مجموعة لوب

في الرياضيات ، تُعرَّف زمرة الحلقات ، وفقًا للمعنى الأكثر شيوعًا في نظرية لي، بأنها الزمرة $LG = C\infty$ $(S1, G) من التطبيقات الملساء$ من الدائرة $S1$ إلى زمرة $لي$ $G$ ، مع تعريف الضرب نقطيًا . ^[¹^] عندما تكون $G$ زمرة لي متراصة، $فإن$ $LG$ تُعد مثالًا أساسيًا ^لزمرة لي لا نهائية الأبعاد ^، مع جبر لي $L𝔤$ $=$ $C\infty$ $($ $S1$ $, 𝔤)$ . ^[ $2$ ^] $[$ ³^]

تُعدّ المجموعة الفرعية $Ω G$ للحلقات الأساسية أساسية في نظرية التماثل ، بينما ترتبط الامتدادات المركزية لمجموعات الحلقات وتمثيلاتها الإسقاطية ارتباطًا وثيقًا بجبر كاكس-مودي الأفيني ، ونظرية الحقول المطابقة ، وصيغة فيرليند . ^{[ 1 ]}^{[ 4 ]} في الهندسة الجبرية، تُدرس أيضًا مجموعات الحلقات الجبرية ، المُعرّفة بواسطة $LG (R) = G (R ((t))) ، بالإضافة إلى$ غراسمانيان الأفيني المرتبط بها ومتنوعات الأعلام الأفينية. ^{[ 5 ]}

تعريف

ليكن $G$ زمرة طوبولوجية. تصبح المجموعة $C (S1, G) من$ التطبيقات المتصلة من الدائرة إلى $G$ زمرة طوبولوجية تحت الضرب النقطي عند تزويدها بطوبولوجيا التقارب المفتوح المدمج . ^{[ 6 ]} بما أن $S1 مدمجة ،$ فإن هذا يُعادل طوبولوجيا التقارب المنتظم. ^{[ 6 ]}

في نظرية لي، عادةً ما يتم النظر إلى المجموعة

LG=C^{\infty }(S^{1},G)

من الحلقات الملساء في زمرة لي $G$ ذات الأبعاد المحدودة . وهي مزودة بالطوبولوجيا الملساء المدمجة المفتوحة، أي الطوبولوجيا الأولية المستحثة بواسطة خرائط المماس المتكررة.

C^{\infty }(S^{1},G)\to \prod _{k\geq 0}C(T^{k}S^{1},T^{k}G).

بهذه البنية الطوبولوجية، تُعتبر $LG$ زمرة لي لا نهائية الأبعاد. ^{[ 7 ]}^{[ 2 ]}

جبر لي الخاص به هو

L{\mathfrak {g}}=C^{\infty }(S^{1},{\mathfrak {g}}),

باستخدام قوس نقطي. بما أن $S1$ مضغوطة، فإن الطوبولوجيا المدمجة المفتوحة الملساء $على$ $L{\mathfrak {g}}$ هي طوبولوجيا فريشيه للتقارب المنتظم لجميع المشتقات على $S1 ؛$ $أو$ بشكل مكافئ، بعد اختيار إحداثية زاوية على $S1$ ومعيار على $\mathfrak g$ ، يتم تعريفها بواسطة المعايير شبهية $.$

p_{n}(X)=\sup _{\theta \in S^{1}}\|X^{(n)}(\theta )\|\qquad (n\geq 0).

^{[ 8 ]}

$بالنسبة لـ G$ المدمجة ، يتم نمذجة مجموعات الحلقات الملساء على فضاءات فريشيه النووية . ^{[ 9 ]}

الإنشاءات الأساسية

مجموعات الحلقات الحرة والقائمة على

مجموعة الحلقات الحرة للمجموعة $G$ هي $LG$ نفسها. مجموعة الحلقات الأساسية هي

\Omega G=\{\gamma \in LG:\gamma (1)=e\},

نواة خريطة التقييم

\operatorname {ev} _{1}:LG\to G,\qquad \gamma \mapsto \gamma (1).

وبالتالي، فإن $ΩG$ $هي$ زمرة جزئية طبيعية مغلقة من $LG$ . يؤدي تضمين الحلقات الثابتة إلى انقسام $ev1$ ، لذا توجد متتالية تامة منقسمة $.$

1\to \Omega G\to LG\xrightarrow {\operatorname {ev} _{1}} G\to 1,

وبالتالي تحلل المنتج شبه المباشر

LG\cong \Omega G\rtimes G.

^{[ 1 ]}

العلاقة مع مساحات الحلقات

باعتبارها فضاءً طوبولوجيًا، فإن $Ω G$ هي فضاء الحلقات الأساسية لـ $G.$ إن ضربها النقطي والتسلسل المعتاد للحلقات الأساسية عمليتان مختلفتان، لكنهما تؤديان إلى نفس الضرب حتى التماثل؛ وهذا مظهر من مظاهر حجة إيكمان-هيلتون . ^{[ 1 ]}

الطوبولوجيا الأساسية

تقسيم خريطة التقييم

\operatorname {ev} _{1}:LG\to G

تحدد الحلقات الثابتة $LG$ مع $G \times Ω G$ كفضاء طوبولوجي:

LG\cong G\times \Omega G,\qquad \gamma \mapsto {\bigl (}\gamma (1),\,\gamma (1)^{-1}\gamma {\bigr )}.

