جماعة كاذبة

• ال${\displaystyle 2\times 2}$تشكل المصفوفات الحقيقية القابلة للعكس مجموعة تحت عملية الضرب، تسمى المجموعة الخطية العامة من الدرجة 2 ويرمز لها بـ${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {R} )}$أو عن طريق${\displaystyle \operatorname {GL} _{2}(\mathbb {R} )}$⁠ :$${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {R} )=\left\{A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\det A=ad-bc\neq 0\right\}.}$$هذه زمرة لي حقيقية غير متراصة رباعية الأبعاد ؛ وهي مجموعة جزئية مفتوحة من${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$⁠ . هذه المجموعة منفصلة ؛ فهي تحتوي على مكونين متصلين يحتويان على مصفوفات ذات محددات موجبة وسالبة على التوالي.
• تشكل مصفوفات الدوران مجموعة فرعية من ⁠${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {R} )}$، ويرمز إليه بـ${\displaystyle \operatorname {SO} (2,\mathbb {R} )}$إنها زمرة لي بحد ذاتها: تحديدًا، زمرة لي متصلة مضغوطة أحادية البعد متماثلة شكليًا مع الدائرة . باستخدام زاوية الدوران${\displaystyle \varphi }$يمكن تحديد معلمات هذه المجموعة على النحو التالي:$${\displaystyle \operatorname {SO} (2,\mathbb {R} )=\left\{{\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}:\varphi \in \mathbb {R} \ /\ 2\pi \mathbb {Z} \right\}.}$$جمع الزوايا يقابله ضرب عناصر ⁠${\displaystyle \operatorname {SO} (2,\mathbb {R} )}$وأخذ الزاوية المقابلة يقابل عملية الانعكاس. وبالتالي، فإن كلاً من الضرب والانعكاس هما دالتان قابلتان للتفاضل .
• الزمرة الأفينية أحادية البعد هي زمرة لي المصفوفية ثنائية الأبعاد، وتتكون من${\displaystyle 2\times 2}$مصفوفات حقيقية مثلثية علوية، يكون العنصر القطري الأول فيها موجبًا والعنصر القطري الثاني موجبًا.${\displaystyle 1}$وبالتالي، تتكون المجموعة من مصفوفات من الشكل التالي:$${\displaystyle A=\left({\begin{array}{cc}a&b\\0&1\end{array}}\right),\quad a>0,\,b\in \mathbb {R} .}$$

نقدم الآن مثالاً على مجموعة ذات عدد غير معدود من العناصر، وهي ليست مجموعة لي في ظل طوبولوجيا معينة. المجموعة المعطاة بواسطة

${\displaystyle H=\left\{\left({\begin{matrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi ia\theta }\end{matrix}}\right):\,\theta \in \mathbb {R} \right\}\subset \mathbb {T} ^{2}=\left\{\left({\begin{matrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi i\phi }\end{matrix}}\right):\,\theta ,\phi \in \mathbb {R} \right\},}$

مع${\displaystyle a\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$عدد غير نسبي ثابت ، هو مجموعة فرعية من الطارة${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$هذا ليس زمرة لي عند إعطاء طوبولوجيا الفضاء الجزئي . ^{[ 9 ]} إذا أخذنا أي جوار صغير${\displaystyle U}$نقطة${\displaystyle h}$في​${\displaystyle H}$على سبيل المثال، جزء من${\displaystyle H}$في${\displaystyle U}$المجموعة غير متصلة.${\displaystyle H}$يلتف بشكل متكرر حول الطارة دون أن يصل أبدًا إلى نقطة سابقة من اللولب، وبالتالي يشكل مجموعة فرعية كثيفة من${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$⁠ .

المجموعة${\displaystyle H}$ومع ذلك، يمكن إعطاؤها بنية طوبولوجية مختلفة، حيث تكون المسافة بين نقطتين${\displaystyle h_{1},h_{2}\in H}$يُعرَّف بأنه طول أقصر مسار في المجموعة${\displaystyle H}$اندماج${\displaystyle h_{1}}$إلى​${\displaystyle h_{2}}$في هذا التكوين الطوبولوجي ،${\displaystyle H}$يتم تحديدها بشكل متماثل مع خط الأعداد الحقيقية عن طريق تحديد كل عنصر بالعدد${\displaystyle \theta }$في تعريف ⁠${\displaystyle H}$. مع هذه البنية الطوبولوجية،${\displaystyle H}$هي ببساطة مجموعة الأعداد الحقيقية تحت عملية الجمع، وبالتالي فهي مجموعة لي.

المجموعة${\displaystyle H}$يُعدّ هذا مثالاً على " مجموعة لي جزئية " من مجموعة لي غير مغلقة. انظر المناقشة أدناه حول مجموعات لي الجزئية في قسم المفاهيم الأساسية.

