العدد المركب

عددان مركبان${\displaystyle a=x+yi}$و${\displaystyle b=u+vi}$تُجمع الأعداد بجمع أجزائها الحقيقية والخيالية بشكل منفصل. ^{[ 13 ]} أي:

$${\displaystyle a+b=(x+yi)+(u+vi)=(x+u)+(y+v)i.}$$ وبالمثل، يمكن إجراء عملية الطرح كما$${\displaystyle a-b=(x+yi)-(u+vi)=(x-u)+(y-v)i.}$$

يمكن تمثيل عملية الجمع هندسيًا كما يلي: مجموع عددين مركبين a و b ، يُفسَّران كنقطتين في المستوى المركب، هو النقطة الناتجة عن إنشاء متوازي أضلاع من الرؤوس الثلاثة O ، ونقطتي السهمين a و b (بشرط ألا تقعا على خط مستقيم). وبالمثل، إذا سمينا هاتين النقطتين A و B على التوالي، بالإضافة إلى النقطة الرابعة من متوازي الأضلاع X ، فإن المثلثين OAB و XBA متطابقان .

يتم حساب حاصل ضرب عددين مركبين على النحو التالي: ^{[ 13 ]}

${\displaystyle (a+bi)\cdot (c+di)=ac-bd+(ad+bc)i.}$

على سبيل المثال،${\displaystyle (2-i)(3+4i)=2\cdot 3-((-1)\cdot 4)+(2\cdot 4+(-1)\cdot 3)i=10+5i.}$ وعلى وجه الخصوص، يشمل ذلك كحالة خاصة الصيغة الأساسية

${\displaystyle i^{2}=i\cdot i=-1.}$

هذه الصيغة تميز العدد المركب i عن أي عدد حقيقي، لأن مربع أي عدد حقيقي (سالب أو موجب) هو دائمًا عدد حقيقي غير سالب.

مع هذا التعريف للضرب والجمع، تظل القواعد المألوفة لحسابات الأعداد النسبية أو الحقيقية سارية على الأعداد المركبة. وبشكل أدق، تبقى خاصية التوزيع وخصائص التبديل (للجمع والضرب) سارية. لذلك، تُشكّل الأعداد المركبة بنية جبرية تُعرف باسم الحقل ، تمامًا كما تفعل الأعداد النسبية أو الحقيقية. ^{[ 14 ]}

يُعرَّف المرافق المركب للعدد المركب z = x + yi على النحو التالي:${\displaystyle {\overline {z}}=x-yi.}$^{[ 15 ]} ويشير إليه بعض المؤلفين أيضًا بـ${\displaystyle z^{*}}$هندسياً، يمثل z انعكاس z حول المحور الحقيقي. وبمرافقة z مرتين نحصل على العدد المركب الأصلي.${\displaystyle {\overline {\overline {z}}}=z.}$يكون العدد المركب حقيقيًا إذا وفقط إذا كان يساوي مرافقه. ولا يمكن التعبير عن العملية الأحادية المتمثلة في إيجاد المرافق المركب لعدد مركب باستخدام العمليات الأساسية فقط: الجمع والطرح والضرب والقسمة.

لأي عدد مركب z = x + yi ، فإن حاصل الضرب

${\displaystyle z\cdot {\overline {z}}=(x+iy)(x-iy)=x^{2}+y^{2}}$

هو عدد حقيقي غير سالب . وهذا يسمح بتعريف القيمة المطلقة (أو المعيار أو المقدار ) لـ z على أنها الجذر التربيعي ^{[ 16 ]}$${\displaystyle |z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$$ بحسب نظرية فيثاغورس ،${\displaystyle |z|}$هي المسافة من نقطة الأصل إلى النقطة التي تمثل العدد المركب z في المستوى المركب. وعلى وجه الخصوص، تتكون الدائرة التي نصف قطرها واحد حول نقطة الأصل تحديدًا من الأعداد z التي تحقق${\displaystyle |z|=1}$، والمعروفة باسم الأعداد المركبة الوحدوية .لو${\displaystyle z=x=x+0i}$إذا كان عددًا حقيقيًا،${\displaystyle |z|=|x|}$: قيمته المطلقة كعدد مركب وكعدد حقيقي متساوية.

باستخدام المرافق، مقلوب عدد مركب غير صفري${\displaystyle z=x+yi}$يمكن حسابها لتكون ^{[ 13 ]}

$${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}}={\frac {x-yi}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}i.}$$ وبشكل أعم، قسمة عدد مركب عشوائي${\displaystyle w=u+vi}$بواسطة عدد مركب غير صفري${\displaystyle z=x+yi}$يساوي $${\displaystyle {\frac {w}{z}}={\frac {w{\bar {z}}}{|z|^{2}}}={\frac {(u+vi)(x-iy)}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {ux+vy}{x^{2}+y^{2}}}+{\frac {vx-uy}{x^{2}+y^{2}}}i.}$$ تُسمى هذه العملية أحيانًا " ترشيد " المقام (مع أن المقام في التعبير النهائي قد يكون عددًا حقيقيًا غير نسبي)، لأنها تُشبه طريقة إزالة الجذور من التعبيرات البسيطة في المقام. ^{[ 17 ] [ 18 ]}

