مجموعة الكذبة البسيطة

تحتاج هذه المقالة إلى مصادر إضافية للتحقق . يُرجى المساعدة في تحسين هذه المقالة بإضافة مصادر موثوقة . قد يتم الطعن في المواد غير الموثقة وإزالتها. البحث عن المصادر:  "مجموعة الكذبة البسيطة" – الأخبار  · الصحف  · الكتب  · العلماء  · JSTOR ( أبريل 2010 ) ( تعرف على كيفية ووقت إزالة هذه الرسالة )

مجموعات الكذب وجبر الكذب
المجموعات الكلاسيكية الخطية العامة GL( n ) خطية خاصة SL( n ) متعامد O( n ) متعامد خاص SO( n ) وحدة U( n ) وحدة خاصة SU( n ) سمبلكتيك سب( ن )
مجموعات الكذب البسيطة كلاسيكي أ بن سي إن د ن استثنائي ج 2 ف 4 هـ 6 هـ 7 هـ 8
مجموعات الكذب الأخرى دائرة لورنتز بوانكاريه مجموعة مطابقة التماثل التفاضلي حلقة إقليدي
جبر الكذب مجموعة لي - جبر لي خريطة أسيّة التمثيل المساعد شكل القتل فِهرِس جبر الكذب البسيط الجبر الحلقي جبر الكذب الأفيني
جبر لاي شبه البسيط مخططات دينكين جبر كارتان الفرعي نظام الجذر مجموعة ويل الشكل الحقيقي التعقيد جبر الكذب المنقسم جبر الكذب المدمج
نظرية التمثيل تمثيل المجموعة الكاذبة تمثيل الجبر الكاذب نظرية التمثيل لجبر لاي شبه البسيط تمثيلات مجموعات لاي الكلاسيكية نظرية الوزن الاعلى نظرية بوريل-ويل-بوت
مجموعات الكذب في الفيزياء فيزياء الجسيمات ونظرية التمثيل تمثيلات مجموعة لورنتز تمثيلات مجموعة بوانكاريه تمثيلات المجموعة الجليلية
العلماء سوفوس لي هنري بوانكاريه قتل فيلهلم إيلي كارتان هيرمان ويل كلود شيفالي هاريش شاندرا أرماند بوريل
المصطلحات جدول مجموعات الكذب
ف ت هـ

في الرياضيات، مجموعة لي البسيطة هي مجموعة لي غير أبيلية متصلة G والتي لا تحتوي على مجموعات فرعية طبيعية متصلة غير تافهة . يمكن استخدام قائمة مجموعات لي البسيطة لقراءة قائمة جبر لي البسيط والمساحات المتماثلة الريمانية .

إلى جانب مجموعة لي التبادلية للأعداد الحقيقية، ومجموعة الأعداد المركبة ذات المقدار الواحد، U(1) (دائرة الوحدة)، تعطي مجموعات لي البسيطة "الكتل" الذرية التي تشكل جميع مجموعات لي المتصلة (ذات الأبعاد المحدودة) من خلال عملية تمديد المجموعة . العديد من مجموعات لي الشائعة تكون إما بسيطة أو "قريبة" من كونها بسيطة: على سبيل المثال، ما يسمى " المجموعة الخطية الخاصة " SL( n ، ) من n × n مصفوفة ذات محدد يساوي 1 تكون بسيطة لجميع n  > 1 الفردية، عندما تكون متماثلة للمجموعة الخطية الخاصة الإسقاطية . ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

كان أول تصنيف لمجموعات لي البسيطة بواسطة فيلهلم كيلنج ، وقد تم تحسين هذا العمل لاحقًا بواسطة إيلي كارتان . غالبًا ما يشار إلى التصنيف النهائي باسم تصنيف كيلنج-كارتان.

لسوء الحظ، لا يوجد تعريف مقبول عالميًا لمجموعة لي البسيطة. وعلى وجه الخصوص، لا يتم تعريفها دائمًا على أنها مجموعة لي بسيطة كمجموعة مجردة. يختلف المؤلفون حول ما إذا كان يجب أن تكون مجموعة لي البسيطة متصلة، أو ما إذا كان يُسمح لها بالحصول على مركز غير تافه، أو ما إذا كانت مجموعة لي بسيطة. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

التعريف الأكثر شيوعًا هو أن مجموعة لي تكون بسيطة إذا كانت متصلة وغير أبيلية، وكل مجموعة فرعية طبيعية متصلة مغلقة هي إما المجموعة المتطابقة أو المجموعة بأكملها. على وجه الخصوص، يُسمح للمجموعات البسيطة بأن يكون لها مركز غير تافه، ولكنها ليست بسيطة. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

في هذه المقالة، تم سرد مجموعات لي البسيطة المتصلة ذات المركز التافه. وبمجرد معرفة هذه المجموعات، يمكن بسهولة سرد المجموعات ذات المركز غير التافه على النحو التالي. أي مجموعة لي بسيطة ذات مركز تافه لها غطاء عالمي ، ومركزه هو المجموعة الأساسية لمجموعة لي البسيطة. ويمكن الحصول على مجموعات لي البسيطة المقابلة ذات المركز غير التافه كحاصلات لهذا الغطاء العالمي بواسطة مجموعة فرعية من المركز.

