تخمينات ويل

في الرياضيات ، كانت تخمينات ويل من المقترحات المؤثرة للغاية التي قدمها أندريه ويل  (1949). وقد أدت إلى برنامج ناجح استمر لعقود من الزمن لإثباتها، حيث طور العديد من الباحثين الرائدين إطار الهندسة الجبرية الحديثة ونظرية الأعداد .

تتعلق التخمينات بالوظائف المولدة (المعروفة باسم وظائف زيتا المحلية ) المشتقة من عد النقاط على المتغيرات الجبرية على حقول محدودة . تحتوي المتغيرات V على حقل محدود مع عناصر q على عدد محدود من النقاط النسبية (بإحداثيات في الحقل الأصلي)، بالإضافة إلى نقاط بإحداثيات في أي امتداد محدود للحقل الأصلي. تحتوي الدالة المولدة على معاملات مشتقة من الأعداد N _k من النقاط على حقل الامتداد مع عناصر q ^k .

افترض فايل أن مثل هذه الدوال زيتا للأصناف السلسة هي دوال نسبية ، وتلبي معادلة وظيفية معينة ، ولها أصفار في أماكن مقيدة. تم تصميم الجزأين الأخيرين بوعي على أساس دالة زيتا لريمان ، وهي نوع من الدوال المولدة للأعداد الصحيحة الأولية، والتي تتبع معادلة وظيفية و(تخمينيًا) لها أصفار مقيدة بفرضية ريمان . تم إثبات العقلانية بواسطة برنارد دورك  (1960)، والمعادلة الوظيفية بواسطة ألكسندر جروثينديك  (1965)، ونظير فرضية ريمان بواسطة بيير ديلين  (1974).

أقدم سابقة لتخمينات ويل كانت من تأليف كارل فريدريش جاوس وتظهر في القسم السابع من كتابه Disquisitiones Arithmeticae (مازور 1974)، والذي يتناول جذور الوحدة والفترات الجاوسية . في المقالة 358، انتقل من الفترات التي تبني أبراجًا من الامتدادات التربيعية، إلى بناء مضلعات منتظمة؛ وافترض أن p هو عدد أولي متطابق مع 1 modulo 3. ثم يوجد مجال مكعب دوري داخل المجال الدوري لجذور الوحدة p ، وأساس تكاملي طبيعي للفترات للأعداد الصحيحة لهذا المجال (مثال على نظرية هيلبرت-سبايزر ). يبني جاوس الفترات من الدرجة 3، المقابلة للمجموعة الدورية ( Z / p Z ) ^× البقايا غير الصفرية modulo p تحت الضرب ومجموعتها الفرعية الفريدة ذات المؤشر الثلاثة. يسمح جاوس بأن تكون ، ، و مجموعاتها المشاركة. بأخذ الفترات (مجموع جذور الوحدة) المقابلة لهذه المجموعات الفرعية المطبقة على exp(2 πi / p ) ، يلاحظ أن هذه الفترات لها جدول ضرب يمكن الوصول إليه للحساب. المنتجات هي تركيبات خطية للفترات، ويحدد المعاملات. يضع، على سبيل المثال، مساويًا لعدد عناصر Z / p Z الموجودة في والتي، بعد زيادتها بمقدار واحد، تكون أيضًا في . ويثبت أن هذا العدد والأرقام ذات الصلة هي معاملات حاصل ضرب الفترات. لرؤية علاقة هذه المجموعات بتخمينات ويل، لاحظ أنه إذا كان كل من α و α + 1 موجودين في ، فإن هناك x و y في Z / p Z بحيث x ³ = α و y ³ = α + 1 ؛ وبالتالي، فإن x ³ + 1 = y ³ . وبالتالي، يرتبط بعدد الحلول لـ x ³ + 1 = y ³ في المجال المحدود Z / p Z . المعاملات الأخرى لها تفسيرات مماثلة. وبالتالي فإن تحديد جاوس لمعاملات حاصل ضرب الفترات يحسب عدد النقاط على هذه الفترات.${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$${\displaystyle {\mathfrak {R}}'}$${\displaystyle {\mathfrak {R}}''}$${\displaystyle ({\mathfrak {R}}{\mathfrak {R}})}$${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$${\displaystyle ({\mathfrak {R}}{\mathfrak {R}})}$المنحنيات الإهليلجية ، وكنتيجة ثانوية يثبت نظير فرضية ريمان.

لقد افترض إميل أرتين (1924) تخمينات ويل في الحالة الخاصة للمنحنيات الجبرية  . وقد أثبت ويل حالة المنحنيات على الحقول المحدودة، ليكمل بذلك المشروع الذي بدأه مبرهنة هاس حول المنحنيات الإهليلجية على الحقول المحدودة. وكان اهتمامهم واضحًا بدرجة كافية من داخل نظرية الأعداد : فقد افترضوا حدودًا عليا للمجاميع الأسية ، وهو أمر أساسي في نظرية الأعداد التحليلية (مورينو 2001).

كان الأمر اللافت للنظر حقًا، من وجهة نظر المجالات الرياضية الأخرى، هو الارتباط المقترح بالطوبولوجيا الجبرية . ونظرًا لأن الحقول المحدودة منفصلة بطبيعتها، وأن الطوبولوجيا تتحدث فقط عن المستمر ، فإن صياغة فايل التفصيلية (بناءً على حل بعض الأمثلة) كانت مذهلة وجديدة. فقد اقترحت أن الهندسة على الحقول المحدودة يجب أن تتناسب مع الأنماط المعروفة المتعلقة بأعداد بيتي ، ونظرية النقطة الثابتة ليفشيتز وما إلى ذلك.

اقترح القياس مع الطوبولوجيا إنشاء نظرية متجانسة جديدة تطبق داخل الهندسة الجبرية . استغرق هذا عقدين من الزمن (كان هذا هدفًا مركزيًا لعمل ومدرسة ألكسندر جروثينديك ) بناءً على الاقتراحات الأولية من سير . أثبت برنارد دورك  (1960) أولاً جزء العقلانية من التخمينات، باستخدام أساليب p -adic . أسس جروثينديك (1965) وزملاؤه تخمين العقلانية والمعادلة الوظيفية والرابط لأعداد بيتي باستخدام خصائص تماثل étale ، وهي نظرية تماثل جديدة طورها جروثينديك ومايكل أرتين لمهاجمة تخمينات ويل، كما هو موضح في جروثينديك (1960). من بين التخمينات الأربعة، كان نظير فرضية ريمان هو الأصعب في الإثبات. بدافع من إثبات سير (1960) لنظير لتخمينات ويل لمتعددات كاهلر ، تصور جروثينديك إثباتًا يعتمد على تخميناته القياسية حول الدورات الجبرية (كليمان 1968). ومع ذلك، تظل تخمينات جروثينديك القياسية مفتوحة (باستثناء نظرية ليفشيتز الصعبة ، التي أثبتها ديلين من خلال توسيع عمله على تخمينات ويل)، وأثبت ديلين  (1974) نظير فرضية ريمان، باستخدام نظرية التماثل الإيتالي ولكن التحايل على استخدام التخمينات القياسية بحجة بارعة.