تُعرف زاوية z ( التي تُسمى أحيانًا "الطور" φ ) ^{[ 10 ]} بأنها زاوية نصف القطر Oz مع المحور الحقيقي الموجب، وتُكتب على الصورة arg z ، معبرًا عنها بالراديان في هذه المقالة. وتُعرَّف هذه الزاوية فقط حتى جمع مضاعفات صحيحة لـ${\displaystyle 2\pi }$، نظرًا للدوران بواسطة${\displaystyle 2\pi }$(أو 360 درجة) حول نقطة الأصل لا تُغير أيًا من النقاط في المستوى المركب. أحد الخيارات الممكنة لتحديد الوسيط بشكل فريد هو اشتراط أن يكون ضمن الفترة${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$، والتي تُعرف بالقيمة الرئيسية . ^{[ 19 ]} يمكن حساب الوسيط من الصيغة المستطيلة x + yi باستخدام دالة الظل العكسي ( arctan ). ^{[ 20 ]}

لأي عدد مركب z ، مع القيمة المطلقة${\displaystyle r=|z|}$والجدال${\displaystyle \varphi }$، المعادلة ^{[ 13 ]}

${\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )}$

يثبت. تُعرف هذه الهوية بالشكل القطبي لـ z . ويتم اختصارها أحيانًا إلى${\textstyle z=r\operatorname {\mathrm {cis} } \varphi }$في الإلكترونيات، يتم تمثيل الطور ذي السعة r والطور φ في تدوين الزاوية : ^{[ 21 ]}$${\displaystyle z=r\angle \varphi .}$$

إذا عُبِّر عن عددين مركبين بالصيغة القطبية، أي z₁ = r₁ ( _cos φ₁ + i sin φ₁ ) و _z₂ = r₂ ( _cos φ₂ + i _sin φ₂ ) ، _{فيمكن حساب حاصل} الضرب والقسمة كما _يلي :$${\displaystyle z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos(\varphi _{1}+\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}+\varphi _{2})).}$$$${\displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\left(\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2})\right),{\text{if }}z_{2}\neq 0.}$$ (هذه نتيجة للمتطابقات المثلثية لدالتي الجيب وجيب التمام). بعبارة أخرى، تُضرب القيم المطلقة وتُجمع الوسائط للحصول على الصيغة القطبية للناتج. يوضح الشكل على اليمين عملية الضرب. $${\displaystyle (2+i)(3+i)=5+5i.}$$ بما أن الجزء الحقيقي والجزء التخيلي من 5 + 5i متساويان ، فإن سعة هذا العدد هي 45 درجة، أو π /4 ( بالراديان ). من جهة أخرى، فإن مجموع الزاويتين عند نقطة الأصل للمثلثين الأحمر والأزرق هو arctan (1/3) و arctan(1/2) على التوالي. وبالتالي، فإن الصيغة $${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan \left({\frac {1}{2}}\right)+\arctan \left({\frac {1}{3}}\right)}$$ ينطبق. بما أن دالة arctan يمكن تقريبها بكفاءة عالية، فإن صيغًا مثل هذه - والمعروفة باسم صيغ Machin - تُستخدم لتقريب π بدقة عالية : ^{[ 22 ]}$${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan \left({\frac {1}{5}}\right)-\arctan \left({\frac {1}{239}}\right)}$$

يمكن حساب القوة n لعدد مركب باستخدام صيغة دي موافر ، والتي يتم الحصول عليها من خلال تطبيق الصيغة المذكورة أعلاه بشكل متكرر للضرب: ^{[ 23 ]}$${\displaystyle z^{n}=\underbrace {z\cdot \dots \cdot z} _{n{\text{ factors}}}=(r(\cos \varphi +i\sin \varphi ))^{n}=r^{n}\,(\cos n\varphi +i\sin n\varphi ).}$$ على سبيل المثال، القوى القليلة الأولى للوحدة التخيلية i هي${\displaystyle i,i^{2}=-1,i^{3}=-i,i^{4}=1,i^{5}=i,\dots }$.

الجذور النونية للعدد ^المركب z معطاة ^بواسطة [ ²⁴ ]$${\displaystyle z^{1/n}={\sqrt[{n}]{r}}\left(\cos \left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)\right)}$$ لـ 0 ≤ k ≤ n − 1. (هنا)${\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}}$(هو الجذر النوني المعتاد (الموجب) للعدد الحقيقي الموجب r ). ولأن دالتي الجيب وجيب التمام دوريتان، فإن القيم الصحيحة الأخرى لـ k لا تعطي قيمًا أخرى. لأي${\displaystyle z\neq 0}$يوجد، على وجه الخصوص ، n جذرًا مركبًا مختلفًا من الرتبة n . على سبيل المثال، يوجد 4 جذور رابعة للعدد 1، وهي:

${\displaystyle z_{1}=1,z_{2}=i,z_{3}=-1,z_{4}=-i.}$

بشكل عام، لا توجد طريقة طبيعية لتمييز جذر عقدي واحد من الرتبة n لعدد عقدي. (وهذا على عكس جذور العدد الحقيقي الموجب x ، الذي له جذر حقيقي موجب وحيد من الرتبة n ، والذي يُشار إليه عادةً بالجذر النوني لـ x ). يُشار إلى هذه الحالة بالقول إن الجذر النوني هو دالة ذات n قيمة لـ z .

