دالة المجموعة

في الرياضيات، يُعرَّف مُؤثِّر المجموعة بأنه مُؤثِّر ذو قيم على المجموعة في فئة الحلقات التبديلية. ورغم أنه يُنظر إليه عادةً على أنه تعميم لمخطط المجموعة ، إلا أن المفهوم نفسه لا يتضمن نظرية المخططات . وبسبب هذه الخاصية، قام بعض المؤلفين، ولا سيما ووترهاوس وميلن (الذين اتبعوا ووترهاوس)، ^{[ 1 ]} بتطوير نظرية مخططات المجموعة استنادًا إلى مفهوم مُؤثِّر المجموعة بدلًا من نظرية المخططات.

عادة ما يتم تعريف المجموعة الرسمية على أنها نوع معين من دالة المجموعة.

يمكن اعتبار المخطط بمثابة دالة متغايرة من الفئة${\displaystyle {\mathsf {Sch}}_{S}}$من المخططات- S إلى فئة المجموعات التي تحقق بديهية اللصق ؛ المنظور المعروف باسم دالة النقاط . من هذا المنظور، يكون مخطط المجموعة دالة متغايرة من${\displaystyle {\mathsf {Sch}}_{S}}$إلى فئة المجموعات التي هي حزمة زاريسكي (أي، التي تحقق بديهية اللصق لطوبولوجيا زاريسكي).

على سبيل المثال، إذا كانت Γ زمرة منتهية، فلننظر إلى الدالة التي تُرسل Spec( R ) إلى مجموعة الدوال الثابتة محليًا عليها. على سبيل المثال، مخطط الزمرة

${\displaystyle SL_{2}=\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {Z} [a,b,c,d]}{(ad-bc-1)}}\right)}$

يمكن وصفه بأنه الدالة

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\textbf {CRing}}\left({\frac {\mathbb {Z} [a,b,c,d]}{(ad-bc-1)}},-\right)}$

إذا أخذنا خاتماً، على سبيل المثال،${\displaystyle \mathbb {C} }$، ثم

${\displaystyle {\begin{aligned}SL_{2}(\mathbb {C} )&=\operatorname {Hom} _{\textbf {CRing}}\left({\frac {\mathbb {Z} [a,b,c,d]}{(ad-bc-1)}},\mathbb {C} \right)\\&\cong \left\{{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\in M_{2}(\mathbb {C} ):ad-bc=1\right\}\end{aligned}}}$

من المفيد النظر في دالة زمرة تحترم طوبولوجيا (إن وجدت) للفئة الأساسية؛ أي دالة زمرة تُشكّل حزمة، وتُسمى دالة الزمرة التي تُشكّل حزمة حزمة زمرة. يظهر هذا المفهوم تحديدًا في مناقشة التورسور ( حيث يُعد اختيار الطوبولوجيا أمرًا بالغ الأهمية).

على سبيل المثال، تُعد المجموعة القابلة للقسمة على p مثالاً على حزمة زمرة fppf (حزمة زمرة بالنسبة لطوبولوجيا fppf). ^{[ 2 ]}

• دالة مجموعة التشاكل الذاتي

• ووترهاوس، ويليام (1979)، مقدمة في مخططات الزمر الأفينية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  66، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، doi : 10.1007/978-1-4612-6217-6 ، ISBN 978-0-387-90421-4، MR 0547117