جدول مجموعات الكذب

تقدم هذه المقالة جدولاً لبعض مجموعات لي الشائعة وجبر لي المرتبط بها .

يتم ملاحظة ما يلي: الخصائص الطوبولوجية للمجموعة ( البعد ؛ الاتصال ؛ التراص ؛ طبيعة المجموعة الأساسية ؛ وما إذا كانت متصلة ببساطة أم لا ) بالإضافة إلى خصائصها الجبرية ( أبيلية ؛ بسيطة ؛ شبه بسيطة ).

لمزيد من الأمثلة على مجموعات لي والمواضيع الأخرى ذات الصلة، انظر قائمة مجموعات لي البسيطة ؛ تصنيف بيانكي للمجموعات التي تصل إلى ثلاثة أبعاد؛ انظر تصنيف جبر لي الحقيقي منخفض الأبعاد لما يصل إلى أربعة أبعاد؛ وقائمة مواضيع مجموعات لي .

مفتاح العمود

• Cpt : هل هذه المجموعة G متراصة ؟ (نعم أم لا)
• ${\displaystyle \pi _{0}}$: يُعطي مجموعة مكونات G. رتبة مجموعة المكونات تُعطي عدد المكونات المتصلة . تكون المجموعة متصلة إذا وفقط إذا كانت مجموعة المكونات تافهة ( يُرمز لها بـ 0).
• ${\displaystyle \pi _{1}}$: يُعطي المجموعة الأساسية لـ G عندما تكون G متصلة. تكون المجموعة متصلة ببساطة إذا وفقط إذا كانت المجموعة الأساسية تافهة (يرمز لها بـ 0).
• UC : إذا لم تكن G متصلة ببساطة، فإنها تعطي الغطاء الشامل لـ G.