^{وبالتالي فإن} طوبولوجيا $LG$ يتم تحديدها بواسطة طوبولوجيا $G$ بالإضافة إلى فضاء الحلقة الأساسي $Ω G.$ ^[¹ ]

على وجه الخصوص، يتم تصنيف المكونات المتصلة لشركة $إل جي حسب$

\pi _{0}(LG)\cong \pi _{0}(G)\times \pi _{0}(\Omega G).

إذا كانت $G$ متصلة، فإن $\pi _{0}(\Omega G)\cong \pi _{1}(G)$ ، لذا

\pi _{0}(LG)\cong \pi _{1}(G).

وبالتالي، يكون $LG$ متصلاً عندما يكون $G$ متصلاً ببساطة . ^{[ 1 ]}

وبشكل أعم، لكل قيمة $k \geq 1$ ،

\pi _{k}(LG)\cong \pi _{k}(G)\oplus \pi _{k}(\Omega G)\cong \pi _{k}(G)\oplus \pi _{k+1}(G).

وبالتالي، فإن مجموعات التماثل لمجموعة الحلقة تُحدد بواسطة مجموعات التماثل لمجموعة $G$ المزاحة بدرجة واحدة بالإضافة إلى مجموعات التماثل لمجموعة $G$ نفسها. ^{[ 1 ]}

تُعدّ هذه التعريفات الأولية أحد أسباب أهمية مجموعات الحلقات في الطوبولوجيا الجبرية. في الحالة الوحدوية، ترتبط هذه المجموعات ارتباطًا وثيقًا بدورية بوت ، ويُوضّح نموذج غراسمان لسيغال للفضاء المتجانس $LG / G ≅ Ω G$ هذه العلاقة بشكلٍ جليّ. ^{[ 2 ]}

حركة الدوران والطاقة الإيجابية

إلى جانب الضرب النقطي، تقوم مجموعات الحلقات بحركة طبيعية للدائرة عن طريق تدوير المعامل:

(R_{\phi }\gamma )(e^{i\theta })=\gamma (e^{i(\theta +\phi )}).

وهذا يسمح بتكوين المنتج شبه المباشر

T_{\mathrm {rot} }\ltimes LG,

حيث يؤثر $الدوران$ $T$ على $LG$ عن طريق الدوران. ^{[ 2 ]}

يُعد هذا الفعل نقطة انطلاق لنظرية تمثيلات الطاقة الموجبة. ويُقال إن تمثيل $LG$ يمتلك طاقة موجبة إذا كان مزودًا بفعل موجب $T rot$ مما يجعله تمثيلًا لـ $T_{\mathrm {rot} }\ltimes LG$ في صياغة سيغال، فإن فعل $e^{i\phi }\in T_{\mathrm {rot} }$ تكون موجبة إذا أعطيت بواسطة $e^{iA\phi }$ بالنسبة للمؤثر $A$ الذي يكون طيفه محدودًا من الأسفل. ^{[ 2 ]}

$بالنسبة للمجموعات G$ المدمجة ، تُعدّ تمثيلات الطاقة الموجبة غير القابلة للاختزال فئةً مميزةً من التمثيلات الإسقاطية لمجموعات الحلقات. وهي تمتد شكليًا إلى مجموعة الحلقات المعقدة وتتحلل إلى فضاءات ذاتية للطاقة ذات أبعاد محدودة. ^{[ 2 ]} $لهذا السبب، غالبًا ما تشبه نظرية تمثيل مجموعات الحلقات لمجموعة G$ المدمجة نظرية تمثيل المجموعات المدمجة.

بنية زمرة لي اللانهائية الأبعاد

إذا كانت $G$ زمرة لي منتهية الأبعاد، فإن الفضاءات المناسبة للحلقات في $G$ ترث بنى متعددة الأبعاد لا نهائية. بالنسبة للحلقات الملساء، $فإن LG$ هي زمرة لي فريشيه ، وجبر لي الخاص بها هو جبر الحلقات.

L{\mathfrak {g}}=C^{\infty }(S^{1},{\mathfrak {g}}),

مع قوس نقطي

[X,Y](z)=[X(z),Y(z)].

^{[ 2 ]}^{[ 1 ]}

يتم استنتاج الخريطة الأسية نقطياً من خريطة $G$ :

\exp _{LG}(X)(z)=\exp _{G}(X(z)).