تنص النظرية الأساسية للجبر ، لكارل فريدريش غاوس وجان لو رون دالمبير ، على أنه لأي أعداد مركبة (تسمى معاملات ) a₀ _، ...، an _، فإن المعادلة $${\displaystyle a_{n}z^{n}+\dotsb +a_{1}z+a_{0}=0}$$ للمعادلة حل مركب واحد على الأقل z ، بشرط أن يكون أحد المعاملات العليا a1 ، ...، _an على الأقل غير صفري. ^{[ 25 ]} لا تنطبق هذه الخاصية على حقل الأعداد النسبية _.${\displaystyle \mathbb {Q} }$( لا يوجد جذر نسبي لكثير الحدود x² ^- 2 ، لأن √2 ليس عددًا نسبيًا) ولا للأعداد الحقيقية${\displaystyle \mathbb {R} }$(لا يوجد جذر حقيقي لكثير الحدود x ² + 4 ، لأن مربع x موجب لأي عدد حقيقي x ).

وبسبب هذه الحقيقة،${\displaystyle \mathbb {C} }$يُطلق عليه اسم حقل مغلق جبريًا . وهو حجر الزاوية في تطبيقات متنوعة للأعداد المركبة، كما هو موضح بالتفصيل أدناه. توجد براهين مختلفة لهذه النظرية، إما بالطرق التحليلية مثل نظرية ليوفيل ، أو بالطرق الطوبولوجية مثل عدد الالتفاف ، أو ببرهان يجمع بين نظرية غالوا وحقيقة أن أي متعدد حدود حقيقي من الدرجة الفردية له جذر حقيقي واحد على الأقل.

يتم تعريف حقل الأعداد المركبة على أنه حقل الامتداد الجبري (الفريد) للأعداد الحقيقية لاحقًا في #التعريفات الجبرية المجردة .

أحد الأساليب لـ${\displaystyle \mathbb {C} }$يتم ذلك عن طريق كثيرات الحدود ، أي التعبيرات من الشكل $${\displaystyle p(X)=a_{n}X^{n}+\dotsb +a_{1}X+a_{0},}$$ حيث المعاملات a₀ _، ...، _aₙ أعداد حقيقية. ويُرمز إلى مجموعة جميع هذه كثيرات الحدود بـ${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$بما أن مجموع وحاصل ضرب كثيرات الحدود هي أيضاً كثيرات حدود، فإن هذه المجموعة${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$يشكل حلقة تبديلية ، تسمى حلقة كثيرات الحدود (على الأعداد الحقيقية). لكل كثيرة حدود من هذا النوع p ، يمكن إسناد العدد المركب${\displaystyle p(i)=a_{n}i^{n}+\dotsb +a_{1}i+a_{0}}$أي القيمة التي تم الحصول عليها عن طريق ضبط${\displaystyle X=i}$وهذا يُعرّف دالة

${\displaystyle \mathbb {R} [X]\to \mathbb {C} }$

هذه الدالة شاملة لأن كل عدد مركب يمكن الحصول عليه بهذه الطريقة: تقييم كثير الحدود الخطي${\displaystyle a+bX}$في${\displaystyle X=i}$يكون${\displaystyle a+bi}$ومع ذلك، فإن تقييم كثير الحدود${\displaystyle X^{2}+1}$عند i يساوي 0، لأن${\displaystyle i^{2}+1=0.}$هذه متعددة الحدود غير قابلة للاختزال ، أي لا يمكن كتابتها كحاصل ضرب متعددتي حدود خطيتين. وبناءً على ذلك، فإن الحقائق الأساسية للجبر المجرد تشير إلى أن نواة التطبيق المذكور أعلاه هي مثالي مُوَلَّد بواسطة متعددة الحدود هذه، وأن ناتج القسمة على هذا المثالي هو حقل، وأن هناك تماثلًا.

${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X^{2}+1){\stackrel {\cong }{\to }}\mathbb {C} }$

بين حلقة القسمة و${\displaystyle \mathbb {C} }$يعتبر بعض المؤلفين هذا تعريفًا لـ${\displaystyle \mathbb {C} }$[ ^{66 ] [ 67 ]} هذا التعريف يعبر ^عن${\displaystyle \mathbb {C} }$كجبر تربيعي .

المجال${\displaystyle \mathbb {C} }$تُعتبر المجموعة مغلقة جبريًا وفقًا للنظرية الأساسية للجبر ، وبالتالي فهي الإغلاق الجبري لـ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

يمكن أيضًا تمثيل الأعداد المركبة a + bi بواسطة مصفوفات 2 × 2 التي لها الشكل ^{[ 68 ].}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-b\\b&\;\;a\end{pmatrix}}.}$$ هنا، المدخلان a و b أعداد حقيقية. وبما أن مجموع وحاصل ضرب مصفوفتين من هذا النوع يكون أيضاً على هذا الشكل، فإن هاتين المصفوفتين تشكلان حلقة فرعية من حلقة المصفوفات 2 × 2 .