يتبع تعريف مكافئ لمجموعة لي البسيطة من تطابق لي : تكون مجموعة لي المتصلة بسيطة إذا كان جبر لي الخاص بها بسيطًا . النقطة الفنية المهمة هي أن مجموعة لي البسيطة قد تحتوي على مجموعات فرعية طبيعية منفصلة . لهذا السبب، فإن تعريف مجموعة لي البسيطة لا يعادل تعريف مجموعة لي البسيطة كمجموعة مجردة .

تتضمن مجموعات لي البسيطة العديد من مجموعات لي الكلاسيكية ، والتي توفر أساسًا نظريًا للمجموعات للهندسة الكروية والهندسة الإسقاطية والهندسات ذات الصلة بمعنى برنامج إرلانجن لفيليكس كلاين . ظهر في سياق تصنيف مجموعات لي البسيطة أنه توجد أيضًا العديد من الاحتمالات الاستثنائية التي لا تتوافق مع أي هندسة مألوفة. تمثل هذه المجموعات الاستثنائية العديد من الأمثلة والتكوينات الخاصة في فروع أخرى من الرياضيات، بالإضافة إلى الفيزياء النظرية المعاصرة .

كمثال مضاد، المجموعة الخطية العامة ليست بسيطة ولا شبه بسيطة . وذلك لأن مضاعفات المتطابقة تشكل مجموعة فرعية طبيعية غير تافهة، وبالتالي تتجنب التعريف. وعلى نحو مكافئ، فإن جبر لاي المقابل له شكل قتل منحط ، وذلك لأن مضاعفات المتطابقة تتطابق مع عنصر الصفر في الجبر. وبالتالي، فإن جبر لاي المقابل ليس أيضًا بسيطًا ولا شبه بسيط. ومن الأمثلة المضادة الأخرى المجموعات المتعامدة الخاصة في البعد الزوجي. تحتوي هذه على المصفوفة في المنتصف ، وهذا العنصر متصل بمسار إلى عنصر المتطابق، وبالتالي تتجنب هذه المجموعات التعريف. وكلا المجموعتين مجموعات اختزالية . ${\displaystyle -I}$

مجموعة لي شبه البسيطة هي مجموعة لي متصلة بحيث تكون مجموعتها الفرعية الطبيعية الإبيلية المتصلة الوحيدة هي المجموعة الفرعية التافهة. كل مجموعة لي بسيطة هي شبه بسيطة. وبشكل عام، أي حاصل ضرب مجموعات لي البسيطة هو شبه بسيط، وأي حاصل قسمة مجموعة لي شبه بسيطة على مجموعة فرعية مغلقة هو شبه بسيط. يمكن تكوين كل مجموعة لي شبه بسيطة عن طريق أخذ حاصل قسمة مجموعات لي البسيطة وقسمة قسمة على مجموعة فرعية من مركزها. بعبارة أخرى، كل مجموعة لي شبه بسيطة هي حاصل قسمة مركزي لمجموعات لي البسيطة. مجموعات لي شبه البسيطة هي بالضبط مجموعات لي التي تكون جبر لي الخاص بها جبر لي شبه بسيط .

جبر لي لمجموعة لي بسيطة هو جبر لي بسيط. وهو تطابق واحد لواحد بين مجموعات لي البسيطة المتصلة ذات المركز البسيط وجبر لي البسيط ذي البعد الأكبر من 1. (يختلف المؤلفون حول ما إذا كان جبر لي أحادي البعد يجب اعتباره بسيطًا أم لا.)

تُصنف جبر لاي شبه البسيطة على الأعداد المركبة حسب مخططات دينكين الخاصة بها ، من النوع "ABCDEFG". إذا كان L جبر لاي بسيط حقيقي، فإن تعقيده هو جبر لاي معقد بسيط، ما لم يكن L بالفعل تعقيدًا لجبر لاي، وفي هذه الحالة يكون تعقيد L هو حاصل ضرب نسختين من L. وهذا يقلل من مشكلة تصنيف جبر لاي البسيط الحقيقي إلى إيجاد جميع الأشكال الحقيقية لكل جبر لاي بسيط معقد (أي جبر لاي الحقيقي الذي يكون تعقيده هو جبر لاي المعقد المعطى). يوجد دائمًا شكلان على الأقل من هذه الأشكال: شكل منقسم وشكل مضغوط، وعادةً ما يكون هناك عدد قليل آخر. تتوافق الأشكال الحقيقية المختلفة مع فئات التماثلات الذاتية من مرتبة 2 على الأكثر من جبر لاي المعقد.

يتم تصنيف المساحات المتماثلة على النحو التالي.

أولاً، الغطاء الشامل للفضاء المتماثل يظل متماثلاً، لذا يمكننا أن نختصر الأمر في حالة الفضاءات المتماثلة المتصلة ببساطة. (على سبيل المثال، الغطاء الشامل للمستوى الإسقاطي الحقيقي هو كرة.)

