تمثيل الدوران

لنفترض أن${\displaystyle Q(x)=1,Q(y)=1,<x,y>=0}$ل${\displaystyle x,y\in V}$. ثم${\displaystyle Q(x+iy)=Q(x)-Q(y)=0}$نقول ذلك${\displaystyle x+iy}$وهي متجانسة الخواص، وتولد فضاءً فرعياً متجانس الخواص أحادي البعد تماماً${\displaystyle \{\lambda (x+iy)|\lambda \in C\}}$. بصورة مماثلة،${\displaystyle x-iy}$متجانس الخواص ويولد فضاءً فرعياً متجانس الخواص أحادي البعد تماماً.

يبدأ البناء القياسي لتمثيلات الدوران لـ so ( n , C ) باختيار زوج ( W , W ^* ) من الفضاءات الجزئية المتناحية تمامًا القصوى (بالنسبة إلى Q ) لـ V حيث W ∩ W ^* = 0. لنقم بهذا الاختيار. إذا كان n = 2m أو n = 2m + 1 ، فإن W و W ^* لهما بُعد m . إذا كان n = 2m ، فإن V = W ⊕ W ^* ، بينما إذا كان n = 2m + 1 ، فإن V = W ⊕ U ⊕ W ^* ، حيث U هو المكمل المتعامد أحادي البُعد لـ W ⊕ W ^* . الشكل الثنائي الخطي ⟨ .,. يؤدي الرمز ⟩ المرتبط بـ Q إلى اقتران بين W و W ^* ، ويجب أن يكون هذا الاقتران غير منحل، لأن W و W ^* فضاءات جزئية متناحية تمامًا، و Q فضاء غير منحل. وبالتالي، فإن W و W ^* فضاءات متجهة ثنائية .

بصورة أكثر تحديدًا، ليكن a ₁ , ... a _m أساسًا لـ W. عندئذٍ يوجد أساس وحيد α ₁ , ... α _m لـ W ^∗ بحيث

${\displaystyle \langle \alpha _{i},a_{j}\rangle =\delta _{ij}.}$

إذا كانت A مصفوفة من الرتبة m × m ، فإن A تُحدث تشاكلاً داخلياً للمصفوفة W بالنسبة لهذه القاعدة، والمُنَقل A ^T يُحدث تحويلاً للمصفوفة W ^∗ مع

${\displaystyle \langle Aw,w^{*}\rangle =\langle w,A^{\mathrm {T} }w^{*}\rangle }$

لكل w في W و w ^∗ في W ^∗ . ويترتب على ذلك أن التشاكل الداخلي ρ _A لـ V ، والذي يساوي A على W ، و − A ^T على W ^∗ ، ويساوي صفرًا على U (إذا كان n فرديًا)، يكون ملتويًا.

${\displaystyle \langle \rho _{A}u,v\rangle =-\langle u,\rho _{A}v\rangle }$

لكل u و v في V ، وبالتالي (انظر المجموعة الكلاسيكية ) عنصر من so ( n , C ) ⊂ End( V ) .

إن استخدام المصفوفات القطرية في هذا البناء يحدد جبر كارتان الفرعي h من so ( n , C ) : رتبة so ( n , C ) هي m ، والمصفوفات القطرية n × n تحدد جبرًا فرعيًا أبيليًا m- الأبعاد.

ليكن ε₁ _, ..., _εₘ أساسًا لـ h ^* بحيث يكون، بالنسبة لمصفوفة قطرية A ، العنصر القطري _k في A هو εₖ ( ρA ₎ . من الواضح أن هذا أساس لـ h ^* . بما أن الصيغة الثنائية الخطية تُعرّف so ( n , C ) مع${\displaystyle \wedge ^{2}V}$بشكل صريح،

${\displaystyle x\wedge y\mapsto \varphi _{x\wedge y},\quad \varphi _{x\wedge y}(v)=\langle y,v\rangle x-\langle x,v\rangle y,\quad x\wedge y\in \wedge ^{2}V,\quad x,y,v\in V,\quad \varphi _{x\wedge y}\in {\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} ),}$^{[ 1 ]}

