تحليل موقع الجذر

في نظرية التحكم ونظرية الاستقرار ، يُعد تحليل مسار الجذور أسلوبًا بيانيًا لدراسة كيفية تغير جذور نظام خطي ثابت مع الزمن (LTI) بتغير أحد معلمات النظام ، وعادةً ما يكون هذا المعلم هو الكسب في نظام التغذية الراجعة . تُستخدم هذه التقنية كمعيار للاستقرار في مجال نظرية التحكم الكلاسيكية التي طورها والتر ر. إيفانز، والتي تُمكن من تحديد استقرار النظام. يرسم مسار الجذور أقطاب دالة التحويل للحلقة المغلقة في المستوى المركب s كدالة لمعلمة الكسب (انظر مخطط الأقطاب والأصفار ).

اخترع إيفانز أيضاً في عام 1948 حاسوباً تناظرياً لحساب مواقع الجذور، أطلق عليه اسم "سبيرول" (نسبةً إلى "اللولب" و" المسطرة الحاسبة ")؛ وقد شاع استخدامه قبل ظهور الحواسيب الرقمية . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}

إذا كان هناك عمود في مكان ما${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$إذن، يحتوي النظام على وضع${\displaystyle y_{mode}(t)\propto e^{\sigma t}\cos {(\omega t+\phi )}}$بمعدل نمو σ وإزاحة طور φ عند تردد التذبذب ω . يجب أن يكون لجميع الأنماط معدلات نمو سالبة حتى يكون النظام مستقرًا تقاربيًا . غالبًا ما يُصاغ شرط الاستقرار هذا على أنه يجب أن تقع جميع الأقطاب في المستوى الأيسر، أي${\displaystyle \sigma <0}$بالنسبة للأوضاع المستقرة، يكون معدل الاضمحلال (الموجب) هو -σ . عندما تقع أزواج الأقطاب المركبة المفردة على المحور التخيلي${\displaystyle \sigma =0}$(باستثناء نقطة الأصل)، يعتبر النظام مستقرًا بشكل هامشي.

بالإضافة إلى تحديد استقرار النظام، يمكن استخدام مسار الجذور لتصميم نسبة التخميد ( ζ ) والتردد الطبيعي ( ωn ) لنظام التغذية الراجعة. ويمكن رسم خطوط ذات نسبة تخميد ثابتة شعاعيًا من نقطة الأصل (بزاوية) _.${\displaystyle \cos ^{-1}(\zeta )}$من المحور الحقيقي السالب)، ويمكن رسم خطوط التردد الطبيعي الثابت على شكل دوائر مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها ωn . باختيار نقطة على طول مسار الجذور تتطابق مع نسبة التخميد والتردد الطبيعي المطلوبين، يمكن حساب قيمة الكسب K وتطبيقها في وحدة التحكم. تتوفر تقنيات أكثر تفصيلًا لتصميم وحدات التحكم باستخدام مسار الجذور في معظم كتب التحكم: على سبيل المثال، _يمكن تصميم وحدات تحكم متقدمة، ومتأخرة ، وPI، وPD، و PID تقريبًا باستخدام هذه التقنية.

يفترض تعريف نسبة التخميد والتردد الطبيعي في الفقرة السابقة أن نظام التغذية الراجعة الكلي مستقر ويمكن تقريبه جيدًا بنظام من الدرجة الثانية. ويتحقق ذلك عندما يحقق النظام تقريب "الأقطاب المهيمنة". يهيمن زوج معقد من الأقطاب عندما يقع كل قطب آخر بعيدًا إلى اليسار بدرجة كافية، على سبيل المثال${\displaystyle |\sigma |>5|\sigma _{dom}|}$أو بعبارة أخرى، القطب المهيمن هو القطب ذو أقل معدل اضمحلال${\displaystyle -\sigma _{dom}}$قد يهيمن قطب واحد على المحور الحقيقي، وفي هذه الحالة يمكن تقريب النظام كنظام من الدرجة الأولى. لاحظ أن العامل 5 هو أسلوب استدلالي شائع وليس قاعدة ثابتة، مشتق من${\displaystyle e^{-5}<1\%}$بالإضافة إلى ذلك، قد تُضعف الأصفار القريبة تأثير الأقطاب. لذا، ينبغي محاكاة جميع وحدات التحكم المصممة باستخدام هذا التقريب مع دالة النقل الكاملة للتحقق من تحقيق أهداف التصميم.