ثانيًا، حاصل ضرب المساحات المتماثلة هو متماثل، لذا قد يكون من الأفضل تصنيف المساحات غير القابلة للاختزال المتصلة ببساطة (حيث تعني غير القابلة للاختزال أنه لا يمكن كتابتها كمنتج لمساحات متماثلة أصغر).

المساحات المتماثلة المتصلة ببساطة والتي لا يمكن اختزالها هي الخط الحقيقي، ومساحتان متماثلتان بالضبط تتوافقان مع كل مجموعة لي بسيطة غير مضغوطة G ، واحدة مضغوطة والأخرى غير مضغوطة. المساحة غير المضغوطة هي غطاء لقسمة G بواسطة مجموعة فرعية مضغوطة قصوى H ، والمساحة المضغوطة هي غطاء لقسمة الشكل المضغوط لـ G بواسطة نفس المجموعة الفرعية H. هذه الثنائية بين المساحات المتماثلة المضغوطة وغير المضغوطة هي تعميم للثنائية المعروفة بين الهندسة الكروية والزائدية.

الفضاء المتماثل ذو البنية المعقدة المتوافقة يسمى الفضاء الهرميتي. الفضاءات الهرميتي المتناظرة غير القابلة للاختزال والمتصلة ببساطة تندرج ضمن 4 عائلات لا نهائية مع عائلتين استثنائيتين متبقيتين، ولكل منها ثنائي غير مضغوط. بالإضافة إلى ذلك، فإن المستوى المركب هو أيضًا فضاء هيرميتي متناظر؛ وهذا يعطي القائمة الكاملة للفضاءات الهرميتي المتناظرة غير القابلة للاختزال.

العائلات الأربع هي الأنواع A III وB I وD I لـ p = 2 وD III وC I، والنوعان الاستثنائيان هما النوعان E III وE VII من الأبعاد المعقدة 16 و27.

${\displaystyle \mathbb {R,C,H,O} }$  تمثل الأعداد الحقيقية والأعداد المركبة والرباعيات والثمانيات .

في الرموز مثل E ₆ ⁻²⁶ للمجموعات الاستثنائية، يكون الأس −26 هو توقيع شكل ثنائي خطي متماثل ثابت يكون سلبيًا محددًا على المجموعة الفرعية المدمجة القصوى. وهو يساوي بُعد المجموعة ناقص ضعف بُعد المجموعة الفرعية المدمجة القصوى.

المجموعة الأساسية المدرجة في الجدول أدناه هي المجموعة الأساسية للمجموعة البسيطة ذات المركز التافه. المجموعات البسيطة الأخرى ذات جبر لاي نفسه تتوافق مع المجموعات الفرعية لهذه المجموعة الأساسية (بخلاف تأثير مجموعة التماثل الذاتي الخارجي).

يتم تصنيف مجموعات الكذب البسيطة بشكل كامل. وعادة ما يتم وضع التصنيف في عدة خطوات، وهي:

• تصنيف جبر لاي البسيط على الأعداد المركبة باستخدام مخططات داينكين .
• تصنيف جبر لي الحقيقي البسيط يحتوي كل جبر لي معقد بسيط على عدة أشكال حقيقية ، مصنفة حسب الزخارف الإضافية لمخطط داينكين الخاص بها والذي يسمى مخططات ساتاكي ، نسبة إلى إيشيرو ساتاكي .
• تصنيف مجموعات لي البسيطة عديمة المركز لكل جبر لي بسيط (حقيقي أو معقد) ، توجد مجموعة لي بسيطة "عديمة المركز" فريدة من نوعها، جبر ليها هو ولها مركز تافه .${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• تصنيف مجموعات لي البسيطة

يمكن للمرء أن يُظهِر أن المجموعة الأساسية لأي مجموعة لي هي مجموعة تبديلية منفصلة . بالنظر إلى مجموعة فرعية (غير تافهة) للمجموعة الأساسية لبعض مجموعات لي ، يمكن للمرء استخدام نظرية تغطية المساحات لإنشاء مجموعة جديدة في مركزها. الآن يمكن الحصول على أي مجموعة لي (حقيقية أو معقدة) من خلال تطبيق هذا البناء على مجموعات لي عديمة المركز. لاحظ أن مجموعات لي الحقيقية التي تم الحصول عليها بهذه الطريقة قد لا تكون أشكالًا حقيقية لأي مجموعة معقدة. مثال مهم جدًا لمثل هذه المجموعة الحقيقية هو المجموعة الميتابليتيكية ، والتي تظهر في نظرية التمثيل اللانهائي الأبعاد والفيزياء. عندما نأخذ المجموعة الأساسية الكاملة، فإن مجموعة لي الناتجة هي الغطاء الشامل لمجموعة لي عديمة المركز ، وهي متصلة ببساطة. على وجه الخصوص، يتوافق كل جبر لي (حقيقي أو معقد) أيضًا مع مجموعة لي متصلة فريدة ومتصلة ببساطة مع جبر لي هذا، والذي يُسمى "مجموعة لي المتصلة ببساطة" المرتبطة بـ${\displaystyle K\subset \pi _{1}(G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\tilde {G}}^{K}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K\subset \pi _{1}(G)}$${\displaystyle {\tilde {G}}^{K=\pi _{1}(G)}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\tilde {G}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$