$بالنسبة لـ G$ المدمجة ، تعد مجموعات الحلقات من بين أبسط الأمثلة وأكثرها دراسة لمجموعات لي اللانهائية الأبعاد. ^{[ 2 ]}

لتطوير الهندسة التفاضلية على مجموعات الحلقات، غالباً ما تُستخدم إكمالات سوبوليف $L s G.$ على وجه الخصوص، تحمل مجموعات الحلقات الأساسية لمجموعات لي المدمجة والمتصلة والبسيطة المتصلة والبسيطة هياكل هندسية طبيعية، بما في ذلك مقاييس كاهلر في إطار مشعب هيلبرت. ^{[ 3 ]}

الفضاءات المتجانسة والتحليل إلى عوامل

يمكن تعريف خارج القسمة $LG / G$ ، حيث تُضمّن $G$ $كمجموعة فرعية من الحلقات الثابتة، بـ Ω G.$ وتُعدّ وجهة النظر هذه، القائمة على الفضاء المتجانس، أساسية في هندسة مجموعات الحلقات. ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

إذا كانت $G$ $مجموعة$ متراصة، و $Gℂ$ هي تكثيفها، فإن مجموعة الحلقات المُكثّفة $LGℂ$ $تُظهر$ ظواهر تحليلية مماثلة لتحليل بيركوف وتحليل بروهات . تلعب هذه التحليلات دورًا رئيسيًا في هندسة مجموعات الحلقات، ونظرية مؤثرات توبليتز ، وبناء حلول الأنظمة التكاملية. ^{[ 1 ]}^{[ 3 ]}^{[ 10 ]}

الامتدادات المركزية ونظرية التمثيل

العديد من التمثيلات الطبيعية المرتبطة بمجموعة الحلقات ليست تمثيلات صادقة لمجموعة $الحلقات$ ، بل هي تمثيلات لامتداد مركزي لمجموعة $الحلقات$ بواسطة مجموعة الدوائر $U (1)$ . ^{[ 1 ]}^{[ 4 ]}

بالنسبة لزمرة لي المدمجة $G$ ، تُنتج الفئات التكاملية في $H₄ (BG; Z) ، عن طريق التجاوز، امتدادات مركزية لزمرة الحلقات. غالبًا ما تُوصف هذه الامتدادات$ بمستوى . ^{[ 4 ]} تشمل التمثيلات الوحدوية الإسقاطية المقابلة $تمثيلات$ الوزن الأعلى القابلة للتكامل أو تمثيلات الطاقة الموجبة، والتي ترتبط ارتباطًا وثيقًا بتمثيلات جبر كاك-مودي الأفيني المرتبط . ^{[ 1 ]}^{[ 4 ]}

ترتبط نظرية تمثيل مجموعات الحلقات أيضًا بحلقة فيرليند ونظرية K المتغيرة الملتوية . في أعمال فريد وهوبكنز وتيليمان، تُعرَّف حلقة فيرليند لتمثيلات الطاقة الموجبة بمجموعة K متغيرة ملتوية مناسبة من $G.$ ^{[ 4 ]}

مجموعات الحلقات الملتوية

ليكن $σ$ تشاكلاً ذاتياً للمجموعة $G$ من الرتبة $m$ المحدودة. تتكون مجموعة الحلقات الملتوية المقابلة من دوال سلسة $γ: R \to G$ تحقق

\gamma (\theta +2\pi )=\sigma (\gamma (\theta )).

وبالمثل، بعد الانتقال إلى الدائرة، يمكن اعتبار الحلقات الملتوية بمثابة مقاطع من حزمة فوق $S 1$ مع أحادية $σ$ . ^{[ 5 ]}

تظهر مجموعات الحلقات الملتوية بشكل طبيعي في نظرية مخططات دينكين الأفينية ، وفي نظرية التمثيل، وفي نظرية أصناف الأعلام الأفينية. وتشمل أنواع كاك-مودي الأفينية الملتوية كنظائر جبرية لي. ^{[ 5 ]}

مجموعات الحلقات الجبرية

في الهندسة الجبرية والهندسة الحسابية، تُستبدل الحلقات الملساء بمتسلسلات لوران. إذا كانت $G$ زمرة جبرية على حقل $k$ ، فإن زمرة الحلقات الجبرية الخاصة بها هي الدالة

LG(R)=G(R((t)))

على الجبر $k- الجبري$ $R.$ مجموعة الحلقات الموجبة المرتبطة بها هي

L^{+}G(R)=G(R[[t]]).

^{[ 5 ]}

تُشكل هذه الأشياء أساس نظرية غراسمان الأفيني

\operatorname {Gr} _{G}=LG/L^{+}G

وأصناف الأعلام الأفينية، التي تعتبر أساسية في نظرية التمثيل الهندسي، وبرنامج لانجلاندز الهندسي ، ونظرية النماذج المحلية لأصناف شيمورا . ^{[ 5 ]}

مجموعات الحلقات المعقدة والهولومورفية

إذا كانت $G$ زمرة لي متراصة ذات تعقيد $G C$ ، فإن زمرة الحلقات الملساء $LG$ لها تعقيد

LG_{\mathbf {C} }=C^{\infty }(S^{1},G_{\mathbf {C} }).

