تأخير المجموعة وتأخير الطور

يكشف تحليل فورييه كيف يمكن التعبير عن الإشارات الزمنية كمجموع مكونات تردد جيبية ، يعتمد كل منها على دالة مثلثية.${\displaystyle \sin(x)}$بسعة وطور ثابتين، وبدون بداية أو نهاية.

تقوم الأنظمة الخطية الثابتة زمنياً بمعالجة كل مكون جيبي بشكل مستقل؛ خاصية الخطية تعني أنها تحقق مبدأ التراكب .

يتميز النظام أو الجهاز الخطي الثابت زمنيًا بخاصية استجابة الطور وخاصية تأخير الطور، حيث يمكن حساب إحداهما بدقة من الأخرى. يقيس تأخير الطور مباشرةً تأخير الجهاز أو النظام الزمني لمكونات التردد الجيبية الفردية . إذا كانت دالة تأخير الطور عند أي تردد معين - ضمن نطاق تردد محدد - لها نفس ثابت التناسب بين الطور عند تردد معين والتردد نفسه، فإن النظام/الجهاز سيتمتع بخاصية تأخير الطور المثالي، أي الطور الخطي . ^{[ 1 ]} بما أن تأخير الطور دالة للتردد تعطي تأخيرًا زمنيًا، فإن أي انحراف عن استواء منحنى هذه الدالة قد يكشف عن اختلافات في التأخير الزمني بين مكونات التردد الجيبية المختلفة للإشارة ، وفي هذه الحالة ستساهم هذه الاختلافات في تشويه الإشارة، والذي يتجلى في اختلاف شكل موجة إشارة الخرج عن شكل موجة إشارة الدخل.

لا تُقدّم خاصية تأخير الطور معلومات مفيدة بشكل عام إذا كانت إشارة دخل الجهاز مُعدّلة . ولذلك، يجب استخدام تأخير المجموعة.

يُعدّ تأخير المجموعة مقياسًا مناسبًا لخطية الطور بالنسبة للتردد في نظام التضمين. ^{[ 3 ] [ 4 ]} بالنسبة لإشارة التضمين ( إشارة نطاق التمرير )، تُحمل المعلومات التي تحملها الإشارة حصريًا في غلاف الموجة . ولذلك، يعمل تأخير المجموعة فقط مع مكونات التردد المشتقة من الغلاف.

نظام التعديل الأساسي

يمكن حساب تأخير المجموعة لجهاز ما بدقة من استجابة الطور الخاصة به، ولكن ليس العكس . يوضح الشكل 1 أبسط استخدام لتأخير المجموعة، حيث يُظهر نظام تعديل مفاهيمي ، وهو نظام خطي ثابت زمنيًا (LTI) ذو خرج نطاق أساسي يُفترض أن يكون نسخة دقيقة من إشارة دخل النطاق الأساسي. يُشار إلى هذا النظام ككل هنا باسم النظام/الجهاز الخطي الثابت زمنيًا الخارجي، والذي يحتوي على نظام/جهاز خطي ثابت زمنيًا داخلي (المربع الأحمر). وكما هو الحال غالبًا في أنظمة الراديو، يمكن أن يُمثل النظام الخطي الثابت زمنيًا الداخلي الأحمر في الشكل 1 نظامين خطيين ثابتين زمنيًا متصلين على التوالي، على سبيل المثال، مُضخِّم يُشغِّل هوائي إرسال عند طرف الإرسال، والآخر هوائي ومُضخِّم عند طرف الاستقبال.

