فيرسور

في الرياضيات ، يُعرف المتجه الرباعي بأنه رباعي معياره واحد، ويُعرف أيضًا باسم الرباعي الوحدوي . يأخذ كل متجه رباعي الشكل التالي:

${\displaystyle \ u=\exp(a\mathbf {r} )=\cos a+\mathbf {r} \sin a,\qquad \mathbf {r} ^{2}=-1,\qquad a\in [0,\pi ]\ ,}$

حيث الشرط${\displaystyle \ \mathbf {r} ^{2}=-1\ }$هذا يعني أن${\displaystyle \ \mathbf {r} \ }$هي وحدة تخيلية جبرية . توجد كرة من الوحدات التخيلية في الكواترنيونات. لاحظ أن صيغة المتجه هي ببساطة صيغة أويلر للوحدة التخيلية.${\displaystyle \ \mathbf {r} ~.}$لو${\displaystyle \ a={\tfrac {\pi }{2}}\ }$(متى${\displaystyle \ a\ }$إذا كانت الزاوية قائمة ، فإن${\displaystyle \ u=\mathbf {r} \ ,}$ويسمى هذا النوع من المقارنات بالمقارنات اليمينية .

رسم الخرائط${\displaystyle \ q\ \longmapsto \ u^{-1}q\ u\ }$يتوافق مع الدوران ثلاثي الأبعاد ، وله الزاوية${\displaystyle \ 2\ a\ }$حول المحور${\displaystyle \ \mathbf {r} \ }$في تمثيل المحور والزاوية .

تشكل مجموعة المتجهات، مع ضرب الكواترنيون، مجموعة ، وتظهر على شكل كرة ثلاثية الأبعاد في جبر الكواترنيون رباعي الأبعاد.

كتب السير ويليام روان هاميلتون قصيدة رباعية${\displaystyle \ q\ }$كرمز${\displaystyle \ \mathbf {U} \ q~.}$ثم تمكن من عرض الرباعي العام في شكل إحداثيات قطبية

${\displaystyle \ q\ =\ \mathbf {T} \ \!q~~\mathbf {U} \ \!q\ ,}$

أين${\displaystyle \ \mathbf {T} \ \!q\ }$هي صيغة هاميلتون لمعيار${\displaystyle \ q\ }$(بالتدوين الحديث)${\displaystyle \ \mathbf {T} \ \!q=\|q\|}$معيار المتجه يساوي دائمًا واحدًا؛ لذا فهي تشغل الكرة الثلاثية الأبعاد ذات الوحدة في${\displaystyle \ \mathbb {H} \ }$من أمثلة المتجهات الموجهة العناصر الثمانية لمجموعة الكواترنيون . وتكتسب المتجهات الموجهة اليمنى أهمية خاصة ، إذ تحتوي على زاوية${\displaystyle \ {\tfrac {\pi }{2}}~.}$هذه المتجهات لها جزء قياسي صفري، وبالتالي فهي متجهات طولها واحد (متجهات وحدة). تشكل المتجهات اليمنى كرة من الجذور التربيعية لـ -1 في جبر الكواترنيون. تُعد المولدات i و j و k أمثلة على المتجهات اليمنى، بالإضافة إلى معكوساتها الجمعية . تشمل المتجهات الأخرى كواترنيونات هورويتز الأربعة والعشرين التي لها معيار 1 وتشكل رؤوس متعدد الخلايا ذي 24 خلية .

عرّف هاميلتون الكواترنيون بأنه خارج قسمة متجهين. ويمكن تعريف الفيرسور بأنه خارج قسمة متجهي وحدة. بالنسبة لأي مستوى ثابت Π، فإن خارج قسمة متجهي وحدة يقعان في Π يعتمد فقط على الزاوية (الموجهة) بينهما، وهي نفس الزاوية α كما في تمثيل متجه الوحدة والزاوية للفيرسور الموضح أعلاه. ولذلك، قد يكون من الطبيعي فهم الفيرسورات المتناظرة على أنها أقواس موجهة تربط أزواجًا من متجهات الوحدة وتقع على دائرة عظمى تتشكل من تقاطع Π مع كرة الوحدة ، حيث يمر المستوى Π بنقطة الأصل. الأقواس ذات الاتجاه والطول نفسيهما (أو الزاوية المقابلة لهما بالراديان ) متساوية القوة وتتوافق مع الفيرسور نفسه. ^{[ 1 ]}

على الرغم من أن هذا القوس يقع في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، إلا أنه لا يُمثل مسار نقطة تدور كما هو موضح في الضرب المحصور مع المتجه الرأسي. في الواقع، يُمثل هذا القوس عملية الضرب من اليسار للمتجه الرأسي على الكواترنيونات، والتي تحافظ على المستوى Π والدائرة العظمى المقابلة له من المتجهات ثلاثية الأبعاد. الدوران ثلاثي الأبعاد المُحدد بواسطة المتجه الرأسي له زاوية تساوي ضعف الزاوية المقابلة للقوس، ويحافظ على نفس المستوى. إنه دوران حول المتجه المقابل r ، العمودي على Π .