وجد ديلين (1980) وأثبت تعميمًا لتخمينات ويل، يحدد أوزان الدفع للأمام لحزمة.

افترض أن X هو متغير جبري إسقاطي غير مفرد ذي أبعاد n على الحقل F _q مع عناصر q . تكون دالة زيتا ζ ( X , s ) لـ X بحكم التعريف

${\displaystyle \zeta (X,s)=\exp \left(\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {N_{m}}{m}}q^{-ms}\right)}$

حيث N _m هو عدد نقاط X المحددة على امتداد الدرجة m F _{q ^m} لـ F _q .

تنص تخمينات ويل على:

1. (العقلانية) ζ ( X , s ) هي دالة عقلانية لـ T = q ^{− s} . وبشكل أكثر دقة، يمكن كتابة ζ ( X , s ) على هيئة حاصل ضرب متناوب محدود

${\displaystyle \prod _{i=0}^{2n}P_{i}(q^{-s})^{(-1)^{i+1}}={\frac {P_{1}(T)\dotsb P_{2n-1}(T)}{P_{0}(T)\dotsb P_{2n}(T)}},}$

حيث كل P _i ( T ) هو متعدد حدود صحيح. علاوة على ذلك، P ₀ ( T ) = 1 − T ، P _{2 n} ( T ) = 1 − q ⁿ T ، وبالنسبة لـ 1 ≤ i ≤ 2 n − 1 ، فإن P _i ( T ) يتحلل إلى C كما هو الحال بالنسبة لبعض الأرقام α _ij .${\displaystyle \textstyle \prod _{j}(1-\alpha _{ij}T)}$

2. (المعادلة الوظيفية وثنائية بوانكاريه) دالة زيتا تلبي

${\displaystyle \zeta (X,ns)=\pm q^{nE/2-Es}\zeta (X,s)}$

أو ما يعادله

${\displaystyle \zeta (X,q^{-n}T^{-1})=\pm q^{nE/2}T^{E}\zeta (X,T)}$

حيث E هي خاصية أويلر لـ X. وعلى وجه الخصوص، لكل i ، فإن الأرقام α _{2 n − i ,1} , α _{2 n − i ,2} , ... تساوي الأرقام q ⁿ / α _{i ,1} , q ⁿ / α _{i ,2} , ... بترتيب ما.

3. (فرضية ريمان) | α _{i , j} | = q ^{i / 2} لجميع 1 ≤ i ≤ 2 n − 1 وجميع j . وهذا يعني أن جميع أصفار P _k ( T ) تقع على "الخط الحرج" للأعداد المركبة s ذات الجزء الحقيقي k / 2 .

4. (أعداد بيتي) إذا كان X "نموذج اختزال جيد " لتنوع إسقاطي غير مفرد Y معرف على حقل عددي مضمن في حقل الأعداد المركبة، فإن درجة P _i هي رقم بيتي i ^لمساحة النقاط المركبة لـ Y.

أبسط مثال (بخلاف النقطة) هو أن نعتبر X خط إسقاط. عدد نقاط X فوق حقل به عناصر q ^m هو فقط N _m = q ^m + 1 (حيث يأتي " + 1 " من " النقطة عند اللانهاية "). دالة زيتا هي فقط

${\displaystyle {\frac {1}{(1-q^{-s})(1-q^{1-s})}}.}$

من السهل التحقق من جميع أجزاء تخمينات ويل بشكل مباشر. على سبيل المثال، الصنف المعقد المقابل هو كرة ريمان وأرقام بيتي الأولية الخاصة بها هي 1، 0، 1.

ليس من الصعب كثيرًا إنشاء فضاء إسقاطي ذي أبعاد n . عدد نقاط X فوق حقل به عناصر q ^m هو فقط N _m = 1 + q ^m + q ^{2 m} + ⋯ + q ^nm . دالة زيتا هي فقط

${\displaystyle {\frac {1}{(1-q^{-s})(1-q^{1-s})\dots (1-q^{ns})}}.}$

ومن السهل مرة أخرى التحقق من جميع أجزاء تخمينات ويل بشكل مباشر. ( تعطي المساحة الإسقاطية المعقدة أرقام بيتي ذات الصلة، والتي تحدد الإجابة تقريبًا.)

إن عدد النقاط على الخط الإسقاطي والفضاء الإسقاطي سهل الحساب للغاية لأنه يمكن كتابتها على هيئة اتحادات منفصلة لعدد محدود من نسخ الفضاءات الإسقاطية. كما أنه من السهل إثبات تخمينات ويل للفضاءات الأخرى، مثل الفضاءات الجراسمانية وأنواع العلم، التي تتمتع بنفس خاصية "الرصف".

هذه هي الحالات غير التافهة الأولى لتخمينات ويل (التي أثبتها هاس). إذا كان E منحنى إهليلجيًا فوق حقل منتهٍ به عناصر q ، فإن عدد نقاط E المحددة فوق الحقل بعناصر q ^m هو 1 − α ^m − β ^m + q ^m ، حيث α و β مترافقان معقدان بقيمة مطلقة √ q . دالة زيتا هي

${\displaystyle {\frac {(1-\alpha q^{-s})(1-\beta q^{-s})}{(1-q^{-s})(1-q^{1-s})}}.}$

أرقام بيتي تُعطى بواسطة الطارة ، 1،2،1، والبسط هو تربيعي.

على سبيل المثال، ضع في اعتبارك المنحنى الزائدي ^[1]

${\displaystyle C:y^{2}+y=x^{5},}$

وهو من جنس وبُعد . في البداية، يُنظَر إليه كمنحنى مُعرَّف على الأعداد النسبية ، فإن هذا المنحنى يتمتع باختزال جيد في جميع الأعداد الأولية . لذا، بعد الاختزال modulo ، نحصل على منحنى إهليلجي فائق من جنس 2، مع . على سبيل المثال، تتخذ حدود ويل ، ودالة زيتا لـ الشكل ${\displaystyle g=2}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle C/\mathbb {س} }$${\displaystyle \mathbb {س} }$${\displaystyle 5\neq q\in \mathbb {P} }$${\displaystyle q\neq 5}$${\displaystyle C/\f F:y^2+h(x)y=f(x)}$${\displaystyle h(x)=1,f(x)=x^{5}\in {\bf {F}}_{q}[x]}$${\displaystyle q=41}$${\displaystyle P_{i}(T)}$${\displaystyle i=0,1,2,}$${\displaystyle C/{\bf {F}}_{41}}$

${\displaystyle \zeta (C/{\bf {F}}_{41},s)={\frac {P_{1}(T)}{P_{0}(T)\cdot P_{2}(T)}}={\frac {1-9\cdot T+71\cdot T^{2}-9\cdot 41\cdot T^{3}+41^{2}\cdot T^{4}}{(1-T)(1-41\cdot T)}}.}$