يمثل مسار الجذور لنظام تغذية راجعة خطي ثابت الزمن (LTI) التمثيل البياني في المستوى المركب s للمواقع المحتملة لأقطاب الحلقة المغلقة لقيم متغيرة لمعامل معين في النظام. تحقق النقاط التي تشكل جزءًا من مسار الجذور شرط الزاوية. ويمكن الحصول على قيمة المعامل لنقطة معينة على مسار الجذور باستخدام شرط المقدار .

لنفترض وجود نظام تغذية راجعة خطي ثابت مع إشارة دخل${\displaystyle X(s)}$وإشارة الخرج${\displaystyle Y(s)}$دالة نقل المسار الأمامي هي${\displaystyle G(s)}$دالة نقل مسار التغذية الراجعة هي${\displaystyle H(s)}$.

بالنسبة لهذا النظام، يتم إعطاء دالة التحويل ذات الحلقة المغلقة بواسطة ^{[ 10 ]}

${\displaystyle T(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}={\frac {G(s)}{1+G(s)H(s)}}}$

وبالتالي، فإن أقطاب الحلقة المغلقة لدالة التحويل ذات الحلقة المغلقة هي جذور متعددة الحدود المميزة${\displaystyle 1+G(s)H(s)}$يمكن إيجاد جذور هذه المعادلة متعددة الحدود أينما كانت المعادلة${\displaystyle 1+G(s)H(s)=0}$يحجز.

في الأنظمة التي لا تحتوي على تأخير محض، يكون الناتج${\displaystyle G(s)H(s)}$هي دالة متعددة الحدود نسبية ويمكن التعبير عنها على النحو التالي ^{[ 11 ]}

${\displaystyle G(s)H(s)=K{\frac {(s+z_{1})(s+z_{2})\cdots (s+z_{m})}{(s+p_{1})(s+p_{2})\cdots (s+p_{n})}}}$

أين${\displaystyle -z_{i}}$هي${\displaystyle m}$أصفار ،${\displaystyle -p_{i}}$هي${\displaystyle n}$الأعمدة، و${\displaystyle K}$هو كسب قياسي. عادةً، يُظهر مخطط مسار الجذور مواقع أقطاب دالة النقل لقيم مختلفة للمعامل${\displaystyle K}$سيكون مخطط مسار الجذور عبارة عن جميع النقاط في المستوى s حيث${\displaystyle G(s)H(s)=-1}$لأي قيمة من${\displaystyle K}$.

تحليل${\displaystyle K}$واستخدام أحاديات الحدود البسيطة يعني أنه يمكن تقييم كثير الحدود الكسري باستخدام تقنيات المتجهات التي تجمع أو تطرح الزوايا وتضرب أو تقسم المقادير. وتنشأ الصيغة المتجهة من حقيقة أن كل حد أحادي من حدود كثير الحدود${\displaystyle (sa)}$في العوامل${\displaystyle G(s)H(s)}$يمثل المتجه من${\displaystyle a}$ل${\displaystyle s}$في المستوى s. يمكن تقييم متعددة الحدود من خلال النظر في مقادير وزوايا كل من هذه المتجهات.

بحسب الرياضيات المتجهة، فإن زاوية ناتج كثير الحدود الكسري تساوي مجموع زوايا البسط مطروحًا منه مجموع زوايا المقام. لذا، لاختبار ما إذا كانت نقطة ما في المستوى s تقع على مسار الجذور، يكفي النظر إلى الزوايا مع جميع أقطاب وأصفار الحلقة المفتوحة. يُعرف هذا بشرط الزاوية.