أصبح من السهل الآن إنشاء نظام الجذور المرتبط بالدالة h . تُمثَّل فضاءات الجذور (الفضاءات الذاتية المتزامنة لتأثير الدالة h ) بالعناصر التالية:

${\displaystyle a_{i}\wedge a_{j},\;i\neq j,}$مع الجذر (القيمة الذاتية المتزامنة)${\displaystyle \varepsilon _{i}+\varepsilon _{j}}$

${\displaystyle a_{i}\wedge \alpha _{j}}$(وهو في h إذا كان i = j ) مع الجذر${\displaystyle \varepsilon _{i}-\varepsilon _{j}}$

${\displaystyle \alpha _{i}\wedge \alpha _{j},\;i\neq j,}$مع الجذر${\displaystyle -\varepsilon _{i}-\varepsilon _{j},}$

وإذا كان n فرديًا، وكان u عنصرًا غير صفري من U ،

${\displaystyle a_{i}\wedge u,}$مع الجذر${\displaystyle \varepsilon _{i}}$

${\displaystyle \alpha _{i}\wedge u,}$مع الجذر${\displaystyle -\varepsilon _{i}.}$

وبالتالي، بالنسبة للأساس ε ₁ , ... ε _m ، فإن الجذور هي المتجهات في h ^∗ التي هي تباديل لـ

${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,0,0,\dots ,0)}$

بالإضافة إلى تباديل

${\displaystyle (\pm 1,0,0,\dots ,0)}$

إذا كان n = 2 m + 1 عددًا فرديًا.

يُعطى نظام الجذور الموجبة بالصيغة التالية: εᵢ + εⱼ ( _حيث i ≠ j ₎ ، _و εᵢ − εⱼ ( حيث i < j ) ، و εᵢ (لأعداد n الفردية) . _أما الجذور البسيطة المقابلة فهي _:

${\displaystyle \varepsilon _{1}-\varepsilon _{2},\varepsilon _{2}-\varepsilon _{3},\ldots ,\varepsilon _{m-1}-\varepsilon _{m},\left\{{\begin{matrix}\varepsilon _{m-1}+\varepsilon _{m}&n=2m\\\varepsilon _{m}&n=2m+1.\end{matrix}}\right.}$

الجذور الموجبة هي تركيبات خطية غير سالبة من الجذور البسيطة.

إحدى طرق بناء تمثيلات الدوران لـ so ( n , C ) تستخدم الجبر الخارجي (s)

${\displaystyle S=\wedge ^{\bullet }W}$و/أو${\displaystyle S'=\wedge ^{\bullet }W^{*}.}$

يوجد تأثير لـ V على S بحيث يكون لأي عنصر v = w + w ^∗ في W ⊕ W ^∗ وأي ψ في S، يتم إعطاء التأثير بواسطة:

${\displaystyle v\cdot \psi =2^{\frac {1}{2}}(w\wedge \psi +\iota (w^{*})\psi ),}$

حيث يمثل الحد الثاني انكماشًا ( ضربًا داخليًا ) مُعرَّفًا باستخدام الصيغة الثنائية الخطية، والتي تُزاوج بين ^W و W * ^. يحترم هذا الفعل علاقات كليفورد v² = Q ( v ) ¹ ، وبالتالي يُنشئ تشاكلًا من جبر كليفورد ClⁿC لـ V إلى End( S ₎ . يمكن تعريف فعل مماثل على S ′ ، بحيث يكون كل من S و S ′ وحدات كليفورد .

إن جبر لي so ( n , C ) متماثل مع جبر لي المعقد spin _n ^C في Cl _n C عبر التعيين الناتج عن التغطية Spin( n ) → SO( n ) ^{[ 2 ]}

${\displaystyle v\wedge w\mapsto {\tfrac {1}{4}}[v,w].}$

يترتب على ذلك أن كلاً من S و S ′ يمثلان so ( n , C ) . وهما في الواقع تمثيلان متكافئان ، لذلك سنركز على S.

