التمثيل الرباعي

في مجال نظرية التمثيل الرياضي ، يُعرف التمثيل الرباعي بأنه تمثيل على فضاء متجهي معقد V ذي بنية رباعية ثابتة ، أي خريطة متكافئة مضادة للخطية

${\displaystyle j\colon V\to V}$

وهو ما يرضي

${\displaystyle j^{2}=-1.}$

بالإضافة إلى الوحدة التخيلية i والتحويل المضاد للخطية k  := ij , j، فإن V تُزوّد ​​ببنية فضاء متجهي رباعي (أي أن V تصبح وحدة نمطية على جبر قسمة الرباعيات ). من هذا المنظور، فإن التمثيل الرباعي للمجموعة G هو تشاكل زمر φ : G → GL( V , H )، وهي زمرة التحويلات الرباعية الخطية القابلة للعكس لـ V. على وجه الخصوص، يُسند التمثيل المصفوفي الرباعي لـ g مصفوفة مربعة من الرباعيات ρ (g) لكل عنصر g من G بحيث تكون ρ (e) هي مصفوفة الوحدة .  

${\displaystyle \rho (gh)=\rho (g)\rho (h){\text{ لجميع }}g,h\in G.}$

يمكن تعريف التمثيلات الرباعية للجبر الترابطي وجبر لي بطريقة مماثلة.

إذا كان V تمثيلًا وحدويًا ، وكان التركيب الرباعي j مؤثرًا وحدويًا، فإن V يقبل شكلًا تماثليًا معقدًا ثابتًا ω ، وبالتالي فهو تمثيل تماثلي . يتحقق هذا دائمًا إذا كان V تمثيلًا لمجموعة متراصة (مثل مجموعة منتهية )، وفي هذه الحالة تُعرف التمثيلات الرباعية أيضًا بالتمثيلات التماثلية. يمكن تمييز هذه التمثيلات، من بين التمثيلات غير القابلة للاختزال ، باستخدام مؤشر فروبينيوس-شور .

تتشابه التمثيلات الرباعية مع التمثيلات الحقيقية في كونها متماثلة مع تمثيلها المركب المرافق . ويُقصد بالتمثيل الحقيقي هنا التمثيل المركب ذو البنية الحقيقية الثابتة ، أي الخريطة المتغايرة الخطية المضادة .

${\displaystyle j\colon V\to V}$

وهو ما يرضي

${\displaystyle j^{2}=+1.}$

يُطلق أحيانًا على التمثيل الذي يكون متماثلًا مع مرافقه المركب، ولكنه ليس تمثيلًا حقيقيًا، اسم التمثيل شبه الحقيقي .

يمكن فهم التمثيلات الحقيقية وشبه الحقيقية للمجموعة G من خلال اعتبارها تمثيلات لجبر المجموعة الحقيقية R [ G ]. سيكون هذا التمثيل مجموعًا مباشرًا لجبر R- البسيط المركزي ، والذي، وفقًا لنظرية آرتين-ويدربورن ، يجب أن يكون جبر مصفوفات على الأعداد الحقيقية أو الكواترنيونات. وبالتالي، فإن التمثيل الحقيقي أو شبه الحقيقي هو مجموع مباشر لتمثيلات حقيقية غير قابلة للاختزال وتمثيلات كواترنيونية غير قابلة للاختزال. ويكون حقيقيًا إذا لم تظهر أي تمثيلات كواترنيونية في التفكيك.

من الأمثلة الشائعة تمثيل الدورانات في ثلاثة أبعاد باستخدام الكواترنيونات. يُمثَّل كل دوران (حقيقي) بكواترنيون ذي معيار يساوي واحدًا . يوجد فضاء متجهي كواترنيوني أحادي البعد، وهو الفضاء H للكواترنيونات نفسها تحت الضرب من اليسار. بتقييد هذا الفضاء بالكواترنيونات ذات المعيار الواحد، نحصل على تمثيل كواترنيوني لمجموعة السبينورات Spin(3).

هذا التمثيل ρ : Spin(3) → GL(1, H ) هو أيضًا تمثيل رباعي وحدوي لأن

${\displaystyle \rho (g)^{\dagger }\rho (g)=\mathbf {1} }$

لكل g في Spin(3).

ومن الأمثلة الأخرى على التمثيل الوحدوي تمثيل الدوران لـ Spin(5). أما مثال التمثيل الرباعي غير الوحدوي فهو التمثيل غير القابل للاختزال ثنائي الأبعاد لـ Spin(5,1).

بشكلٍ أعم، تكون تمثيلات اللف المغزلي لـ Spin( d ) رباعية الأيونات عندما يكون d مساويًا لـ 3  +  8k ، أو 4  +  8k  ، أو 5 + 8k من الأبعاد، حيث k عدد صحيح . في الفيزياء، غالبًا ما نصادف سبينورات Spin( d , 1). تتمتع هذه التمثيلات بنفس نوع البنية الحقيقية أو الرباعية الأيونات التي تتمتع بها سبينورات Spin( d − 1).     

من بين الأشكال الحقيقية المدمجة لمجموعات لي البسيطة، لا توجد تمثيلات رباعية غير قابلة للاختزال إلا لمجموعات لي من النوع A _{4 k +1} ، B _{4 k +1} ، B _{4 k +2} ، C _k ، D _{4 k +2} ، و E ₇ .

• فولتون، ويليام ؛ هاريس، جو (1991). نظرية التمثيل: مدخل تمهيدي . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، قراءات في الرياضيات. المجلد  129. نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. doi : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8MR 1153249 . OCLC 246650103 .​  .
• سيري ، جان بيير (1977)، التمثيلات الخطية للمجموعات المحدودة ، سبرينغر فيرلاغ، ISBN 978-0-387-90190-9.

• فضاء متجهي سيمبليكتيكي