يترك${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$تشير إلى مجموعة${\displaystyle n\times n}$المصفوفات القابلة للعكس ذات المدخلات في${\displaystyle \mathbb {C} }$أي مجموعة فرعية مغلقة من${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$هي زمرة لي؛ ^{[ 10 ]} تُسمى زمر لي من هذا النوع زمر لي المصفوفية. ولأن معظم الأمثلة المهمة لزمر لي يمكن تمثيلها كزمر لي مصفوفية، فإن بعض الكتب الدراسية تُركز على هذا النوع، بما في ذلك كتب هول، ^{[ 11 ]} وروسمان، ^{[ 12 ]} وستيلويل. ^{[ 13 ]} إن التركيز على زمر لي المصفوفية يُبسط تعريف جبر لي والدالة الأسية. فيما يلي أمثلة نموذجية لزمر لي المصفوفية.

• المجموعات الخطية الخاصة فوق${\displaystyle \mathbb {R} }$و​${\displaystyle \mathbb {C} }$،​${\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {R} )}$و​${\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {C} )}$، تتكون من${\displaystyle n\times n}$المصفوفات ذات المحدد${\displaystyle 1}$والمدخلات في${\displaystyle \mathbb {R} }$أو${\displaystyle \mathbb {C} }$
• المجموعات الموحدة والمجموعات الموحدة الخاصة،${\displaystyle \operatorname {U} (n,\mathbb {C} )}$و​${\displaystyle \operatorname {SU} (n,\mathbb {C} )}$، تتكون من${\displaystyle n\times n}$المصفوفات المعقدة التي تحقق${\displaystyle U^{*}=U^{-1}}$(وأيضًا${\displaystyle \det(U)=1}$في حالة${\displaystyle \operatorname {SU} (n,\mathbb {C} )}$)، أين${\displaystyle U^{*}}$هو المنقول المترافق لـ${\displaystyle U}$
• المجموعات المتعامدة والمجموعات المتعامدة الخاصة،${\displaystyle \operatorname {O} (n,\mathbb {R} )}$و​${\displaystyle \operatorname {SO} (n,\mathbb {R} )}$، تتكون من${\displaystyle n\times n}$المصفوفات الحقيقية المُرضية${\displaystyle R^{\mathrm {T} }=R^{-1}}$(وأيضًا${\displaystyle \det(R)=1}$في حالة${\displaystyle \operatorname {SO} (n,\mathbb {R} )}$)، أين${\displaystyle R^{\mathrm {T} }}$هو منقول​${\displaystyle R}$

تندرج جميع الأمثلة السابقة تحت عنوان المجموعات الكلاسيكية .

يتم تعريف زمرة لي المعقدة بنفس الطريقة باستخدام مشعبات معقدة بدلاً من المشعبات الحقيقية (مثال:${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )}$) والخرائط الهولومورفية. وبالمثل، باستخدام إكمال متري بديل لـ ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} }$يمكن تعريف زمرة لي p -adic على الأعداد p -adic ، وهي زمرة طوبولوجية تُعدّ أيضًا مشعبًا تحليليًا p -adic، بحيث تكون عمليات الزمرة تحليلية. وعلى وجه الخصوص، لكل نقطة جوار p -adic.

تساءلت المسألة الخامسة لهيلبرت عما إذا كان استبدال المشعبات التفاضلية بمشعبات طوبولوجية أو تحليلية يُمكن أن يُنتج أمثلة جديدة. وجاءت الإجابة بالنفي: ففي عام ١٩٥٢، بيّن غليسون ومونتغمري وزيبين أنه إذا كان G مشعبًا طوبولوجيًا ذا عمليات زمرة متصلة، فإنه يوجد بنية تحليلية واحدة فقط على G تُحوّله إلى زمرة لي (انظر أيضًا حدسية هيلبرت-سميث ). وإذا سُمح للمشعب الأساسي بأن يكون لانهائي الأبعاد (على سبيل المثال، مشعب هيلبرت )، فإننا نصل إلى مفهوم زمرة لي لانهائية الأبعاد. ومن الممكن تعريف نظائر للعديد من زمر لي على الحقول المنتهية ، وهذه تُعطي معظم أمثلة الزمر البسيطة المنتهية .

تُقدّم لغة نظرية الفئات تعريفًا موجزًا ​​لزمر لي: زمرة لي هي كائن زمر في فئة المشعبات الملساء. وهذا مهم، لأنه يسمح بتعميم مفهوم زمرة لي ليشمل زمر لي الفائقة . كما تُفضي هذه النظرة الفئوية إلى تعميم مختلف لزمر لي، ألا وهو زمر لي الجزئية ، وهي كائنات زمر جزئية في فئة المشعبات الملساء مع شرط إضافي.