لنفترض أن هذا النظام يتم تشغيله بواسطة حزمة موجية تتكون من موجة جيبية مضروبة في غلاف سعة${\displaystyle \displaystyle A_{\text{env}}(t)>0}$لذا فإن المدخل${\displaystyle \displaystyle x(t)}$يمكن التعبير عنها بالشكل التالي:

${\displaystyle x(t)=A_{\text{env}}(t)\cos(\omega t+\theta )\,.}$

افترض أيضًا أن الظرف${\displaystyle \displaystyle A_{\text{env}}(t)}$يتغير ببطء بالنسبة لتردد الموجة الجيبية${\displaystyle \displaystyle \أوميغا }$يمكن التعبير عن هذه الحالة رياضياً على النحو التالي:

${\displaystyle \left|{\frac {d}{dt}}\log {\big (}A_{\text{env}}(t){\big )}\right|\ll \omega \ .}$

بتطبيق معادلة الالتفاف السابقة، يتضح أن مخرجات نظام LTI هذا يمكن تقريبها بشكل جيد للغاية على النحو التالي:

${\displaystyle y(t)={\big |}H(i\omega ){\big |}\ A_{\text{env}}(t-\tau _{g})\cos {\big (}\omega (t-\tau _{\phi })+\theta {\big )}\;.}$

هنا${\displaystyle \displaystyle \tau _{g}}$هل تأخير المجموعة و${\displaystyle \displaystyle \tau _{\phi }}$يمثل تأخير الطور، ويتم التعبير عنه بالمعادلات أدناه (وربما يكون دالة للتردد الزاوي).${\displaystyle \displaystyle \أوميغا }$). يتأخر طور الموجة الجيبية، كما هو موضح من خلال مواضع نقاط عبور الصفر، في الزمن بمقدار يساوي تأخير الطور.${\displaystyle \displaystyle \tau _{\phi }}$يتأخر غلاف الموجة الجيبية زمنيًا بسبب تأخير المجموعة.${\displaystyle \displaystyle \tau _{g}}$.

تأخير المجموعة ،${\displaystyle \displaystyle \tau _{g}}$، وتأخير الطور ،${\displaystyle \displaystyle \tau _{\phi }}$، وهي (ربما) تعتمد على التردد ^{[ 5 ]} ويمكن حسابها من إزاحة الطور غير الملفوفة${\displaystyle \displaystyle \phi (\omega )}$. تساوي قيمة تأخير الطور عند كل تردد قيمة سالبة لإزاحة الطور عند ذلك التردد مقسومة على قيمة ذلك التردد:

${\displaystyle \tau _{\phi }(\omega )=-{\frac {\phi (\omega )}{\omega }}\,.}$

تأخير المجموعة عند كل تردد يساوي سالب ميل (أي المشتق بالنسبة للتردد) الطور عند ذلك التردد: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle \tau _{g}(\omega )=-{\frac {d\phi (\omega )}{d\omega }}\,.}$

في نظام الطور الخطي (مع كسب غير عاكس)، كلاهما${\displaystyle \displaystyle \tau _{g}}$و${\displaystyle \displaystyle \tau _{\phi }}$ثابتة (أي مستقلة عن${\displaystyle \displaystyle \أوميغا }$) ومتساوية، وقيمتها المشتركة تساوي التأخير الكلي للنظام؛ وإزاحة الطور غير الملفوفة للنظام (أي${\displaystyle \displaystyle -\omega \tau _{\phi }}$) سالبة، وتزداد قيمتها خطيًا مع التردد${\displaystyle \displaystyle \أوميغا }$.

وبشكل أعم، يمكن إثبات أنه بالنسبة لنظام LTI ذي دالة نقل${\displaystyle \displaystyle H(s)}$مدفوعة بموجة جيبية معقدة ذات سعة وحدة واحدة،

${\displaystyle x(t)=e^{i\omega t}\ }$

الناتج هو

${\displaystyle {\begin{aligned}y(t)&=H(i\omega )\ e^{i\omega t}\ \\&=\left({\big |}H(i\omega ){\big |}e^{i\phi (\omega )}\right)\ e^{i\omega t}\ \\&={\big |}H(i\omega ){\big |}\ e^{i\left(\omega t+\phi (\omega )\right)}\ \\\end{aligned}}\ }$

حيث إزاحة الطور${\displaystyle \displaystyle \phi }$يكون

${\displaystyle \phi (\omega )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \arg \left\{H(i\omega )\right\}\;.}$