هذه إحدى السمات الخاصة لمجموعات الحلقات بين مجموعات لي اللانهائية الأبعاد. ^{[ 2 ]}

تؤدي مجموعات فرعية من الحلقات، تمتد بشكل تام عبر أحد الأقراص المحددة بـ $S1 ،$ دورًا وثيق الصلة . وبكتابة $D$ للقرص الواحد و $D *$ لسطحه الخارجي، تُعرَّف المجموعات الفرعية $L + G C$ و $L - G C،$ التي تتكون من القيم الحدية للخرائط التامة $D \to G C$ و $D * \to G C$ ، على التوالي. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

تدخل هذه المجموعات الفرعية الهولومورفية في نظرية بيركوف للتحليل ، والتي بموجبها يمكن كتابة حلقة في $G \mathbf C ، على طبقات مناسبة، بالشكل التالي:$

\gamma =\gamma _{-}\,\lambda \,\gamma _{+},

حيث $γ − \in L − GC$ و $γ + \in L + GC$ و $λ: S 1 \to T$ هو تشاكل إلى طارة عظمى. ^{[ 2} $]$ هذا التحليل هو النظير اللانهائي الأبعاد لتحليل بروهات $، وهو$ ^أساس الكثير من هندسة الفضاءات المتجانسة لمجموعات الحلقات. ^[¹^]

تدخل الطرق الهولومورفية أيضًا في نظرية التمثيل. في صورة بوريل-ويل لسيغال، تتحقق تمثيلات الطاقة الموجبة كفضاءات من المقاطع الهولومورفية لحزم الخطوط فوق الفضاءات المتجانسة المرتبطة بمجموعات الحلقات، ويمتد كل تمثيل غير قابل للاختزال للطاقة الموجبة إلى تمثيل هولومورفي لمجموعة الحلقات المعقدة. ^{[ 2 ]}

أمثلة

أبسط مثال غير تافه هو $G = S 1.$ في هذه الحالة، تُصنف الحلقات الملساء حتى المكون المتصل حسب عدد لفاتها . وبشكل أعم، إذا كان $T$ عبارة عن طارة ذات جبر لي $𝔱$ وشبكة خصائص مشتركة

\Pi =\exp ^{-1}(1)/(2\pi )\subset {\mathfrak {t}},

ثم يكون لمجموعة الحلقات تفكيك قانوني

LT\cong T\times \Pi \times U,

أين

U=\exp(V),\qquad V=\left\{\beta :S^{1}\to {\mathfrak {t}}\;|\;\int _{S^{1}}\beta (s)\,ds=0\right\}.

على وجه الخصوص، يتم فهرسة المكونات المتصلة لـ $LT بواسطة$ $\Pi \cong \pi _{1}(T)$ بالنسبة لـ $T = S 1$ ، فإن هذا يعطي

LS^{1}\cong S^{1}\times \mathbf {Z} \times U,

لذا يتم فهرسة مكونات $LS 1$ بواسطة الأعداد الصحيحة. ^{[ 11 ]}

نظرية المؤشر

تدخل مجموعات الحلقات في نظرية المؤشر بعدة طرق مترابطة. إحدى أقدم هذه الطرق هي من خلال حزمة الخط المحددة على فضاء غراسمان اللانهائي الأبعاد المرتبط بمجموعة الحلقات. في نموذج غراسمان الذي استخدمه بريسلي وسيغال وآخرون، ترتبط حزمة الخط هذه بالامتداد المركزي الأساسي لمجموعة الحلقات وبالتحقيقات الهندسية لتمثيلاتها. ^{[ 2 ]}^{[ 12 ]}

تظهر نظرية المؤشر التحليلي أيضًا من خلال عائلات مؤثرات توبليتز ومن خلال التدفق الطيفي . في حالة الطارة، يصف فريد وهوبكنز وتيليمان عائلة من مؤثرات ديراك التي يوفر تدفقها الطيفي الفئة الطوبولوجية الأساسية اللازمة لبناء فئات نظرية K الملتوية المرتبطة بتمثيلات مجموعة الحلقات. ^{[ 4 ]}

ثمة رابط أعمق ينشأ من عائلة ديراك المرتبطة بتمثيل الطاقة الموجبة لمجموعة الحلقات. في أعمال فريد وهوبكنز وتيليمان، تُنتج عائلات مؤثرات فريدهولم هذه فئات في نظرية K المتغيرة الملتوية ، ويُعد هذا البناء أحد العناصر الأساسية في تعريفهم لحلقة فيرليند بنظرية K المتغيرة الملتوية لـ $G.$ ^{[ 4 ]}

تربط هذه البنى القائمة على نظرية المؤشر نظرية تمثيل مجموعة الحلقات بالتكميم الهندسي، والامتدادات المركزية، وطوبولوجيا المجموعة $G$ نفسها. ^{[ 4 ]}

التطبيقات

تظهر مجموعات الحلقات في العديد من مجالات الرياضيات والفيزياء الرياضية.

في الطوبولوجيا الجبرية ، تعتبر مجموعة الحلقات الأساسية $Ω G$ مثالًا أساسيًا على فضاء H وترتبط ارتباطًا وثيقًا بنوع التماثل لـ $G.$ ^{[ 1 ]}
في نظرية التمثيل ، تؤدي مجموعات الحلقات وامتداداتها المركزية إلى جبر كاكس-مودي الأفيني وتمثيلات الطاقة الموجبة. ^{[ 1 ]}^{[ 4 ]}
في الهندسة الجبرية ، تؤدي مجموعات الحلقات الجبرية إلى ظهور غراسمانيان أفيني وأصناف الأعلام الأفينية. ^{[ 5 ]}
في الفيزياء الرياضية ، تظهر مجموعات الحلقات في نظرية الحقل المطابق، ونظرية تشيرن-سيمونز، ونظرية K المتغيرة الملتوية. ^{[ 4 ]}