تُظهر عملية حسابية بسيطة أن الخريطة $${\displaystyle a+ib\mapsto {\begin{pmatrix}a&-b\\b&\;\;a\end{pmatrix}}}$$ هو تماثل حلقي من حقل الأعداد المركبة إلى حلقة هذه المصفوفات، مما يثبت أن هذه المصفوفات تُشكّل حقلاً. يربط هذا التماثل مربع القيمة المطلقة لعدد مركب بمحدد المصفوفة المناظرة، ومرافق عدد مركب بمنقولة المصفوفة .

إن التمثيل القطبي للأعداد المركبة يعطي هذه المصفوفات بشكل صريح كمصفوفات دوران مُقاسة . $${\displaystyle r(\cos \theta +i\sin \theta )\mapsto {\begin{pmatrix}r\cos \theta &-r\sin \theta \\r\sin \theta &\;\;r\cos \theta \end{pmatrix}}}$$ وعلى وجه الخصوص، حالة r = 1 ، وهي${\displaystyle |a+ib|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}=1}$، يعطي مصفوفات الدوران (غير المقياسة).

إن مفاهيم المتسلسلات المتقاربة والدوال المتصلة في التحليل الحقيقي لها نظائر طبيعية في التحليل المركب. يُقال إن متتالية من الأعداد المركبة متقاربة إذا وفقط إذا تقاربت أجزاؤها الحقيقية والتخيلية. وهذا يُكافئ تعريف النهايات (ε, δ) ، حيث تُستبدل القيمة المطلقة للأعداد الحقيقية بالقيمة المطلقة للأعداد المركبة. من منظور أكثر تجريدًا،${\displaystyle \mathbb {C} }$، مزود بالمقياس$${\displaystyle \operatorname {d} (z_{1},z_{2})=|z_{1}-z_{2}|}$$هي فضاء متري كامل ، والذي يتضمن بشكل خاص متباينة المثلث.$${\displaystyle |z_{1}+z_{2}|\leq |z_{1}|+|z_{2}|}$$ لأي عددين مركبين z ₁ و z ₂ .

كما هو الحال في التحليل الحقيقي، يُستخدم مفهوم التقارب هذا لإنشاء عدد من الدوال الأولية : الدالة الأسية exp z ، والتي تُكتب أيضًا e ^z ، تُعرف بأنها متسلسلة لانهائية ، والتي يمكن إثبات تقاربها لأي قيمة لـ z : $${\displaystyle \exp z:=1+z+{\frac {z^{2}}{2\cdot 1}}+{\frac {z^{3}}{3\cdot 2\cdot 1}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.}$$ على سبيل المثال،${\displaystyle \exp(1)}$هو عدد أويلر${\displaystyle e\approx 2.718}$تنص صيغة أويلر على ما يلي:$${\displaystyle \exp(i\varphi )=\cos \varphi +i\sin \varphi }$$ لأي عدد حقيقي φ . هذه الصيغة هي نتيجة مباشرة لحقائق أساسية عامة حول متسلسلات القوى المتقاربة وتعريفات الدوال المعنية كمتسلسلات قوى. وكحالة خاصة، يشمل ذلك متطابقة أويلر.$${\displaystyle \exp(i\pi )=-1.}$$

لكل عدد حقيقي موجب t ، يوجد عدد حقيقي وحيد x بحيث${\displaystyle \exp(x)=t}$وهذا يؤدي إلى تعريف اللوغاريتم الطبيعي بأنه المعكوس${\displaystyle \ln \colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ;x\mapsto \ln x}$من الدالة الأسية. يختلف الوضع بالنسبة للأعداد المركبة، لأن

${\displaystyle \exp(z+2\pi i)=\exp z\exp(2\pi i)=\exp z}$

باستخدام المعادلة الوظيفية وهوية أويلر. على سبيل المثال، e ^iπ = e ^{3 iπ} = −1 ، لذا فإن كلاً من iπ و 3 iπ قيمتان محتملتان للوغاريتم المركب لـ −1 .

بشكل عام، إذا كان لدينا أي عدد مركب غير صفري w ، فإن أي عدد z يحل المعادلة

${\displaystyle \exp z=w}$

يُطلق عليه اسم اللوغاريتم المركب لـ w ، ويُرمز له بـ${\displaystyle \log w}$يمكن إثبات أن هذه الأرقام تحقق ^{[ 69 ]}$${\displaystyle z=\log w=\ln |w|+i\arg w,}$$ أين${\displaystyle \arg }$هو الحجة المحددة أعلاه ، و${\displaystyle \ln }$اللوغاريتم الطبيعي (الحقيقي) . بما أن arg دالة متعددة القيم ، فريدة فقط حتى مضاعفات 2π ، فإن log أيضًا دالة متعددة القيم. غالبًا ما تُؤخذ القيمة الأساسية لـ log بتقييد الجزء التخيلي في الفترة (−π , π ) . هذا يؤدي إلى أن يكون اللوغاريتم المركب دالة تقابلية تأخذ قيمًا في الشريط${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}+\;i\,\left(-\pi ,\pi \right]}$(يشار إليه بـ)${\displaystyle S_{0}}$(كما هو موضح في الرسم التوضيحي أعلاه) $${\displaystyle \ln \colon \;\mathbb {C} ^{\times }\;\to \;\;\;\mathbb {R} ^{+}+\;i\,\left(-\pi ,\pi \right].}$$