كل جبر لي معقد بسيط له شكل حقيقي فريد تكون فيه مجموعة لي عديمة المركز المقابلة مضغوطة . اتضح أن مجموعة لي المتصلة ببساطة في هذه الحالات مضغوطة أيضًا. تتمتع مجموعات لي المضغوطة بنظرية تمثيل قابلة للحل بشكل خاص بسبب نظرية بيتر-ويل . تمامًا مثل جبر لي المعقد البسيط، يتم تصنيف مجموعات لي المضغوطة عديمة المركز بواسطة مخططات دينكين (تم تصنيفها لأول مرة بواسطة فيلهلم كيلينج وإيلي كارتان ).

بالنسبة للسلسلة اللانهائية (A, B, C, D) من مخططات Dynkin، يمكن وصف مجموعة Lie المدمجة المتصلة المرتبطة بكل مخطط Dynkin صراحةً كمجموعة مصفوفة، مع وصف مجموعة Lie المدمجة غير المركزية المقابلة على أنها الحاصل بواسطة مجموعة فرعية من المصفوفات القياسية. بالنسبة لتلك من النوع A وC، يمكننا إيجاد تمثيلات مصفوفة صريحة لمجموعة Lie المتصلة ببساطة المقابلة كمجموعات مصفوفة.

تحتوي A _r على المجموعة المدمجة المرتبطة بها والتي تسمى المجموعة الوحدوية الخاصة ، SU( r + 1) ، والمجموعة المدمجة غير المركزية المرتبطة بها والتي تسمى المجموعة الوحدوية الإسقاطية PU( r + 1) .

تحتوي B _r على مجموعات مدمجة غير مركزية مرتبطة بها وهي مجموعات متعامدة خاصة فردية ، SO(2 r + 1) . ومع ذلك، فإن هذه المجموعة ليست متصلة ببساطة: فغلافها الشامل (المزدوج) هو مجموعة الدوران .

تحتوي C _r على مجموعة متصلة بسيطة مرتبطة بها وهي مجموعة المصفوفات السمبلكتيكية الوحدوية Sp ( r ) ومجموعة Lie PSp( r ) = Sp( r )/{I, −I} من المصفوفات السمبلكتيكية الوحدوية الإسقاطية كمجموعة غير مركزية مرتبطة بها. تحتوي المجموعات السمبلكتيكية على غطاء مزدوج بواسطة المجموعة المتحولة .

تحتوي D _r كمجموعة مدمجة مرتبطة بها على مجموعات متعامدة خاصة زوجية ، SO(2 r ) ، وكمجموعة مدمجة غير مركزية مرتبطة بها، المجموعة المتعامدة الخاصة الإسقاطية PSO(2 r ) = SO(2 r )/{I, −I}. وكما هو الحال مع السلسلة B، فإن SO(2 r ) ليست متصلة ببساطة؛ فغلافها الشامل هو مرة أخرى مجموعة الدوران ، ولكن هذه الأخيرة لها مركز مرة أخرى (راجع مقالها).

الرسم البياني D ₂ عبارة عن عقدتين معزولتين، مثل A ₁ ∪ A ₁ ، ويتوافق هذا التطابق مع تماثل خريطة التغطية من SU(2) × SU(2) إلى SO(4) المعطى عن طريق ضرب الرباعيات ؛ انظر الرباعيات والدوران المكاني . وبالتالي فإن SO(4) ليست مجموعة بسيطة. أيضًا، الرسم البياني D ₃ هو نفسه A ₃ ، وهو ما يتوافق مع تماثل خريطة التغطية من SU(4) إلى SO(6).

بالإضافة إلى العائلات الأربع A _i و B _i و C _i و D _i المذكورة أعلاه، هناك خمسة ما يسمى بمخططات دينكين الاستثنائية وهي G ₂ و F ₄ و E ₆ و E ₇ و E ₈ ؛ تحتوي مخططات دينكين الاستثنائية هذه أيضًا على مجموعات مضغوطة مرتبطة ببساطة وغير مركزية. ومع ذلك، فإن المجموعات المرتبطة بالعائلات الاستثنائية يصعب وصفها أكثر من تلك المرتبطة بالعائلات اللانهائية، ويرجع ذلك إلى حد كبير إلى أن أوصافها تستخدم أشياء استثنائية . على سبيل المثال، المجموعة المرتبطة بـ G ₂ هي مجموعة التماثل الذاتي للثمانيات ، والمجموعة المرتبطة بـ F ₄ هي مجموعة التماثل الذاتي لجبر ألبرت معين .

انظر أيضًا E _{7 + 1 ⁄ 2} .