يكتب هاميلتون ^{[ 2 ] عن ثلاثة متجهات وحدة}

${\displaystyle q=\beta$ :\alpha =\mathrm {OB:OA} \qquad } و

${\displaystyle q'=\gamma$ :\beta =\mathrm {OC:OB} \qquad } ضمنيًا

${\displaystyle q'q=\gamma$ :\alpha =\mathrm {OC:OA} ~.}

يُقابل ضرب المتجهات عملية "جمع" (غير تبادلية) لأقواس الدوائر العظمى على كرة الوحدة. أي زوج من الدوائر العظمى إما أن يكون الدائرة نفسها أو له نقطتا تقاطع . لذا، يمكن دائمًا نقل النقطة B والمتجه المقابل لها إلى إحدى هاتين النقطتين بحيث تكون بداية القوس الثاني هي نفسها نهاية القوس الأول.

تُعزى سهولة التعبير عن الهندسة الإهليلجية أو الدورانات في الفضاء ثلاثي الأبعاد باستخدام المتجهات الموجهة إلى التمثيل البارامتري للعوامل. لنأخذ مثلثًا كرويًا عامًا ABC بزوايا a و b و c كأضلاع مقابلة للرأس الكبير. نستخدم متجهات وحدة عمودية على مستوى كل ضلع من أضلاع المثلث، ولتكن r و s و t . عندئذٍ، تكون أضلاع المثلث متساوية القوة مع قوس دائرة عظمى ممثل بالمتجهات الموجهة.

${\displaystyle \ \operatorname {arc} \mathrm {AB} =\exp(c\ r)\ ,\qquad \operatorname {arc} \mathrm {BC} =\exp(a\ s)\ ,\qquad \operatorname {arc} \mathrm {AC} =\exp(b\ t)\ ,}$

يتم توسيع كل منها باستخدام صيغة أويلر لأن كل مربع من مربعات r و s و t يساوي سالب واحد.

${\displaystyle \ \exp(b\ t)=\exp(c\ r)\times \exp(a\ s)\ ,}$

يتوافق حاصل الضرب الاتجاهي مع جمع الأقواس الكروية.

تم وصف هندسة الفضاء الإهليلجي بأنها فضاء المتجهات. ^{[ 3 ]}

المتجه الزائدي هو تعميم للمتجهات الرباعية ليشمل الزمر المتعامدة غير المحددة ، مثل زمرة لورنتز . ويُعرَّف بأنه كمية من الشكل التالي:

${\displaystyle \exp(a\mathbf {r} )=\cosh a+\mathbf {r} \sinh a~~}$أين${\displaystyle ~~\mathbf {r} ^{2}=+1~.}$

تظهر هذه العناصر في الجبر المنقسم ، مثل الأعداد المركبة المنقسمة أو الكواترنيونات المنقسمة . وكان جبر التيسارينات ، الذي اكتشفه جيمس كوكل عام 1848، هو أول من قدم المتجهات الزائدية. في الواقع، كتب كوكل المعادلة المذكورة أعلاه (مع استبدال r بـ j ) عندما وجد أن التيسارينات تتضمن نوعًا جديدًا من العناصر التخيلية.

استخدم هومرشام كوكس (1882/1883) هذا المتجه في سياق ضرب الكواترنيونات. ^{[ 9 ] [ 10 ]} وكان ألكسندر ماكفارلين رائدًا في مجال المتجهات الزائدية ، حيث عمل على صياغة نظرية الكواترنيونات لخدمة العلوم الفيزيائية. ^{[ 11 ]} وقد أدرك ماكفارلين قوة المتجهات الزائدية في نمذجة مستوى الأعداد المركبة المنقسمة، وفي عام 1891، قدم الكواترنيونات الزائدية لتوسيع المفهوم ليشمل الفضاء الرباعي. وأدت مشاكل في هذا الجبر إلى استخدام الكواترنيونات الثنائية بعد عام 1900. وفي مراجعة واسعة الانتشار، كتب ماكفارلين:

... قد يكون جذر المعادلة التربيعية متجهًا رأسيًا أو عددًا قياسيًا. إذا كان متجهًا رأسيًا، فإن الجزء المتأثر بالجذر يشمل المحور العمودي على مستوى الإسناد، وذلك سواءً احتوى الجذر على الجذر التربيعي لسالب واحد أم لا. في الحالة الأولى يكون المتجه الرأسي دائريًا، وفي الحالة الثانية يكون زائديًا. ^{[ 12 ]}

اليوم ، يشمل مفهوم المجموعة ذات المعامل الواحد مفاهيم المتجه المقلوب والمتجه المقلوب الزائدي، حيث حلت مصطلحات سوفوس لي محل مصطلحات هاميلتون وماكفارلين. على وجه الخصوص، لكل r بحيث يكون rr = +1 أو rr = −1 ، يكون التطبيق${\displaystyle a\mapsto \exp(a\,\mathbf {r} )}$يُحوّل هذا الخط الحقيقي إلى مجموعة من المتجهات الزائدية أو العادية. في الحالة العادية، عندما يكون r و −r متقابلين على كرة، فإن مجموعات المعامل الواحد لها نفس النقاط ولكنها متعاكسة الاتجاه. في الفيزياء، يُطلق على هذا الجانب من التناظر الدوراني اسم " الثنائية " .