جماعة كاذبة	وصف	نقيب	${\displaystyle \pi _{0}}$	${\displaystyle \pi _{1}}$	جامعة كاليفورنيا	ملاحظات	جبر لي	خافت/ R
R n	الفضاء الإقليدي مع الجمع	شمال	0	0		أبيلية	R n	ن
R ×	الأعداد الحقيقية غير الصفرية مع عملية الضرب	شمال	Z 2	–		أبيلية	R	1
R +	الأعداد الحقيقية الموجبة مع عملية الضرب	شمال	0	0		أبيلية	R	1
S 1  =  U(1)	مجموعة الدائرة : الأعداد المركبة ذات القيمة المطلقة 1 مع عملية الضرب؛	Y	0	Z	R	أبيلية، متماثلة مع SO(2) و Spin(2) و R / Z	R	1
Aff(1)	التحويلات الأفينية العكسية من R إلى R.	شمال	Z 2	–		حاصل ضرب شبه مباشر قابل للحل لـ R + و R ×	${\displaystyle \left\{\left[{\begin{smallmatrix}a&b\\0&1\end{smallmatrix}}\right]:a\in \mathbb {R} ^{*},b\in \mathbb {R} \right\}}$	2
H ×	الأعداد الرباعية غير الصفرية مع عملية الضرب	شمال	0	0			ح	4
S 3  =  Sp(1)	الأعداد الرباعية ذات القيمة المطلقة 1 مع عملية الضرب؛ طوبولوجيًا، هي كرة ثلاثية الأبعاد	Y	0	0		متماثل مع SU(2) ومع Spin(3) ؛ غطاء مزدوج لـ SO(3)	Im( H )	3
GL( n , R )	المجموعة الخطية العامة : المصفوفات الحقيقية القابلة للعكس من الرتبة n × n	شمال	Z 2	–			M( n , R )	ن 2
GL + ( n , R )	مصفوفات حقيقية من الرتبة n × n ذات محدد موجب	شمال	0	Z n =2 Z 2 n > 2		GL + (1, R ) متماثل مع R + وهو متصل ببساطة	M( n , R )	ن 2
SL( n , R )	مجموعة خطية خاصة : مصفوفات حقيقية ذات محدد يساوي 1	شمال	0	Z n =2 Z 2 n > 2		SL(1, R ) هي نقطة واحدة، وبالتالي فهي متراصة ومتصلة ببساطة.	sl( n , R )	n 2 − 1
SL(2, R )	التماثلات المحافظة على الاتجاه لنصف مستوى بوانكاريه ، متماثلة مع SU(1,1)، متماثلة مع Sp(2, R ).	شمال	0	Z		لا يحتوي الغلاف العالمي على تمثيلات دقيقة ذات أبعاد محدودة.	sl(2, R )	3
على )​	المجموعة المتعامدة : المصفوفات المتعامدة الحقيقية	Y	Z 2	–		مجموعة التناظر للكرة ( n = 3) أو الكرة الفائقة .	so( n )	n ( n − 1)/2
SO( n )	المجموعة المتعامدة الخاصة : المصفوفات المتعامدة الحقيقية ذات المحدد 1	Y	0	Z n =2 Z 2 n > 2	Spin( n ) n > 2	SO(1) هي نقطة واحدة و SO(2) متماثلة مع مجموعة الدائرة ، و SO(3) هي مجموعة دوران الكرة.	so( n )	n ( n − 1)/2
SE( n )	المجموعة الإقليدية الخاصة : مجموعة من حركات الجسم الصلب في فضاء ذي أبعاد n.	شمال	0				se( n )	n + n ( n − 1)/2
الدوران ( ن )	مجموعة الدوران : غطاء مزدوج لـ SO( n )	Y	0 ن > 1	0 ن > 2		Spin(1) متماثل مع Z 2 وغير متصل؛ Spin(2) متماثل مع مجموعة الدائرة وغير متصل ببساطة	so( n )	n ( n − 1)/2
Sp(2 n , R )	المجموعة التبسيطية : المصفوفات التبسيطية الحقيقية	شمال	0	Z			sp(2 n , R )	ن (2 ن +1)
Sp( n )	مجموعة سيمبلكتية متراصة : مصفوفات وحدوية رباعية الأبعاد من الرتبة n × n	Y	0	0			sp( n )	ن (2 ن +1)
Mp( 2n , R )	المجموعة الميتابليكتية : الغطاء المزدوج للمجموعة التبسيطية الحقيقية Sp( 2n , R )	Y	0	Z		Mp(2, R ) هي زمرة لي غير جبرية	sp( 2n , R )	ن (2 ن +1)
U( n )	المجموعة الوحدوية : المصفوفات الوحدوية المركبة من الرتبة n × n	Y	0	Z	R × SU( n )	عندما n = 1: متماثل مع S 1. ملاحظة: هذه ليست زمرة/جبر لي معقد.	u( n )	ن 2
شمس )​	مجموعة وحدوية خاصة : مصفوفات وحدوية معقدة من الرتبة n × n ذات محدد يساوي 1	Y	0	0		ملاحظة: هذا ليس زمرة لي معقدة/جبر	شمس )​	n 2 − 1

لاحظ أن "زمرة لي المركبة" تُعرَّف بأنها مشعب تحليلي مركب، وهو أيضًا زمرة، حيث تُعطى عمليتا الضرب والانعكاس فيه بواسطة دالة تحليلية. الأبعاد المذكورة في الجدول أدناه هي أبعاد على C. لاحظ أيضًا أنه يمكن اعتبار كل زمرة/جبر لي مركب زمرة/جبر لي حقيقي ذي بُعد مضاعف.

