مصفوفة كارتان

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 20 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، يحمل مصطلح مصفوفة كارتان ثلاثة معانٍ، سُميت جميعها نسبةً إلى عالم الرياضيات الفرنسي إيلي كارتان . ومن المثير للاهتمام أن مصفوفات كارتان في سياق جبر لي دُرست لأول مرة على يد ويلهلم كيلينغ ، بينما يُنسب شكل كيلينغ إلى كارتان.

جبر لي

مصفوفة كارتان المعممة (القابلة للتناظر) هي مصفوفة مربعةأ=(أأناج){\displaystyle A=(a_{ij})}بمدخلات عددية صحيحة بحيث

  1. بالنسبة للمداخل القطرية،أأناأنا=2{\displaystyle a_{ii}=2}.
  2. بالنسبة للإدخالات غير القطرية،أأناج≤0{\displaystyle a_{ij}\leq 0}.
  3. أأناج=0{\displaystyle a_{ij}=0}إذا وفقط إذاأجأنا=0{\displaystyle a_{ji}=0}
  4. أ{\displaystyle A}يمكن كتابتها على النحو التاليدS{\displaystyle DS}، أيند{\displaystyle D}هي مصفوفة قطرية ، وS{\displaystyle S}هي مصفوفة متناظرة .

على سبيل المثال، يمكن تحليل مصفوفة كارتان لـ G 2 على النحو التالي:

[2-3-12]=[3001][23-1-12].{\displaystyle {\begin{bmatrix}2&-3\\-1&2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {2}{3}}&-1\\-1&2\end{bmatrix}}.}

الشرط الثالث ليس مستقلاً ولكنه في الحقيقة نتيجة للشرطين الأول والرابع.

يمكننا دائمًا اختيار مصفوفة D ذات عناصر قطرية موجبة. في هذه الحالة، إذا كانت S في التحليل أعلاه موجبة التحديد ، فإن A تُسمى مصفوفة كارتان .

مصفوفة كارتان لجبر لي بسيط هي المصفوفة التي تكون عناصرها عبارة عن حاصل الضرب القياسي

أجأنا=2(رأنا،رج)(رج،رج){\displaystyle a_{ji}=2{(r_{i},r_{j}) \over (r_{j},r_{j})}}[ 1 ]

(تُسمى أحيانًا أعداد كارتان الصحيحة ) حيث rᵢ هي الجذور البسيطة للجبر . المدخلات صحيحة من إحدى خصائص الجذور . الشرط الأول يتبع من التعريف، والثاني من حقيقة أنه بالنسبة لـأنا≠ج،رج-2(رأنا،رج)(رأنا،رأنا)رأنا{\displaystyle i\neq j,r_{j}-{2(r_{i},r_{j}) \over (r_{i},r_{i})}r_{i}}هو جذر عبارة عن توليفة خطية من الجذرين البسيطين rᵢ و rⱼ ، حيث يكون معامل rⱼ موجبًا ، وبالتالي يجب أن يكون معامل rᵢ غير سالب. والثالث صحيح لأن التعامد علاقة متناظرة. وأخيرًا، ليكندأناج=دلتاأناج(رأنا،رأنا){\displaystyle D_{ij}={\delta _{ij} \over (r_{i},r_{i})}}وSأناج=2(رأنا،رج){\displaystyle S_{ij}=2(r_{i},r_{j})}. لأن الجذور البسيطة تمتد على فضاء إقليدي ، فإن S موجبة التحديد.

وعلى العكس من ذلك، إذا أُعطيت مصفوفة كارتان معممة، فيمكن استعادة جبر لي المقابل لها. (انظر جبر كاك-مودي لمزيد من التفاصيل).

تصنيف

أنن×ن{\displaystyle n\times n}تكون المصفوفة A قابلة للتحليل إذا وُجدت مجموعة جزئية فعلية غير فارغةأنا⊂{1،...،ن}{\displaystyle I\subset \{1,\dots ,n\}}بحيثأأناج=0{\displaystyle a_{ij}=0}حينماأنا∈أنا{\displaystyle i\in I}وج∉أنا{\displaystyle j\notin I}. يكون العنصر غير قابل للتحليل إذا لم يكن قابلاً للتحليل.

لتكن A مصفوفة كارتان معممة غير قابلة للتحليل. نقول إن A من النوع المحدود إذا كانت جميع محدداتها الرئيسية موجبة، وأن A من النوع الأفيني إذا كانت محدداتها الرئيسية الصحيحة موجبة وكان محدد A يساوي صفرًا، وأن A من النوع غير المحدد خلاف ذلك.

تصنف المصفوفات غير القابلة للتحليل من النوع المحدود جبر لي البسيط ذي الأبعاد المحدودة (من الأنواعأن،بن،جن،دن،هـ6،هـ7،هـ8،F4،جي2{\displaystyle A_{n},B_{n},C_{n},D_{n},E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}}), بينما تصنف المصفوفات غير القابلة للتحليل من النوع الأفيني جبر لي الأفيني (على سبيل المثال على حقل مغلق جبريًا من الخاصية 0).