لو${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \left(-\mathbb {R} _{\geq 0}\right)}$إذا لم يكن φ عددًا حقيقيًا غير موجب (سواء كان موجبًا أو غير حقيقي)، فإن القيمة الرئيسية للوغاريتم المركب الناتج تُحسب عندما يكون −π < φ < π . وهي دالة تحليلية خارج نطاق الأعداد الحقيقية السالبة، ولكن لا يمكن تمديدها لتصبح دالة متصلة عند أي عدد حقيقي سالب .${\displaystyle z\in -\mathbb {R} ^{+}}$، حيث القيمة الرئيسية هي ln z = ln(− z ) + iπ . ^{[ h ]}

يُعرَّف الأس المركب z ^ω على النحو التالي: $${\displaystyle z^{\omega }=\exp(\omega \ln z),}$$ وهي متعددة القيم، باستثناء حالة كون ω عددًا صحيحًا. بالنسبة لـ ω = 1 / n ، حيث n عدد طبيعي ، فإن هذا يُعيد خاصية عدم تفرد الجذور النونية المذكورة أعلاه. إذا كان z > 0 عددًا حقيقيًا (و ω عددًا مركبًا اختياريًا)، فسيكون لدينا خيار مفضل لـ${\displaystyle \ln x}$، اللوغاريتم الحقيقي، والذي يمكن استخدامه لتحديد دالة أسية مفضلة.

لا تحقق الأعداد المركبة، على عكس الأعداد الحقيقية، بشكل عام متطابقات القوة واللوغاريتم دون تعديل، خاصةً عند التعامل معها ببساطة كدوال أحادية القيمة؛ انظر: فشل متطابقات القوة واللوغاريتم . على سبيل المثال، لا تحقق $${\displaystyle a^{bc}=\left(a^{b}\right)^{c}.}$$ كلا جانبي المعادلة متعدد القيم وفقًا لتعريف الأس المركب الوارد هنا، والقيم الموجودة على اليسار هي مجموعة فرعية من تلك الموجودة على اليمين.

تستمر المتسلسلات التي تُعرّف الدوال المثلثية الحقيقية sin و cos ، وكذلك الدوال الزائدية sinh و cosh ، في التعامل مع القيم المركبة دون تغيير. أما بالنسبة للدوال المثلثية والزائدية الأخرى، مثل tan ، فالأمر أكثر تعقيدًا بعض الشيء، إذ لا تتقارب المتسلسلات المُعرّفة لها لجميع القيم المركبة. لذلك، يجب تعريفها إما بدلالة الجيب وجيب التمام والدالة الأسية، أو، بشكل مكافئ، باستخدام طريقة الاستمرار التحليلي .

يمكن التعبير عن قيمة دالة مثلثية أو زائدية لعدد مركب بدلالة تلك الدوال المحسوبة على أعداد حقيقية، وذلك باستخدام صيغ جمع الزوايا. بالنسبة لـ z = x + iy ،

$${\displaystyle \sin {z}=\sin {x}\cosh {y}+i\cos {x}\sinh {y}}$$

$${\displaystyle \cos {z}=\cos {x}\cosh {y}-i\sin {x}\sinh {y}}$$

$${\displaystyle \tan {z}={\frac {\tan {x}+i\tanh {y}}{1-i\tan {x}\tanh {y}}}}$$

$${\displaystyle \cot {z}=-{\frac {1+i\cot {x}\coth {y}}{\cot {x}-i\coth {y}}}}$$

$${\displaystyle \sinh {z}=\sinh {x}\cos {y}+i\cosh {x}\sin {y}}$$

$${\displaystyle \cosh {z}=\cosh {x}\cos {y}+i\sinh {x}\sin {y}}$$

$${\displaystyle \tanh {z}={\frac {\tanh {x}+i\tan {y}}{1+i\tanh {x}\tan {y}}}}$$

$${\displaystyle \coth {z}={\frac {1-i\coth {x}\cot {y}}{\coth {x}-i\cot {y}}}}$$

عندما لا تكون هذه التعبيرات محددة جيدًا، لأن الدالة المثلثية أو الزائدية تُقيّم إلى ما لا نهاية أو يكون هناك قسمة على صفر، فإنها مع ذلك صحيحة كنهايات .

