تقليل الأبعاد

في الفيزياء ، يشير الاختزال البُعدي إلى وصف نظام في أبعاد الزمكان D من حيث فعل دقيق أو فعال في أقل من D أبعاد.

في نظرية الحقول الإحصائية أو الكمومية، يُعرَّف اختزال الأبعاد بأنه نهاية نظرية مُدمجة حيث يؤول حجم البُعد (أو الأبعاد) المُدمجة إلى الصفر. بالنسبة لنظام ذي p بُعد مُدمج، فإن الإثارات المتبقية بعد الوصول إلى هذه النهاية هي أنماط صفرية تعتمد على الإحداثيات غير المُدمجة المتبقية d = D - p .

على سبيل المثال، لنفترض بُعدًا دوريًا مضغوطًا بفترة L. ولتكن x الإحداثية على طول هذا البُعد. أي حقل${\displaystyle \phi }$يمكن وصفها بأنها مجموع الحدود التالية:

${\displaystyle \phi _{n}(x)=A_{n}\cos \left({\frac {2\pi nx}{L}}\right)}$

مع${\displaystyle A_{n}}$ثابت. وفقًا لميكانيكا الكم ، يمتلك هذا الحد زخمًا${\displaystyle nh/L}$على طول المحور x ، حيث h هو ثابت بلانك . ^{[ 1 ]} لذلك، عندما يقترب L من الصفر، يؤول الزخم إلى اللانهاية، وكذلك الطاقة ، إلا إذا${\displaystyle n=0}$:

${\displaystyle E_{n}\,\propto \,{\frac {n^{2}}{L^{2}}}\,.}$

عند طاقة محدودة E ، لا يمكننا بالتالي إلا إثارة${\displaystyle n=0}$الوضع. لذا في الحالة التي تؤول فيها قيمة L إلى الصفر،${\displaystyle \phi }$يجب أن يكون من مضاعفات${\displaystyle \phi _{0}}$، وهو ما لا يعتمد على x .

يمكن تعميم هذه الحجة. يفرض البُعد المضغوط شروطًا حدودية محددة على جميع الحقول، مثل الشروط الحدودية الدورية في حالة البُعد الدوري، وشروط نيومان أو ديريشليه الحدودية في الحالات الأخرى. لنفترض الآن أن حجم البُعد المضغوط هو L ؛ عندئذٍ تكون القيم الذاتية الممكنة تحت التدرج على طول هذا البُعد مضاعفات صحيحة أو نصف صحيحة لـ 1/ L (بحسب الشروط الحدودية المحددة). في ميكانيكا الكم، تُمثل هذه القيمة الذاتية زخم الحقل، وبالتالي فهي مرتبطة بطاقته.${\displaystyle L\rightarrow 0}$جميع القيم الذاتية، باستثناء الصفر، تؤول إلى اللانهاية، وكذلك الطاقة. لذلك، عند هذه النهاية، مع طاقة محدودة، يكون الصفر هو القيمة الذاتية الوحيدة الممكنة تحت التدرج على طول البعد المضغوط، مما يعني أن لا شيء يعتمد على هذا البعد.

تنطبق هذه الفكرة على نظرية المجال الكمومي الحراري ، حيث يمكن اعتبار النظام الحراري عند درجات الحرارة العالية بمثابة دائرة مضغوطة نصف قطرها${\displaystyle 1/T\rightarrow 0}$[ ^{2 ]​}

يشير مصطلح "الاختزال البُعدي" أيضًا إلى ظاهرة في نظرية الأنظمة المضطربة المُخمدة . وقد طرحها أمنون أهاروني ، ويوسف إمري ، وشانغ كينغ ما ، الذين أثبتوا في عام 1976 أنه "في جميع رتب توسيع الاضطراب، تكون الأسس الحرجة في نظام ذي بُعد d ( 4 < d < 6 ) مع تبادل قصير المدى وحقل مُخمد عشوائي هي نفسها تلك الموجودة في نظام نقي ذي بُعد ( d - 2 )". ^{[ 3 ]} وأشارت حججهم إلى أن "مخططات فاينمان التي تُظهر السلوك الفردي الرئيسي للحالة العشوائية تُطابق تمامًا، باستثناء العوامل التوافقية، مخططات فاينمان المقابلة للحالة النقية في بُعدين أقل". ^{[ 4 ]} تم بحث هذا الاختزال البُعدي بشكل أعمق في سياق نظرية التناظر الفائق لمعادلات لانجفين التفاضلية العشوائية بواسطة جورجيو باريسي ونيكولاس سورلاس ^{[ 5 ]} اللذين "لاحظا أن أكثر المخططات تباعدًا في الأشعة تحت الحمراء هي تلك التي تحتوي على أكبر عدد من إدخالات المصادر العشوائية، وإذا تم إهمال المخططات الأخرى، فسيتبقى لدينا توسع تخطيطي لنظرية حقل كلاسيكية في وجود مصادر عشوائية  ... وقد فسر باريسي وسورلاس هذا الاختزال البُعدي بتناظر فائق خفي." ^{[ 4 ]}

• التراص (الفيزياء)
• نظرية كالوزا-كلاين
• نظرية الأوتار §  الأبعاد الإضافية
• الجاذبية الفائقة
• الجاذبية الكمومية
• نظرية التناظر الفائق للديناميكيات العشوائية