يمكن تعريف زمرة لي بأنها زمرة طوبولوجية ( هاوسدورف ) تبدو، بالقرب من عنصر المحايد، كزمرة تحويل، دون أي إشارة إلى المشعبات التفاضلية أو المشعبات الطوبولوجية. ^{[ 14 ]} وبالتحديد، تُعرَّف زمرة لي بأنها زمرة طوبولوجية (1) متماثلة محليًا بالقرب من عناصر المحايد مع زمرة لي المصفوفية، وهي زمرة فرعية مغلقة من${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$و(2) يحتوي على عدد لا نهائي من المكونات المتصلة. ^{[ أ ]} إثبات أن التعريف الطوبولوجي مكافئ للتعريف المعتاد هو أمر تقني (ويجب على القراء المبتدئين تخطي ما يلي)، ولكنه يتم تقريبًا على النحو التالي:

1. بالنظر إلى زمرة لي G بالمعنى المعتاد للمتشعبات، فإن تناظر زمرة لي مع جبر لي (أو صيغة من نظرية لي الثالثة ) يُنشئ زمرة لي فرعية مغلقة${\displaystyle G'\subset \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$بحيث${\displaystyle G,G'}$يشتركان في نفس جبر لي؛ ^{[ ب ]} وبالتالي، فهما متماثلان محليًا. ومن ثم،${\displaystyle G}$يفي بالتعريف الطوبولوجي المذكور أعلاه.
2. على العكس من ذلك، دع${\displaystyle G}$لتكن مجموعة طوبولوجية هي مجموعة لي بالمعنى الطوبولوجي المذكور أعلاه، واختر مجموعة لي مصفوفية${\displaystyle G'}$وهو متماثل محليًا مع${\displaystyle G}$حول الهويات المعنية. ثم، باستخدام صيغة من نظرية المجموعة الفرعية المغلقة ،${\displaystyle G'}$هي فضاء تحليلي حقيقي ، ومن ثم، من خلال التشاكل الموضعي، تكتسب G بنية فضاء بالقرب من عنصر الوحدة. بعد ذلك، يُبين أن قانون المجموعة على G يمكن التعبير عنه بواسطة متسلسلات قوى شكلية ؛ ^{[ ج ]} لذا فإن عمليات المجموعة تحليلية حقيقية و${\displaystyle G}$هو نفسه متعدد الشعب التحليلي الحقيقي.

يُشير التعريف الطوبولوجي إلى أنه إذا كانت مجموعتان من مجموعات لي متماثلتين طوبولوجيًا، فإنهما متماثلتان أيضًا كمجموعات لي. في الواقع، يُؤكد هذا التعريف المبدأ العام القائل بأن طوبولوجيا مجموعة لي، إلى جانب قانون المجموعة، تُحدد إلى حد كبير هندسة المجموعة.

إن مجموعات لي المتصلة الوحيدة ذات البعد الواحد هي خط الأعداد الحقيقية${\displaystyle \mathbb {R} }$(مع كون عملية المجموعة هي الجمع) ومجموعة الدائرة${\displaystyle S^{1}}$الأعداد المركبة التي قيمتها المطلقة واحد (مع كون عملية المجموعة هي الضرب).${\displaystyle S^{1}}$يُشار إلى المجموعة غالبًا بالرمز ⁠${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$، مجموعة${\displaystyle 1\times 1}$المصفوفات الوحدوية.

في بُعدين، إذا اقتصرنا على الزمر المتصلة ببساطة، فسيتم تصنيفها وفقًا لجبر لي الخاص بها. يوجد (حتى التشاكل) جبران لي فقط في البُعد الثاني. وزمر لي المتصلة ببساطة المرتبطة بهما هي${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$(مع كون عملية المجموعة هي جمع المتجهات) والمجموعة الأفينية في البعد واحد، الموصوفة في القسم الفرعي السابق تحت عنوان "الأمثلة الأولى".

• المجموعة SU(2) هي مجموعة${\displaystyle 2\times 2}$المصفوفات الوحدوية ذات المحدد${\displaystyle 1}$من الناحية الطوبولوجية،${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$هو ⁠${\displaystyle 3}$-سفير​​${\displaystyle S^{3}}$⁠ ; كمجموعة، يمكن تعريفها بمجموعة الكواترنيونات الوحدوية .
• مجموعة هايزنبرغ هي مجموعة لي متصلة عديمة القوة ذات بُعد ⁠${\displaystyle 3}$، تلعب دورًا رئيسيًا في ميكانيكا الكم .
• مجموعة لورنتز هي مجموعة لي سداسية الأبعاد من التماثلات الخطية لفضاء مينكوفسكي .
• مجموعة بوانكاريه هي مجموعة لي ذات 10 أبعاد من التماثلات الأفينية لفضاء مينكوفسكي.
• تتميز مجموعات لي الاستثنائية من الأنواع G ₂ و F ₄ و E ₆ و E ₇ و E ₈ بأبعاد 14 و 52 و 78 و 133 و 248. إلى جانب سلسلة A-B-C-D من مجموعات لي البسيطة ، تُكمل المجموعات الاستثنائية قائمة مجموعات لي البسيطة.
• المجموعة التبسيطية${\displaystyle {\text{Sp}}(2n,\mathbb {R} )}$يتكون من كل${\displaystyle 2n\times 2n}$المصفوفات التي تحافظ على الشكل التبسيطي${\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{pmatrix}}}$في​${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$. إنها زمرة لي متصلة ذات بُعد ⁠${\displaystyle 2n^{2}+n}$⁠ .