وظيفة${\displaystyle f:\mathbb {C} }$→${\displaystyle \mathbb {C} }$يُطلق عليها اسم الدالة الهولومورفية أو الدالة القابلة للتفاضل عند نقطة معينة.${\displaystyle z_{0}}$إذا كان الحد

${\displaystyle \lim _{z\to z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) \over z-z_{0}}}$

موجود (وفي هذه الحالة يُشار إليه بـ${\displaystyle f'(z_{0})}$وهذا يحاكي تعريف الدوال الحقيقية القابلة للتفاضل، باستثناء أن جميع الكميات أعداد مركبة. وبصورة عامة، فإن حرية الاقتراب من${\displaystyle z_{0}}$ in different directions imposes a much stronger condition than being (real) differentiable. For example, the function

${\displaystyle f(z)={\overline {z}}}$

is differentiable as a function ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$, but is not complex differentiable. A real differentiable function is complex differentiable if and only if it satisfies the Cauchy–Riemann equations, which are sometimes abbreviated as

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}=0.}$

Complex analysis shows some features not apparent in real analysis. For example, the identity theorem asserts that two holomorphic functions f and g agree if they agree on an arbitrarily small open subset of ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Meromorphic functions, functions that can locally be written as f(z)/(z − z₀)ⁿ with a holomorphic function f, still share some of the features of holomorphic functions. Other functions have essential singularities, such as sin(1/z) at z = 0.

كما ذكرنا سابقًا، فإن أي معادلة متعددة الحدود غير ثابتة (بمعاملات مركبة) لها حل في${\displaystyle \mathbb {C} }$وبالأحرى ، ينطبق الأمر نفسه إذا كانت للمعادلة معاملات نسبية. تُسمى جذور هذه المعادلات بالأعداد الجبرية ، وهي موضوع رئيسي للدراسة في نظرية الأعداد الجبرية .${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$، الإغلاق الجبري لـ${\displaystyle \mathbb {Q} }$، والتي تحتوي أيضاً على جميع الأعداد الجبرية،${\displaystyle \mathbb {C} }$تتميز هذه الطريقة بسهولة فهمها من الناحية الهندسية. وبهذا، يمكن استخدام الأساليب الجبرية لدراسة المسائل الهندسية والعكس صحيح. وباستخدام الأساليب الجبرية، وتحديدًا بتطبيق آليات نظرية الحقول على حقل الأعداد الذي يحتوي على جذور الوحدة ، يمكن إثبات أنه من غير الممكن إنشاء شكل تساعي منتظم باستخدام الفرجار والمسطرة فقط - وهي مسألة هندسية بحتة.

مثال آخر هو الأعداد الصحيحة الغاوسية ؛ أي الأعداد من الشكل x + iy ، حيث x و y أعداد صحيحة، والتي يمكن استخدامها لتصنيف مجاميع المربعات .

تدرس نظرية الأعداد التحليلية الأعداد، وغالبًا ما تكون أعدادًا صحيحة أو نسبية، مستفيدةً من إمكانية اعتبارها أعدادًا مركبة، ما يسمح باستخدام الأساليب التحليلية. ويتم ذلك عن طريق ترميز المعلومات المتعلقة بنظرية الأعداد في دوال ذات قيم مركبة. على سبيل المثال، ترتبط دالة زيتا لريمان ζ( s ) بتوزيع الأعداد الأولية .

في المجالات التطبيقية، تُستخدم الأعداد المركبة غالبًا لحساب بعض التكاملات غير المحددة ذات القيم الحقيقية ، وذلك باستخدام الدوال ذات القيم المركبة. توجد عدة طرق للقيام بذلك؛ انظر طرق التكامل الكفافي .

في المعادلات التفاضلية ، من الشائع أولاً إيجاد جميع الجذور المركبة r للمعادلة المميزة لمعادلة تفاضلية خطية أو نظام معادلات، ثم محاولة حل النظام بدلالة الدوال الأساسية على الصورة f ( t ) = e^( ^rt) . وبالمثل، في معادلات الفرق ، تُستخدم الجذور المركبة r للمعادلة المميزة لنظام معادلات الفرق، لمحاولة حل النظام بدلالة الدوال الأساسية على الصورة f ( t ) = rt^( ^rt) .

منذ${\displaystyle \mathbb {C} }$بما أن المصفوفة مغلقة جبريًا، فإن أي مصفوفة مربعة مركبة غير فارغة لها قيمة ذاتية واحدة على الأقل (مركبة) . على النقيض من ذلك، لا تمتلك المصفوفات الحقيقية دائمًا قيمًا ذاتية حقيقية، فمثلاً مصفوفات الدوران (لدوران المستوى بزوايا غير 0° أو 180°) لا تُثبّت أي اتجاه، وبالتالي لا تمتلك أي قيمة ذاتية حقيقية . يُعد وجود القيم الذاتية (المركبة)، وما يترتب عليه من وجود تحليل القيم الذاتية، أداةً مفيدةً لحساب قوى المصفوفات وأسسها .

غالباً ما تعمم الأعداد المركبة مفاهيم نشأت في الأصل في الأعداد الحقيقية. على سبيل المثال، تعمم منقولة المصفوفة المرافقة منقولة المصفوفة ، وتعمم المصفوفات الهرميتية المصفوفات المتناظرة ، وتعمم المصفوفات الوحدوية المصفوفات المتعامدة .

