وظيفة أرتين إل

• جميع المُثُل الأولية تقريبًا في امتداد منتهٍ لحقل عددي تكون غير متفرعة، وفي هذه الحالة${\displaystyle I_{\mathfrak {p}}}$أمر تافه و${\displaystyle V^{I_{\mathfrak {p}}}=V}$. يتم استخدام تقييد التعيين الخطي للتعامل مع المثاليات الأولية المتفرعة ، والتي تعد سمات حيوية لمعظم حقول الأعداد.
• ليس بالضرورة أن يكون عنصر فروبينيوس فريدًا. بالنسبة للأعداد الأولية غير المتفرعة، تكون جميع عناصر فروبينيوس مترافقة في زمرة غالوا، وبالتالي تكون قيمة العامل هي نفسها بغض النظر عن الاختيار (انظر الخصائص أدناه). أما بالنسبة للأعداد الأولية المتفرعة، باستثناء الترافق، فيمكن أن يكون عنصر فروبينيوس أي عنصر من مجموعة مشاركة بالنسبة إلى${\displaystyle I_{\mathfrak {p}}}$، مما يفرض قيدًا فريدًا على${\displaystyle V^{I_{\mathfrak {p}}}}$.
• من الطبيعي أكثر، على الأرجح، وضع تعريف ليس من حيث الثوابت، بل من حيث الثوابت المشتركة ، وهي أكبر فضاء خارج القسمة المحدد بواسطة${\displaystyle I_{\mathfrak {p}}}$لكن الوظيفة الناتجة ستكون هي نفسها.

تتمثل إحدى التطبيقات الرئيسية لوظائف Artin L في توفير تحليلات غير تافهة لوظائف Dedekind zeta.

في الحالة العامة، ثبت أن دوال آرتين L لها استمرار ميرومورفي إلى المستوى المركب. وباستخدام نظرية براور حول الخصائص المستحثة، يمكن إثبات أن كل خاصية يمكن كتابتها على النحو التالي:

${\displaystyle \chi _{\rho }=\sum _{i=1}^{k}m_{i}\cdot \chi _{i}}$

أين${\displaystyle m_{i}}$هي أعداد صحيحة و${\displaystyle \chi _{i}}$هي خصائص مُستنتجة من تمثيلات أحادية البُعد للمجموعات الفرعية. باستخدام الاستقراء والجمعية وتبادلية آرتين، يمكن كتابة الدالة على النحو التالي:

${\displaystyle L(s,\chi _{\rho },L/K)=\prod _{i=1}^{k}L(s,\chi _{i})^{m_{i}}}$

حيث لدينا في المنتج دوال L للرموز المقابلة لهيكه. بما أن دوال هيكه L هي دوال ميرومورفية (مع قطب ممكن واحد فقط عند${\displaystyle s=1}$، عندما يكون حرف هيك تافهًا)، فإنه يعطي وجود استمرار ميرومورفي للمستوى المركب.

إن نتيجة براور هي بالفعل تحسين للنظرية الأصلية التي أثبتها أرتين، والتي ضمنت فقط أن بعض قوى دالة أرتين L هي ميرومورفية، لأن نظرية أرتين استخدمت معاملات نسبية بدلاً من الأعداد الصحيحة.

تحقق دوال آرتين L معادلة وظيفية تتضمن دالة غاما لأويلر التي تربط قيم${\displaystyle L(s,\rho ,L/K)}$مع${\displaystyle L(1-s,\rho ^{*},L/K)}$، أين${\displaystyle \rho ^{*}}$يشير إلى التمثيل المترافق المركب . يرتبط كل عامل غاما في هذه المعادلة ارتباطًا وثيقًا بمواضع أرخميدس المُدخلة على الحقل، بطريقة مشابهة لارتباط العوامل في جداء أويلر بمواضع p-adic.

باستخدام الترميز الحديث من نظرية الأشكال التلقائية، دعونا نرمز إلى عوامل جاما الأرخميدية:

${\displaystyle \Gamma _{\mathbb {R} }(s)=\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\Gamma ({\frac {s}{2}})\qquad \Gamma _{\mathbb {C} }(s)=2(2\pi )^{-s}\Gamma (s)}$

نُعرّف الأعداد التي ستُستخدم كأسس في عوامل المعادلة الدالية. بالنسبة للأماكن الحقيقية، اختر مولدًا.${\displaystyle \phi _{v}}$مجموعة${\displaystyle {\text{Gal}}(L_{v}/K_{v})}$. ثم${\displaystyle \rho (\phi _{v})}$هو انقلاب على${\displaystyle V}$ولها فضاءان ذاتيان مرتبطان بالقيم الذاتية.${\displaystyle 1,-1}$:

${\displaystyle n_{+}=\dim V_{+}\qquad n_{-}=\dim V_{-}}$

تُظهر الحسابات المباشرة أنه يمكن تعريف هذا الرقم باستخدام خاصية التمثيل:

${\displaystyle n_{+}={\frac {\chi _{\rho }(1)+\chi _{\rho }(\phi _{v})}{2}},\quad n_{-}={\frac {\chi _{\rho }(1)-\chi _{\rho }(\phi _{v})}{2}}}$

يعتمد عامل الأماكن الأرخميدية على ما إذا كان المكان حقيقياً أم معقداً:

${\displaystyle L_{v}(s,\rho ,L/K)={\begin{cases}\Gamma _{\mathbb {R} }(s)^{n_{+}}\Gamma _{\mathbb {R} }(s+1)^{n_{-}}&v{\text{ real}}\\\Gamma _{\mathbb {C} }(s)^{\dim \rho }&v{\text{ complex}}\end{cases}}}$

عرّف الدالة بأنها حاصل ضرب عوامل جميع الأماكن على${\displaystyle L/K}$، بما في ذلك تلك التي تعود إلى أرخميدس:

${\displaystyle \Lambda (s,\rho ,L/K)=\prod _{v}L_{v}(s,\rho ,L/K)}$

عندئذٍ، تحقق دالة آرتين L "المكتملة" المعادلة الوظيفية التالية (مع التمثيل المترافق):

${\displaystyle \Lambda (s,\rho ,L/K)=\epsilon (\rho ,L/K)\Lambda (1-s,\rho ^{*},L/K)}$،

أين${\displaystyle \epsilon (\rho )}$هو عدد مركب قيمته المطلقة تساوي 1، ويُسمى عدد جذر آرتين . تُعمم هذه المعادلة الدالية معادلات دوال هيك L ودوال ديديكيند زيتا، وخاصة المعادلة النموذجية لدالة ريمان زيتا. وترتبط دالة L بهذه المعادلة تحديدًا عندما يكون ρ و ρ* تمثيلين متكافئين. ومن الناحية الجبرية، يكون ρ تمثيلًا حقيقيًا أو تمثيلًا رباعيًا .

يُعدّ عدد جذر آرتين موضوعًا لبحوثٍ مُهمّة. وقد وضع روبرت لانغلاندز وبيير ديلين تحليلًا لعدد جذر آرتين إلى ثوابت لانغلاندز-ديلين المحلية ؛ وهذا ذو أهمية في العلاقات التخمينية بالتمثيلات الذاتية. وبالتالي، فإن عدد جذر آرتين إما +1 أو -1. وترتبط مسألة الإشارة بنظرية وحدات غالوا . ^{[ 1 ]}

تُمكّن المعادلة الدالية من التمييز بين الأصفار التافهة وغير التافهة لدالة آرتين L. تُسمى الأصفار التي تُلغي أقطاب دوال غاما بالأصفار التافهة. وتضمن المعادلة الدالية أن الأصفار غير التافهة والأقطاب المحتملة (التي يُفترض عدم وجودها) يجب أن تقع ضمن الشريط الحرج.${\displaystyle 0\leq \operatorname {Re} (s)\leq 1}$وهي متناظرة بالنسبة للخط الحرج${\displaystyle \operatorname {Re} (s)={\tfrac {1}{2}}}$.

تُعدّ خاصية التبادلية لآرتين نتيجةً أساسيةً في نظرية حقول الفئات ، وعادةً ما تُعبّر عنها بوجود تماثلٍ مُعيّن بين زمرة الفئات المثالية والتحويل التبديلي لزمرة غالوا. ويُمكن التعبير عن ذلك بعبارةٍ مُكافئةٍ مفادها أنه إذا${\displaystyle L/K}$هو امتداد أبيلي و${\displaystyle \rho }$إذا كان تمثيلاً غير قابل للاختزال لمجموعة غالوا الخاصة به، فإنه يوجد خاصية هيك${\displaystyle \chi _{K}}$بحيث:

${\displaystyle L(s,\rho ,L/K)=L(s,\chi _{K})}$

إذا كان لدينا${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$عندئذٍ، يمكن استبدال خاصية هيك بخاصية ديريشليه، وتصبح دالة هيك L دالة ديريشليه L. وبدمج خاصية التبادلية لآرتين مع تحليل دوال زيتا لديديكيند، نحصل على ما يلي للتمديد الأبلي:

${\displaystyle \zeta _{L}(s)=\prod _{\chi {\text{ prim}}}L(s,\chi _{K})}$

حيث يمتد الفهرس على أحرف هيك البدائية لـ${\displaystyle K}$، بما يتوافق مع التمثيلات غير القابلة للاختزال لـ${\displaystyle {\text{Gal}}(L/K)}$وفي حالة أكثر خصوصية، إذا${\displaystyle L/\mathbb {Q} }$إذا كان امتدادًا تبديليًا، فإن:

${\displaystyle \zeta _{L}(s)=\prod _{\chi {\text{ prim}}}L(s,\chi )}$

أين${\displaystyle L(\chi ,s)}$هي دوال ديريشليه L للرموز الأولية لديريشليه التي تتوافق مع التمثيلات غير القابلة للاختزال لـ${\displaystyle {\text{Gal}}(L/\mathbb {Q} )}$.

تنص فرضية آرتين، والتي تسمى أيضاً فرضية آرتين المتعلقة بالتماثل الشكلي، على ما يلي:${\displaystyle L(s,\rho ,L/K)}$لتمثيل غير تافه وغير قابل للاختزال${\displaystyle \rho }$هي الوظيفة الكاملة . ^{[ 2 ]}

إن افتراض أن التمثيل غير تافه ضروري، لأنه بالنسبة للتمثيل التافه نحصل على دالة زيتا ديديكيند بقطب بسيط واحد عند${\displaystyle s=1}$إن افتراض أن التمثيل غير قابل للاختزال يسمح بتبسيط العبارة باستثناء التمثيل المستنتج من التمثيل التافه. ومع ذلك، فإن هذه العبارة هي تعميم طبيعي لنظرية تنص على أن دوال هيك L كاملة بالنسبة لخاصية هيك الأولية غير التافهة.

تكمن المشكلة الرئيسية في التماثل التام للاستمرار التحليلي في أن الاستمرار الميرومورفي يُبنى كحاصل ضرب دوال هيك L في قوى صحيحة: أصفار الدوال المستخدمة بقوى سالبة تُنتج أقطابًا يجب إلغاؤها بأصفار الدوال المستخدمة بقوى موجبة. يتطلب البرهان المباشر لتخمين آرتين من هذا البناء معرفة دقيقة جدًا بمواقع وتعدد أصفار دوال هيك L غير التافهة، وهي مشكلة صعبة للغاية عمومًا بالنسبة لدوال L.

لا يمكن تحسين نظرية براور أكثر من ذلك لاستخدام معاملات الأعداد الصحيحة الموجبة فقط في الحالة العامة: تُسمى الزمر التي يمكن استنتاج جميع خصائصها من خصائص أحادية البعد باستخدام معاملات الأعداد الصحيحة الموجبة بالزمر الأحادية الحد ، وقد أثبت تاكيتا (1930) أن جميع الزمر الأحادية الحد هي زمر قابلة للحل . علاوة على ذلك، هذا شرط ضروري فقط: الزمرة SL(2,3) هي زمرة قابلة للحل ذات خاصية مركبة ذات تمثيل ثنائي الأبعاد لا يمكن التعبير عنها بهذه الطريقة.

تم حل حدسية آرتين في حالات محددة للغاية:

• بالنسبة للتمثيلات أحادية البعد، تُستنتج الفرضية من خاصية التماثل التام لدوال هيك L. وبشكل أعم، أثبت آرتين أن الفرضية صحيحة لجميع التمثيلات المستنتجة من التمثيلات أحادية البعد.
• في حالة التمثيلات ثنائية الأبعاد، يمكن تصنيفها حسب طبيعة المجموعة الفرعية للصورة: قد تكون دورية، أو ثنائية السطوح، أو رباعية السطوح، أو ثمانية السطوح، أو عشرينية السطوح.
  • بالنسبة للتمثيلات الفردية وغير القابلة للاختزال، فإن التمثيلات ثنائية الأبعاد تتبع من برهان تخمين سير المعياري ، بغض النظر عن المجموعة الفرعية للصورة.
  • أما بالنسبة للحالة الدورية أو ثنائية السطوح، فيتم استنتاجها بسهولة من عمل إريك هيك .
  • استخدم لانجلاندز (1980) تغيير القاعدة لرفع لإثبات حالة رباعي الأوجه.
  • قام تونيل (1981) بتوسيع عمل لانجلاندز ليشمل حالة الأوجه الثمانية.
  • لا تزال حالة الأوجه العشرية العامة مفتوحة وتمثل مجالاً نشطاً للبحث.