يمكن تحديد القيم و من خلال حساب عدد الحلول لـ و على التوالي، وإضافة 1 لكل من هذين الرقمين للسماح بالنقطة عند اللانهاية . ينتج عن هذا العد و . يتبع ذلك: ^[2]${\displaystyle c_{1}=-9}$${\displaystyle c_{2}=71}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle y^{2}+y=x^{5}}$${\displaystyle {\bf {F}}_{41}}$${\displaystyle {\bf {F}}_{41^{2}}}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle N_{1}=33}$${\displaystyle N_{2}=1743}$

${\displaystyle c_{1}=N_{1}-1-q=33-1-41=-9}$   و

${\displaystyle c_{2}=(N_{2}-1-q^{2}+c_{1}^{2})/2=(1743-1-41^{2}+(-9)^{2})/2=71.}$

الأصفار لـ هي و (التوسعات العشرية لهذه الأجزاء الحقيقية والتخيلية مقطوعة بعد المكان العشري الخامس) مع مرافقاتها المركبة و . لذا، في التحليل إلى عوامل ، لدينا . كما هو مذكور في الجزء الثالث (فرضية ريمان) من تخمينات فايل، بالنسبة لـ . ${\displaystyle P_{1}(T)}$${\displaystyle z_{1}:=0.12305+{\sqrt {-1}}\cdot 0.09617}$${\displaystyle z_{2}:=-0.01329+{\sqrt {-1}}\cdot 0.15560}$${\displaystyle z_{3}:={\bar {z}}_{1}}$${\displaystyle z_{4}:={\bar {z}}_{2}}$${\displaystyle P_{1}(T)=\prod _{j=1}^{4}(1-\alpha _{1,j}T)}$${\displaystyle \alpha _{1,j}=1/z_{j}}$${\displaystyle |\alpha _{1,j}|={\sqrt {41}}}$${\displaystyle j=1,2,3,4}$

إن متعدد الشعب الإسقاطي المعقد غير المفرد الذي ينتمي إلى له أعداد بيتي . ^[3] وكما هو موضح في الجزء الرابع من تخمينات ويل، فإن أعداد بيتي (المحددة طوبولوجيًا!) تتطابق مع درجات كثيرات حدود ويل ، لجميع الأعداد الأولية : . ${\displaystyle C/\mathbb {Q} }$${\displaystyle B_{0}=1,B_{1}=2g=4,B_{2}=1}$${\displaystyle P_{i}(T)}$${\displaystyle q\neq 5}$${\displaystyle {\rm {deg}}(P_{i})=B_{i},\,i=0,1,2}$

السطح الآبيلي هو صنف آبيلي ثنائي الأبعاد . أي أنها أصناف إسقاطية لها أيضًا بنية مجموعة ، بطريقة متوافقة مع تكوين المجموعة وأخذ معكوسات. تمثل المنحنيات الإهليلجية أصناف آبيلية أحادية البعد. كمثال على سطح آبيلي محدد على حقل محدود، ضع في اعتبارك الصنف الجاكوبي لمنحنى الجنس 2 ^[4]${\displaystyle X:={\text{Jac}}(C/{\bf {F}}_{41})}$

${\displaystyle C/{\bf {F}}_{41}:y^{2}+y=x^{5},}$

الذي تم تقديمه في القسم الخاص بالمنحنيات الإهليلجية. البعد يساوي جنس ، لذلك . هناك أعداد صحيحة جبرية بحيث ^[5]${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle n=2}$${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{4}}$

1. الحدودية لها معاملات في ؛${\displaystyle P(x)=\prod _{j=1}^{4}(x-\alpha _{j})}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$
2. ${\displaystyle M_{m}:=|{\text{Jac}}(C/{\bf {F}}_{41^{m}})|=\prod _{j=1}^{4}(1-\alpha _{j}^{m})}$للجميع ؛ و${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$
3. ${\displaystyle |\alpha _{j}|={\sqrt {41}}}$ل .${\displaystyle j=1,\ldots ,4}$

دالة زيتا لـ تعطى بواسطة ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \zeta (X,s)=\prod _{i=0}^{4}P_{i}(q^{-s})^{(-1)^{i+1}}={\frac {P_{1}(T)\cdot P_{3}(T)}{P_{0}(T)\cdot P_{2}(T)\cdot P_{4}(T)}},}$

حيث يمثل ، ، و المتغير المركب لدالة زيتا. تمتلك كثيرات حدود ويل الشكل المحدد التالي (Kahn 2020): ${\displaystyle q=41}$${\displaystyle T=q^{-s}\,{\stackrel {\rm {def}}{=}}\,{\text{exp}}(-s\cdot {\text{log}}(41))}$${\displaystyle s}$${\displaystyle P_{i}(T)}$

${\displaystyle P_{i}(T)=\prod _{1\leq j_{1}<j_{2}<\ldots <j_{i-1}<j_{i}\leq 4}(1-\alpha _{j_{1}}\cdot \ldots \cdot \alpha _{j_{i}}T)}$

ل ، و ${\displaystyle i=0,1,\ldots ,4}$

${\displaystyle P_{1}(T)=\prod _{j=1}^{4}(1-\alpha _{j}T)=1-9\cdot T+71\cdot T^{2}-9\cdot 41\cdot T^{3}+41^{2}\cdot T^{4}}$

هو نفس الشيء بالنسبة للمنحنى (انظر القسم أعلاه) وتنوعه اليعقوبي . أي أن الجذور العكسية لـ هي المنتجات التي تتكون من العديد من الجذور العكسية المختلفة لـ . وبالتالي، يمكن التعبير عن جميع معاملات كثيرات الحدود كدوال كثيرة الحدود للمعاملات ، وتظهر في حساب هذه الدوال كثيرة الحدود لمعاملات يُظهر أن ${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P_{i}(T)}$${\displaystyle \alpha _{j_{1}}\cdot \ldots \cdot \alpha _{j_{i}}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle P_{1}(T)}$${\displaystyle P_{i}(T)}$${\displaystyle c_{1}=-9}$${\displaystyle c_{2}=71}$${\displaystyle q=41}$${\displaystyle P_{1}(T)=1+c_{1}T+c_{2}T^{2}+qc_{1}T^{3}+q^{2}T^{4}.}$${\displaystyle P_{i}(T)}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}P_{0}(T)&=1-T\\P_{1}(T)&=1-3^{2}\cdot T+71\cdot T^{2}-3^{2}\cdot 41\cdot T^{3}+41^{2}\cdot T^{4}\\P_{2}(T)&=(1-41\cdot T)^{2}\cdot (1+11\cdot T+3\cdot 7\cdot 41\cdot T^{2}+11\cdot 41^{2}\cdot T^{3}+41^{4}\cdot T^{4})\\P_{3}(T)&=1-3^{2}\cdot 41\cdot T+71\cdot 41^{2}\cdot T^{2}-3^{2}\cdot 41^{4}\cdot T^{3}+41^{6}\cdot T^{4}\\P_{4}(T)&=1-41^{2}\cdot T\end{alignedat}}}$