هناك عدة طرق قياسية لتكوين مجموعات لي جديدة من مجموعات لي القديمة:

• حاصل ضرب مجموعتين من مجموعات لي هو مجموعة لي.
• أي زمرة جزئية مغلقة طوبولوجيًا من زمرة لي هي زمرة لي. يُعرف هذا باسم نظرية الزمرة الجزئية المغلقة أو نظرية كارتان .
• إن خارج قسمة زمرة لي على زمرة جزئية طبيعية مغلقة هو زمرة لي.
• الغطاء الشامل لمجموعة لي المتصلة هو مجموعة لي. على سبيل المثال، المجموعة${\displaystyle \mathbb {R} }$هو الغطاء الشامل لمجموعة الدائرة${\displaystyle S^{1}}$في الواقع ، أي غطاء لمتشعب قابل للتفاضل هو أيضًا متشعب قابل للتفاضل، ولكن من خلال تحديد الغطاء الشامل ، يضمن المرء بنية مجموعة (متوافقة مع بنياتها الأخرى).

بعض الأمثلة على المجموعات التي ليست مجموعات لي (باستثناء المعنى البسيط الذي يمكن اعتبار أي مجموعة تحتوي على عدد قابل للعد من العناصر على الأكثر مجموعة لي).${\displaystyle 0}$مجموعة لي ذات الأبعاد n، مع الطوبولوجيا المنفصلة )، هي:

• المجموعات اللانهائية الأبعاد، مثل المجموعة الجمعية لفضاء متجهي حقيقي لانهائي الأبعاد، أو فضاء الدوال الملساء من متعدد الشعب${\displaystyle X}$إلى مجموعة كاذبة${\displaystyle G}$،${\displaystyle C^{\infty }(X,G)}$هذه ليست مجموعات لي لأنها ليست مشعبات ذات أبعاد محدودة .
• بعض المجموعات المنفصلة تمامًا ، مثل مجموعة غالوا لامتداد لانهائي من الحقول، أو المجموعة الجمعية لـ${\displaystyle p}$الأعداد -adic. هذه ليست زمر لي لأن فضاءاتها الأساسية ليست متعددة الشعب الحقيقية. (بعض هذه الزمر هي "${\displaystyle p}$زمر لي -adic.) بشكل عام، الزمر الطوبولوجية التي لها خصائص محلية مماثلة لـ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$لبعض الأعداد الصحيحة الموجبة${\displaystyle n}$يمكن أن تكون مجموعات لي (بالطبع يجب أن يكون لها أيضًا بنية قابلة للتفاضل).

لكل زمرة لي، يمكننا ربط جبر لي يكون فضاء متجهاته الأساسي هو الفضاء المماسي لزمرة لي عند العنصر المحايد، والذي يجسد تمامًا البنية المحلية للزمرة. بشكل غير رسمي، يمكننا اعتبار عناصر جبر لي عناصر الزمرة " قريبة بشكل متناهي الصغر " من العنصر المحايد، ويرتبط قوس لي لجبر لي بمبدل عنصرين متناهيي الصغر من هذه العناصر. قبل تقديم التعريف المجرد، نورد بعض الأمثلة:

• إن جبر لي للفضاء المتجهي R ⁿ هو ببساطة R ⁿ مع قوس لي المعطى بواسطة [ A , B ] = 0. (بشكل عام، يكون قوس لي لمجموعة لي متصلة دائمًا 0 إذا وفقط إذا كانت مجموعة لي تبديلية.)    
• إن جبر لي للمجموعة الخطية العامة GL( n , C ) للمصفوفات القابلة للعكس هو الفضاء المتجهي M( n , C ) للمصفوفات المربعة مع قوس لي المعطى بواسطة [ A , B ] = AB − BA .      
• إذا كانت G زمرة جزئية مغلقة من GL( n , C ) ، فيمكن اعتبار جبر لي لـ G ، بشكل غير رسمي، على أنه المصفوفات m من M( n , C ) التي يكون فيها 1  +  εm ∈ G ، حيث ε عدد موجب متناهي الصغر يحقق ε² ⁼ 0 (بالطبع، لا يوجد عدد حقيقي ε يحقق هذا الشرط). على سبيل المثال، تتكون الزمرة المتعامدة O( n ^, R ) من المصفوفات A التي تحقق ^AₐT = 1 ، لذا يتكون جبر لي من المصفوفات m التي تحقق (1 + εm )(1 + εm ) ^T = 1، وهو ما يكافئ m + mT = 0 لأن ε² ⁼ 0 .                
• يمكن جعل الوصف السابق أكثر دقة على النحو التالي. يمكن حساب جبر لي لمجموعة فرعية مغلقة G من GL( n , C ) على النحو التالي:

${\displaystyle \operatorname {Lie} (G)=\{X\in M(n;\mathbb {C} )|\operatorname {exp} (tX)\in G{\text{ for all }}t{\text{ in }}\mathbb {\mathbb {R} } \},}$^{[ 16 ] [ 11 ]} حيث تُعرَّفexp(tXالدالة الأسية للمصفوفة. ويمكن إثبات أن جبر لي لـGهو فضاء متجهي حقيقي مغلق تحت عملية الأقواس،${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$[ ¹⁷ ]^​​

التعريف المحدد المذكور أعلاه لمجموعات المصفوفات سهل الاستخدام، ولكنه ينطوي على بعض المشكلات البسيطة: لاستخدامه، نحتاج أولًا إلى تمثيل زمرة لي كمجموعة من المصفوفات، ولكن لا يمكن تمثيل جميع زمر لي بهذه الطريقة، وليس من الواضح حتى أن جبر لي مستقل عن التمثيل الذي نستخدمه. ^{[ 18 ]} ولتجاوز هذه المشكلات، نقدم التعريف العام لجبر لي لزمرة لي (في 4 خطوات):

1. يمكن اعتبار الحقول المتجهة على أي مشعب أملس M بمثابة مشتقات X لحلقة الدوال الملساء على المشعب، وبالتالي تشكل جبر لي تحت قوس لي [ X , Y ] = XY − YX ، لأن قوس لي لأي مشتقين هو مشتق.     
2. إذا كانت G أي مجموعة تعمل بسلاسة على المتشعب M ، فإنها تعمل على حقول المتجهات ، ويكون فضاء المتجهات لحقول المتجهات المحدد بواسطة المجموعة مغلقًا تحت قوس لي وبالتالي يشكل أيضًا جبر لي.
3. نُطبّق هذا البناء على الحالة التي يكون فيها المتشعب M هو الفضاء الأساسي لزمرة لي G ، حيث تؤثر G على G = M بإزاحات يسارية Lg ₍ h ) = gh . يُبيّن هذا أن فضاء حقول المتجهات الثابتة يساريًا (حقول المتجهات التي تحقق Lg * Xh = _Xgh لكل h في G ، حيث Lg _* يُشير إلى تفاضل _{Lg ) على زمرة لي هو جبر لي تحت قوس لي} لحقول المتجهات _.      
4. يمكن تمديد أي متجه مماس عند عنصر الوحدة في زمرة لي إلى حقل متجهي ثابت من اليسار عن طريق إزاحة المتجه المماسي إلى اليسار إلى نقاط أخرى على المتشعب. تحديدًا، التمديد الثابت من اليسار لعنصر v من الفضاء المماسي عند عنصر الوحدة هو الحقل المتجهي المعرف بالعلاقة v ∈ _g  = L _{g *} v . هذا يُعرّف الفضاء المماسي T _∈ G عند عنصر الوحدة بأنه فضاء الحقول المتجهة الثابتة من اليسار، وبالتالي يجعل الفضاء المماسي عند عنصر الوحدة جبر لي، يُسمى جبر لي لـ G ، ويُرمز إليه عادةً برمز فراكتورا. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$وبالتالي فإن قوس الكذب على${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$يتم إعطاؤها بشكل صريح بواسطة [ v , w ] = [ v ^, w ^] _e .    

هذا جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$هي مجموعة محدودة الأبعاد ولها نفس بُعد المتشعب G. يحدد جبر لي الخاص بـ G المجموعة G حتى "التماثل الموضعي"، حيث يُقال إن مجموعتين من مجموعات لي متماثلتان موضعيًا إذا بدتا متطابقتين بالقرب من عنصر الوحدة. غالبًا ما تُحل مسائل مجموعات لي بحل المسألة المقابلة لجبر لي أولًا، ومن ثم تتبع النتيجة الخاصة بالمجموعات بسهولة. على سبيل المثال، تُصنف مجموعات لي البسيطة عادةً بتصنيف جبر لي المقابل لها أولًا.

يمكننا أيضًا تعريف بنية جبر لي على T _e باستخدام حقول متجهة ثابتة من اليمين بدلًا من حقول متجهة ثابتة من اليسار. يؤدي هذا إلى نفس جبر لي، لأن التطبيق العكسي على G يمكن استخدامه لمطابقة حقول المتجهات الثابتة من اليسار مع حقول المتجهات الثابتة من اليمين، ويعمل كـ -1 على الفضاء المماسي T _e .

_يمكن أيضًا وصف بنية جبر لي على Te على النحو التالي: عملية التبديل

( x , y ) → xyx ^{− 1} y ^{− 1}

على G × G، تُرسل الدالة ( e , e ) إلى e ، لذا فإن مشتقتها تُنتج عملية ثنائية الخطية على T _e G. هذه العملية الثنائية الخطية هي في الواقع الدالة الصفرية، لكن المشتقة الثانية، في ظل التحديد الصحيح للفضاءات المماسية، تُنتج عملية تُحقق بديهيات قوس لي ، وهي تساوي ضعف تلك المُعرّفة من خلال حقول المتجهات الثابتة من اليسار. 

