المجموعة المنتهية

الزمرة المتناظرة S _{_n} على مجموعة منتهية من n رمزًا هي الزمرة التي عناصرها جميع تباديل الرموز n ، وعملية الزمرة هي تركيب هذه التباديل، والتي تُعامل كدوال تقابلية من مجموعة الرموز إلى نفسها. ^{[ 4 ]} بما أن هناك n ! ( مضروب n ) تبديلًا ممكنًا لمجموعة من n رمزًا، فإن رتبة (عدد عناصر) الزمرة المتناظرة S _{_n} هي n !.

الزمرة الدورية Z_{_n} هي زمرة جميع عناصرها قوى لعنصر معين a، حيث a ^_n = a _⁰ = e ، وهو العنصر المحايد. أحد الأمثلة الشائعة لهذه الزمرة هو الجذور العقدية النونية للوحدة . إرسال a إلى جذر أولي للوحدة يُنشئ تماثلًا بينهما. يمكن تطبيق هذا على أي زمرة دورية منتهية.

الزمرة الأبيلية ، وتسمى أيضاً الزمرة التبديلية ، هي زمرة لا تعتمد نتيجة تطبيق عملية الزمرة على عنصرين فيها على ترتيبهما (مبدأ التبديل ). وقد سُميت نسبةً إلى نيلز هنريك أبيل . ^{[ 5 ]}

أي زمرة أبيلية منتهية متماثلة مع مجموع مباشر لزمر دورية منتهية ذات رتبة أسية أولية، وهذه الرتب محددة بشكل فريد، لتشكل نظامًا كاملًا من الثوابت. ويمكن وصف زمرة التشاكل الذاتي لزمرة أبيلية منتهية مباشرةً بدلالة هذه الثوابت. وقد طُورت هذه النظرية لأول مرة في ورقة بحثية عام 1879 لجورج فروبينيوس ولودفيج ستيكلبرجر ، ثم جرى تبسيطها وتعميمها لاحقًا لتشمل الوحدات المولدة نهائيًا على مجال مثالي رئيسي، لتشكل بذلك فصلًا مهمًا في الجبر الخطي .

الزمرة من نوع لي هي زمرة وثيقة الصلة بزمرة النقاط العقلانية G ( k ) لزمرة جبرية خطية اختزالية G ذات قيم في الحقل k . تشكل الزمر المنتهية من نوع لي الجزء الأكبر من الزمر البسيطة المنتهية غير التبديلية . وتشمل الحالات الخاصة الزمر الكلاسيكية ، وزمر شيڤالي ، وزمر شتاينبرغ، وزمر سوزوكي-ري.

كانت الزمر المنتهية من نوع لي من أوائل الزمر التي دُرست في الرياضيات، بعد الزمر الدورية والمتناظرة والمتناوبة ، حيث قام إيفاريست غالوا ببناء الزمر الخطية الخاصة الإسقاطية على الحقول الأولية المنتهية، PSL(2, p ) ، في ثلاثينيات القرن التاسع عشر. بدأ الاستكشاف المنهجي للزمر المنتهية من نوع لي بنظرية كاميل جوردان التي تنص على أن الزمرة الخطية الخاصة الإسقاطية PSL(2, q ) بسيطة عندما q ≠ 2 أو 3. تُعمم هذه النظرية على الزمر الإسقاطية ذات الأبعاد الأعلى، وتُعطي عائلة لانهائية مهمة من الزمر البسيطة المنتهية PSL( n , q ) . درس ليونارد ديكسون زمرًا كلاسيكية أخرى في بداية القرن العشرين. في خمسينيات القرن العشرين، أدرك كلود شوفالي أنه بعد إعادة صياغة مناسبة، يمكن إيجاد نظائر للعديد من النظريات المتعلقة بزمر لي شبه البسيطة في الزمر الجبرية على أي حقل k ، مما أدى إلى بناء ما يُعرف الآن بزمر شوفالي . علاوة على ذلك، وكما هو الحال في زمر لي البسيطة المدمجة، تبين أن الزمر المقابلة بسيطة تقريبًا مثل الزمر المجردة ( نظرية تيتس للبساطة ). مع أنه كان معروفًا منذ القرن التاسع عشر وجود زمر بسيطة منتهية أخرى (مثل زمر ماثيو )، فقد ترسخ تدريجيًا اعتقاد بأن جميع الزمر البسيطة المنتهية تقريبًا يمكن تفسيرها بتوسيعات مناسبة لبناء شوفالي، إلى جانب الزمر الدورية والمتناوبة. علاوة على ذلك، تشترك الاستثناءات، وهي الزمر المتفرقة ، في العديد من الخصائص مع الزمر المنتهية من نوع لي، وعلى وجه الخصوص، يمكن بناؤها وتوصيفها بناءً على هندستها وفقًا لنظرية تيتس.