وبالمثل، فإن مقدار ناتج كثيرة الحدود الكسرية هو حاصل ضرب جميع مقادير البسط مقسومًا على حاصل ضرب جميع مقادير المقام. ويتضح أن حساب المقدار ليس ضروريًا لتحديد ما إذا كانت نقطة في المستوى s جزءًا من مسار الجذور لأن${\displaystyle K}$تختلف هذه القيمة ويمكن أن تأخذ أي قيمة حقيقية. لكل نقطة من نقاط مسار الجذور، تكون قيمة${\displaystyle K}$يمكن حسابها. وهذا ما يُعرف بشرط المقدار.

لا يُظهر مخطط مسار الجذور سوى موقع أقطاب الحلقة المغلقة ككسب${\displaystyle K}$تتفاوت. قيمة${\displaystyle K}$لا يؤثر ذلك على موقع الأصفار. أصفار الحلقة المفتوحة هي نفسها أصفار الحلقة المغلقة.

باستخدام بعض القواعد الأساسية، يمكن لطريقة مسار الجذور رسم الشكل العام للمسار (الموقع) الذي تقطعه الجذور كقيمة لـ${\displaystyle K}$يختلف. ثم يُعطي رسم مسار الجذور فكرة عن استقرار وديناميكية نظام التغذية الراجعة هذا لقيم مختلفة من${\displaystyle K}$[ ^{12 ] [ 13 ]} القواعد هي التالية ^:

• حدد أقطاب وأصفار الدائرة المفتوحة
• حدد الجزء الحقيقي من المحور إلى يسار عدد فردي من الأقطاب والأصفار.
• أوجد خطوط التقارب

ليكن P عدد الأقطاب و Z عدد الأصفار:

${\displaystyle P-Z={\text{number of asymptotes}}\,}$

تتقاطع خطوط التقارب مع المحور الحقيقي عند${\displaystyle \alpha }$(وهو ما يسمى مركز الثقل) وينطلق بزاوية${\displaystyle \phi }$مقدم من:

${\displaystyle \phi _{l}={\frac {180^{\circ }+(l-1)360^{\circ }}{P-Z}},l=1,2,\ldots ,P-Z}$

${\displaystyle \alpha ={\frac {\operatorname {Re} \left(\sum _{P}-\sum _{Z}\right)}{P-Z}}}$

أين${\displaystyle \sum _{P}}$هو مجموع مواقع جميع الأقطاب،${\displaystyle \sum _{Z}}$هو مجموع جميع مواقع الأصفار الصريحة و${\displaystyle \operatorname {Re} ()}$يشير هذا إلى أننا مهتمون فقط بالجزء الحقيقي.

• شرط الطور عند نقطة الاختبار لإيجاد زاوية الانطلاق
• حساب نقاط الانفصال/الاختراق

تقع نقاط الانفصال عند جذور المعادلة التالية:

${\displaystyle {\frac {dG(s)H(s)}{ds}}=0{\text{ or }}{\frac {d{\overline {GH}}(z)}{dz}}=0}$

بمجرد إيجاد قيمة z ، فإن الجذور الحقيقية تعطي نقاط الانفصال/العودة. أما الجذور المركبة فتشير إلى عدم وجود نقاط انفصال/عودة.

بالنظر إلى متعدد الحدود الكسري ذي الحلقة المغلقة العامة

${\displaystyle 1+G(s)H(s)=1+K{\frac {b_{m}s^{m}+\ldots +b_{1}s+b_{0}}{s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\ldots +a_{1}s+a_{0}}},}$

يمكن تبسيط المعادلة المميزة إلى

${\displaystyle s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\ldots +(a_{m}+Kb_{m})s^{m}+\ldots +(a_{1}+Kb_{1})s+(a_{0}+Kb_{0})=0.}$

حلول${\displaystyle s}$تمثل هذه المعادلة مواقع جذور دالة التحويل ذات الحلقة المغلقة.