يُظهر الوصف الصريح أن العناصر α _i ∧ a _i من الجبر الجزئي كارتان h تؤثر على S بواسطة

${\displaystyle (\alpha _{i}\wedge a_{i})\cdot \psi ={\tfrac {1}{4}}(2^{\tfrac {1}{2}})^{2}(\iota (\alpha _{i})(a_{i}\wedge \psi )-a_{i}\wedge (\iota (\alpha _{i})\psi ))={\tfrac {1}{2}}\psi -a_{i}\wedge (\iota (\alpha _{i})\psi ).}$

تُعطى قاعدة S بواسطة عناصر من الشكل

${\displaystyle a_{i_{1}}\wedge a_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge a_{i_{k}}}$

لـ 0 ≤ k ≤ m و i ₁ < ... < i _k . من الواضح أن هذه تمتد عبر فضاءات الأوزان لتأثير h : α _i ∧ a _i لها قيمة ذاتية −1/2 على متجه الأساس المعطى إذا كان i = i _j لبعض j ، ولها قيمة ذاتية 1/2 خلاف ذلك.

ويترتب على ذلك أن أوزان S هي جميع التوليفات الممكنة لـ

${\displaystyle {\bigl (}\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\ldots \pm {\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}$

وكل فضاء وزن أحادي البعد. وتسمى عناصر S سبينورات ديراك .

عندما يكون n زوجيًا، فإن S ليس تمثيلًا غير قابل للاختزال :${\displaystyle S_{+}=\wedge ^{\mathrm {even} }W}$و${\displaystyle S_{-}=\wedge ^{\mathrm {odd} }W}$هي فضاءات جزئية ثابتة. تنقسم الأوزان إلى أوزان ذات عدد زوجي من الإشارات السالبة، وأوزان ذات عدد فردي من الإشارات السالبة. كل من S ₊ و S- تمثيلات غير قابلة للاختزال ذات بُعد 2m ^{- 1، وتُسمى} _{عناصرها} سبينورات فايل . تُعرف أيضًا باسم تمثيلات اللف المغزلي الكيرالية أو تمثيلات نصف اللف المغزلي. بالنسبة لنظام الجذر الموجب المذكور أعلاه، فإن أعلى أوزان S ₊ و S- _هي

${\displaystyle {\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},\ldots {\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}$و${\displaystyle {\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},\ldots {\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}$

على التوالي. يُعرّف فعل كليفورد Cl _n C مع End( S )، ويُعرّف الجبر الجزئي الزوجي مع التشاكلات الداخلية التي تحافظ على S + _و S − _. وحدة كليفورد الأخرى S ′ متماثلة مع S في هذه الحالة.

عندما يكون n فرديًا، فإن S هو تمثيل غير قابل للاختزال لـ so ( n , C ) ذي بُعد 2m ^: يُعطى فعل كليفورد لمتجه الوحدة u ∈ U بواسطة

${\displaystyle u\cdot \psi =\left\{{\begin{matrix}\psi &{\hbox{if }}\psi \in \wedge ^{\mathrm {even} }W\\-\psi &{\hbox{if }}\psi \in \wedge ^{\mathrm {odd} }W\end{matrix}}\right.}$

وبالتالي، فإن عناصر so ( n , C ) التي تأخذ الشكل u ∧ w أو u ∧ w ^∗ لا تحافظ على الأجزاء الزوجية والفردية للجبر الخارجي لـ W. أعلى وزن لـ S هو

${\displaystyle {\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},\ldots {\tfrac {1}{2}}{\bigr )}.}$

لا يكون تأثير كليفورد أمينًا على S : يمكن تعريف Cl _n C على أنه End( S ) ⊕ End( S ′ )، حيث يؤثر u بإشارة معاكسة على S ′ . بتعبير أدق، يرتبط التمثيلان بانعكاس التكافؤ α لـ Cl _n C (المعروف أيضًا باسم التشاكل الذاتي الرئيسي)، وهو التطابق على الجبر الجزئي الزوجي، مطروحًا منه التطابق على الجزء الفردي من Cl _n C. بعبارة أخرى، يوجد تماثل خطي من S إلى S ′ ، يُعرّف تأثير A في Cl _n C على S بتأثير α ( A ) على S ′ .