يسمح متعدد الحدود بحساب أعداد عناصر تنوع جاكوبي على الحقل المحدود وامتداده : ^{[6] [7]}${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle {\text{Jac}}(C)}$${\displaystyle {\bf {F}}_{41}}$${\displaystyle {\bf {F}}_{41^{2}}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}M_{1}&\;{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\;|{\text{Jac}}(C/{\bf {F}}_{41})|=P_{1}(1)=\prod _{j=1}^{4}[1-\alpha _{j}T]_{T=1}\\&=[1-9\cdot T+71\cdot T^{2}-9\cdot 41\cdot T^{3}+41^{2}\cdot T^{4}]_{T=1}=1-9+71-9\cdot 41+41^{2}=1375=5^{3}\cdot 11{\text{, and}}\\M_{2}&\;{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\;|{\text{Jac}}(C/{\bf {F}}_{41^{2}})|=\prod _{j=1}^{4}[1-\alpha _{j}^{2}T]_{T=1}\\&=[1+61\cdot T+3\cdot 587\cdot T^{2}+61\cdot 41^{2}\cdot T^{3}+41^{4}\cdot T^{4}]_{T=1}=2930125=5^{3}\cdot 11\cdot 2131.\end{alignedat}}}$

إن معكوسات الأصفار لـ do لها القيمة المطلقة المتوقعة لـ (فرضية ريمان). علاوة على ذلك، تربط الخرائط بين معكوسات الأصفار لـ ومعكوسات الأصفار لـ . يجب أن يحتوي التنوع الجبري غير المفرد والمعقد والإسقاطي مع الاختزال الجيد عند العدد الأولي 41 إلى على أرقام بيتي ، لأن هذه هي درجات كثيرات الحدود. تُعطى خاصية أويلر لـ من خلال المجموع المتناوب لهذه الدرجات/أرقام بيتي: . ${\displaystyle \alpha _{i,j}}$${\displaystyle P_{i}(T)}$${\displaystyle 41^{i/2}}$${\displaystyle \alpha _{i,j}\longmapsto 41^{2}/\alpha _{i,j},}$ ${\displaystyle j=1,\ldots ,\deg P_{i},}$${\displaystyle P_{i}(T)}$${\displaystyle P_{4-i}(T)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X={\text{Jac}}(C/{\bf {F}}_{41})}$ ${\displaystyle B_{0}=B_{4}=1,B_{1}=B_{3}=4,B_{2}=6}$${\displaystyle P_{i}(T).}$${\displaystyle E}$${\displaystyle X}$${\displaystyle E=1-4+6-4+1=0}$

عن طريق أخذ اللوغاريتم

${\displaystyle \zeta ({\text{Jac}}(C/{\bf {F}}_{41}),s)\,=\,\exp \left(\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {M_{m}}{m}}(41^{-s})^{m}\right)\,=\,\prod _{i=0}^{4}\,P_{i}(41^{-s})^{(-1)^{i+1}}={\frac {P_{1}(T)\cdot P_{3}(T)}{P_{0}(T)\cdot P_{2}(T)\cdot P_{4}(T)}},}$

ويترتب على ذلك

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\sum _{m=1}^{\infty }&{\frac {M_{m}}{m}}(41^{-s})^{m}\,=\,\log \left({\frac {P_{1}(T)\cdot P_{3}(T)}{P_{0}(T)\cdot P_{2}(T)\cdot P_{4}(T)}}\right)\\&=1375\cdot T+2930125/2\cdot T^{2}+4755796375/3\cdot T^{3}+7984359145125/4\cdot T^{4}+13426146538750000/5\cdot T^{5}+O(T^{6}).\end{alignedat}}}$

بصرف النظر عن القيم والمعروفة بالفعل، يمكنك قراءة جميع الأرقام الأخرى من سلسلة تايلور هذه ، ، من العناصر النسبية - من تنوع جاكوبي، المعرفة على ، للمنحنى : على سبيل المثال، و . وبذلك، فإن ذلك يعني دائمًا منذ ذلك الحين، هي مجموعة فرعية من . ${\displaystyle M_{1}}$${\displaystyle M_{2}}$${\displaystyle M_{m}}$${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$${\displaystyle {\bf {F}}_{41^{m}}}$${\displaystyle {\bf {F}}_{41}}$${\displaystyle C/{\bf {F}}_{41}}$${\displaystyle M_{3}=4755796375=5^{3}\cdot 11\cdot 61\cdot 56701}$${\displaystyle M_{4}=7984359145125=3^{4}\cdot 5^{3}\cdot 11\cdot 2131\cdot 33641}$${\displaystyle m_{1}|m_{2}}$${\displaystyle M_{m_{1}}|M_{m_{2}}}$${\displaystyle {\text{Jac}}(C/{\bf {F}}_{41^{m_{1}}})}$${\displaystyle {\text{Jac}}(C/{\bf {F}}_{41^{m_{2}}})}$

اقترح ويل أن التخمينات ستتبع وجود " نظرية تماثل ويل " مناسبة للأصناف على الحقول المحدودة، على غرار التماثل المعتاد مع المعاملات المنطقية للأصناف المعقدة. كانت فكرته أنه إذا كانت F هي التماثل الذاتي لفروبينيوس على الحقل المحدود، فإن عدد نقاط الصنف X على الحقل من الدرجة q ^m هو عدد النقاط الثابتة لـ F ^m (التي تؤثر على جميع نقاط الصنف X المحددة على الإغلاق الجبري). في الطوبولوجيا الجبرية، يمكن حساب عدد النقاط الثابتة للتماثل الذاتي باستخدام نظرية النقطة الثابتة ليفشيتز ، والتي تُعطى كمجموع متناوب للآثار على مجموعات التماثل . لذا، إذا كانت هناك مجموعات تماثل مماثلة للأصناف على الحقول المحدودة، فيمكن التعبير عن دالة زيتا من حيثهم.

المشكلة الأولى في هذا الأمر هي أن حقل المعامل لنظرية تجانس ويل لا يمكن أن يكون الأعداد النسبية. ولرؤية هذا، ضع في اعتبارك حالة منحنى إهليلجي فائق التفرد على حقل محدود من الخاصية p . حلقة التماثل لهذا هي ترتيب في جبر رباعي على الأعداد النسبية، ويجب أن تعمل على مجموعة التجانس الأولى، والتي يجب أن تكون فضاء متجه ثنائي الأبعاد على حقل المعامل قياسًا بحالة المنحنى الإهليلجي المركب. ومع ذلك، لا يمكن لجبر رباعي على الأعداد النسبية أن يعمل على فضاء متجه ثنائي الأبعاد على الأعداد النسبية. نفس الحجة تلغي إمكانية أن يكون حقل المعامل هو الأعداد الحقيقية أو الأعداد p -adic، لأن جبر رباعي لا يزال جبر تقسيم على هذه الحقول. ومع ذلك، فإن هذا لا يلغي إمكانية أن يكون مجال المعامل هو مجال الأعداد ℓ -adic لبعض الأعداد الأولية ℓ ≠ p ، لأنه فوق هذه الحقول تنقسم جبر القسمة وتصبح جبر مصفوفة، والذي يمكن أن يعمل على فضاء متجه ثنائي الأبعاد. تمكن جروثينديك ومايكل أرتين من بناء نظريات تماثل مناسبة على مجال الأعداد ℓ -adic لكل عدد أولي ℓ ≠ p ، والتي تسمى تماثل ℓ -adic .