المجال${\displaystyle \mathbb {C} }$له الخصائص الثلاث التالية:

• أولاً، له خاصية 0. وهذا يعني أن 1 + 1 + ⋯ + 1 ≠ 0 لأي عدد من الحدود (جميعها تساوي واحدًا).
• ثانيًا، درجة تجاوزها${\displaystyle \mathbb {Q} }$، المجال الرئيسي لـ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$هي عدد عناصر المتصل .
• ثالثًا، إنها مغلقة جبريًا (انظر أعلاه).

يمكن إثبات أن أي حقل يمتلك هذه الخصائص يكون متماثلاً (كحقل) مع${\displaystyle \mathbb {C} .}$على سبيل المثال، الإغلاق الجبري للحقل${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$يحقق العدد p -adic أيضًا هذه الخصائص الثلاث، لذا فإن هذين الحقلين متماثلان (كحقلين، ولكن ليس كحقلين طوبولوجيين). ^{[ 76 ]} أيضًا،${\displaystyle \mathbb {C} }$متماثل مع حقل متسلسلات بويزو المركبة . ومع ذلك، فإن تحديد التماثل يتطلب بديهية الاختيار . ومن النتائج الأخرى لهذا التوصيف الجبري أن${\displaystyle \mathbb {C} }$يحتوي على العديد من الحقول الفرعية المناسبة المتماثلة مع${\displaystyle \mathbb {C} }$.

التوصيف السابق لـ${\displaystyle \mathbb {C} }$يصف فقط الجوانب الجبرية لـ${\displaystyle \mathbb {C} .}$بمعنى آخر، لم يتم التطرق إلى خصائص القرب والاستمرارية ، وهي خصائص مهمة في مجالات مثل التحليل والطوبولوجيا . فيما يلي وصف لـ${\displaystyle \mathbb {C} }$باعتبارها حقلاً طوبولوجياً (أي حقلاً مزوداً بطوبولوجيا تسمح بمفهوم التقارب) فإنها تأخذ في الاعتبار الخصائص الطوبولوجية.${\displaystyle \mathbb {C} }$تحتوي على مجموعة جزئية P (وهي مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة) من العناصر غير الصفرية التي تحقق الشروط الثلاثة التالية:

• P مجموعة مغلقة تحت عمليات الجمع والضرب وأخذ المعكوسات.
• إذا كان x و y عنصرين متميزين من P ، فإن إما x − y أو y − x ينتمي إلى P.
• إذا كانت S أي مجموعة جزئية غير فارغة من P ، فإن S + P = x + P لبعض x في${\displaystyle \mathbb {C} .}$

علاوة على ذلك،${\displaystyle \mathbb {C} }$يمتلك تماثلًا ذاتيًا غير تافه x ↦ x * (أي الاقتران المركب)، بحيث يكون x x * في P لأي x غير صفري في${\displaystyle \mathbb {C} .}$

يمكن تزويد أي حقل F بهذه الخصائص بطوبولوجيا عن طريق اختيار المجموعات B ( x , p ) = { y | p − ( y − x )( y − x )* ∈ P } كأساس ، حيث x يمتد على الحقل و p يمتد على P. وبهذه الطوبولوجيا، يكون F متماثلًا كحقل طوبولوجي مع${\displaystyle \mathbb {C} .}$

الحقول الطوبولوجية المتصلة والمتراصة محليًا الوحيدة هي${\displaystyle \mathbb {R} }$و${\displaystyle \mathbb {C} .}$وهذا يعطي وصفًا آخر لـ${\displaystyle \mathbb {C} }$كحقل طوبولوجي، لأن${\displaystyle \mathbb {C} }$يمكن تمييزها عن${\displaystyle \mathbb {R} }$لأن الأعداد المركبة غير الصفرية متصلة ، بينما الأعداد الحقيقية غير الصفرية ليست كذلك. ^{[ 77 ]}

أنظمة الأرقام

	الأعداد النسبية${\displaystyle \mathbb {Q} }$	أرقام حقيقية${\displaystyle \mathbb {R} }$	الأعداد المركبة${\displaystyle \mathbb {C} }$	الرباعيات${\displaystyle \mathbb {H} }$	الأوكتونيونات${\displaystyle \mathbb {O} }$	سدينيون${\displaystyle \mathbb {S} }$
مكتمل	لا	نعم	نعم	نعم	نعم	نعم
البعد كـ${\displaystyle \mathbb {R} }$فضاء المتجهات	[لا ينطبق]	1	2	4	8	16
تم الطلب	نعم	نعم	لا	لا	لا	لا
عملية الضرب تبادلية (${\displaystyle xy=yx}$)	نعم	نعم	نعم	لا	لا	لا
الضرب التجميعي (${\displaystyle (xy)z=x(yz)}$)	نعم	نعم	نعم	نعم	لا	لا
جبر القسمة المعياري (على${\displaystyle \mathbb {R} }$)	[لا ينطبق]	نعم	نعم	نعم	نعم	لا

عملية توسيع المجال${\displaystyle \mathbb {R} }$من الأعداد الحقيقية إلى${\displaystyle \mathbb {C} }$يُعد مثالاً على بناء كايلي-ديكسون . بتطبيق هذا البناء بشكل تكراري على${\displaystyle \mathbb {C} }$ثم ينتج عنه الكواترنيونات ، والأوكتونيونات ، ^{[ 78 ]} والسيدينيونات ، والتريجينتادويونيونات . ويتضح أن هذا البناء يقلل من الخصائص الهيكلية لأنظمة الأعداد المعنية.