الأنظمة القابلة للتكامل

تلعب مجموعات الحلقات دورًا محوريًا في النظرية الحديثة للأنظمة التكاملية . يمكن كتابة فئة واسعة من معادلات التطور غير الخطية في صيغة أزواج لاكس أو صيغة الانحناء الصفري مع معامل طيفي مركب $λ$ . عندما تعتمد المعاملات بشكل نسبي أو متعدد الحدود لوران على $λ$ وتأخذ قيمًا في جبر لي $𝔤$ ، يمكن اعتبارها عناصر في جبر حلقات $L 𝔤$ . يؤدي تقسيم جبر الحلقات إلى أجزاء موجبة وسالبة، بالإضافة إلى التحليل في مجموعات الحلقات المقابلة، إلى إنتاج تسلسلات هرمية تبادلية للتدفقات وإجراءات توليد الحلول. ^{[ 13 ]}

من الأمثلة الأساسية على ذلك التسلسل الهرمي لمعادلات كورتيغ-دي فريس (KdV) . في دراستهما لمعادلات من نوع KdV، بيّن سيغال وويلسون أنه يمكن بناء فئة واسعة من الحلول من نقاط فضاء غراسماني لانهائي الأبعاد مرتبط بمجموعة حلقات. في هذا السياق، تُستحث التدفقات التبادلية بفعل مجموعة حلقات فرعية موجبة، وتُوصَف الحلول المقابلة بدلالة دوال بيكر ودوال تاو . ^{[ 12 ]}

يُعد تحليل مجموعة الحلقات أساسًا لتحويلات التزيين وتحويلات باكلوند . وقد صاغ تيرنغ وأولينبيك قوانين الحفظ، ونظرية التشتت، والتسلسلات الهرمية، وتحويلات باكلوند ضمن إطار مشترك لتأثيرات مجموعة الحلقات، ولا سيما بالنسبة للتسلسل الهرمي ZS–AKNS، الذي يتضمن معادلة شرودنغر غير الخطية ، ومعادلة KdV المعدلة، ومعادلة الموجة $n$ . ^{[ 14 ]}

تُستخدم الأساليب نفسها في الهندسة التفاضلية. تُستخدم بنى مجموعات الحلقات لإنشاء خرائط توافقية إلى مجموعات لي وفضاءات متناظرة، والنموذج الكيرالي ، ومجموعة من الأنظمة الهندسية التكاملية مثل الأسطح ذات الانحناء المتوسط الثابت والأسطح متساوية الحرارة. ^{[ 13 ]}^{[ 15 ]} في الحالات المدمجة، تُعزز تحليلات بيركوف وإيواساوا العالمية طريقة التضمين وتؤدي إلى تمثيلات من نوع فايرشتراس العالمية لبعض الأنظمة الهندسية التكاملية. ^{[ 16 ]}

نظرية هودج

تظهر مجموعات الحلقات أيضًا في تفاعل أكثر تخصصًا مع نظرية هودج . في أعمال جيريمي دانيال، يُعرَّف هيكل هودج الحلقي بأنه نظير لانهائي الأبعاد لهيكل هودج يتضمن سمات هندسة مجموعة الحلقات، ويُبين أن اختلافات هياكل هودج الحلقية مكافئة للحزم التوافقية. ^{[ 17 ]}

من هذا المنظور، يمكن التعبير عن نظرية هودج غير التبادلية بدلالة خرائط دورية ذات قيم في نطاقات دورية لا نهائية الأبعاد مرتبطة ببنى مجموعات الحلقات. ^{[ 17 ]}

المجموعات الحالية

تعمم مجموعة التيار مجموعة الحلقات، باستبدال الدائرة بمتشعب أملس $M.$ وبالتالي، فإن مجموعة التيار هي مجموعة التطبيقات الملساء من $M$ إلى $G$ ، مع تعريف الضرب نقطيًا:

C^{\infty }(M,G)=\{f:M\to G\mid f{\text{ is smooth}}\},\qquad (f_{1}f_{2})(x)=f_{1}(x)f_{2}(x).

وبشكل أعم، وصف سيغال مجموعات التخطيط $\operatorname {Map} (X,G)$ بالنسبة للمشعبات المدمجة $X$ باعتبارها نظائر ذات أبعاد أعلى لمجموعات الحلقات، مع ملاحظة أنها في الفيزياء الرياضية تظهر كمجموعات تيار ومجموعات قياس. ^{[ 18 ]}

إذا كانت $G$ زمرة طوبولوجية، فإن فضاء التطبيقات المتصلة $C (M, G)$ يصبح زمرة طوبولوجية ذات طوبولوجيا مفتوحة مضغوطة . بالنسبة للتطبيقات الملساء، يُستخدم عادةً طوبولوجيا مفتوحة مضغوطة ملساء. ^{[ 19 ]} في ظل فرضيات مناسبة على $M$ و $G$ ، يُعطي هذا $C\infty (M, G)$ بنية زمرة لي طبيعية لا نهائية الأبعاد. جبر لي الخاص بها هو جبر التيار المقابل $.$