بحلول نهاية عام 1964، أثبت جروثينديك مع أرتين وجان لوي فيردييه (والعمل السابق الذي قام به دورك عام 1960) تخمينات ويل باستثناء التخمين الثالث الأكثر صعوبة أعلاه (تخمين "فرضية ريمان") (جروثينديك 1965). سمحت النظريات العامة حول التماثل الإتالي لجروتينديك بإثبات نظير لصيغة النقطة الثابتة ليفشيتز لنظرية التماثل الأديكي ℓ ، ومن خلال تطبيقها على التماثل الذاتي لـ فروبينيوس F، كان قادرًا على إثبات الصيغة المفترضة لدالة زيتا:

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {P_{1}(T)\cdots P_{2n-1}(T)}{P_{0}(T)P_{2}(T)\cdots P_{2n}(T)}}}$

حيث أن كل متعدد الحدود P _i هو محدد I  −  TF على مجموعة التماثل ℓ -adic H ⁱ .

إن عقلانية دالة زيتا تأتي على الفور. وتنشأ المعادلة الوظيفية لدالة زيتا من ثنائية بوانكاريه لتماثل ℓ -أديك، وتنشأ العلاقة مع أعداد بيتي المركبة للمصعد من نظرية المقارنة بين تماثل ℓ -أديك والتماثل العادي للأصناف المعقدة.

بشكل عام، أثبت جروثينديك صيغة مماثلة لدالة زيتا (أو "دالة L المعممة") لحزمة F ₀ :

${\displaystyle Z(X_{0},F_{0},t)=\prod _{x\in |X_{0}|}\det(1-F_{x}^{*}t^{\deg(x)}\mid F_{0})^{-1}}$

كمنتج على مجموعات التجانس:

${\displaystyle Z(X_{0},F_{0},t)=\prod _{i}\det(1-F^{*}t\mid H_{c}^{i}(F))^{(-1)^{i+1}}}$

الحالة الخاصة للحزمة الثابتة تعطي دالة زيتا المعتادة.

قدم فيردييه (1974)، وسيري (1975)، وكاتز (1976)، وفرايتاج وكيل (1988) روايات توضيحية للإثبات الأول لديليجن (1974). وقد تم وصف الكثير من الخلفية في علم التماثل ℓ -adic في (ديليجن 1977).

استخدم أول دليل قدمه ديلين لتخمين فايل الثالث المتبقي (تخمين فرضية ريمان) الخطوات التالية:

• عبر جروثينديك عن دالة زيتا من حيث أثر فروبينيوس على مجموعات التماثل ℓ -أديك، وبالتالي فإن تخمينات ويل لمجموعة V ذات الأبعاد d على حقل منتهٍ مع عناصر q تعتمد على إظهار أن القيم الذاتية α لـ فروبينيوس المؤثرة على مجموعة التماثل ℓ -أديك i H i ⁽ V ) من V لها قيم مطلقة | α | =  q ^{i / 2} (لتضمين العناصر الجبرية لـ Q _ℓ في الأعداد المركبة).
• بعد تفجير V وتوسيع المجال الأساسي، يمكن للمرء أن يفترض أن التنوع V له شكل على الخط الإسقاطي P ¹ ، مع عدد محدود من الألياف المفردة ذات التفردات الخفيفة جدًا (التربيعية). نظرية أحادية الشكل لأقلام Lefschetz ، التي قدمها Lefschetz (1924) للأصناف المعقدة (والتجانس العادي)، والتي وسعها Grothendieck (1972) وDeligne & Katz (1973) إلى تجانس ℓ -adic، تربط تجانس V بتجانس أليافها. تعتمد العلاقة على الفضاء E _x لدورات التلاشي ، الفضاء الفرعي لتجانس H ^{d −1} ( V _x ) للألياف غير المفردة V _x ، والتي تمتد عبر فئات تختفي على الألياف المفردة.
• يربط التسلسل الطيفي لـ Leray بين مجموعة التماثل المتوسطة لـ V وتماثل الألياف والقاعدة. الجزء الصعب الذي يتعين التعامل معه هو مجموعة H ¹ ( P ¹ , j _* E ) = H¹
  _ج( U ، E )، حيث U هي نقاط الخط الإسقاطي مع الألياف غير المفردة، و j هو تضمين U في الخط الإسقاطي، و E هي الحزمة مع الألياف والمساحات E _X لدورات التلاشي.

إن جوهر دليل ديليجن هو إظهار أن الحزمة E على U نقية، أو بعبارة أخرى إيجاد القيم المطلقة للقيم الذاتية لـ Frobenius على سيقانها. يتم ذلك من خلال دراسة دوال زيتا للقوى الزوجية E ^k لـ E وتطبيق صيغة جروثينديك لدوال زيتا كحاصلات متناوبة على مجموعات التماثل. كانت الفكرة الحاسمة المتمثلة في اعتبار القوى الزوجية k لـ E مستوحاة من ورقة رانكين  (1939)، الذي استخدم فكرة مماثلة مع k  = 2 لتحديد دالة رامانوجان تاو . أشار لانجلاندز (1970، القسم 8) إلى أن تعميم نتيجة رانكين للقيم الزوجية الأعلى لـ k من شأنه أن يعني تخمين رامانوجان ، وأدرك ديليجن أنه في حالة دوال زيتا للأصناف، قدمت نظرية جروثينديك لدوال زيتا للحزم نظيرًا لهذا التعميم.

