مجموعة التماثل التلقائي

في الرياضيات ، مجموعة التماثل الذاتي لجسم X هي المجموعة التي تتكون من تماثلات ذاتية لـ X تحت تركيبة من التماثلات . على سبيل المثال، إذا كانت X فضاء متجه ذي أبعاد محدودة ، فإن مجموعة التماثل الذاتي لـ X هي مجموعة التحويلات الخطية القابلة للعكس من X إلى نفسها ( المجموعة الخطية العامة لـ X ). إذا كانت X بدلاً من ذلك مجموعة، فإن مجموعة التماثل الذاتي الخاصة بها هي المجموعة المكونة من جميع تماثلات المجموعة الذاتية لـ X.${\displaystyle \operatorname {Aut} (X)}$

وخاصة في السياقات الهندسية، تسمى مجموعة التماثل أيضًا بمجموعة التناظر . وتسمى المجموعة الفرعية لمجموعة التماثل أحيانًا بمجموعة التحويل .

تتم دراسة مجموعات التشكل الذاتي بطريقة عامة في مجال نظرية الفئات .

إذا كانت X مجموعة ليس بها بنية إضافية، فإن أي تطابق من X إلى نفسها يكون تطابقًا ذاتيًا، وبالتالي فإن مجموعة التطابق الذاتي لـ X في هذه الحالة هي على وجه التحديد المجموعة المتماثلة لـ X. إذا كانت المجموعة X بها بنية إضافية، فقد يكون من الممكن ألا تحافظ جميع التطابقات الثنائية على المجموعة على هذه البنية، وفي هذه الحالة ستكون مجموعة التطابق الذاتي مجموعة فرعية من المجموعة المتماثلة على X. تتضمن بعض الأمثلة على ذلك ما يلي:

• مجموعة التماثل الذاتي لامتداد المجال هي المجموعة المكونة من التماثلات الذاتية لمجال L التي تثبت K. إذا كان امتداد المجال جالوا ، فإن مجموعة التماثل الذاتي تسمى مجموعة جالوا لامتداد المجال.${\displaystyle L/K}$
• مجموعة التماثل الذاتي لمساحة الإسقاط n على الحقل k هي المجموعة الخطية الإسقاطية ^[1]${\displaystyle \operatorname {PGL} _{n}(k).}$
• المجموعة الذاتية التشكلية لمجموعة دورية منتهية من الرتبة n متماثلة مع ، المجموعة المضاعفة للأعداد الصحيحة modulo n ، مع التماثل المعطى بواسطة . ^[2] وعلى وجه الخصوص، هي مجموعة أبيلية .${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$${\displaystyle {\overline {a}}\mapsto \sigma _{a}\in G,\,\sigma _{a}(x)=x^{a}}$${\displaystyle G}$
• تتمتع مجموعة التماثل الذاتي لجبر لاي الحقيقي ذي الأبعاد المحدودة ببنية مجموعة لاي (حقيقية) (في الواقع، إنها حتى مجموعة جبرية خطية : انظر أدناه). إذا كانت G مجموعة لاي مع جبر لاي ، فإن مجموعة التماثل الذاتي لـ G لها بنية مجموعة لاي مستحثة من تلك الموجودة في مجموعة التماثل الذاتي لـ . ^{[3] [4] [أ]}${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

إذا كانت G مجموعة تؤثر على مجموعة X ، فإن الفعل يعادل تماثل المجموعة من G إلى مجموعة التماثل التلقائي لـ X والعكس صحيح. في الواقع، يحدد كل فعل G الأيسر على مجموعة X ، وعلى العكس من ذلك، يحدد كل تماثل فعلًا بواسطة . يمتد هذا إلى الحالة التي تحتوي فيها المجموعة X على بنية أكثر من مجرد مجموعة. على سبيل المثال، إذا كانت X فضاء متجه، فإن فعل المجموعة لـ G على X هو تمثيل مجموعة للمجموعة G ، حيث يمثل G كمجموعة من التحويلات الخطية (التماثلات التلقائية) لـ X ؛ هذه التمثيلات هي الهدف الرئيسي للدراسة في مجال نظرية التمثيل . ${\displaystyle G\to \operatorname {Aut} (X)،\,g\mapsto \sigma _{g}،\,\sigma _{g}(x)=g\cdot x}$${\displaystyle \varphi :G\to \operatorname {Aut} (X)}$${\displaystyle g\cdot x=\varphi(g)x}$

وفيما يلي بعض الحقائق الأخرى حول مجموعات التشكل التلقائي:

• ليكن مجموعتان منتهيتان لهما نفس العددية ومجموعة كل التطابقات . إذن ، وهي مجموعة متماثلة (انظر أعلاه)، تعمل على من اليسار بحرية وبشكل متعدي ؛ أي أنها تشكل ضلعًا لـ (راجع #في نظرية الفئات).${\displaystyle أ،ب}$${\displaystyle \operatorname {متساوي} (أ، ب)}$ ${\displaystyle A\mathrel {\overset {\sim }{\to }} B}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (ب)}$${\displaystyle \operatorname {متساوي} (أ، ب)}$${\displaystyle \operatorname {متساوي} (أ، ب)}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (ب)}$
• ليكن P وحدة إسقاطية متولدة بشكل محدود على حلقة R. إذن هناك تضمين ، فريد حتى التماثلات الذاتية الداخلية . ^[5] ${\displaystyle \operatorname {Aut} (P)\hookrightarrow \operatorname {GL} _{n}(R)}$

تظهر مجموعات التشكل الذاتي بشكل طبيعي جدًا في نظرية الفئات .