	البعد	مجموعة التشكل الذاتي الخارجي	أبعاد الفضاء المتماثل	الفضاء المتماثل	ملاحظات
${\displaystyle \mathbb {R} }$(أبيليان)	1	${\displaystyle \mathbb {R} ^{*}}$	1	${\displaystyle \mathbb {R} }$	†

^† المجموعةليست "بسيطة" كمجموعة مجردة، ووفقًا لمعظم التعريفات (ولكن ليس كلها)، فهي ليست مجموعة لي بسيطة. علاوة على ذلك، لا يحسب معظم المؤلفين جبر لي الخاص بها على أنه جبر لي بسيط. وهي مدرجة هنا حتى تكتمل قائمة "الفضاءات المتماثلة المتصلة ببساطة والتي لا يمكن اختزالها". لاحظ أنهي الفضاء المتماثل غير المضغوط الوحيد بدون ثنائي مضغوط (على الرغم من أن له حاصل قسمة مضغوط S ¹ ).${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

	البعد	المرتبة الحقيقية	المجموعة الأساسية	مجموعة التشكل الذاتي الخارجي	أسماء أخرى	ملاحظات
أ n ( n ≥ 1 ) مضغوط	ن ( ن + 2)	0	دوري، رتبة n + 1	1 إذا n = 1 ، 2 إذا n > 1 .	المجموعة الوحدوية الخاصة الإسقاطية PSU( n + 1)	أ 1 هو نفس ب 1 و ج 1
ب ن ( ن ≥ 2 ) مضغوط	ن (2 ن + 1)	0	2	1	المجموعة المتعامدة الخاصة SO 2 n +1 ( R )	B1 هي نفس A1 و C1 . B2 هي نفس C2 .​​​
C n ( n ≥ 3 ) مضغوط	ن (2 ن + 1)	0	2	1	المجموعة السمبلكتيكية المدمجة الإسقاطية PSp( n )، PSp(2n ) ، PUSp( n )، PUSp( 2n )	هيرميتية. هياكل معقدة من H n . نسخ من الفضاء الإسقاطي المعقد في الفضاء الإسقاطي الرباعي.
د ن ( ن ≥ 4 ) مضغوط	ن (2 ن − 1)	0	الترتيب 4 (دوري عندما يكون n فرديًا).	2 إذا n > 4 ، S 3 إذا n = 4	المجموعة المتعامدة الخاصة الإسقاطية PSO 2 n ( R )	D3 هو نفس A3 ، D2 هو نفس A12 ، و D1 هو أبيلي .​
E 6 −78 مضغوط	78	0	3	2
E 7 −133 مضغوط	133	0	2	1
E 8 −248 مضغوط	248	0	1	1
F 4 −52 مضغوط	52	0	1	1
G 2 −14 مضغوط	14	0	1	1		هذه هي مجموعة التشكل الذاتي لجبر كايلي.

	البعد	المرتبة الحقيقية	أقصى مجموعة فرعية مدمجة	المجموعة الأساسية	مجموعة التشكل الذاتي الخارجي	أسماء أخرى	أبعاد الفضاء المتماثل	مساحة متماثلة مدمجة	الفضاء المتماثل غير المضغوط	ملاحظات
انقسام A n I ( n ≥ 1)	ن ( ن + 2)	ن	د ن /2 أو ب ( ن −1)/2	دوري لانهائي إذا n = 1 2 إذا n ≥ 2	1 إذا كان n = 1 2 إذا كان n ≥ 2.	المجموعة الخطية الخاصة الإسقاطية PSL n +1 (R)	ن ( ن + 3)/2	هياكل حقيقية على C n +1 أو مجموعة RP n في CP n . هيرميتية إذا n = 1 ، وفي هذه الحالة تكون كرة ثنائية.	البنى الإقليدية على R n +1 . هيرميتية إذا n = 1 ، عندما يكون نصف المستوى العلوي أو القرص المركب الوحدوي.
ب ن أنا ( ن ≥ 2) انقسام	ن (2 ن + 1)	ن	SO( n )SO( n +1)	غير دوري، الترتيب 4	1	مكون الهوية للمجموعة المتعامدة الخاصة SO( n , n +1)	ن ( ن + 1)			ب 1 هو نفس أ 1 .
C n I ( n ≥ 3) انقسام	ن (2 ن + 1)	ن	أ ن −1 س 1	دورية لا نهائية	1	المجموعة الإسقاطية الإسقاطية PSp 2 n ( R )، PSp(2 n , R )، PSp(2 n )، PSp( n , R )، PSp( n )	ن ( ن + 1)	هيرميتية. هياكل معقدة من H n . نسخ من الفضاء الإسقاطي المعقد في الفضاء الإسقاطي الرباعي.	هيرميتية. هياكل معقدة على R 2 n متوافقة مع الشكل السمبلكتيكي. مجموعة من الفضاءات الزائدة المعقدة في الفضاء الزائدي الرباعي. فضاء سيجل النصف العلوي.	C2 هو نفس B2 ، و C1 هو نفس B1 و A1 . ​​
D n I ( n ≥ 4) انقسام	ن (2 ن - 1)	ن	SO( n )SO( n )	الترتيب 4 إذا كان n فرديًا، و8 إذا كان n زوجيًا	2 إذا n > 4 ، S 3 إذا n = 4	مكون الهوية للمجموعة المتعامدة الخاصة الإسقاطية PSO( n , n )	ن 2			D3 هو نفس A3 ، D2 هو نفس A12 ، و D1 هو أبيلي .​
E 6 6 أنا انقسمت	78	6	ج 4	الطلب 2	الطلب 2	إي إي	42
E 7 7 فولت مقسم	133	7	أ 7	دوري، الترتيب 4	الطلب 2		70
E 8 8 VIII مقسمة	248	8	د 8	2	1	الثامن	128			@ E8
ف 4 4 أنا انقسمت	52	4	ج 3 × أ 1	الطلب 2	1	في اي	28	المستويات الإسقاطية الرباعية في المستوى الإسقاطي لكايلي.	المستويات الإسقاطية الرباعية الزائدية في المستوى الإسقاطي كايلي الزائدي.
G 2 2 انقسمت	14	2	أ 1 × أ 1	الطلب 2	1	جي اي	8	الجبر الفرعي الرباعي لجبر كايلي. الرباعي-كاهلر.	الجبر الفرعي الرباعي غير القسمي لجبر كايلي غير القسمي. الرباعي-كاهلر.