إن حدسية آرتين المقترنة بتحليل دالة زيتا لديديكيند لامتدادات غالوا تستلزم حدسية ديديكيند ، وهي أنه لأي امتداد منتهٍ${\displaystyle L/K}$من حقول الأرقام، يكون الناتج:

${\displaystyle {\frac {\zeta _{L}(s)}{\zeta _{K}(s)}}}$

هي الوظيفة الكاملة.

إن تبادلية لانجلاندز هي تخمين اقترحه روبرت لانجلاندز كتعميم لتبادلية آرتين إلى امتدادات الحقول غير الأبيلية.

يترك${\displaystyle L/K}$أن يكون امتدادًا لحقل ذي عدد محدود و${\displaystyle \rho }$أن يكون تمثيلاً لا يُختزل لـ${\displaystyle {\text{Gal}}(L/K)}$افترض لانجلاندز أنه يوجد تمثيل حدبي ذاتي الشكل${\displaystyle \pi }$من المجموعة الخطية العامة${\displaystyle {\text{GL}}(n,A_{K})}$، أين ${\displaystyle \mathbf {A} _{K}}$بي أديل رينج فور${\displaystyle K}$مُرضٍ:

${\displaystyle L(s,\rho ,L/K)=L(s,\pi )}$

أين${\displaystyle L(s,\pi )}$هي دالة L ذاتية الشكل لهذا التمثيل. وقد تم إثبات قانون التبادل هذا في حالات خاصة جدًا، ولا يزال إلى حد كبير تخمينيًا، ولكنه يمثل أفضل اقتراح لتطوير نظرية حقل الفئات غير الأبيلية وحل لمسألة هيلبرت التاسعة .

أشار لانغلاندز (1970) إلى أن حدسية آرتين ستترتب على قانون التبادلية هذا، وإلى حدسية أن دوال L للتمثيلات الذاتية الحدية هي دوال كاملة. وكان هذا أحد الدوافع الرئيسية لبرنامج لانغلاندز الأكثر عمومية.

انطلاقًا من المعادلة الوظيفية، فإن جميع الأصفار غير التافهة لدوال آرتين L متناظرة بالنسبة للخط الحرج.${\displaystyle \operatorname {Re} (s)={\tfrac {1}{2}}}$تنص فرضية ريمان لدوال آرتين L على أنها يجب أن تقع على الخط الحرج. وهذا تعميم لفرضية ريمان الأصلية ، وكذلك لصيغها الخاصة بدوال ديريشليه L، ودوال هيكه L، ودوال ديديكيند زيتا، ولذا فإن لها العديد من النتائج في نظرية الأعداد التحليلية والجبرية.

بافتراض صحة حدسية آرتين، فإنها تُكافئ فرضيات ريمان لدوال هيك L ودوال زيتا ديديكيند. وبافتراض تبادلية لانجلاندز، فإنها ستُستنتج من فرضية ريمان الكبرى .

باستخدام صيغة رقم الفئة والمعادلة الوظيفية لدالة زيتا لديديكيند، سنحصل على رتبة ومعامل الصفر التافه الرئيسي عند${\displaystyle s=0}$يرتبط ذلك ببعض الثوابت المهمة لحقل الأعداد:

${\displaystyle \lim _{s\rightarrow 0}s^{-(r_{1}+r_{2}-1)}\zeta _{K}(s)=-{\frac {h(K)R(K)}{w(K)}}}$

أين:

• ${\displaystyle h(K)}$رقم الفصل لـ${\displaystyle K}$
• ${\displaystyle R(K)}$هي الجهة التنظيمية لـ${\displaystyle K}$
• ${\displaystyle w(K)}$عدد جذور الوحدة في${\displaystyle K}$
• ${\displaystyle r_{1}}$عدد الأماكن الحقيقية لـ${\displaystyle K}$
• ${\displaystyle r_{2}}$عدد المنازل المركبة غير المترافقة لـ${\displaystyle K}$
• ${\displaystyle r_{1}+r_{2}-1}$رتبة الصفر هي رتبة مجموعة الوحدة في${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

كتعميم لتلك الظاهرة، افترض ستارك أن المعامل الرئيسي لسلسلة تايلور لدالة آرتين L عند${\displaystyle s=0}$ينبغي أن يكون ناتجًا عن منظم ستارك مع عدد جبري ما. اقترح ستارك نسخة منقحة من حدسه عندما${\displaystyle L/K}$هو امتداد أبيلي ورتبة الصفر لدالة آرتين L عند${\displaystyle s=0}$هو واحد. لقد تنبأ بوجود وحدات ستارك التي ينبغي أن تولد جذورها امتدادات كومر لـ ${\displaystyle K}$ولها آثار على مشكلة هيلبرت الثانية عشرة .