إذا كان X كائنًا في فئة، فإن مجموعة التماثل الذاتي لـ X هي المجموعة المكونة من جميع التماثلات القابلة للعكس من X إلى نفسها. إنها المجموعة الوحدوية للتماثل الذاتي لـ X. (للحصول على بعض الأمثلة، راجع PROP .)

إذا كانت كائنات تنتمي إلى فئة ما، فإن مجموعة كل منها هي مجموعة يسارية - تورسور . من الناحية العملية، يعني هذا أن اختيارًا مختلفًا لنقطة أساس يختلف بشكل لا لبس فيه بعنصر من ، أو أن كل اختيار لنقطة أساس هو على وجه التحديد اختيار لـ تافه من الطورسور. ${\displaystyle أ،ب}$${\displaystyle \operatorname {متساوي} (أ، ب)}$${\displaystyle A\mathrel {\overset {\sim }{\to }} B}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (ب)}$${\displaystyle \operatorname {متساوي} (أ، ب)}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (ب)}$

إذا كانت و كائنات في فئات و ، وإذا كانت دالة مطابقة لـ ، فإن ذلك يؤدي إلى تماثل المجموعة ، كما أنه يربط التماثلات القابلة للعكس بالتماثلات القابلة للعكس. ${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle C_{2}}$${\displaystyle F:C_{1}\to C_{2}}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (X_{1})\to \operatorname {Aut} (X_{2})}$

على وجه الخصوص، إذا كانت G مجموعة يُنظر إليها كفئة بها كائن واحد * أو، بشكل عام، إذا كانت G مجموعة، فإن كل دالة ، C فئة، تسمى فعلًا أو تمثيلًا لـ G على الكائن ، أو الكائنات . يُقال بعد ذلك إن هذه الكائنات هي كائنات - (كما أنها تعمل بواسطة )؛ قارن -object . إذا كانت فئة وحدة مثل فئة فضاءات المتجهات ذات الأبعاد المحدودة، فإن الكائنات - تسمى أيضًا وحدات. ${\displaystyle F:G\to C}$${\displaystyle F(*)}$${\displaystyle F(\operatorname {Obj} (G))}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {S} }$${\displaystyle C}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

ليكن فضاء متجه ذي أبعاد محدودة على حقل k مزودًا ببعض الهياكل الجبرية (أي أن M عبارة عن جبر ذي أبعاد محدودة على k ). يمكن أن يكون، على سبيل المثال، جبرًا ارتباطيًا أو جبر لي . ${\displaystyle M}$

الآن، ضع في اعتبارك الخرائط الخطية k التي تحافظ على البنية الجبرية: فهي تشكل فضاءً فرعيًا متجهيًا لـ . المجموعة الوحدوية لـ هي مجموعة التماثل الذاتي . عندما يتم اختيار أساس على M ، تكون فضاء المصفوفات المربعة و هي المجموعة الصفرية لبعض معادلات كثيرة الحدود ، ويتم وصف قابلية العكس مرة أخرى بواسطة كثيرات الحدود. وبالتالي، تكون مجموعة جبرية خطية على k . ${\displaystyle M\to M}$ ${\displaystyle \operatorname {نهاية} _{\text{alg}}(M)}$${\displaystyle \operatorname {نهاية} (م)}$${\displaystyle \operatorname {نهاية} _{\text{alg}}(M)}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (M)}$${\displaystyle \operatorname {نهاية} (م)}$${\displaystyle \operatorname {نهاية} _{\text{alg}}(M)}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (M)}$

الآن، تحدد امتدادات القاعدة المطبقة على المناقشة أعلاه مُستدِلًا: ^[6] أي، لكل حلقة تبديلية R على k ، ضع في اعتبارك الخرائط الخطية R التي تحافظ على البنية الجبرية: أشر إليها بواسطة . ثم تكون المجموعة الوحدوية لحلقة المصفوفة على R هي مجموعة التماثل الذاتي وهي مُستدِل مجموعة : مُستدِل من فئة الحلقات التبديلية على k إلى فئة المجموعات . والأفضل من ذلك، أنه يتم تمثيله بواسطة مخطط (نظرًا لأن مجموعات التماثل الذاتي محددة بواسطة كثيرات الحدود): يُسمى هذا المخطط مخطط مجموعة التماثل الذاتي ويُشار إليه بواسطة . ${\displaystyle M\otimes R\to M\otimes R}$${\displaystyle \operatorname {نهاية} _{\text{alg}}(M\otimes R)}$${\displaystyle \operatorname {نهاية} _{\text{alg}}(M\otimes R)}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (M\otimes R)}$${\displaystyle R\mapsto \operatorname {Aut} (M\otimes R)}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (M)}$

ومع ذلك، بشكل عام، لا يمكن تمثيل مجموعة المتجه التلقائي بواسطة مخطط.

• مجموعة التشكل الذاتي الخارجي
• البنية المستوية ، تقنية لإزالة مجموعة التماثل التلقائي
• مجموعة هولونومي

• https://mathoverflow.net/questions/55042/automorphism-group-of-a-scheme