إذا كانت G و H زمرتين لي، فإنّ تشاكل زمر لي f  : G → H يكون تشاكل زمر أملس . في حالة زمر لي المركبة، يُشترط أن يكون هذا التشاكل تطبيقًا تحليليًا . مع ذلك، فإنّ هذه الشروط صارمة بعض الشيء؛ إذ يتبين أن كل تشاكل متصل بين زمر لي حقيقية يكون تحليليًا (حقيقيًا) . ^{[ 19 ] [ د ]}

إن تركيب اثنين من متماثلات لي هو متماثل آخر، وتشكل فئة جميع زمر لي، بالإضافة إلى هذه المتماثلات، فئةً . علاوة على ذلك، فإن كل متماثل لزمر لي يُولِّد متماثلاً بين جبر لي المقابل. ليكن${\displaystyle \phi :G\to H}$ليكن تماثل زمرة لي وليكن${\displaystyle \phi _{*}}$ليكن مشتقها عند العنصر المحايد. إذا عرّفنا جبر لي لـ G و H بفضائهما المماسي عند عناصر العنصر المحايد، فإن${\displaystyle \phi _{*}}$هي دالة بين جبر لي المتناظر:

${\displaystyle \phi _{*}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}},}$

والذي يتضح أنه تشاكل جبر لي (أي أنه تطبيق خطي يحافظ على قوس لي ). بلغة نظرية الفئات ، لدينا دالة متغيرة من فئة زمر لي إلى فئة جبر لي، تُرسل زمرة لي إلى جبر لي الخاص بها، وتشاكل زمرة لي إلى مشتقتها عند العنصر المحايد.

يُقال عن مجموعتين من مجموعات لي أنهما متماثلتان إذا وُجد بينهما تماثل تقابلي يكون معكوسه أيضًا تماثلًا بين مجموعات لي. وبصورة مكافئة، هو تماثل تفاضلي يكون أيضًا تماثلًا بين مجموعات لي. لاحظ أنه بناءً على ما سبق، فإن التماثل المستمر من مجموعة لي${\displaystyle G}$إلى مجموعة كاذبة${\displaystyle H}$يكون تماثلاً بين مجموعات لي إذا وفقط إذا كان تقابلياً.

من الضروري أن تحتوي مجموعات لي المتماثلة على جبر لي متماثل؛ ومن ثم فمن المعقول أن نسأل كيف ترتبط فئات التماثل لمجموعات لي بفئات التماثل لجبر لي.

أولى النتائج في هذا الاتجاه هي نظرية لي الثالثة ، التي تنص على أن كل جبر لي حقيقي محدود الأبعاد هو جبر لي لمجموعة لي (خطية). إحدى طرق إثبات نظرية لي الثالثة هي استخدام نظرية آدو ، التي تنص على أن كل جبر لي حقيقي محدود الأبعاد متماثل مع جبر لي مصفوفي. في الوقت نفسه، لكل جبر لي مصفوفي محدود الأبعاد، توجد مجموعة خطية (مجموعة لي مصفوفية) يكون هذا الجبر هو جبر لي الخاص بها. ^{[ 20 ]}

من جهة أخرى، لا يشترط أن تكون زمر لي ذات جبر لي متماثلة. علاوة على ذلك، تبقى هذه النتيجة صحيحة حتى لو افترضنا أن الزمر متصلة. بعبارة أخرى، لا يتحدد البناء العام لزمرة لي بجبر لي الخاص بها؛ على سبيل المثال، إذا كانت Z أي زمرة جزئية منفصلة من مركز G، فإن G و G / Z لهما نفس جبر لي (انظر جدول زمر لي للاطلاع على أمثلة). ومن الأمثلة المهمة في الفيزياء الزمرتان SU(2) و SO(3) . لهاتين الزمرتين جبر لي متماثل، ^{[ 21 ]} لكن الزمرتين نفسيهما ليستا متماثلتين، لأن SU(2) متصلة ببساطة بينما SO(3) ليست كذلك. ^{[ 22 ]}

من جهة أخرى، إذا اشترطنا أن تكون زمرة لي بسيطة الاتصال ، فإن البنية العامة تُحدد بواسطة جبر لي الخاص بها: زمرتان لي بسيطتا الاتصال لهما جبر لي متماثل، تكونان متماثلتين. ^{[ 23 ]} (انظر القسم الفرعي التالي لمزيد من المعلومات حول زمر لي بسيطة الاتصال). في ضوء نظرية لي الثالثة، يمكننا بالتالي القول إن هناك تطابقًا تامًا بين فئات التماثل لجبر لي الحقيقي ذي الأبعاد المحدودة وفئات التماثل لزمر لي بسيطة الاتصال.