جماعة كاذبة	وصف	نقيب	${\displaystyle \pi _{0}}$	${\displaystyle \pi _{1}}$	جامعة كاليفورنيا	ملاحظات	جبر لي	خافت/ ج
سي إن	عملية المجموعة هي الجمع	شمال	0	0		أبيلية	سي إن	ن
ج ×	الأعداد المركبة غير الصفرية مع الضرب	شمال	0	Z		أبيلية	ج	1
GL( n , C )	المجموعة الخطية العامة : المصفوفات المركبة القابلة للعكس من الرتبة n × n	شمال	0	Z		لـ n = 1: متماثل مع C ×	M( n , C )	ن 2
SL( n , C )	مجموعة خطية خاصة : مصفوفات معقدة ذات محدد 1	شمال	0	0		بالنسبة لـ n = 1، هذه نقطة واحدة وبالتالي فهي مضغوطة.	sl( n , C )	n 2 − 1
SL(2, C )	حالة خاصة من SL( n , C ) عندما n = 2	شمال	0	0		متماثل مع Spin(3, C )، متماثل مع Sp(2, C )	sl(2, C )	3
PSL(2, C )	المجموعة الخطية الخاصة الإسقاطية	شمال	0	Z 2	SL(2, C )	متماثل مع مجموعة موبيوس ، متماثل مع مجموعة لورنتز المقيدة SO + (3,1, R )، متماثل مع SO(3, C ).	sl(2, C )	3
O( n , C )	المجموعة المتعامدة : المصفوفات المتعامدة المعقدة	شمال	Z 2	–		محدودة لـ n = 1	so( n , C )	n ( n − 1)/2
SO( n , C )	المجموعة المتعامدة الخاصة : المصفوفات المتعامدة المعقدة ذات المحدد 1	شمال	0	Z n =2 Z 2 n > 2		المجموعة SO(2, C ) تبديلية ومتماثلة مع C × ؛ وغير تبديلية عندما يكون n > 2. أما المجموعة SO(1, C ) فهي نقطة واحدة، وبالتالي فهي متراصة وبسيطة الاتصال.	so( n , C )	n ( n − 1)/2
Sp(2 n , C )	المجموعة التبسيطية : المصفوفات التبسيطية المعقدة	شمال	0	0			sp(2 n , C )	ن (2 ن +1)

الأبعاد المعطاة هي أبعاد على C. لاحظ أنه يمكن أيضًا اعتبار كل جبر لي معقد جبر لي حقيقي ذو بُعد مضاعف.

جبر لي	وصف	بسيط؟	شبه بسيط؟	ملاحظات	خافت/ ج
ج	الأعداد المركبة				1
سي إن	قوس لي يساوي صفرًا				ن
M( n , C )	مصفوفات من الرتبة n × n مع قوس لي الذي يتبادل				ن 2
sl( n , C )	المصفوفات المربعة ذات الأثر 0 مع قوس لي المبدل	نعم	نعم		n 2 − 1
sl(2, C )	حالة خاصة من sl( n , C ) حيث n = 2	نعم	نعم	متماثل مع su(2)${\displaystyle \otimes }$ج	3
so( n , C )	المصفوفات المربعة المعقدة المتناظرة المائلة ذات قوس لي المبدل	نعم، باستثناء n = 4	نعم	استثناء: so(4, C ) شبه بسيط، لكن الأمر ليس بهذه البساطة.	n ( n − 1)/2
sp(2 n , C )	المصفوفات المعقدة التي تحقق المعادلة JA + A T J = 0 حيث J هي المصفوفة المتناظرة المعكوسة القياسية	نعم	نعم		ن (2 ن +1)

في الواقع، توجد جبر لي للتحويلات الأفينية ذات البعد الثاني لأي حقل. وقد تم إدراج مثال عليها في الجدول الأول لجبر لي الحقيقي.

• تصنيف جبر لي الحقيقي منخفض الأبعاد

• مجموعة الكذب البسيطة#التصنيف الكامل

• فولتون، ويليام ؛ هاريس، جو (1991). نظرية التمثيل: مدخل تمهيدي . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، قراءات في الرياضيات. المجلد  129. نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. doi : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8MR 1153249 . OCLC 246650103 .​