طور مرشح تمرير منخفض من الدرجة الأولى يتكون من دائرة RC بتردد قطع${\displaystyle \omega _{o}{=}{\frac {1}{RC}}}$هو: ^{[ 7 ]}

$${\displaystyle \phi (\omega )=-\arctan \left({\frac {\omega }{\omega _{o}}}\right)\,.}$$

وبالمثل، فإن طور مرشح التمرير العالي من الدرجة الأولى RC هو:

$${\displaystyle \phi (\omega )={\frac {\pi }{2}}-\arctan \left({\frac {\omega }{\omega _{o}}}\right)\,.}$$

بأخذ المشتقة السالبة بالنسبة إلى${\displaystyle \omega }$ينتج عن كل من مرشح التمرير المنخفض ومرشح التمرير العالي نفس تأخير المجموعة البالغ: ^{[ 8 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{g}(\omega )&={\frac {\omega _{o}}{\omega ^{2}+\omega _{o}^{2}}}\,.\\\end{aligned}}}$$

بالنسبة للترددات الأقل بكثير من تردد القطع، تكون استجابة الطور خطية تقريبًا (يمكن تقريب دالة الظل العكسي للإدخالات الصغيرة كخط مستقيم)، لذا يتبسط تأخير المجموعة إلى قيمة ثابتة تساوي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{g}(\omega \ll \omega _{o})&\approx {\frac {1}{\omega _{o}}}=RC\,.\\\end{aligned}}}$$

وبالمثل، عند تردد القطع مباشرةً،${\displaystyle \tau _{g}(\omega {=}\omega _{o})={\frac {1}{2\omega _{o}}}={\frac {RC}{2}}\,.}$

مع ازدياد الترددات، يتناقص تأخير المجموعة مع مربع التردد العكسي ويقترب من الصفر عندما يقترب التردد من اللانهاية.

• الشكل 2: دائرة مرشح تأخير المجموعة السالبة
• 
  دائرة ذات تأخير مجموعة سلبي من${\displaystyle \displaystyle \tau _{g}}$= −RC = −1 مللي ثانية للترددات الأقل بكثير من 1 ⁄ RC = 1 كيلو هرتز .
• 
  محاكاة التيار المتردد باستخدام برنامج LTspice${\displaystyle \displaystyle \tau _{g}}$من 1 هرتز (${\displaystyle \displaystyle \tau _{g}}$من ≅ -1 مللي ثانية إلى 10 كيلو هرتز (${\displaystyle \displaystyle \tau _{g}}$≅ 0 مللي ثانية ).
• 
  محاكاة عابرة لموجة إدخال (خضراء) يكون خرجها (أحمر) متقدمًا بمقدار 1 مللي ثانية ، ولكن مع عدم استقرار عند تشغيل وإيقاف الإدخال.

تتميز المرشحات بتأخير جماعي سالب ضمن نطاقات التردد التي يكون فيها استجابة الطور موجبة. إذا كانت الإشارة محدودة النطاق ضمن تردد أقصى B، فإنها تكون قابلة للتنبؤ بدرجة طفيفة (ضمن فترات زمنية أصغر من 1 / B ). يستطيع المرشح الذي يكون تأخيره الجماعي سالبًا على كامل نطاق تردد تلك الإشارة استخدام قابلية التنبؤ بالإشارة لإيهام المستخدم بتقدم زمني غير سببي. مع ذلك، إذا احتوت الإشارة على حدث غير متوقع (مثل تغير مفاجئ يجعل طيف الإشارة يتجاوز حد نطاقها)، فإن هذا الوهم يتلاشى. ^{[ 9 ]} من الممكن وجود دوائر ذات تأخير جماعي سالب (مثل الشكل 2)، مع الحفاظ على مبدأ السببية . ^{[ 10 ]}

يمكن تصنيع مرشحات تأخير المجموعة السالبة في كل من المجالين الرقمي والتناظري. تشمل تطبيقاتها تعويض التأخير المتأصل في مرشحات التمرير المنخفض، وإنشاء مرشحات ذات طور صفري ، والتي يمكن استخدامها للكشف السريع عن التغيرات في اتجاهات بيانات المستشعرات أو أسعار الأسهم. ^{[ 11 ]}