C^{\infty }(M,{\mathfrak {g}}),

باستخدام قوس لي النقطي. ^{[ 20 ]}

بالنسبة للمتشعبات غير المتراصة، غالبًا ما تُدرس مجموعة التيار ذات الدعم المتراص $C\inftyc$ $($ $M$ $, G) ، أو بشكل$ أعم مجموعات المقاطع $Γc (M,𝒢)$ لحزم زمر لي فوق $M.$ تكون زمر القياس للحزم الرئيسية على هذا الشكل: إذا كانت $Ξ\to M$ حزمة رئيسية $من G$ ، فإن زمر قياسها متماثلة مع زمر المقاطع $Γ(M,Ad(Ξ))$ ، وزمر القياس ذات الدعم المتراص متماثلة مع $Γc(M$ $, Ad (Ξ))$ . ^{[ 21 ]}

تظهر مجموعات التيار بشكل طبيعي في نظرية الحقل الكمومي ونظرية القياس. ومع ذلك، بالمقارنة مع مجموعات الحلقات، فإن نظرية تمثيلها العامة أقل تطوراً بكثير؛ وقد ركزت معظم الأعمال الحديثة على الامتدادات المركزية وعلى فئات خاصة من التمثيلات، مثل تمثيلات مجموعات القياس المحدودة أو ذات الطاقة الموجبة. ^{[ 18 ]}^{[ 21 ]}

انظر أيضاً

ملحوظات

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 بريسلي، أندرو؛ سيغال، غرايم (1986)، مجموعات الحلقات ، سلسلة دراسات أكسفورد الرياضية، أكسفورد: مطبعة كلارندون، ISBN 978-0-19-853535-5، MR 0900587
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 سيغال، جي بي (1984)، مجموعات الحلقات ، سلسلة محاضرات في الرياضيات، المجلد 1064، الصفحات 155-168
1 2 3 4 فريد، دانيال س. (1988)، "هندسة مجموعات الحلقات"، مجلة الهندسة التفاضلية ، 28 (2): 223-276 ، Bibcode : 1988JDGeo..2842279F ، doi : 10.4310/jdg/1214442279 ، MR 0961515
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 فريد، دانيال س.؛ هوبكنز، مايكل ج.؛ تيليمان، قسطنطين (2011)، "مجموعات الحلقات ونظرية K الملتوية III"، حوليات الرياضيات ، 2، 174 (2): 947-1007 ، doi : 10.4007/annals.2011.174.2.5
1 2 3 4 5 6 باباس، جورج؛ رابوبورت، مايكل (2008)، "مجموعات الحلقات الملتوية وأنواعها من الأعلام الأفينية" ، التقدم في الرياضيات ، 219 (1): 118-198 ، doi : 10.1016/j.aim.2008.04.006 ، MR 2435422
1 2 نيب، كارل-هيرمان (2006)، "نحو نظرية لي للمجموعات المحدبة محليًا"، المجلة اليابانية للرياضيات ، 1 (2): 291-468 ، arXiv : 1501.06269 ، doi : 10.1007/s11537-006-0606-y
↑ روبرتس، ديفيد مايكل (2021)، "توسيع نظرية ويتني للتمديد: فضاءات الدوال غير الخطية"، حوليات معهد فورييه ، 71 (3): 1241-1292 ، arXiv : 1801.04126 ، doi : 10.5802/aif.3424
↑ نيب، كارل-هيرمان (2010)، "حول المتجهات القابلة للتفاضل لتمثيلات زمر لي اللانهائية الأبعاد" ، مجلة التحليل الوظيفي ، 259 (11): 2814-2855 ، doi : 10.1016/j.jfa.2010.08.002
↑ لودفيج، ماتياس؛ والدورف، كونراد (2024)، "مجموعات لي 2 من امتدادات مجموعة الحلقة"، مجلة الهندسة والفيزياء ، 197 : 597-633 ، arXiv : 2303.13176
↑ تيرنغ، تشو-ليان ؛ أولينبيك، كارين (2000)، "هندسة السوليتونات" (ملف PDF) ، إشعارات الجمعية الرياضية الأمريكية ، 47 ( 1): 17-25
↑ فريد، دانيال س.؛ هوبكنز، مايكل ج.؛ تيليمان، قسطنطين (2013)، "مجموعات الحلقات ونظرية K الملتوية II" ، مجلة الجمعية الرياضية الأمريكية ، 26 (3): 595-644 ، doi : 10.1090/S0894-0347-2013-00761-4
1 2 سيجال، غرايم؛ ويلسون، جورج (1985)، “مجموعات الحلقات والمعادلات من نوع KdV” ، منشورات Mathématiques de l’IHÉS ، 61 : 5–65 ، doi : 10.1007/BF02698802 ، MR 0783348
1 2 تيرنغ، تشو-ليان (2008)، "هندسة وتناظرات معادلات السوليتون ومعادلات القطع الناقص القابلة للتكامل"، دراسات متقدمة في الرياضيات البحتة ، مسوحات في الهندسة والأنظمة التكاملية، 51 : 401-488 ، doi : 10.2969/aspm/05110401 ، ISBN 978-4-86497-001-3
↑ تيرنغ، تشو-ليان ؛ أولينبيك، كارين (1998)، "تأثيرات بواسون ونظرية التشتت للأنظمة التكاملية"، دراسات في الهندسة التفاضلية ، 4 : 315-402 ، doi : 10.4310/SDG.1998.v4.n1.a7
↑ دورفمايستر، جوزيف ف.؛ إينوغوتشي، جون-إيتشي؛ كوباياشي، شيمبي (2016)، "طريقة مجموعة الحلقات للخرائط التوافقية الأفينية في مجموعات لي"، التقدم في الهندسة ، 16 (3): 379-399 ، doi : 10.1515/advgeom-2015-0008
↑ براندر، ديفيد (2008)، "تحليلات مجموعة الحلقات في الأشكال الحقيقية شبه المنقسمة وتطبيقاتها في نظرية السوليتون والهندسة"، مجلة الهندسة والفيزياء ، 58 (12): 1792-1800 ، arXiv : 0805.1979 ، Bibcode : 2008JGP....58.1792B ، doi : 10.1016/j.geomphys.2008.09.003
1 2 دانيال، جيريمي (2017)، "هياكل هودج الحلقية والحزم التوافقية" ، الهندسة الجبرية ، 4 (5): 603-643 ، doi : 10.14231/AG-2017-030
1 2 سيغال، جي بي ( 1984)، مجموعات الحلقات ، سلسلة محاضرات في الرياضيات، المجلد 1064، الصفحات 155-168
↑ نيب، كارل-هيرمان؛ واغمان، فريدريش (2008)، "بنى زمر لي على زمر من الخرائط الملساء والهولومورفية على مشعبات غير متراصة"، Geometriae Dedicata ، 134 : 17-60 ، arXiv : math/0703460 ، doi : 10.1007/s10711-008-9244-2
↑ نيب، كارل-هيرمان (2006)، "نحو نظرية لي للمجموعات المحدبة محليًا"، المجلة اليابانية للرياضيات ، 1 (2): 291-468 ، arXiv : 1501.06269 ، doi : 10.1007/s11537-006-0606-y
1 2 جانسينز، باس؛ نيب، كارل-هيرمان (2024)، تمثيلات الطاقة الموجبة لمجموعات القياس I: التوطين ، مذكرات الجمعية الرياضية الأوروبية، المجلد 9، برلين: مطبعة EMS، doi : 10.4171/mems/9 ، ISBN 978-3-98547-067-9