محددات مصفوفات كارتان لجبر لي البسيط

تُعطى محددات مصفوفات كارتان لجبر لي البسيط في الجدول التالي (إلى جانب A1 = B1 = C1 ، B2 = C2 ، D3 = A3 ، D2 = A1 A1 ، E5 = D5 ، E4 = A4 ، و E3 = A2 A1 ) . [ 2 ]

أن​ب نسي إنD n n ≥ 3E n 3 ≤ n ≤ 8F 4جي 2
ن + 12249 − ن11

ومن خصائص هذا المحدد أنه يساوي دليل نظام الجذر المرتبط به، أي أنه يساوي|P/سؤال|{\displaystyle |P/Q|}حيث يرمز P و Q إلى شبكة الوزن وشبكة الجذر، على التوالي.

تمثيلات الجبر ذي الأبعاد المحدودة

في نظرية التمثيل المعياري ، وبشكل أعم في نظرية تمثيلات الجبر الترابطي ذي الأبعاد المحدودة A التي ليست شبه بسيطة ، يتم تعريف مصفوفة كارتان من خلال النظر في مجموعة (محدودة) من الوحدات الرئيسية غير القابلة للتحليل وكتابة سلسلة تركيب لها من حيث الوحدات غير القابلة للاختزال ، مما ينتج عنه مصفوفة من الأعداد الصحيحة التي تحسب عدد مرات ظهور وحدة غير قابلة للاختزال.

مصفوفات كارتان في نظرية إم

في نظرية إم ، يمكن اعتبار هندسة ذات دورتين تتقاطعان عند عدد محدود من النقاط، وذلك في حالة اقتراب مساحة الدورتين من الصفر. عند هذه الحالة، تظهر مجموعة تناظر محلية . يُفترض أن مصفوفة أعداد التقاطع لأساس الدورتين هي مصفوفة كارتان لجبر لي لهذه المجموعة التناظرية المحلية. [ 3 ]

يمكن تفسير ذلك على النحو التالي. في نظرية إم، توجد السوليتونات ، وهي أسطح ثنائية الأبعاد تُسمى الأغشية أو الأغشية الثنائية . يتميز الغشاء الثنائي بتوتر ، وبالتالي يميل إلى الانكماش، ولكنه قد يلتف حول دورتين، مما يمنعه من الانكماش إلى الصفر.

يمكن ضغط بُعد واحد مشترك بين جميع الدورات الثنائية ونقاط تقاطعها، ثم حساب النهاية التي يتقلص عندها هذا البُعد إلى الصفر، ما يُؤدي إلى اختزال بُعدي . عندئذٍ، نحصل على نظرية الأوتار من النوع IIA كحدٍّ لنظرية M، حيث تُغلّف الأغشية الثنائية دورة ثنائية موصوفة الآن بوتر مفتوح ممتد بين أغشية D. توجد مجموعة تناظر محلية U(1) لكل غشاء D، تُشابه درجة حرية تحريكه دون تغيير اتجاهه. الحد الذي تكون فيه مساحة الدورات الثنائية صفرًا هو الحد الذي تكون فيه أغشية D هذه فوق بعضها البعض، ما يُؤدي إلى مجموعة تناظر محلية مُحسّنة.

الآن، يُمثل وتر مفتوح ممتد بين غشائين من نوع D مولدًا لجبر لي، ومُبدِّل مولدين من هذا النوع هو مولد ثالث، يُمثله وتر مفتوح نحصل عليه من خلال لصق حواف وترين مفتوحين. تعتمد العلاقة الأخيرة بين الوترين المفتوحين المختلفين على كيفية تقاطع الأغشية الثنائية في نظرية M الأصلية، أي على أعداد تقاطع الدورات الثنائية. وبالتالي، يعتمد جبر لي كليًا على أعداد التقاطع هذه. أما العلاقة الدقيقة بمصفوفة كارتان فتكمن في أن الأخيرة تصف مُبدِّلات الجذور البسيطة ، المرتبطة بالدورات الثنائية في الأساس المُختار.

يتم تمثيل المولدات في الجبر الفرعي كارتان بواسطة سلاسل مفتوحة ممتدة بين غشاء D ونفسها.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ جورجي، هوارد (22-10-1999). جبر لي في فيزياء الجسيمات (  الطبعة الثانية). دار ويستفيو للنشر. ص  115. ISBN 0-7382-0233-9.
  2. ↑ محددات كارتان-غرام لمجموعات لي البسيطة، ألفريد سي تي وو، مجلة الفيزياء الرياضية، المجلد 23، العدد 11، نوفمبر 1982
  3. ↑ سين، أشوك (1997). "ملاحظة حول تناظرات القياس المحسّنة في نظرية الأوتار ونظرية إم". مجلة فيزياء الطاقة العالية . 1997 (9): 001. arXiv : hep-th/9707123 . Bibcode : 1997JHEP...09..001S . doi : 10.1088/1126-6708/1997/09/001 . S2CID 15444381 . 

مراجع