على عكس الواقع،${\displaystyle \mathbb {C} }$ليس حقلاً مرتباً ، أي أنه لا يمكن تعريف علاقة z₁ < z₂ تتوافق مع عمليتي الجمع والضرب. في الواقع، في أي حقل مرتب، يكون مربع أي عنصر موجباً بالضرورة، لذا ^فإن _i₂ = -1 _يمنع وجود ترتيب على${\displaystyle \mathbb {C} .}$^{[ 79 ]} الانتقال من${\displaystyle \mathbb {C} }$إلى الرباعيات${\displaystyle \mathbb {H} }$يفقد التبديل، بينما تفشل الأوكتونيونات (بالإضافة إلى كونها غير تبديلية) في أن تكون تجميعية. الأعداد الحقيقية، والأعداد المركبة، والرباعيات، والأوكتونيونات كلها جبر قسمة معياري على${\displaystyle \mathbb {R} }$. بحسب نظرية هورويتز، فهم الوحيدون؛ أما السدينيون ، وهي الخطوة التالية في بناء كايلي-ديكسون، فلا تمتلك هذا الهيكل.

يرتبط بناء كايلي-ديكسون ارتباطًا وثيقًا بالتمثيل المنتظم لـ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$يُعتبر على أنه${\displaystyle \mathbb {R} }$- الجبر (نوع من${\displaystyle \mathbb {R} }$فضاء متجهي مع عملية ضرب)، بالنسبة للأساس (1، i ) . وهذا يعني ما يلي:${\displaystyle \mathbb {R} }$خريطة خطية $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {C} &\rightarrow \mathbb {C} \\z&\mapsto wz\end{aligned}}}$$ بالنسبة لعدد مركب ثابت w، يمكن تمثيله بمصفوفة 2 × 2 (بعد اختيار أساس). بالنسبة للأساس (1، i ) ، تكون هذه المصفوفة $${\displaystyle {\begin{pmatrix}\operatorname {Re} (w)&-\operatorname {Im} (w)\\\operatorname {Im} (w)&\operatorname {Re} (w)\end{pmatrix}},}$$ أي، ذلك المذكور في قسم تمثيل الأعداد المركبة بالمصفوفات أعلاه. بينما هذا تمثيل خطي لـ${\displaystyle \mathbb {C} }$في المصفوفات الحقيقية من الرتبة 2 × 2، ليس هذا هو الوحيد. أي مصفوفة $${\displaystyle J={\begin{pmatrix}p&q\\r&-p\end{pmatrix}},\quad p^{2}+qr+1=0}$$ تتمتع بخاصية أن مربعها هو معكوس مصفوفة الوحدة: ^J² = −I . إذن $${\displaystyle \{z=aI+bJ:a,b\in \mathbb {R} \}}$$ وهو متماثل أيضًا مع المجال${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ويقدم بنية معقدة بديلة على${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$يتم تعميم ذلك من خلال مفهوم البنية المعقدة الخطية .

كما أن الأعداد فائقة التعقيد قابلة للتعميم${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle \mathbb {H} ,}$و${\displaystyle \mathbb {O} .}$فعلى سبيل المثال، يتضمن هذا المفهوم الأعداد المركبة المنقسمة ، وهي عناصر من الحلقة${\displaystyle \mathbb {R} [x]/(x^{2}-1)}$(على عكس${\displaystyle \mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)}$(للأعداد المركبة). في هذه الحلقة، للمعادلة a ² = 1 أربعة حلول.

المجال${\displaystyle \mathbb {R} }$هو اكتمال${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$مجال الأعداد النسبية ، بالنسبة لمقياس القيمة المطلقة المعتاد . خيارات أخرى للمقاييس على${\displaystyle \mathbb {Q} }$تؤدي إلى الحقول${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$من الأعداد p -adic (لأي عدد أولي p )، والتي تُشابه بالتالي...${\displaystyle \mathbb {R} }$لا توجد طرق أخرى غير بديهية لإتمام ذلك${\displaystyle \mathbb {Q} }$من${\displaystyle \mathbb {R} }$و${\displaystyle \mathbb {Q} _{p},}$بحسب نظرية أوستروفسكي . الإغلاقات الجبرية${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}}}$ل${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$لا يزال يحمل معيارًا، ولكن (على عكس${\displaystyle \mathbb {C} }$() غير مكتملة فيما يتعلق بها. الإكمال${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$ل${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}}}$اتضح أنها مغلقة جبريًا. قياسًا على ذلك،${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$يُطلق عليها اسم الأعداد المركبة p -adic.

الحقول${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p},}$وامتداداتها في الحقول المنتهية، بما في ذلك${\displaystyle \mathbb {C} ,}$تُسمى هذه الحقول بالحقول المحلية .