إذا كان λ وزنًا لـ S ، فإن −λ كذلك . ويترتب على ذلك أن S متماثل مع التمثيل الثنائي S ^* .

عندما يكون n = 2m + 1 عددًا فرديًا، يكون التشاكل B : S → S ^* فريدًا حتى المقياس وفقًا لفرضية شور ، لأن S غير قابلة للاختزال، وهو يُعرّف شكلًا ثنائيًا خطيًا ثابتًا غير منحل β على S عبر

${\displaystyle \beta (\varphi ,\psi )=B(\varphi )(\psi ).}$

هنا، تعني الثباتية أن

${\displaystyle \beta (\xi \cdot \varphi ,\psi )+\beta (\varphi ,\xi \cdot \psi )=0}$

لكل ξ في so ( n , C ) و φ و ψ في S — بعبارة أخرى، يكون تأثير ξ منحرفًا بالنسبة إلى β . في الواقع، هناك ما هو أكثر من ذلك: S ^* هو تمثيل لجبر كليفورد المعاكس ، وبالتالي، بما أن ClnC _لا يحتوي إلا على وحدتين بسيطتين غير تافهتين S و S ′ ، مرتبطتين بالانعكاس الزوجي α ، يوجد تماثل مضاد τ لـ _ClnC بحيث

${\displaystyle \quad \beta (A\cdot \varphi ,\psi )=\beta (\varphi ,\tau (A)\cdot \psi )\qquad (1)}$

لأي عنصر A في Cl _n C. في الواقع، τ هو الانعكاس (التشاكل العكسي الناتج عن العنصر المحايد على V ) عندما يكون m زوجيًا، والاقتران (التشاكل العكسي الناتج عن طرح العنصر المحايد على V ) عندما يكون m فرديًا. يرتبط هذان التشاكلان العكسيان بانعكاس التكافؤ α ، وهو التشاكل الذاتي الناتج عن طرح العنصر المحايد على V. كلاهما يحقق τ ( ξ ) = −ξ عندما يكون ξ في so ( n , C ) .

عندما يكون n = 2m ، يعتمد الوضع بشكل أكبر على زوجية m . بالنسبة لـ m الزوجية، يكون للوزن λ عدد زوجي من الإشارات السالبة إذا وفقط إذا كان −λ كذلك ؛ ويترتب على ذلك وجود تماثلات منفصلة B _± : S _± → S _± ^* لكل تمثيل نصف دوراني مع نظيره الثنائي، كل منها محدد بشكل فريد حتى المقياس. يمكن دمج هذه التماثلات في تماثل B : S → S ^* . بالنسبة لـ m الفردية، يكون λ وزنًا لـ S ₊ إذا وفقط إذا كان −λ وزنًا لـ _S− ؛ وبالتالي يوجد تماثل من S ₊ إلى S− _* ^{، وهو} أيضًا فريد حتى المقياس، ويوفر منقوله تماثلًا من S− إلى S ₊ ^{* . يمكن دمج هذه} _{التماثلات} مرة أخرى في تماثل B : S → S ^* .

بالنسبة لكل من m الزوجي و m الفردي، يمكن تقييد الحرية في اختيار B بمقياس شامل من خلال الإصرار على أن الشكل الثنائي الخطي β المقابل لـ B يفي بـ (1)، حيث τ هو تماثل مضاد ثابت (إما عكس أو اقتران).

يمكن تحديد خصائص التناظر لـ β : S ⊗ S → C باستخدام جبر كليفورد أو نظرية التمثيل. في الواقع، يمكن قول المزيد: يجب أن يتحلل مربع الموتر S ⊗ S إلى مجموع مباشر لأشكال k على V لقيم k مختلفة ، لأن أوزانه هي جميع العناصر في h ^∗ التي تنتمي مكوناتها إلى { − 1,0,1}. الآن، تتوافق التطبيقات الخطية المتغيرة S ⊗ S → ∧ ^k V ^∗ بشكل تقابلي مع التطبيقات الثابتة ∧ ^k V ⊗ S ⊗ S → C ، ويمكن إنشاء تطبيقات غير صفرية من هذا النوع عن طريق تضمين ∧ ^k V في جبر كليفورد. علاوة على ذلك، إذا كان β ( φ , ψ ) = ε β ( ψ , φ ) وكان لـ τ إشارة ε _k على ∧ ^k V، فإن

${\displaystyle \beta (A\cdot \varphi ,\psi )=\varepsilon \varepsilon _{k}\beta (A\cdot \psi ,\varphi )}$

لـ A في ∧ ^k V .

