دالة التحويل

تُقدّم الأوصاف بدلالة متغير مركب ،${\displaystyle s=\sigma +j\cdot \omega }$في العديد من التطبيقات، يكفي تحديد${\displaystyle \sigma =0}$(هكذا${\displaystyle s=j\cdot \omega }$)، مما يُختزل تحويلات لابلاس ذات الوسائط المركبة إلى تحويلات فورييه ذات الوسيط الحقيقي ω. وهذا شائع في التطبيقات التي تهتم بشكل أساسي باستجابة الحالة المستقرة لنظام LTI (وهو الحال غالبًا في معالجة الإشارات ونظرية الاتصالات )، وليس بالاستجابة العابرة للتشغيل والإيقاف أو مشاكل الاستقرار.

لإشارة دخل زمنية مستمرة${\displaystyle x(t)}$والإخراج${\displaystyle y(t)}$، بتقسيم تحويل لابلاس للمخرجات،${\displaystyle Y(s)={\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}}$، عن طريق تحويل لابلاس للمدخل،${\displaystyle X(s)={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}}$، ينتج عنه دالة نقل النظام${\displaystyle H(s)}$:

${\displaystyle H(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}={\frac {{\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}}{{\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}}}}$

والتي يمكن إعادة ترتيبها على النحو التالي:

${\displaystyle Y(s)=H(s)\;X(s)\,.}$

يمكن تمثيل الإشارات الزمنية المنفصلة على شكل مصفوفات مفهرسة بواسطة عدد صحيح${\displaystyle n}$(مثال)${\displaystyle x[n]}$لإدخال البيانات و${\displaystyle y[n]}$(للإخراج). بدلاً من استخدام تحويل لابلاس (وهو أفضل للإشارات الزمنية المستمرة)، يتم التعامل مع الإشارات الزمنية المتقطعة باستخدام تحويل z (يرمز له بحرف كبير مطابق، مثل${\displaystyle X(z)}$و${\displaystyle Y(z)}$وبالتالي، يمكن كتابة دالة نقل نظام الزمن المتقطع على النحو التالي:

$${\displaystyle H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {{\mathcal {Z}}\{y[n]\}}{{\mathcal {Z}}\{x[n]\}}}.}$$

معادلة تفاضلية خطية ذات معاملات ثابتة

${\displaystyle L[u]={\frac {d^{n}u}{dt^{n}}}+a_{1}{\frac {d^{n-1}u}{dt^{n-1}}}+\dotsb +a_{n-1}{\frac {du}{dt}}+a_{n}u=r(t)}$

حيث u و r دالتان سلسلتان مناسبتان لـ t ، فإن L هو المؤثر المعرف على فضاء الدوال ذي الصلة والذي يحول u إلى r . يمكن استخدام هذا النوع من المعادلات لتقييد دالة الخرج u بدلالة دالة الإجبار r . ويمكن استخدام دالة التحويل لتعريف مؤثر.${\displaystyle F[r]=u}$وهذا بمثابة معكوس يميني لـ L ، مما يعني أن ${\displaystyle L[F[r]]=r}$.

حلول المعادلة التفاضلية المتجانسة ذات المعاملات الثابتة${\displaystyle L[u]=0}$يمكن العثور عليه عن طريق المحاولة${\displaystyle u=e^{\lambda t}}$ينتج عن هذا الاستبدال متعددة الحدود المميزة

${\displaystyle p_{L}(\lambda )=\lambda ^{n}+a_{1}\lambda ^{n-1}+\dotsb +a_{n-1}\lambda +a_{n}\,}$

يمكن حل الحالة غير المتجانسة بسهولة إذا كانت دالة الإدخال r أيضًا على الشكل${\displaystyle r(t)=e^{st}}$عن طريق الاستبدال${\displaystyle u=H(s)e^{st}}$،${\displaystyle L[H(s)e^{st}]=e^{st}}$إذا عرّفنا

${\displaystyle H(s)={\frac {1}{p_{L}(s)}}\qquad {\text{wherever }}\quad p_{L}(s)\neq 0.}$

تُستخدم تعريفات أخرى لدالة التحويل، على سبيل المثال${\displaystyle 1/p_{L}(ik).}$^{[ 6 ]}

إشارة جيبية عامة لنظام التردد${\displaystyle \omega _{0}/(2\pi )}$قد يكتب${\displaystyle \exp(j\omega _{0}t)}$استجابة النظام لإشارة دخل جيبية تبدأ عند الزمن${\displaystyle t=0}$سيتألف من مجموع استجابة الحالة المستقرة واستجابة عابرة. استجابة الحالة المستقرة هي خرج النظام في حالة اللانهاية، والاستجابة العابرة هي الفرق بين الاستجابة المستقرة والاستجابة العابرة؛ وهي تُقابل الحل المتجانس للمعادلة التفاضلية . يمكن كتابة دالة التحويل لنظام خطي ثابت الزمن (LTI) على النحو التالي:

${\displaystyle H(s)=\prod _{i=1}^{N}{\frac {1}{s-s_{P_{i}}}}}$

حيث تمثل s و _{P و i} الجذور N لكثير الحدود المميز، وستكون أقطاب دالة التحويل. في دالة تحويل ذات قطب واحد${\displaystyle H(s)={\frac {1}{s-s_{P}}}}$أين${\displaystyle s_{P}=\sigma _{P}+j\omega _{P}}$سيكون تحويل لابلاس لموجة جيبية عامة ذات سعة وحدة هو${\displaystyle {\frac {1}{s-j\omega _{0}}}}$سيكون تحويل لابلاس للمخرجات هو${\displaystyle {\frac {H(s)}{s-j\omega _{0}}}}$وسيكون الناتج الزمني هو التحويل العكسي لابلاس لتلك الدالة:

${\displaystyle g(t)={\frac {e^{j\,\omega _{0}\,t}-e^{(\sigma _{P}+j\,\omega _{P})t}}{-\sigma _{P}+j(\omega _{0}-\omega _{P})}}}$

_{الحد الثاني في البسط هو الاستجابة العابرة، وفي حالة الزمن اللانهائي ،} ستتباعد هذه الاستجابة إلى ما لا نهاية إذا كانت σP موجبة. لكي يكون النظام مستقرًا، يجب ألا تحتوي دالة نقله على أي أقطاب ذات أجزاء حقيقية موجبة. إذا كانت دالة النقل مستقرة تمامًا، فإن الأجزاء الحقيقية لجميع الأقطاب ستكون سالبة، وسيميل السلوك العابر إلى الصفر في حالة الزمن اللانهائي. سيكون خرج الحالة المستقرة كما يلي:

${\displaystyle g(\infty )={\frac {e^{j\,\omega _{0}\,t}}{-\sigma _{P}+j(\omega _{0}-\omega _{P})}}}$

يتم تعريف استجابة التردد (أو "الكسب") G للنظام على أنها القيمة المطلقة لنسبة سعة الخرج إلى سعة الدخل في الحالة المستقرة:

${\displaystyle G(\omega _{i})=\left|{\frac {1}{-\sigma _{P}+j(\omega _{0}-\omega _{P})}}\right|={\frac {1}{\sqrt {\sigma _{P}^{2}+(\omega _{P}-\omega _{0})^{2}}}},}$

وهي القيمة المطلقة لدالة التحويل${\displaystyle H(s)}$تم تقييمها في${\displaystyle j\omega _{i}}$هذه النتيجة صالحة لأي عدد من أقطاب دالة التحويل.

سلوك الحالة المستقرة لنظام خطي

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}y^{(i)}+\sum _{j=0}^{m}b_{j}u^{(j)}=0}$

للإثارة الجيبية${\displaystyle u(t)=\sin(\omega t)}$ويمكن التعبير عنها بدلالة دالة النقل الخاصة بها

${\displaystyle g(s)={\frac {b_{m}s^{m}+...+b_{0}}{a_{n}s^{n}+...+a_{0}}},}$

تم تقييمها في${\displaystyle s=j\omega }$أي مع الجزء الحقيقي${\displaystyle \sigma =0}$:

${\displaystyle y(t)=|g(j\omega )|\sin(\omega t+\arg(g(j\omega ))).}$

ولإثبات ذلك، استخدم دالة ansatz

${\displaystyle y(t)=ce^{j\omega t},}$

قم بتعويضها في المعادلة التفاضلية المعطاة أعلاه، ثم حلها لإيجاد قيمة .${\displaystyle c}$ولاحظ أن${\displaystyle c=g(j\omega )}$.

من الهوية المعقدة${\displaystyle z=|z|e^{j\arg(z)}}$ثم يتبع ذلك النقاش.

على الرغم من إمكانية وصف أي نظام خطي ثابت الزمن (LTI) بواسطة دالة نقل معينة، إلا أنه يتم استخدام "عائلات" من دوال النقل الخاصة بشكل شائع:

• مرشح باترورث  – مسطح للغاية في نطاق التمرير ونطاق الإيقاف للترتيب المحدد
• مرشح تشيبيشيف (النوع الأول)  - يتميز بأقصى استواء في نطاق التوقف، وقطع أكثر حدة من مرشح باترورث من نفس الرتبة
• مرشح تشيبيشيف (النوع الثاني)  - يتميز بنطاق تمرير مسطح للغاية، وقطع أكثر حدة من مرشح باترورث من نفس الرتبة
• مرشح بيسل – تأخير المجموعة  الثابت الأقصى لرتبة معينة
• مرشح إهليلجي  – أدق قطع (أضيق انتقال بين نطاق التمرير ونطاق الإيقاف) للرتبة المحددة
• فلتر "L" الأمثل
• مرشح غاوسي  – أقل تأخير جماعي؛ لا يُسبب تجاوزًا لدالة الخطوة
• مرشح جيب التمام المرفوع