	البعد الحقيقي	المرتبة الحقيقية	أقصى مجموعة فرعية مدمجة	المجموعة الأساسية	مجموعة التشكل الذاتي الخارجي	أسماء أخرى	أبعاد الفضاء المتماثل	مساحة متماثلة مدمجة	الفضاء المتماثل غير المضغوط
مركب n ( n ≥ 1)	2 ن ( ن + 2)	ن	أ ن	دوري، رتبة n + 1	2 إذا n = 1 ، 4 (غير دوري) إذا n ≥ 2 .	مجموعة خطية خاصة معقدة إسقاطية PSL n +1 ( C )	ن ( ن + 2)	المجموعة المدمجة أ ن	أشكال هيرميتية على C n +1 مع حجم ثابت.
مركب ب ن ( ن ≥ 2)	2 ن (2 ن + 1)	ن	ب ن	2	الترتيب 2 (الاقتران المعقد)	مجموعة متعامدة خاصة معقدة SO 2 n +1 ( C )	ن (2 ن + 1)	المجموعة المدمجة ب
مركب C n ( n ≥ 3)	2 ن (2 ن + 1)	ن	ج ن	2	الترتيب 2 (الاقتران المعقد)	المجموعة السمبلكتيكية المعقدة الإسقاطية PSp 2 n ( C )	ن (2 ن + 1)	المجموعة المدمجة C n
مجمع د ن ( ن ≥ 4)	2 ن (2 ن − 1)	ن	د ن	الترتيب 4 (دوري عندما يكون n فرديًا)	غير دوري من الدرجة 4 لـ n > 4 ، أو حاصل ضرب مجموعة من الدرجة 2 والمجموعة المتماثلة S 3 عندما n = 4 .	مجموعة متعامدة خاصة معقدة إسقاطية PSO 2 n ( C )	ن (2 ن − 1)	المجموعة المدمجة د ن
مجمع E6​	156	6	هـ 6	3	الترتيب الرابع (غير دوري)		78	المجموعة المدمجة E 6
مجمع E7​	266	7	هـ 7	2	الترتيب 2 (الاقتران المعقد)		133	المجموعة المدمجة E 7
مجمع E 8	496	8	هـ 8	1	الترتيب 2 (الاقتران المعقد)		248	المجموعة المدمجة E 8
مجمع ف 4	104	4	ف 4	1	2		52	المجموعة المدمجة F 4
مجمع G2​	28	2	ج 2	1	الترتيب 2 (الاقتران المعقد)		14	المجموعة المدمجة G 2