مثال

منح

${\displaystyle 1+G(s)H(s)=1+K{\frac {s+3}{s^{3}+3s^{2}+5s+1}},}$

سيكون لدينا المعادلة المميزة

${\displaystyle s^{3}+3s^{2}+(5+K)s+(1+3K)=0.}$

سيقوم كود MATLAB التالي برسم مسار جذور دالة التحويل ذات الحلقة المغلقة كما يلي:${\displaystyle K}$يختلف ذلك باستخدام الطريقة اليدوية الموصوفة وكذلك rlocusالوظيفة المدمجة:

الطريقة اليدوية K_array = ( 0 : 0.1 : 220 ). ' ; %.' هي عملية نقل. راجع توثيق Matlab. NK = length ( K_array ); x_array = zeros ( NK , 3 ); y_array = zeros ( NK , 3 );for nK = 1 : NK K = K_array ( nK ); C = [ 1 , 3 , ( 5 + K ), ( 1 + 3 * K )]; r = roots ( C ). ' ; x_array ( nK ,:) = real ( r ); y_array ( nK ,:) = imag ( r ); endالشكل (); رسم ( مصفوفة_س ، مصفوفة_ص ); تشغيل الشبكة ؛% دالة مدمجة sys = tf ([ 1 , 3 ], [ 1 , 3 , 5 , 1 ]); figure (); rlocus ( sys );

يمكن أيضًا استخدام كود بايثون التالي لحساب ورسم مسار الجذر لدالة النقل ذات الحلقة المغلقة باستخدام مكتبة أنظمة التحكم بايثون ^{[ 14 ]} و Matplotlib ^{[ 15 ]} .

التحكم في الاستيراد كـ ctاستورد مكتبة matplotlib.pyplot باسم pltحدد دالة التحويل فقطsys = ct . TransferFunction ([ 1 , 3 ], [ 1 , 3 , 5 , 1 ])# احسب وارسم مسار الجذرroots , gains = ct.root_locus ( sys , plot = True )​​plt.show ( )​

يمكن استخدام طريقة مسار الجذور لتحليل أنظمة البيانات المأخوذة عينات منها، وذلك بحساب مسار الجذور في المستوى z ، وهو النظير المتقطع للمستوى s . تُسقط المعادلة z  = e ^sT  أقطاب المستوى s المتصلة (وليست أصفارًا) على المجال z ، حيث T هي فترة أخذ العينات. يُسقط النصف الأيسر المستقر من المستوى s داخل دائرة الوحدة في المستوى z ، حيث يُساوي أصل المستوى s القيمة |z|  =  1 (لأن e ⁰ = 1). يُسقط خط قطري ذو تخميد ثابت في المستوى s حول حلزون من النقطة (1,0) في المستوى z أثناء انحنائه نحو الأصل. يُعبَّر عن معيار التداخل لنايكويست بيانيًا في المستوى z بواسطة المحور x ، حيث ωnT = π . يستمر خط التخميد الثابت الموصوف في الأنظمة الحلزونية إلى ما لا نهاية، ولكن في أنظمة البيانات المأخوذة عينات منها، يتم تحويل محتوى التردد إلى ترددات أقل بواسطة مضاعفات صحيحة لتردد نايكويست . أي أن الاستجابة المأخوذة عينات منها تظهر بتردد أقل وتخميد أفضل، لأن الجذر في المستوى z يُطابق الحلقة الأولى لمنحنى حلزوني مختلف ذي تخميد أفضل وثابت. يمكن وصف العديد من خصائص التعيين الأخرى المهمة، وأهمها أن وحدات التحكم في المستوى z ، التي تتميز بإمكانية تنفيذها مباشرةً من دالة نقل المستوى z (نسبة الصفر إلى القطب لكثيرات الحدود)، يمكن تصورها بيانيًا على رسم بياني للمستوى z لدالة نقل الحلقة المفتوحة، وتحليلها فورًا باستخدام مسار الجذور.     