• يتم إيجاد أقطاب دالة زيتا لـ E ^k باستخدام صيغة جروثينديك

${\displaystyle Z(U,E^{k},T)={\frac {\det(1-F^{*}T\mid H_{c}^{1}(E^{k}))}{\det(1-F^{*}T\mid H_{c}^{0}(E^{k}))\det(1-F^{*}T\mid H_{c}^{2}(E^{k}))}}}$

وحساب مجموعات التماثل في المقام صراحةً .⁰
_جعادة ما يكون المصطلح 1 فقط حيث أن U عادة لا يكون مضغوطًا، و H²
_جيمكن حسابها صراحةً على النحو التالي. ترتبط ثنائية بوانكاريه بـ H²
_ج( E ^k ) إلى H⁰
( E ^k )، وهو بدوره فضاء المتغيرات المشتركة لمجموعة أحادية الاتجاه، وهي المجموعة الأساسية الهندسية لـ U المؤثرة على ألياف E ^k عند نقطة ما. ألياف E لها شكل خطي ثنائي ناتج عن حاصل الضرب الكأسي ، وهو غير متماثل إذا كان d زوجيًا، ويجعل E في فضاء سيمبلكتيكي. (هذا غير دقيق بعض الشيء: أظهر Deligne لاحقًا أن E ∩ E ^⊥ = 0 باستخدام نظرية Lefschetz الصارمة ، وهذا يتطلب تخمينات Weil، وإثبات تخمينات Weil يجب أن يستخدم حقًا حجة أكثر تعقيدًا قليلاً مع E / E ∩ E ^⊥ بدلاً من E. ) تُظهر حجة Kazhdan و Margulis أن صورة مجموعة أحادية الاتجاه المؤثرة على E ، المعطاة بواسطة صيغة Picard-Lefschetz ، كثيفة Zariski في مجموعة سيمبلكتيكية وبالتالي لها نفس الثوابت، المعروفة جيدًا من نظرية الثوابت الكلاسيكية. يظهر تتبع فعل فروبينيوس في هذا الحساب أن قيمه الذاتية كلها q ^{k ( d −1)/2+1} ، وبالتالي فإن دالة زيتا لـ Z ( E ^k , T ) لها أقطاب فقط عند T  = 1/ q ^{k ( d −1)/2+1} .

• حاصل أويلر لدالة زيتا لـ E ^k هو

${\displaystyle Z(E^{k},T)=\prod _{x}{\frac {1}{Z(E_{x}^{k},T)}}}$

إذا كان k زوجيًا ، فإن جميع معاملات العوامل على اليمين (التي تعتبر متسلسلة قوى في T ) غير سالبة ؛ يتبع هذا كتابة

${\displaystyle {\frac {1}{\det(1-T^{\deg(x)}F_{x}\mid E^{k})}}=\exp \left(\sum _{n>0}{\frac {T^{n}}{n}}\operatorname {Trace} (F_{x}^{n}\mid E)^{k}\right)}$

وباستخدام حقيقة أن آثار قوى F نسبية، وبالتالي فإن قوىها k غير سالبة لأن k زوجية. يثبت ديليجن عقلانية الآثار من خلال ربطها بأعداد من نقاط الأنواع، والتي تكون دائمًا أعدادًا صحيحة (نسبية).

• تتقارب سلسلة القوى لـ Z ( E ^k , T ) بالنسبة لـ T أقل من القيمة المطلقة 1/ q ^{k ( d −1)/2+1} لقطبها الوحيد المحتمل. عندما يكون k زوجيًا، تكون معاملات جميع عوامل أويلر الخاصة به غير سالبة، بحيث يكون لكل عامل من عوامل أويلر معاملات محدودة بثابت مضروبًا في معاملات Z ( E ^k , T ) وبالتالي تتقارب في نفس المنطقة ولا تحتوي على أقطاب في هذه المنطقة. لذا بالنسبة لـ k، تكون الحدود Z ( E حتى^ك
  _س، T ) ليس لها أصفار في هذه المنطقة، أو بعبارة أخرى، القيم الذاتية لـ Frobenius على سيقان E ^​​k لها قيمة مطلقة على الأكثر q ^{k ( d −1)/2+1} .
• يمكن استخدام هذا التقدير لإيجاد القيمة المطلقة لأي قيمة ذاتية α لـ Frobenius على ليف E على النحو التالي. لأي عدد صحيح k ، α ^k هي قيمة ذاتية لـ Frobenius على ساق E ^k ، والتي بالنسبة لـ k محدودة بـ q ^{1+ k ( d −1)/2} . لذا

${\displaystyle |\alpha ^{k}|\leq q^{k(d-1)/2+1}}$

نظرًا لأن هذا صحيح بالنسبة إلى k الكبيرة بشكل تعسفي ، فهذا يعني أن

${\displaystyle |\alpha |\leq q^{(d-1)/2}.}$

إن ثنائية بوانكاريه تعني إذن أن

${\displaystyle |\alpha |=q^{(d-1)/2}.}$

إن استنتاج فرضية ريمان من هذا التقدير هو في الغالب استخدام مباشر إلى حد ما للتقنيات القياسية ويتم على النحو التالي.

• القيم الذاتية لـ Frobenius على H¹
  _جيمكن الآن تقدير ( U ، E ) لأنها أصفار دالة زيتا للحزمة E. يمكن كتابة دالة زيتا هذه على أنها حاصل ضرب أويلر لدوال زيتا لسيقان E ، واستخدام التقدير للقيم الذاتية على هذه السيقان يوضح أن هذا الحاصل يتقارب لـ | T | <  q ^{− d /2−1/2} ، بحيث لا توجد أصفار لدالة زيتا في هذه المنطقة. وهذا يعني أن القيم الذاتية لـ Frobenius على E هي على الأكثر q ^{d /2+1/2} في القيمة المطلقة (في الواقع، سيتبين قريبًا أن لها قيمة مطلقة بالضبط q ^{d /2} ). هذه الخطوة من الحجة تشبه إلى حد كبير الإثبات المعتاد على أن دالة زيتا لريمان ليس لها أصفار مع جزء حقيقي أكبر من 1، عن طريق كتابتها على أنها حاصل ضرب أويلر.
• الاستنتاج من هذا هو أن القيم الذاتية α لـ Frobenius لمجموعة متنوعة من الأبعاد الزوجية d في مجموعة التجانس الوسطى تلبي

${\displaystyle |\alpha |\leq q^{d/2+1/2}}$

للحصول على فرضية ريمان، نحتاج إلى إزالة 1/2 من الأس. ويمكن القيام بذلك على النحو التالي. يُظهر تطبيق هذا التقدير على أي قوة زوجية V ^k من V واستخدام صيغة كونيث أن القيم الذاتية لـ Frobenius على التماثل الأوسط لمجموعة متنوعة V من أي بُعد d تلبي

${\displaystyle |\alpha ^{k}|\leq q^{kd/2+1/2}}$

نظرًا لأن هذا صحيح بالنسبة إلى k الكبيرة بشكل تعسفي ، فهذا يعني أن

${\displaystyle |\alpha |\leq q^{d/2}}$

إن ثنائية بوانكاريه تعني إذن أن

${\displaystyle |\alpha |=q^{d/2}.}$

• يثبت هذا تخمينات ويل للتجانس المتوسط ​​لمجموعة متنوعة. تتبع تخمينات ويل للتجانس أسفل البعد الأوسط من هذا من خلال تطبيق نظرية ليفشيتز الضعيفة ، وتتبع تخمينات التجانس أعلى البعد الأوسط من ثنائية بوانكاريه.