	البعد	المرتبة الحقيقية	أقصى مجموعة فرعية مدمجة	المجموعة الأساسية	مجموعة التشكل الذاتي الخارجي	أسماء أخرى	أبعاد الفضاء المتماثل	مساحة متماثلة مدمجة	الفضاء المتماثل غير المضغوط	ملاحظات
أ 2 ن −1 II ( ن ≥ 2)	(2 ن − 1)(2 ن + 1)	ن − 1	ج ن	الطلب 2		SL n ( H )، SU ∗ (2 n )	( ن − 1)(2 ن + 1)	الهياكل الرباعية على C 2 n متوافقة مع البنية الهيرميتية	نسخ من الفضاء الزائدي الرباعي (من البعد n − 1 ) في الفضاء الزائدي المعقد (من البعد 2 n − 1 ).
أ ن III ( ن ≥ 1) ص + س = ن + 1 (1 ≤ ص ≤ س )	ن ( ن + 2)	ص	أ ص −1 أ س −1 س 1			SU( p , q )، أ III	2 بيكو	هيرميتيان . جراسمانيان للفضاءات الجزئية p لـ C p + q . إذا كان p أو q يساوي 2؛ رباعية-كاهلر	هيرميتيان. جراسمانيان للفضاءات الجزئية المحددة الموجبة القصوى لـ C p و q . إذا كان p أو q يساوي 2، فإن رباعية كاهلر	إذا كان p = q = 1، قم بالتقسيم إذا كان | p − q | ≤ 1، قم بالتقسيم شبه الكامل
ب ن ي ( ن > 1) ص + س = 2 ن +1	ن (2 ن + 1)	دقيقة( ص ، س )	SO( p )SO( q )			SO( ص ، س )	صق	جراسمانيان لـ R p s في R p + q . إذا كان p أو q يساوي 1، الفضاء الإسقاطي إذا كان p أو q يساوي 2؛ هيرميتي إذا كان p أو q يساوي 4، رباعية كاهلر	جراسمانيان لـ R p s محدد موجب في R p , q . إذا كان p أو q يساوي 1، الفضاء الزائدي إذا كان p أو q يساوي 2، هيرميتي إذا كان p أو q يساوي 4، رباعية كاهلر	إذا | p − q | ≤ 1، قم بالتقسيم.
ج ن II ( ن > 2) ن = ص + ف (1 ≥ ص ≥ ف )	ن (2 ن + 1)	دقيقة( ص ، س )	ج ص ج ق	الطلب 2	1 إذا كان p ≠ q ، 2 إذا كان p = q .	س 2 ص ، 2 س (ر)	4 بيكو	جراسمانيان لـ H p s في H p + q . إذا كان p أو q يساوي 1، فإن الفضاء الإسقاطي الرباعي يكون في هذه الحالة رباعيًا-كاهلريًا.	H p s في H p , q . إذا كان p أو q يساوي 1، فإن الفضاء الزائدي الرباعي في هذه الحالة يكون رباعيًا-كاهلريًا.
د ن أنا ( ن ≥ 4) ص + س = 2 ن	ن (2 ن − 1)	دقيقة( ص ، س )	SO( p )SO( q )		إذا كان p و q ≥ 3، فالرتبة 8.	SO( ص ، س )	صق	جراسمانيان لـ R p s في R p + q . إذا كان p أو q يساوي 1، الفضاء الإسقاطي إذا كان p أو q يساوي 2؛ هيرميتي إذا كان p أو q يساوي 4، رباعية كاهلر	جراسمانيان لـ R p s موجبة محددة في R p , q . إذا كان p أو q يساوي 1، الفضاء الزائدي إذا كان p أو q يساوي 2، هيرميتي إذا كان p أو q يساوي 4، رباعية كاهلر	إذا كان p = q ، قم بالتقسيم إذا كان | p − q | ≤ 2، قم بالتقسيم شبه الكامل
د ن III ( ن ≥ 4)	ن (2 ن − 1)	⌊ ن /2⌋	أ ن −1 ر 1	دورية لا نهائية	الطلب 2	SO * (2ن)	ن ( ن − 1)	هيرميتية. هياكل معقدة على R 2 n متوافقة مع البنية الإقليدية.	هيرميتية. الأشكال التربيعية الرباعية على R 2 n .
E 6 2 II (شبه منقسم)	78	4	أ 5 أ 1	دوري، الترتيب 6	الطلب 2	هـ الثاني	40	رباعية كاهلر.	رباعية كاهلر.	منقسمة جزئيا ولكن ليست مقسمة.
هـ 6 −14 ثالثا	78	2	د 5 س 1	دورية لا نهائية	تافه	هـ الثالث	32	المستوى الإسقاطي الإهليلجي لهرميتيان روزنفيلد فوق أعداد كايلي المعقدة.	المستوى الإسقاطي الزائدي لهرميتيان. روزنفيلد فوق أعداد كايلي المعقدة.
هـ 6 −26 الرابع	78	2	ف 4	تافه	الطلب 2	هـ الرابع	26	مجموعة من المستويات الإسقاطية لكايلي في المستوى الإسقاطي فوق أرقام كايلي المعقدة.	مجموعة من المستويات الزائدية لكايلي في المستوى الزائدي فوق أرقام كايلي المعقدة.
هـ 7 −5 السادس	133	4	د 6 أ 1	غير دوري، الترتيب 4	تافه	السادس​	64	رباعية كاهلر.	رباعية كاهلر.
هـ 7 −25 السابع	133	3	ع 6 س 1	دورية لا نهائية	الطلب 2	هـ السابع	54	هيرميتي.	هيرميتي.
هـ 8 −24 التاسع	248	4	ع 7 × أ 1	الطلب 2	1	هـ التاسع	112	رباعية كاهلر.	رباعية كاهلر.
ف 4 −20 الثاني	52	1	ب 4 (الدوران 9 ( R ))	الطلب 2	1	ف 2	16	المستوى الإسقاطي لكايلي. رباعية الأبعاد-كاهلر.	المستوى الإسقاطي الزائدي لكايلي. رباعية الأبعاد-كاهلر.

الجدول التالي يسرد بعض مجموعات لاي ذات جبر لاي بسيط ذو بعد صغير. المجموعات الموجودة على خط معين لها نفس جبر لاي. في حالة البعد 1، تكون المجموعات أبيلية وليست بسيطة.