مراجع

فريد، دانيال س. (1988)، "هندسة مجموعات الحلقات"، مجلة الهندسة التفاضلية ، 28 (2): 223-276 ، Bibcode : 1988JDGeo..2842279F ، doi : 10.4310/jdg/1214442279 ، MR 0961515
فريد، دانيال س.؛ هوبكنز، مايكل ج.؛ تيليمان، قسطنطين (2011)، "مجموعات الحلقات ونظرية K الملتوية III"، حوليات الرياضيات ، 2، 174 (2): 947-1007 ، doi : 10.4007/annals.2011.174.2.5
باباس، جورج؛ رابوبورت، مايكل (2008)، "مجموعات الحلقات الملتوية وأنواعها من الأعلام الأفينية"، التقدم في الرياضيات ، 219 (1): 118-198 ، doi : 10.1016/j.aim.2008.04.006 ، MR 2435422
بريسلي، أندرو؛ سيغال، غرايم (1986)، مجموعات الحلقات ، سلسلة دراسات أكسفورد الرياضية، أكسفورد: مطبعة كلارندون، ISBN 0-19-853535-X، MR 0900587
سيغال، جي بي (1984)، مجموعات الحلقات ، سلسلة محاضرات في الرياضيات، المجلد 1064، الصفحات 155-168
تيرنغ، تشو-ليان ؛ أولينبيك، كارين (2000)، "هندسة السوليتونات" (ملف PDF) ، إشعارات الجمعية الرياضية الأمريكية ، 47 ( 1): 17-25

[Segal-PS-1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 بريسلي، أندرو؛ سيغال، غرايم (1986)، مجموعات الحلقات ، سلسلة دراسات أكسفورد الرياضية، أكسفورد: مطبعة كلارندون، ISBN 978-0-19-853535-5، MR 0900587

[Segal-survey-2] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 سيغال، جي بي (1984)، مجموعات الحلقات ، سلسلة محاضرات في الرياضيات، المجلد 1064، الصفحات 155-168

[Freed1988-3] 1 2 3 4 فريد، دانيال س. (1988)، "هندسة مجموعات الحلقات"، مجلة الهندسة التفاضلية ، 28 (2): 223-276 ، Bibcode : 1988JDGeo..2842279F ، doi : 10.4310/jdg/1214442279 ، MR 0961515

[FHT-4] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 فريد، دانيال س.؛ هوبكنز، مايكل ج.؛ تيليمان، قسطنطين (2011)، "مجموعات الحلقات ونظرية K الملتوية III"، حوليات الرياضيات ، 2، 174 (2): 947-1007 ، doi : 10.4007/annals.2011.174.2.5

[PR-5] 1 2 3 4 5 6 باباس، جورج؛ رابوبورت، مايكل (2008)، "مجموعات الحلقات الملتوية وأنواعها من الأعلام الأفينية" ، التقدم في الرياضيات ، 219 (1): 118-198 ، doi : 10.1016/j.aim.2008.04.006 ، MR 2435422

