطي الحقيقي عن طريق السماح للإحداثي الأخير بأن يكون 0. مع الأخذ في الاعتبار أن إحداثيات النقطة تُكتب كمتجهات عمودية وإحداثيات الخط كمتجهات صفية، يمكننا التعبير عن هذه القطبية كما يلي:

${\displaystyle \pi$ :\mathbb {R} P^{2}\rightarrow \mathbb {R} P^{2}}

بحيث

${\displaystyle \pi \left((x,y,z)^{\mathsf {T}}\right)=(x,y,-z).}$

أو باستخدام الترميز البديل، π (( x , y , z ) _P ) = ( x , y , − z ) _L . مصفوفة الشكل شبه الخطي المرتبط (بالنسبة للأساس القياسي) هي:

${\displaystyle G=\left({\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{matrix}}\right).}$

تُعطى النقاط المطلقة لهذه القطبية بواسطة حلول المعادلة التالية:

${\displaystyle 0=P^{\mathsf {T}}GP=x^{2}+y^{2}-z^{2},}$

حيث P ^T = ( x , y , z ) . لاحظ أنه عند تقييدها بالمستوى الإقليدي (أي، عند وضع z = 1 ) فإن هذه هي دائرة الوحدة، دائرة الانعكاس.

يمكن تطوير نظرية الأقطاب والمستقطبات لقطع مخروطي في مستوى إسقاطي دون استخدام الإحداثيات والمفاهيم المترية الأخرى.

ليكن C قطعًا مخروطيًا في PG(2, F ) حيث F حقل ليس من الخاصية 2، ولتكن P نقطة في هذا المستوى لا تقع على C. يحدد قاطعان مختلفان للقطع المخروطي، ولنقل AB و JK، أربع نقاط على القطع المخروطي ( A , B , J , K ) تُشكل رباعيًا . النقطة P هي رأس المثلث القطري لهذا الرباعي. قطب P بالنسبة إلى C هو ضلع المثلث القطري المقابل لـ P. ^{[ 24 ]}

يمكن أيضاً استخدام نظرية المرافقات التوافقية الإسقاطية للنقاط على خط مستقيم لتعريف هذه العلاقة. باستخدام نفس الترميز المذكور أعلاه؛

^{إذا كان} الخط المتغير المار بالنقطة P قاطعًا للقطع المخروطي C ، فإن المرافقات التوافقية لـ P بالنسبة لنقطتي C على القاطع تقع جميعها على القطب P. ^{[ 25} ]

توجد عدة خصائص للأقطاب في المستوى الإسقاطي. ^{[ 26 ]}

بالنظر إلى قطبية π ، تقع النقطة P على الخط q ، وهو القطبية للنقطة Q إذا وفقط إذا كانت Q تقع على p ، وهي القطبية لـ P.

تُسمى النقطتان P و Q اللتان تربطهما هذه العلاقة بالنقطتين المترافقتين بالنسبة إلى π . وتُسمى النقاط المطلقة بالنقاط المترافقة ذاتيًا وفقًا لهذا التعريف لأنها تقع على قطبيها. وتُعرَّف الخطوط المترافقة بشكل مزدوج.

لا يمكن أن يكون الخط الواصل بين نقطتين مترافقتين ذاتيًا خطًا مترافقًا ذاتيًا.

لا يمكن أن يحتوي الخط على أكثر من نقطتين مترافقتين ذاتيًا.

تؤدي القطبية إلى انعكاس النقاط المترافقة على أي خط ليس مترافقًا ذاتيًا.

المثلث الذي يكون فيه كل رأس قطباً للضلع المقابل يسمى مثلثاً ذاتي القطبية .

إن الارتباط الذي يربط رؤوس المثلث الثلاثة بأضلاعها المقابلة على التوالي هو قطبية، وهذا المثلث قطبي ذاتيًا بالنسبة لهذه القطبية.