خافت	المجموعات		الفضاء المتماثل	مدمج مزدوج	رتبة	خافت
1	ℝ, S 1 = U(1) = SO 2 (ℝ) = الدوران(2)	أبيليان	الخط الحقيقي		0	1
3	S 3 = Sp(1) = SU(2)=Spin(3)، SO 3 (ℝ) = PSU(2)	مضغوط
3	SL 2 (ℝ) = Sp 2 (ℝ)، SO 2,1 (ℝ)	انقسام، هيرميتي، زائدي	المستوى الزائدي${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$	كرة S 2	1	2
6	SL 2 (ℂ) = Sp 2 (ℂ)، SO 3,1 (ℝ)، SO 3 (ℂ)	معقد	الفضاء الزائدي${\displaystyle \mathbb {H} ^{3}}$	كرة S 3	1	3
8	SL 3 (ℝ)	ينقسم	الهياكل الإقليدية على${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$	الهياكل الحقيقية على${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$	2	5
8	س(3)	مضغوط
8	سو(1،2)	هيرميتي، شبه منقسم، رباعي	المستوى الزائدي المعقد	المستوى الإسقاطي المعقد	1	4
10	Sp(2) = الدوران(5)، SO 5 (ℝ)	مضغوط
10	SO 4,1 (ℝ)، Sp 2,2 (ℝ)	زائدي، رباعي	الفضاء الزائدي${\displaystyle \mathbb {H} ^{4}}$	كرة S 4	1	4
10	SO 3,2 (ℝ)، Sp 4 (ℝ)	انقسام، هيرميتي	مساحة النصف العلوي من سيجل	هياكل معقدة على${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$	2	6
14	ج 2	مضغوط
14	ج 2	مقسم، رباعي	جبر رباعي غير قابل للقسمة لثمانيات غير قابلة للقسمة	الجبر الفرعي الرباعي للأوكتونيون	2	8
15	SU(4) = الدوران(6)، SO 6 (ℝ)	مضغوط
15	SL 4 (ℝ)، SO 3,3 (ℝ)	ينقسم	ℝ 3 في ℝ 3,3	جراسمانيان جي (3،3)	3	9
15	سو(3،1)	هيرميتيان	الفضاء الزائدي المعقد	الفضاء الإسقاطي المعقد	1	6
15	SU(2,2)، SO 4,2 (ℝ)	هيرميتي، شبه منقسم، رباعي	ℝ 2 في ℝ 2,4	جراسمانيان جي (2,4)	2	8
15	SL 2 (ℍ)، SO 5,1 (ℝ)	زائدي	الفضاء الزائدي${\displaystyle \mathbb {H} ^{5}}$	كرة S 5	1	5
16	SL 3 (ℂ)	معقد		س(3)	2	8
20	SO 5 (ℂ)، Sp 4 (ℂ)	معقد		الدوران 5 (ℝ)	2	10
21	SO 7 (ℝ)	مضغوط
21	SO 6,1 (ℝ)	زائدي	الفضاء الزائدي${\displaystyle \mathbb {H} ^{6}}$	كرة S 6
21	SO 5,2 (ℝ)	هيرميتيان
21	SO 4,3 (ℝ)	مقسم، رباعي
21	س(3)	مضغوط
21	س 6 (ℝ)	انقسام، هيرميتي
21	س 4,2 (ℝ)	رباعية
24	س(5)	مضغوط
24	SL 5 (ℝ)	ينقسم
24	سو 4,1	هيرميتيان
24	سو 3،2	هيرميتي، رباعي
28	SO 8 (ℝ)	مضغوط
28	SO 7,1 (ℝ)	زائدي	الفضاء الزائدي${\displaystyle \mathbb {H} ^{7}}$	كرة S 7
28	SO 6,2 (ℝ)	هيرميتيان
28	SO 5,3 (ℝ)	شبه منقسم
28	SO 4,4 (ℝ)	مقسم، رباعي
28	SO ∗ 8 (ℝ)	هيرميتيان
28	ج 2 (ℂ)	معقد
30	SL 4 (ℂ)	معقد

المجموعة ذات الربط البسيط هي مجموعة لي تحتوي مخططات دينكين الخاصة بها على روابط بسيطة فقط، وبالتالي فإن جميع الجذور غير الصفرية لجبر لي المقابل لها نفس الطول. المجموعات من السلسلة A وD وE كلها ذات ربط بسيط، ولكن لا توجد مجموعة من النوع B أو C أو F أو G ذات ربط بسيط.

• مصفوفة كارتان
• مصفوفة كوكستر
• مجموعة ويل
• مجموعة كوكستر
• جبر كاك-مودي
• نظرية الكارثة
• جدول مجموعات الكذب
• تصنيف جبر لاي الحقيقي منخفض الأبعاد

• جاكوبسون، ناثان (1971). جبر الكذب الاستثنائي . دار نشر سي آر سي. رقم الكتاب المعياري الدولي 0-8247-1326-5.
• فولتون، ويليام ؛ هاريس، جو (2004). نظرية التمثيل: دورة أولى . سبرينغر. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-1-4612-0979-9.

• بيسي، مشعبات أينشتاين ISBN 0-387-15279-2 
• هيلجاسون، الهندسة التفاضلية، مجموعات لي، والمساحات المتماثلة . ISBN 0-8218-2848-7 
• فوكس وشويجرت، التناظرات، وجبر لاي، والتمثيلات: دورة دراسية عليا للفيزيائيين. مطبعة جامعة كامبريدج، 2003. ISBN 0-521-54119-0