[Neeb-locconv-6] 1 2 نيب، كارل-هيرمان (2006)، "نحو نظرية لي للمجموعات المحدبة محليًا"، المجلة اليابانية للرياضيات ، 1 (2): 291-468 ، arXiv : 1501.06269 ، doi : 10.1007/s11537-006-0606-y

[Roberts-Whitney-7] روبرتس، ديفيد مايكل (2021)، "توسيع نظرية ويتني للتمديد: فضاءات الدوال غير الخطية"، حوليات معهد فورييه ، 71 (3): 1241-1292 ، arXiv : 1801.04126 ، doi : 10.5802/aif.3424

[Neeb-diffvec-8] نيب، كارل-هيرمان (2010)، "حول المتجهات القابلة للتفاضل لتمثيلات زمر لي اللانهائية الأبعاد" ، مجلة التحليل الوظيفي ، 259 (11): 2814-2855 ، doi : 10.1016/j.jfa.2010.08.002

[Ludewig-Waldorf-9] لودفيج، ماتياس؛ والدورف، كونراد (2024)، "مجموعات لي 2 من امتدادات مجموعة الحلقة"، مجلة الهندسة والفيزياء ، 197 : 597-633 ، arXiv : 2303.13176

[TerngUhlenbeck-10] تيرنغ، تشو-ليان ؛ أولينبيك، كارين (2000)، "هندسة السوليتونات" (ملف PDF) ، إشعارات الجمعية الرياضية الأمريكية ، 47 ( 1): 17-25

[FHT2-11] فريد، دانيال س.؛ هوبكنز، مايكل ج.؛ تيليمان، قسطنطين (2013)، "مجموعات الحلقات ونظرية K الملتوية II" ، مجلة الجمعية الرياضية الأمريكية ، 26 (3): 595-644 ، doi : 10.1090/S0894-0347-2013-00761-4

[Segal-Wilson-KdV-12] 1 2 سيجال، غرايم؛ ويلسون، جورج (1985)، “مجموعات الحلقات والمعادلات من نوع KdV” ، منشورات Mathématiques de l’IHÉS ، 61 : 5–65 ، doi : 10.1007/BF02698802 ، MR 0783348

[Terng-integrable-13] 1 2 تيرنغ، تشو-ليان (2008)، "هندسة وتناظرات معادلات السوليتون ومعادلات القطع الناقص القابلة للتكامل"، دراسات متقدمة في الرياضيات البحتة ، مسوحات في الهندسة والأنظمة التكاملية، 51 : 401-488 ، doi : 10.2969/aspm/05110401 ، ISBN 978-4-86497-001-3

[Terng-Uhlenbeck-Poisson-14] تيرنغ، تشو-ليان ؛ أولينبيك، كارين (1998)، "تأثيرات بواسون ونظرية التشتت للأنظمة التكاملية"، دراسات في الهندسة التفاضلية ، 4 : 315-402 ، doi : 10.4310/SDG.1998.v4.n1.a7

[Dorfmeister-Inoguchi-Kobayashi-15] دورفمايستر، جوزيف ف.؛ إينوغوتشي، جون-إيتشي؛ كوباياشي، شيمبي (2016)، "طريقة مجموعة الحلقات للخرائط التوافقية الأفينية في مجموعات لي"، التقدم في الهندسة ، 16 (3): 379-399 ، doi : 10.1515/advgeom-2015-0008

[Brander-loop-decomp-16] براندر، ديفيد (2008)، "تحليلات مجموعة الحلقات في الأشكال الحقيقية شبه المنقسمة وتطبيقاتها في نظرية السوليتون والهندسة"، مجلة الهندسة والفيزياء ، 58 (12): 1792-1800 ، arXiv : 0805.1979 ، Bibcode : 2008JGP....58.1792B ، doi : 10.1016/j.geomphys.2008.09.003

[Daniel-loopHodge-17] 1 2 دانيال، جيريمي (2017)، "هياكل هودج الحلقية والحزم التوافقية" ، الهندسة الجبرية ، 4 (5): 603-643 ، doi : 10.14231/AG-2017-030

[Segal1984-current-18] 1 2 سيغال، جي بي ( 1984)، مجموعات الحلقات ، سلسلة محاضرات في الرياضيات، المجلد 1064، الصفحات 155-168

[NeebWagemann2008-current-19] نيب، كارل-هيرمان؛ واغمان، فريدريش (2008)، "بنى زمر لي على زمر من الخرائط الملساء والهولومورفية على مشعبات غير متراصة"، Geometriae Dedicata ، 134 : 17-60 ، arXiv : math/0703460 ، doi : 10.1007/s10711-008-9244-2

[Neeb2006-current-20] نيب، كارل-هيرمان (2006)، "نحو نظرية لي للمجموعات المحدبة محليًا"، المجلة اليابانية للرياضيات ، 1 (2): 291-468 ، arXiv : 1501.06269 ، doi : 10.1007/s11537-006-0606-y

[JanssensNeeb2024-current-21] 1 2 جانسينز، باس؛ نيب، كارل-هيرمان (2024)، تمثيلات الطاقة الموجبة لمجموعات القياس I: التوطين ، مذكرات الجمعية الرياضية الأوروبية، المجلد 9، برلين: مطبعة EMS، doi : 10.4171/mems/9 ، ISBN 978-3-98547-067-9

[

لزمرة

[

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