مجموعة كاذبة${\displaystyle G}$يُقال إنها متصلة ببساطة إذا كانت كل حلقة في${\displaystyle G}$يمكن تقليصها باستمرار إلى نقطة في${\displaystyle G}$تكتسب هذه الفكرة أهمية بالغة نظراً للنتيجة التالية التي تفترض وجود ترابط بسيط:

النظرية : ^{[ 24 ]} لنفترض${\displaystyle G}$و${\displaystyle H}$هي مجموعات لي ذات جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$و${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$وذلك${\displaystyle f:{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {h}}}$هو تماثل جبر لي. إذا${\displaystyle G}$إذا كانت متصلة ببساطة، فسيكون هناك تشاكل فريد لمجموعة لي${\displaystyle \phi :G\rightarrow H}$بحيث​${\displaystyle \phi _{*}=f}$، حيث${\displaystyle \phi _{*}}$هو تفاضل${\displaystyle \phi }$عند الهوية.

تنصّ نظرية لي الثالثة على أن كل جبر لي حقيقي ذي أبعاد منتهية هو جبر لي لمجموعة لي. ويترتب على نظرية لي الثالثة والنتيجة السابقة أن كل جبر لي حقيقي ذي أبعاد منتهية هو جبر لي لمجموعة لي وحيدة بسيطة الاتصال.

من الأمثلة على الزمر المتصلة ببساطة الزمرة الوحدوية الخاصة SU(2) ، والتي تمثل الكرة ثلاثية الأبعاد كمتشعب. أما زمرة الدوران SO(3) ، فهي ليست متصلة ببساطة. (انظر: طوبولوجيا SO(3) ). ويرتبط عدم اتصال SO(3) ببساطة ارتباطًا وثيقًا بالتمييز بين اللف المغزلي الصحيح واللف المغزلي نصف الصحيح في ميكانيكا الكم. ومن الأمثلة الأخرى على زمر لي المتصلة ببساطة الزمرة الوحدوية الخاصة SU(n) ، وزمرة اللف المغزلي (الغطاء المزدوج لزمرة الدوران) Spin( n ) لـ${\displaystyle n\geq 3}$والمجموعة التبسيطية المدمجة Sp(n) . ^{[ 25 ]}

تتم مناقشة طرق تحديد ما إذا كانت مجموعة لي متصلة ببساطة أم لا في المقالة المتعلقة بالمجموعات الأساسية لمجموعات لي .

الخريطة الأسية من جبر لي${\displaystyle \mathrm {M} (n;\mathbb {C} )}$من المجموعة الخطية العامة${\displaystyle \mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )}$ل${\displaystyle \mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )}$يتم تعريفها بواسطة الدالة الأسية للمصفوفة ، المعطاة بواسطة متسلسلة القوى المعتادة:

${\displaystyle \exp(X)=1+X+{\frac {X^{2}}{2!}}+{\frac {X^{3}}{3!}}+\cdots }$

للمصفوفات​${\displaystyle X}$إذا​${\displaystyle G}$هي مجموعة فرعية مغلقة من${\displaystyle \mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )}$ثم تأخذ الخريطة الأسية جبر لي الخاص بـ${\displaystyle G}$إلى​${\displaystyle G}$وبالتالي ، لدينا دالة أسية لجميع مجموعات المصفوفات. كل عنصر من${\displaystyle G}$إن الدالة التي تقترب بدرجة كافية من دالة الوحدة هي الدالة الأسية لمصفوفة في جبر لي. ^{[ 26 ]}

التعريف أعلاه سهل الاستخدام، لكنه غير مُعرَّف لزمر لي التي ليست زمر مصفوفية، وليس من الواضح أن الدالة الأسية لزمرة لي لا تعتمد على تمثيلها كزمرة مصفوفية. يمكننا حل هاتين المشكلتين باستخدام تعريف أكثر تجريدًا للدالة الأسية يصلح لجميع زمر لي، كما يلي.

لكل متجه${\displaystyle X}$في جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ل${\displaystyle G}$(أي، الفضاء المماسي لـ${\displaystyle G}$عند الهوية)، يثبت المرء وجود مجموعة فرعية فريدة ذات معلمة واحدة${\displaystyle c:\mathbb {R} \rightarrow G}$بحيث​${\displaystyle c'(0)=X}$. قول ذلك${\displaystyle c}$تعني عبارة "مجموعة فرعية ذات معلمة واحدة" ببساطة أن${\displaystyle c}$هي خريطة سلسة إلى${\displaystyle G}$وذلك

${\displaystyle c(s+t)=c(s)c(t)\ }$

للجميع${\displaystyle s}$و​${\displaystyle t}$العملية على الجانب الأيمن هي ضرب المجموعات في${\displaystyle G}$إن التشابه الشكلي لهذه الصيغة مع الصيغة الصالحة للدالة الأسية يبرر التعريف

${\displaystyle \exp(X)=c(1).}$

يُطلق على هذا اسم الخريطة الأسية ، وهي تمثل جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$إلى مجموعة الكذب${\displaystyle G}$. يوفر ذلك تماثلاً تفاضلياً بين جوار الصفر في${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$وحي من${\displaystyle e}$في​${\displaystyle G}$هذه الدالة الأسية هي تعميم للدالة الأسية للأعداد الحقيقية (لأن${\displaystyle \mathbb {R} }$هي جبر لي لمجموعة لي للأعداد الحقيقية الموجبة مع الضرب)، للأعداد المركبة (لأن${\displaystyle \mathbb {C} }$(هي جبر لي لمجموعة لي للأعداد المركبة غير الصفرية مع الضرب) وللمصفوفات ( لأن${\displaystyle M(n,\mathbb {R} )}$مع المبدل المنتظم، يكون جبر لي لمجموعة لي${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$(من بين جميع المصفوفات القابلة للعكس).