لقد أصبح هذا الاعتقاد الآن نظرية – تصنيف الزمر البسيطة المنتهية . ويُظهر فحص قائمة الزمر البسيطة المنتهية أن زمر نوع لي على حقل منتهٍ تشمل جميع الزمر البسيطة المنتهية باستثناء الزمر الدورية، والزمر المتناوبة، وزمرة تيتس ، والزمر البسيطة المتفرقة الـ 26 .

بالنسبة لأي مجموعة منتهية G ، فإن رتبة (عدد العناصر) كل مجموعة جزئية H من G تقسم رتبة G. سُميت هذه النظرية نسبةً إلى جوزيف لويس لاغرانج .

يوفر هذا عكسًا جزئيًا لنظرية لاغرانج، مما يعطي معلومات حول عدد المجموعات الفرعية ذات رتبة معينة الموجودة في G.

تنص نظرية كايلي ، التي سميت تكريماً لآرثر كايلي ، على أن كل مجموعة G متماثلة مع مجموعة جزئية من المجموعة المتناظرة التي تؤثر على G. ^{[ 6 ] ويمكن فهم هذا على} أنه مثال على تأثير المجموعة G على عناصر G. [ ^{7 ]}

تنص نظرية بيرنسايد في نظرية الزمر على أنه إذا كانت G زمرة منتهية من الرتبة p ^a q ^b ، حيث p و q عددان أوليان ، و a و b عددان صحيحان غير سالبين ، فإن G قابلة للحل . وبالتالي، فإن كل زمرة بسيطة منتهية غير تبديلية لها رتبة قابلة للقسمة على ثلاثة أعداد أولية مختلفة على الأقل.

تنص نظرية فيت -تومسون ، أو نظرية الرتبة الفردية ، على أن كل زمرة منتهية ذات رتبة فردية قابلة للحل . وقد أثبتها والتر فيت وجون غريغز تومسون ( 1962 ، 1963 ). 

يُعد تصنيف المجموعات البسيطة المنتهية نظرية تنص على أن كل مجموعة بسيطة منتهية تنتمي إلى إحدى العائلات التالية:

• مجموعة دورية ذات رتبة أولية؛
• مجموعة متناوبة من الدرجة الخامسة على الأقل؛
• مجموعة بسيطة من نوع لي ؛
• إحدى المجموعات البسيطة المتفرقة الـ 26 ؛
• مجموعة تيتس (التي تعتبر أحيانًا مجموعة متفرقة رقم 27).

يمكن اعتبار الزمر البسيطة المنتهية بمثابة اللبنات الأساسية لجميع الزمر المنتهية، على غرار كون الأعداد الأولية اللبنات الأساسية للأعداد الطبيعية . تُعدّ نظرية جوردان-هولدر طريقةً أدقّ للتعبير عن هذه الحقيقة المتعلقة بالزمر المنتهية. مع ذلك، يكمن الاختلاف الجوهري عن حالة تحليل الأعداد الصحيحة في أن هذه "اللبنات الأساسية" لا تُحدّد بالضرورة زمرةً بشكلٍ فريد، إذ قد توجد زمرٌ عديدة غير متماثلة لها نفس سلسلة التركيب ، أو بعبارةٍ أخرى، لا يوجد حلّ وحيد لمسألة التمديد .

يتألف برهان النظرية من عشرات الآلاف من الصفحات في عدة مئات من المقالات المنشورة في المجلات والتي كتبها حوالي 100 مؤلف، ونُشرت في الغالب بين عامي 1955 و2004. ويقوم كل من جورنشتاين (توفي عام 1992) وليونز وسولومون بنشر نسخة مبسطة ومنقحة من البرهان تدريجياً.