وجد ديلين (1980) وأثبت تعميمًا لتخمينات ويل، يحد من أوزان الدفع للأمام لحزمة. في الممارسة العملية، هذا التعميم وليس تخمينات ويل الأصلية هو الذي يستخدم في الغالب في التطبيقات، مثل نظرية ليفشيتز الصعبة . جزء كبير من الإثبات الثاني هو إعادة ترتيب لأفكار إثباته الأول. الفكرة الإضافية الرئيسية المطلوبة هي حجة وثيقة الصلة بنظرية جاك هادامارد وتشارلز جان دي لا فالي بوسان ، التي استخدمها ديلين لإظهار أن متسلسلة L المختلفة ليس لها أصفار مع الجزء الحقيقي 1.

تسمى الحزمة القابلة للإنشاء على صنف فوق حقل محدود نقية الوزن β إذا كانت القيم الذاتية لـ Frobenius عند x لجميع النقاط x لها قيمة مطلقة N ( x ) ^{β /2} ، وتسمى مختلطة الوزن ≤  β إذا كان من الممكن كتابتها على أنها امتدادات متكررة بواسطة حزم نقية ذات أوزان ≤  β .

تنص نظرية ديلين على أنه إذا كانت f هي تماثل لمخططات من النوع المحدود على حقل منتهٍ، فإن R ⁱ f _! تأخذ حزمًا مختلطة ذات وزن ≤  β إلى حزم مختلطة ذات وزن ≤  β  +  i .

تتبع تخمينات ويل الأصلية اعتبار f تماثلًا من تنوع إسقاطي سلس إلى نقطة واعتبار الحزمة الثابتة Q _ℓ على التنوع. وهذا يعطي حدًا أعلى للقيم المطلقة للقيم الذاتية لـ Frobenius، ثم تُظهر ثنائية بوانكاريه أن هذا أيضًا حد أدنى.

بشكل عام، لا تأخذ R ⁱ f _{! الحزم النقية إلى حزم نقية. ومع ذلك، فإنها تفعل ذلك عندما يكون هناك شكل مناسب من أشكال ثنائية بوانكاريه، على سبيل المثال إذا كانت} f ناعمة وسليمة، أو إذا عمل المرء مع الحزم المنحرفة بدلاً من الحزم كما في بيلينسون، بيرنشتاين وديليجن (1982).

مستوحى من عمل ويتن (1982) على نظرية مورس ، وجد لاومون (1987) دليلاً آخر، باستخدام تحويل فورييه ℓ -adic لديليني ، والذي سمح له بتبسيط دليل ديليني من خلال تجنب استخدام طريقة هادامارد ودي لا فالي بوسان. يعمم دليله الحساب الكلاسيكي للقيمة المطلقة لمجموعات جاوس باستخدام حقيقة أن معيار تحويل فورييه له علاقة بسيطة بمعيار الدالة الأصلية. استخدم كييل وويساوير (2001) دليل لاومون كأساس لشرحهما لنظرية ديليني. قدم كاتز (2001) تبسيطًا إضافيًا لدليل لاومون، باستخدام أحادية التماثل بروح دليل ديليني الأول. قدم كيدلايا (2006) دليلاً آخر باستخدام تحويل فورييه، واستبدل التماثل الإتالي بالتماثل الجامد .

• تمكن ديلين (1980) من إثبات نظرية ليفشيتز الصعبة على الحقول المحدودة باستخدام إثباته الثاني لتخمينات ويل.
• لقد أظهر ديلين (1971) سابقًا أن تخمين رامانوجان-بيترسون يتبع تخمينات ويل.
• استخدم ديلين (1974، القسم 8) تخمينات ويل لإثبات تقديرات للمبالغ الأسيّة.
• تمكن نيك كاتز وويليام ميسينج (1974) من إثبات تخمين كونيث القياسي على الحقول المحدودة باستخدام دليل ديلين لتخمينات ويل.

• أرتين ، إميل (1924)، “Quadratische Körper im Gebiete der höheren Kongruenzen. II. Analytischer Teil”، Mathematische Zeitschrift ، 19 (1): 207-246، دوى :10.1007 / BF01181075، ISSN  0025-5874، S2CID  117936362
• بيلينسون، ألكسندر أ . بيرنشتاين, جوزيف ; Deligne، Pierre (1982)، “Faisceaux pervers”، التحليل والطوبولوجيا في الفضاءات المفردة، I (Luminy، 1981) ، Astérisque، المجلد. 100، باريس: Société Mathématique de France ، الصفحات من 5 إلى 171، السيد  0751966
• Deligne، Pierre (1971)، “Formes modulaires etpresentations l-adiques”، Séminaire Bourbaki vol. 1968/69 المعروضات 347-363، ملاحظات محاضرة في الرياضيات، المجلد. 179 برلين، نيويورك: Springer-Verlag ، دوى :10.1007 / BFb0058801، ISBN 978-3-540-05356-9
• Deligne، Pierre (1974)، “La conjecture de Weil. I”، Publications Mathématiques de l’IHÉS ، 43 (43): 273–307، دوى :10.1007 / BF02684373، ISSN  1618-1913، MR  0340258، S2CID  123139343
• ديلين، بيير ، أد. (1977)، Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie – Cohomologie étale (SGA 4.5)، ملاحظات محاضرة في الرياضيات (بالفرنسية)، المجلد. 569، برلين: سبرينغر-فيرلاغ ، دوى :10.1007 / BFb0091516، ISBN 978-0-387-08066-6, تم أرشفته من الأصل في 2009-05-15 , تم استرجاعه في 2010-02-03
• Deligne، Pierre (1980)، “La conjecture de Weil. II” ، منشورات Mathématiques de l’IHÉS ، 52 (52): 137–252، دوى :10.1007 / BF02684780، ISSN  1618-1913، MR  0601520، S2CID  189769469
• الأماكن القريبة : كاتز، نيكولاس (1973)، مجموعات أحادية في الهندسة الجبرية. II ، ملاحظات المحاضرات في الرياضيات، المجلد. 340، المجلد. 340، برلين، نيويورك: Springer-Verlag ، دوى :10.1007 / BFb0060505، ISBN 978-3-540-06433-6السيد 0354657 ​
• دورك، برنارد (1960)، "حول عقلانية دالة زيتا للتنوع الجبري"، المجلة الأمريكية للرياضيات ، 82 (3)، المجلة الأمريكية للرياضيات، المجلد 82، العدد 3: 631-648، doi :10.2307/2372974، ISSN  0002-9327، JSTOR  2372974، MR  0140494
• فريتاج، إبرهارد؛ Kiehl، Reinhardt (1988)، Étale cohomology and the Weil conjecture ، Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [النتائج في الرياضيات والمجالات ذات الصلة (3)]، المجلد. 13 برلين، نيويورك: Springer-Verlag ، دوى :10.1007 / 978-3-662-02541-3، ISBN 978-3-540-12175-6السيد 0926276 ​
• جروثينديك، ألكسندر (1960)، "نظرية التماثل للأصناف الجبرية المجردة"، وقائع المؤتمر الدولي للرياضيات (إدنبرة، 1958) ، مطبعة جامعة كامبريدج ، ص 103-118، MR  0130879
• Grothendieck، Alexander (1995) [1965]، “Formule de Lefschetz et العقلانية des fonctions L”، Séminaire Bourbaki، vol. 9، باريس: Société Mathématique de France ، الصفحات من 41 إلى 55، السيد  1608788
• جروتينديك ، ألكسندر (1972)، مجموعات أحادية في الهندسة الجبرية. أنا ، ملاحظات محاضرة في الرياضيات، المجلد. 288، المجلد. 288 برلين، نيويورك: Springer-Verlag ، دوى :10.1007 / BFb0068688، ISBN 978-3-540-05987-5السيد 0354656 ​