بما أن مسار الجذر هو تقنية زاوية بيانية، فإن قواعد مسار الجذر تعمل بنفس الطريقة في المستويين z و s .

يمكن تطبيق مفهوم مسار الجذور على العديد من الأنظمة التي يتغير فيها مُعامل واحد (K) . على سبيل المثال، من المفيد مسح أي مُعامل للنظام تكون قيمته الدقيقة غير مؤكدة لتحديد سلوكه.

• هامش الطور
• معيار استقرار راوث-هرويتز
• معيار استقرار نايكويست
• هامش الكسب والطور
• مخطط بود

• كو، بنيامين سي. (1967). "تقنية تحديد موقع الجذر". أنظمة التحكم الآلي (  الطبعة الثانية). إنجلوود كليفس، نيوجيرسي: برنتيس هول. الصفحات 329-388 . ASIN B000KPT04C . LCCN 67016388. OCLC 3805225 .    

• آش، آر إتش؛ آش، جي إتش (أكتوبر 1968)، "الحساب العددي لمواضع الجذور باستخدام تقنية نيوتن-رافسون"، معاملات IEEE في التحكم الآلي ، 13 (5): 576-582 ، doi : 10.1109/TAC.1968.1098980
• ويليامسون، إس إي (مايو 1968)، "بيانات التصميم للمساعدة في رسم مواقع الجذور (الجزء الأول)"، مجلة التحكم ، 12 ( 119): 404-407
• ويليامسون، إس إي (يونيو 1968)، "بيانات التصميم للمساعدة في رسم مواقع الجذور (الجزء الثاني)"، مجلة التحكم ، 12 ( 120): 556-559
• ويليامسون، إس إي (يوليو 1968)، "بيانات التصميم للمساعدة في رسم مواقع الجذور (الجزء الثالث)"، مجلة التحكم ، 12 ( 121): 645-647
• ويليامسون، إس إي (15 مايو 1969)، "برنامج حاسوبي للحصول على الاستجابة الزمنية لأنظمة البيانات المأخوذة عينات منها"، رسائل الإلكترونيات ، 5 (10): 209-210 ، رمز Bibcode : 1969ElL.....5..209W ، doi : 10.1049/el:19690159
• ويليامسون، إس إي (يوليو 1969)، "رسم دقيق لموقع الجذور يشمل تأثيرات التأخير الزمني البحت. وصف برنامج الحاسوب" ، وقائع مؤسسة المهندسين الكهربائيين ، 116 (7): 1269-1271 ، doi : 10.1049/piee.1969.0235 ، مؤرشف من الأصل في 29 يونيو 2019

• ويكي الكتب: أنظمة التحكم/موضع الجذر
• برنامج تعليمي من جامعة كارنيجي ميلون / جامعة ميشيغان
• أمثلة ممتازة. ابدأ بالمثال رقم 5، ثم انتقل للخلف من المثال رقم 4 إلى المثال رقم 1. يمكنك أيضًا زيارة الصفحة الرئيسية.
• طريقة تحديد موقع الجذر: تقنيات الرسم اليدوي
• "RootLocs": برنامج مجاني متعدد الميزات لرسم مواقع الجذور لأنظمة التشغيل Mac وWindows
• "Root Locus": برنامج مجاني لرسم وتحليل مواقع الجذور لنظام التشغيل ويندوز
• موقع Root Locus على ControlTheoryPro.com
• تحليل مسار الجذور لأنظمة التحكم
• دالة MATLAB لحساب مسار الجذور لنموذج حلقة مفتوحة أحادي المدخل والمخرج
• ويكسلر، إي آر (يناير - مارس 1983)، "خوارزميات مسار الجذر للآلات الحاسبة الجيبية القابلة للبرمجة" (ملف PDF) ، تقرير التقدم في الاتصالات السلكية واللاسلكية واكتساب البيانات ، 73 ، ناسا: 60-64 ، رمز Bibcode : 1983TDAPR..73...60W
• دالة في برنامج Mathematica لرسم مسار الجذور