إذا كان n = 2m + 1 عددًا فرديًا، فإنه يترتب على ذلك من مبرهنة شور أن

${\displaystyle S\otimes S\cong \bigoplus _{j=0}^{m}\wedge ^{2j}V^{*}}$

(لكلا الجانبين بُعد 2 ^{× 2 م} ، والتمثيلات على اليمين غير متكافئة). ولأن التناظرات تخضع لعملية انعكاس τ ، وهي إما اقتران أو انعكاس، فإن تناظر المكون ∧ ^2j V ^∗ يتناوب مع j . وتعطينا التوافقية الأولية

${\displaystyle \sum _{j=0}^{m}(-1)^{j}\dim \wedge ^{2j}\mathbb {C} ^{2m+1}=(-1)^{{\frac {1}{2}}m(m+1)}2^{m}=(-1)^{{\frac {1}{2}}m(m+1)}(\dim \mathrm {S} ^{2}S-\dim \wedge ^{2}S)}$

وتحدد الإشارة أي التمثيلات تظهر في S ² S وأيها تظهر في ∧ ² S. ^{[ 3} ] على وجه ^الخصوص

${\displaystyle \beta (\phi ,\psi )=(-1)^{{\frac {1}{2}}m(m+1)}\beta (\psi ,\phi ),}$و

${\displaystyle \beta (v\cdot \phi ,\psi )=(-1)^{m}(-1)^{{\frac {1}{2}}m(m+1)}\beta (v\cdot \psi ,\phi )=(-1)^{m}\beta (\phi ,v\cdot \psi )}$

بالنسبة لـ v ∈ V (وهو متماثل مع ∧ ^{2 m} V )، مما يؤكد أن τ هو عكس بالنسبة لـ m زوجي، واقتران بالنسبة لـ m فردي.

إذا كان n = 2 m زوجيًا، فإن التحليل يكون أكثر تعقيدًا، لكن النتيجة هي تفكيك أكثر دقة: يمكن تفكيك كل من S ² S _± ، ∧ ² S _± و S ₊ ⊗ S ₋ كمجموع مباشر من الأشكال k (حيث يوجد لـ k = m تفكيك إضافي إلى أشكال m ذاتية التناظر ومضادة ذاتية التناظر ).

النتيجة الرئيسية هي تحقيق so ( n , C ) كجبر فرعي لجبر لي كلاسيكي على S ، اعتمادًا على n modulo 8 ، وفقًا للجدول التالي:

n mod 8	0	1	2	3	4	5	6	7
جبر السبينور	${\displaystyle {\mathfrak {so}}(S_{+})\oplus {\mathfrak {so}}(S_{-})}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}(S)}$	${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(S_{\pm })}$	${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(S)}$	${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(S_{+})\oplus {\mathfrak {sp}}(S_{-})}$	${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(S)}$	${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(S_{\pm })}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}(S)}$

بالنسبة لـ n ≤ 6، تكون هذه التضمينات متماثلة (على sl بدلاً من gl لـ n = 6):

${\displaystyle {\mathfrak {so}}(2,\mathbb {C} )\cong {\mathfrak {gl}}(1,\mathbb {C} )\qquad (=\mathbb {C} )}$

${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,\mathbb {C} )\cong {\mathfrak {sp}}(2,\mathbb {C} )\qquad (={\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ))}$

${\displaystyle {\mathfrak {so}}(4,\mathbb {C} )\cong {\mathfrak {sp}}(2,\mathbb {C} )\oplus {\mathfrak {sp}}(2,\mathbb {C} )}$

${\displaystyle {\mathfrak {so}}(5,\mathbb {C} )\cong {\mathfrak {sp}}(4,\mathbb {C} )}$

${\displaystyle {\mathfrak {so}}(6,\mathbb {C} )\cong {\mathfrak {sl}}(4,\mathbb {C} ).}$

لاستكمال وصف التمثيل الحقيقي، يجب أن نصف كيفية تفاعل هذه البنى مع الأشكال الثنائية الخطية الثابتة. بما أن n = p + q ≅ p − q mod 2، فهناك حالتان: إما أن يكون البعد والإشارة زوجيين، أو أن يكون البعد والإشارة فرديين.