تُدخل العديد من مكونات سلسلة إعادة إنتاج الصوت، ولا سيما مكبرات الصوت وشبكات التوزيع متعددة الاتجاهات ، تأخيرًا جماعيًا في الإشارة الصوتية . ^{[ 2 ] [ 13 ]} ولذلك، من المهم معرفة عتبة سماع التأخير الجماعي بالنسبة للتردد، ^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]} خاصةً إذا كان من المفترض أن توفر سلسلة الصوت إعادة إنتاج عالية الدقة . وقد قدم بلاورت ولوز أفضل جداول عتبات السمع. ^{[ 17 ]}

يخلص فلانغان ومور وستون إلى أنه عند ترددات 1 و2 و4 كيلوهرتز ، يكون تأخير المجموعة الذي يبلغ حوالي 1.6 مللي ثانية مسموعًا باستخدام سماعات الرأس في ظروف خالية من الصدى. ^{[ 18 ]} وتشير نتائج تجريبية أخرى إلى أنه عندما يكون تأخير المجموعة في نطاق التردد من 300 هرتز إلى 1 كيلوهرتز أقل من 1.0 مللي ثانية، فإنه يكون غير مسموع. ^{[ 15 ]}     

من الممكن استخدام تقنيات معالجة الإشارات الرقمية لتصحيح تشوه تأخير المجموعة الناتج عن استخدام شبكات التقاطع في أنظمة مكبرات الصوت متعددة الاتجاهات. ^{[ 19 ]} يتطلب ذلك نمذجة حاسوبية مكثفة لأنظمة مكبرات الصوت لتطبيق معادلة التأخير بنجاح، ^{[ 20 ]} باستخدام خوارزمية تصميم مرشح باركس-ماكليلان FIR متساوي التموج . ^{[ 1 ] [ 4 ] [ 21 ] [ 22 ]}

كمعيار لحساب عرض نطاق مكبر الصوت لخطية طور محددة، قدم ليتش ^{[ 23 ]} مفهوم تشويه التأخير الزمني التفاضلي ، والذي يُعرَّف على النحو التالي:

${\displaystyle \Delta \tau =\tau _{\phi }-\tau _{g}}$،

وهذا هو الفرق بين تأخير الطور وتأخير المجموعة، حيث يشير تأخير الطور إلى التأخير الزمني لموجة جيبية واحدة ذات تردد عالٍ نسبيًا، بينما يشير تأخير المجموعة إلى الترددات المنخفضة جدًا الناتجة عن غلاف تعديل السعة المطبق على تلك الموجة الجيبية، مما ينتج عنه ما يُدركه المستمع كنوتة موسيقية ذات نطاق ترددي ضيق . ومع ذلك، فإن انعدام أو إهمال تشويه التأخير الزمني التفاضلي هو خاصية ضرورية ولكنها غير كافية لنظام مثالي يجب أن يتمتع بتأخير طور ثابت. ذلك لأنه عند وجود نوتتين معدلتين السعة بنطاق ترددي ضيق، إحداهما أعلى بكثير في نطاق السمع البشري من الأخرى بحيث لا تتداخل أطياف تردداتهما، فإن النتائج المعروضة بشكل منفصل تُعد مثالية من الناحية الإدراكية، لأنه من غير المرجح أن يتمكن الإنسان من إدراك أن وقت بدء إحدى النوتتين استغرق وقتًا أطول من وقت بدء النوتة الأخرى من مدخل الجهاز إلى مخرجه. ومع ذلك، في نفس النظام، إذا تم تقديم النوتتين معًا عند مدخل الجهاز، فعند مخرج الجهاز، ستستغرق إحدى النوتتين وقتًا أطول للبدء من الأخرى، ويمكن أن تغير إدراك النوتة المركبة الناتجة إذا كانت أوقات البدء عند المخرج متباعدة جدًا في الوقت.