عرّف روب (1911) مُعامل السرعة ، الذي يُحدد تغييرًا في إطار المرجع . يُقابل مُعامل السرعة هذا المتغير الحقيقي في مجموعة ذات مُعامل واحد من المتجهات الزائدية. ومع تطور النسبية الخاصة، أصبح يُطلق على فعل المتجه الزائد اسم تعزيز لورنتز . ^{[ 13 ]}

كان سوفوس لي لم يتجاوز عامه الأول عندما وصف هاميلتون الأعداد الرباعية لأول مرة، لكن اسم لي ارتبط بجميع الزمر الناتجة عن الأس. وقد رمز جيلمور (1974) لمجموعة المتجهات مع ضربها بالرمز Sl(1,q) . ^{[ 14 ]} Sl(1,q) هي الزمرة الخطية الخاصة أحادية البعد على الأعداد الرباعية، وكلمة "خاصة" تشير إلى أن جميع عناصرها ذات معيار واحد. هذه الزمرة متماثلة مع SU(2,c)، وهي زمرة وحدوية خاصة ، وهو مصطلح شائع الاستخدام لأن الأعداد الرباعية والمتجهات تُعتبر أحيانًا من المصطلحات القديمة في نظرية الزمر. ترتبط الزمرة المتعامدة الخاصة SO(3,r) للدوران في ثلاثة أبعاد ارتباطًا وثيقًا بها: فهي صورة متماثلة 2:1 لـ SU(2,c).

الفضاء الفرعي${\displaystyle \ \{\ x\ \mathbf {i} +y\ \mathbf {j} +z\ \mathbf {k} ~:~x,\ y,\ z\in \mathbb {R} \ \}\subset \mathbb {H} \ }$يُطلق عليه اسم جبر لي لمجموعة المتجهات. المُبدِّل${\displaystyle \ {\bigl [}\ u\ ,v\ {\bigr ]}\ \equiv \ u\ v-v\ u\ ,}$هو ضعف حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين، والذي يشكل عملية الضرب في جبر لي. وتتضح العلاقة الوثيقة مع SU(1,c) و SO(3,r) في تماثل جبر لي الخاص بهما. ^{[ 14 ]}

تشمل مجموعات لي التي تحتوي على متجهات زائدية المجموعة الموجودة على القطع الزائد الواحد والمجموعة الوحدوية الخاصة SU(1,1) .

الكلمة مشتقة من الكلمة اللاتينية versari التي تعني "يدور"، مع إضافة اللاحقة -or لتكوين اسم من الفعل (أي versor بمعنى "الدوار"). وقد قدمها ويليام روان هاميلتون في أربعينيات القرن التاسع عشر في سياق نظريته الرباعية .

يُستخدم مصطلح "المتجه" بشكل عام في الجبر الهندسي للإشارة إلى عنصر${\displaystyle R}$من الجبر الذي يمكن التعبير عنه كحاصل ضرب متجهات قابلة للعكس،${\displaystyle R=v_{1}v_{2}\cdots v_{k}}$[ ^{15 ] [ 16 ]​}

تمامًا مثل متجه رباعي${\displaystyle u}$يمكن استخدامها لتمثيل دوران الكواتيرنيون${\displaystyle q}$مع رسم الخرائط${\displaystyle q\mapsto u^{-1}qu}$وكذلك يمكن لـ versor${\displaystyle R}$في الجبر الهندسي، يُستخدم لتمثيل نتيجة${\displaystyle k}$تأملات حول أحد الأعضاء${\displaystyle A}$من الجبر مع التعيين${\displaystyle A\mapsto (-1)^{k}RAR^{-1}}$.

يمكن اعتبار الدوران نتيجة انعكاسين، لذا فهو ينتج عنه متجه رباعي${\displaystyle u}$يمكن التعرف عليه على أنه متجه ثنائي${\displaystyle R=v_{1}v_{2}}$في الجبر الهندسي ثلاثي الأبعاد الحقيقية${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,0)}$.

بخلاف تعريف هاميلتون، لا يُشترط أن يكون لمتجهات المتجهات المتعددة معيار الوحدة، بل يكفي أن تكون قابلة للعكس. ومع ذلك، يظل التطبيع مفيدًا، لذا من الملائم تسمية المتجهات بمتجهات الوحدة في الجبر الهندسي إذا${\displaystyle R{\tilde {R}}=\pm 1}$، حيث تشير علامة التلدة إلى عكس الاتجاه المعاكس.

• cis (الرياضيات) ( cis( x ) = cos( x ) + i sin( x ) )
• الرباعيات والدوران المكاني
• الدوران في الفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد
• الدوران (الهندسة)
• رقم الوحدة المركبة
• متجه الوحدة

• Versor at Encyclopedia of Mathematics .
• شرح لويس إيبانيز للرباعيات ( أرشفة بتاريخ 4 فبراير 2012 في أرشيف الإنترنت التابع للمكتبة الوطنية للطب)