الحالة الفردية أبسط، إذ يوجد تمثيل دوراني معقد واحد فقط S ، ولا تظهر البنى الهرميتية. باستثناء الحالة البسيطة n = 1، يكون S دائمًا زوجي الأبعاد، ولنقل dim S = 2N . الصيغ الحقيقية لـ so ( 2N , C ) هي so ( K , L ) حيث K + L = 2N و so * ⁽ N , H ) ، بينما الصيغ الحقيقية لـ sp ( 2N , C ) هي sp ( 2N , R ) و sp ( K , L ) حيث K + L = N. وجود تأثير كليفورد لـ V على S يُجبر K = L في كلتا الحالتين إلا إذا كان pq = 0، وفي هذه الحالة KL = 0، ويُشار إليها ببساطة بـ so (2N ) أو sp ( N ). بالتالي، يمكن تلخيص تمثيلات الدوران الفردي في الجدول التالي.

(†) N زوجي لـ n > 3 ولـ n = 3 ، وهذا هو sp (1) .

الحالة ذات الأبعاد الزوجية مشابهة. بالنسبة لـ n > 2 ، تكون تمثيلات نصف اللف المغزلي المعقدة ذات أبعاد زوجية. بالإضافة إلى ذلك، علينا التعامل مع البنى الهرميتية والأشكال الحقيقية لـ sl ( 2N , C ) ، وهي sl ( 2N , R ) ، و su ( K , L ) حيث K + L = 2N ، و sl ( N , H ) . ويمكن تلخيص تمثيلات اللف المغزلي الزوجية الناتجة كما يلي.

(*) بالنسبة لـ pq = 0 ، لدينا بدلاً من ذلك so (2 N ) + so (2 N )

(†) يكون N زوجيًا عندما n > 4 وعندما pq = 0 (والذي يشمل n = 4 مع N = 1 )، لدينا بدلًا من ذلك sp ( N ) + sp ( N )

تتخذ التشاكلات منخفضة الأبعاد في الحالة المعقدة الأشكال الحقيقية التالية.

التوقيع الإقليدي	بصمة مينكوفسكي	توقيعات أخرى
${\displaystyle {\mathfrak {so}}(2)\cong {\mathfrak {u}}(1)}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}(1,1)\cong \mathbb {R} }$
${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)\cong {\mathfrak {sp}}(1)}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}(2,1)\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )}$
${\displaystyle {\mathfrak {so}}(4)\cong {\mathfrak {sp}}(1)\oplus {\mathfrak {sp}}(1)}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,1)\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}(2,2)\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )}$
${\displaystyle {\mathfrak {so}}(5)\cong {\mathfrak {sp}}(2)}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}(4,1)\cong {\mathfrak {sp}}(1,1)}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,2)\cong {\mathfrak {sp}}(4,\mathbb {R} )}$
${\displaystyle {\mathfrak {so}}(6)\cong {\mathfrak {su}}(4)}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}(5,1)\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {H} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}(4,2)\cong {\mathfrak {su}}(2,2)}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,3)\cong {\mathfrak {sl}}(4,\mathbb {R} )}$

التشاكلات الخاصة الوحيدة لجبر لي الحقيقي غير الموجودة في هذا الجدول هي ${\displaystyle {\mathfrak {so}}^{*}(3,\mathbb {H} )\cong {\mathfrak {su}}(3,1)}$و${\displaystyle {\mathfrak {so}}^{*}(4,\mathbb {H} )\cong {\mathfrak {so}}(6,2).}$