• كان، برونو (2020)، "دالة زيتا للتنوع الإبيلي"، زيتا ودالات L للتنوعات والدوافع ، سلسلة محاضرات الجمعية الرياضية في لندن، كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج ، ص 52-53، doi :10.1017/9781108691536، ISBN 978-1-108-70339-0

• كاتز، نيكولاس م. (1976)، "نظرة عامة على دليل ديلين لفرضية ريمان للتنوعات على الحقول المحدودة"، التطورات الرياضية الناشئة عن مشاكل هيلبرت ، وقائع الندوات. الرياضيات البحتة، المجلد الثامن والعشرون، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، ص 275-305، MR  0424822
• كاتز، نيكولاس (2001)، "الدوال-L والتماثل: أربع محاضرات عن ويل الثاني"، التقدم في الرياضيات ، 160 (1): 81-132، doi : 10.1006/aima.2000.1979 ، MR  1831948
• كاتز، نيكولاس م .؛ ميسينج، ويليام (1974)، "بعض عواقب فرضية ريمان للأصناف على الحقول المحدودة"، اختراعات الرياضيات ، 23 : 73-77، رمز Bibcode :1974InMat..23...73K، doi :10.1007/BF01405203، ISSN  0020-9910، MR  0332791، S2CID  121989640
• كيدلايا، كيران س. (2006)، "تحويلات فورييه و p -adic 'Weil II'"، Compositio Mathematica ، 142 (6): 1426–1450، أرخايف : math/0210149 ، دوى :10.1112/S0010437X06002338، ISSN  0010-437X، MR  2278753، S2CID  5233570
• كيهل، رينهاردت. فايساوير، راينر (2001)، تخمينات ويل، الحزم الضارة وتحويل فورييه اللاديك ، Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. فولج. سلسلة المسوحات الحديثة في الرياضيات [النتائج في الرياضيات والمجالات ذات الصلة. السلسلة الثالثة. سلسلة من المسوحات الحديثة في الرياضيات]، المجلد. 42 برلين، نيويورك: Springer-Verlag ، دوى : 10.1007 / 978-3-662-04576-3 ، ISBN 978-3-540-41457-5السيد 1855066 ​
• Kleiman، Stephen L. (1968)، “Algebraic Cycles and the Weil Conjectures”، Dix esposés sur la cohomologie des schémas , Amsterdam: North-Holland، pp. 359–386، MR  0292838
• لانجلاندز، روبرت ب. (1970)، "مشاكل في نظرية الأشكال الشكلية"، محاضرات في التحليل والتطبيقات الحديثة، المجلد الثالث ، ملاحظات المحاضرات في الرياضيات، المجلد 170، برلين، نيويورك: دار نشر سبرينغر ، ص 18-61، doi :10.1007/BFb0079065، ISBN 978-3-540-05284-5السيد 0302614 ​
• Laumon، Gérard (1987)، “Transformation de Fourier، Constantes d'équations fonctionnelles et conjecture de Weil”، منشورات Mathématiques de l'IHÉS ، 65 (65): 131-210، دوى :10.1007 / BF02698937، ISSN  1618-1913، السيد  0908218، S2CID  119951352
• Lefschetz، Solomon (1924)، L'Ana Analysis site et la géométrie algébrique ، Collection de Monographies publiée sous la Direction de M. Émile Borel (بالفرنسية)، باريس: Gauthier-Villarsأعيد طبعه في Lefschetz, Solomon (1971)، أوراق مختارة ، نيويورك: Chelsea Publishing Co.، ISBN 978-0-8284-0234-7السيد 0299447 ​
• Mazur, Barry (1974), "Eigenvalues ​​of Frobenius working on algebraic varietys over finite fields", in Hartshorne, Robin (ed.), Algebraic Geometry, Arcata 1974 , Proceedings of symposia in pure math, المجلد 29، ISBN 0-8218-1429-X
• مورينو، أو. (2001) [1994]، "حدود بومبيري-ويل"، موسوعة الرياضيات ، مطبعة EMS
• رانكين، روبرت أ .؛ هاردي، جي إتش (1939)، "مساهمات في نظرية دالة رامانوجان τ والدوال الحسابية المشابهة. الثاني. ترتيب معاملات فورييه للأشكال المعيارية المتكاملة"، وقائع الجمعية الفلسفية في كامبريدج ، 35 (3): 357-372، رمز Bibcode :1939PCPS...35..357R، doi :10.1017/S0305004100021101، MR  0000411، S2CID  251097961
• سير، جان بيير (1960)، "نظائر كاهلية لتخمينات ويل المؤكدة"، حوليات الرياضيات ، السلسلة الثانية، 71 (2)، حوليات الرياضيات، المجلد 71، العدد 2: 392-394، doi :10.2307/1970088، ISSN  0003-486X، JSTOR  1970088، MR  0112163
• Serre، Jean-Pierre (1975)، “Valeurspropers des endomorphismes de Frobenius [d’après P. Deligne]”، Séminaire Bourbaki vol. 1973/74 التعرضات 436-452، ملاحظات محاضرة في الرياضيات، المجلد. 431، الصفحات من 190 إلى 204، دوى :10.1007 / BFb0066371، ISBN 978-3-540-07023-8
• Verdier، Jean-Louis (1974)، “Indépendance par Rapport a ℓ des polynômes caractéristiques des endomorphismes de frobenius de la cohomologie ℓ-adique”، Séminaire Bourbaki vol. 1972/73 التعرضات 418-435، ملاحظات محاضرة في الرياضيات، المجلد. 383، سبرينغر برلين / هايدلبرغ، ص 98-115، دوى :10.1007 / BFb0057304، ISBN 978-3-540-06796-2
• ويل، أندريه (1949)، "أعداد حلول المعادلات في الحقول المحدودة"، نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية ، 55 (5): 497-508، doi : 10.1090/S0002-9904-1949-09219-4 ، ISSN  0002-9904، MR  0029393أعيد طبعه في Oeuvres Scientifiques/الأوراق المجمعة بقلم أندريه ويل ISBN 0-387-90330-5 
• ويتن، إدوارد (1982)، "التناظر الفائق ونظرية مورس"، مجلة الهندسة التفاضلية ، 17 (4): 661-692، doi : 10.4310/jdg/1214437492 ، ISSN  0022-040X، MR  0683171