نسبة متعددة الحدود على الشكل${\displaystyle P2(S)=P_{num}(S)/P_{den}(S)}$، مثل تلك الموجودة عادةً في تعريف تصميمات المرشحات ، قد يتم تحديد تأخير المجموعة فيها من خلال الاستفادة من علاقة الطور،${\displaystyle \phi (P1/P2)=\phi (P1)-\phi (P2)}$.

${\displaystyle {\text{Group Delay}}=gd(P2)=gd(P2_{num})-gd(P2_{den})sec}$

يتم عرض دالة نقل مرشح ليجندر رباعي الأقطاب المستخدمة في مثال مرشح ليجندر أدناه.

${\displaystyle T_{4}(j\omega )={\frac {1}{2.4494897(j\omega )^{4}+3.8282201(j\omega )^{3}+4.6244874(j\omega )^{2}+3.0412127(j\omega )+1}}}$

إن تأخير مجموعة البسط عن طريق الفحص يساوي صفرًا، لذلك يلزم تحديد تأخير مجموعة المقام فقط.

${\displaystyle {\begin{aligned}&Pe_{den}=2.4494897\omega ^{4}-4.6244874\omega ^{2}+1\\&Po_{den}=-3.8282201\omega ^{3}+3.0412127\omega \\&De_{den}=4(2.4494897)\omega ^{3}-2(4.6244874)\omega \\&Do_{den}=3(-3.8282201)\omega ^{2}+3.0412127\end{aligned}}}$

التقييم في${\displaystyle \omega }$= 1 راديان/ثانية:

${\displaystyle {\begin{aligned}&Pe_{den}=-1.1749977\\&Po_{den}=-0.7870074\\&De_{den}=-0.548984\\&Do_{den}=-8.4434476\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{Group Delay}}=gd(T_{4}(j\omega ))=-{\frac {d\phi (\omega )}{d\omega }}\\&={\bigg [}0--{\frac {((-0.7870074*-0.548984)+(-1.1749977*-8.4434476))}{((-1.1749977)^{2}+(-0.7870074)^{2})}}{\bigg ]}\\&=5.1765430{\text{ sec}}\\&{\text{at }}\omega =1{\text{ rad/sec}}\end{aligned}}}$

يمكن التأكد من صحة إجراء حساب تأخير المجموعة ونتائجه من خلال مقارنتها بالنتائج المستمدة من المشتق الرقمي لزاوية الطور.${\displaystyle \phi (\omega )}$باستخدام دلتا صغيرة${\displaystyle \Delta \omega }$من +/-1.e-04 راديان/ثانية.

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{Group Delay}}=gd(T_{4}(j\omega ))=-{\frac {d\phi (\omega )}{d\omega }}\\&=-(\phi (1+1e-04)-\phi (1.-1e04))/2e-04\\&=5.1765432{\text{ sec}}\\&{\text{at }}\omega =1{\text{ rad/sec}}\end{aligned}}}$

بما أن تأخير المجموعة المحسوب بواسطة المشتق الرقمي باستخدام دلتا صغيرة يقع ضمن 7 أرقام من الدقة عند مقارنته بالحساب التحليلي الدقيق، فقد تم التأكد من صحة إجراء حساب تأخير المجموعة ونتائجه.

إحدى مزايا القياس أو الحساب${\displaystyle \phi _{DLP}(\omega )}$الإفراط في قياس أو حساب تأخير المجموعة،${\displaystyle gd(\omega )}$، يكون${\displaystyle \phi _{DLP}(\omega )}$يتقارب دائمًا إلى الصفر عندما تصبح المرحلة خطية، بينما${\displaystyle gd(\omega )}$يتقارب على كمية محدودة قد لا تكون معروفة مسبقًا. وبناءً على ذلك، يمكن تنفيذ دالة تحسين الطور الخطي بسهولة أكبر باستخدام${\displaystyle \phi _{DLP}(\omega ){=}0}$هدف أكثر من هدف مع${\displaystyle gd(\omega ){=}constant}$الهدف عندما تكون القيمة لـ${\displaystyle constant}$ليس بالضرورة أن يكون معروفاً بالفعل.