لأن الدالة الأسية شاملة في جوار ما${\displaystyle N}$من​${\displaystyle e}$من الشائع تسمية عناصر جبر لي بالمولدات المتناهية الصغر للمجموعة .${\displaystyle G}$. المجموعة الفرعية من${\displaystyle G}$تم إنشاؤه بواسطة${\displaystyle N}$هو عنصر الهوية لـ${\displaystyle G}$⁠ .

تحدد الخريطة الأسية وجبر لي بنية المجموعة المحلية لكل مجموعة لي متصلة، وذلك بفضل صيغة بيكر-كامبل-هاوسدورف : توجد جوار${\displaystyle U}$من العنصر الصفري لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$، بحيث يكون لـ${\displaystyle X,Y\in U}$لدينا

${\displaystyle \exp(X)\,\exp(Y)=\exp \left(X+Y+{\tfrac {1}{2}}[X,Y]+{\tfrac {1}{12}}[\,[X,Y],Y]-{\tfrac {1}{12}}[\,[X,Y],X]-\cdots \right),}$

حيث تكون الحدود المحذوفة معروفة وتتضمن أقواس لي مكونة من أربعة عناصر أو أكثر. في حالة${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$في حالة التنقل، تُختزل هذه الصيغة إلى قانون الأسي المألوف .${\displaystyle \exp(X)\exp(Y)=\exp(X+Y)}$⁠ .

تربط الدالة الأسية بين تشاكلات زمر لي. أي، إذا${\displaystyle \phi :G\to H}$هو تشاكل زمرة لي و${\displaystyle \phi _{*}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}}$ثم الخريطة المستحثة على جبر لي المقابل، لكل${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$لدينا

${\displaystyle \phi (\exp(x))=\exp(\phi _{*}(x)).}$

بمعنى آخر، فإن المخطط التالي يتبادل ، ^{[ 27 ]}

(باختصار، exp هو تحويل طبيعي من دالة لي إلى دالة الهوية على فئة مجموعات لي.)

لا يكون التحويل الأسي من جبر لي إلى زمرة لي شاملاً دائمًا ، حتى لو كانت الزمرة متصلة (مع أنه يُحوّل إلى زمرة لي للزمر المتصلة المدمجة أو العديمة القوة). على سبيل المثال، التحويل الأسي لـ SL(2, R ) ليس شاملاً. كذلك، فإن التحويل الأسي ليس شاملاً ولا أحاديًا لزمر لي اللانهائية الأبعاد (انظر أدناه) المُنمذجة على فضاء فريشيه C∞ ^، حتى من أي جوار صغير للصفر إلى الجوار المقابل للواحد.  

مجموعة فرعية من الكذب${\displaystyle H}$من جماعة كاذبة${\displaystyle G}$هي مجموعة لي وهي مجموعة جزئية من${\displaystyle G}$وبحيث تكون خريطة الإدراج من${\displaystyle H}$ل${\displaystyle G}$هو غمر حقني وتشاكل زمر . وفقًا لنظرية كارتان ، فإن الزمرة الفرعية المغلقة من${\displaystyle G}$تتميز ببنية ملساء فريدة تجعلها مجموعة فرعية مضمنة من مجموعات لي${\displaystyle G}$—أي مجموعة فرعية من لي بحيث تكون خريطة التضمين عبارة عن تضمين سلس.

أمثلة المجموعات الفرعية غير المغلقة كثيرة؛ على سبيل المثال، خذ${\displaystyle G}$أن يكون طارة من البعد 2 أو أكبر، و${\displaystyle H}$لتكن زمرة جزئية ذات مُعامل واحد وميل غير نسبي ، أي زمرة تلتف حول G. عندئذٍ يوجد تشاكل زمر لي${\displaystyle \varphi$ :\mathbb {R} \to G } مع${\displaystyle \mathrm {im} (\varphi )=H}$إغلاق​​​${\displaystyle H}$سيكون على شكل حلقة فرعية في${\displaystyle G}$⁠ .

تُعطي الخريطة الأسية تناظرًا واحدًا لواحد بين مجموعات لي الفرعية المتصلة لمجموعة لي متصلة${\displaystyle G}$والجبر الجزئي لجبر لي لـ ⁠${\displaystyle G}$^{[ 28 ]} عادةً ، لا تكون المجموعة الجزئية المقابلة لجبر جزئي مجموعةً جزئيةً مغلقة. لا يوجد معيار يعتمد فقط على بنية${\displaystyle G}$والتي تحدد أي الجبر الجزئي يتوافق مع المجموعات الفرعية المغلقة.