حزمة الموجات

في الفيزياء ، تُعرف حزمة الموجات (أو سلسلة الموجات أو مجموعة الموجات ) بأنها نبضة قصيرة من حركة موجية موضعية تنتقل كوحدة واحدة، محددة بغلاف . يمكن تحليل حزمة الموجات، أو تركيبها من، مجموعة لا نهائية محتملة من الموجات الجيبية المكونة لها، ذات أعداد موجية مختلفة ، بأطوار وسعات تجعلها تتداخل تداخلاً بناءً فقط في منطقة صغيرة من الفضاء، وتداخلاً هداماً في باقي المناطق. ^{[ 1 ]} أي إشارة ذات عرض محدود في الزمان أو المكان تتطلب العديد من مكونات التردد حول تردد مركزي ضمن نطاق ترددي يتناسب عكسياً مع ذلك العرض؛ حتى دالة غاوس تُعتبر حزمة موجات لأن تحويل فورييه الخاص بها هو "حزمة" من موجات ذات ترددات متجمعة حول تردد مركزي. ^{[ 2 ]} كل دالة موجية مكونة ، وبالتالي حزمة الموجات، هي حلول لمعادلة موجية . اعتماداً على المعادلة الموجية، قد يظل شكل حزمة الموجات ثابتاً (بدون تشتت ) أو قد يتغير ( مع تشتت ) أثناء انتشارها.

تعود الأفكار المتعلقة بحزم الموجات - التضمين ، والموجات الحاملة ، وسرعة الطور ، وسرعة المجموعة - إلى منتصف القرن التاسع عشر. وقد اقترح دبليو آر هاميلتون فكرة سرعة المجموعة المتميزة عن سرعة طور الموجة لأول مرة في عام 1839، وكان أول معالجة كاملة لها من قبل رايلي في كتابه "نظرية الصوت" في عام 1877. ^{[ 3 ]}

قدّم إرفين شرودنغر فكرة حزم الموجات بعد فترة وجيزة من نشر معادلته الموجية الشهيرة . ^{[ 4 ]} حلّ شرودنغر معادلته الموجية للمذبذب التوافقي الكمومي ، وقدّم مبدأ التراكب ، واستخدمه لإثبات إمكانية استمرار الحالة المدمجة. ورغم أن هذا العمل أدى إلى ظهور مفهوم مهم هو الحالات المتماسكة ، إلا أن مفهوم حزمة الموجات لم يصمد. ففي العام التالي لورقة شرودنغر، نشر فيرنر هايزنبرغ بحثه حول مبدأ عدم اليقين ، موضحًا في سياق ذلك أن نتائج شرودنغر تنطبق فقط على المذبذبات التوافقية الكمومية ، وليس على سبيل المثال على جهد كولوم المميز للذرات. ^{[ 4 ] : ​​829}

في العام التالي، 1927، استكشف تشارلز غالتون داروين معادلة شرودنغر للإلكترون غير المقيد في الفضاء الحر، بافتراض حزمة موجية غاوسية أولية . ^{[ 5 ]} أظهر داروين أنه في وقت${\displaystyle t}$لاحقاً الموقف${\displaystyle x}$من الحزمة التي تتحرك بسرعة${\displaystyle v}$سيكون

$${\displaystyle x_{0}+vt\pm {\sqrt {\sigma ^{2}+(ht/2\pi \sigma m)^{2}}}}$$

أين${\displaystyle \sigma }$يكمن عدم اليقين في الوضع الأولي.

وفي وقت لاحق من عام 1927، أظهر بول إهرنفست أن الوقت،${\displaystyle T}$لحزمة موجية مادية بعرض${\displaystyle \Delta x}$والكتلة${\displaystyle m}$كان الانتشار بمقدار الضعف${\textstyle T\approx m{\Delta x}^{2}/\hbar }$. منذ${\displaystyle \hbar }$إنها صغيرة جدًا، لدرجة أن حزم الموجات على نطاق الأجسام العيانية، ذات العرض والكتلة الكبيرين، لا تتضاعف إلا على نطاقات زمنية كونية . ^{[ 6 ] : 49}

تصف ميكانيكا الكم طبيعة الأنظمة الذرية ودون الذرية باستخدام معادلة شرودنغر الموجية . يستخدم الحد الكلاسيكي لميكانيكا الكم والعديد من صياغات التشتت الكمي حزمًا موجية مُشكَّلة من حلول مختلفة لهذه المعادلة. تتغير ملامح الحزم الموجية الكمومية أثناء انتشارها، مما يُظهر تشتتًا. وقد خلص الفيزيائيون إلى أن "الحزم الموجية لا تصلح لتمثيل الجسيمات دون الذرية". ^{[ 4 ] : ​​829}

يمكن الآن كتابة حزمة الموجة الغاوسية التشتتية المذكورة أعلاه، غير المعيارية والمتمركزة فقط عند الأصل، بدلاً من ذلك، عند t = 0، في ثلاثة أبعاد، الآن بوحدات قياسية: ^{[ 14 ] [ 15 ]}$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,0)=e^{-\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} /2a},}$$ يُعد تحويل فورييه أيضًا دالة غاوسية من حيث العدد الموجي، أي المتجه k . $${\displaystyle \psi (\mathbf {k} ,0)=(2\pi a)^{3/2}e^{-a\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} /2}.}$$ مع ثبات a ومعكوسها وفقًا لعلاقة عدم اليقين$${\displaystyle \Delta x\Delta p_{x}=\hbar /2,}$$ بحيث $${\displaystyle a=2\langle \mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \rangle /3\langle 1\rangle =2(\Delta x)^{2},}$$ يمكن اعتبارها مربع عرض حزمة الموجة ، بينما يمكن كتابة معكوسها على النحو التالي: $${\displaystyle 1/a=2\langle \mathbf {k} \cdot \mathbf {k} \rangle /3\langle 1\rangle =2(\Delta p_{x}/\hbar )^{2}.}$$

كل موجة منفصلة تدور طوريًا فقط مع مرور الوقت، بحيث يكون الحل المحوّل باستخدام تحويل فورييه المعتمد على الزمن هو

لا يزال التحويل العكسي لفورييه هو تحويل غاوسي، ولكن الآن أصبح المعامل a مركباً، وهناك عامل تطبيع شامل.

إن تكامل Ψ على كامل الفضاء ثابت، لأنه حاصل الضرب الداخلي لـ Ψ مع حالة الطاقة الصفرية، وهي موجة ذات طول موجي لانهائي، ودالة ثابتة للفضاء. لأي حالة طاقة ذاتية η ( x ) ، فإن حاصل الضرب الداخلي، $${\displaystyle \langle \eta |\psi \rangle =\int \eta (\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} )d^{3}\mathbf {r} ,}$$ لا يتغير مع مرور الوقت إلا بطريقة بسيطة: إذ تدور طورته بتردد تحدده طاقة η . وعندما تكون طاقة η صفرًا، كما هو الحال مع الموجة ذات الطول الموجي اللانهائي، فإنها لا تتغير على الإطلاق.

بالنسبة لـ${\displaystyle t}$تتغير طور الدالة الموجية بتغير الموضع كما يلي:${\displaystyle {\frac {\hbar t/m}{2(a^{2}+(\hbar t/m)^{2})}}\|\mathbf {r} \|^{2}}$يتغير هذا المتغير تربيعيًا مع الموضع، مما يعني أنه يختلف عن الضرب بمعامل طور خطي.${\displaystyle e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$كما هو الحال عند إعطاء زخم ثابت لحزمة الموجة. بشكل عام، تحتوي طور حزمة الموجة الغاوسية على حد خطي وحد تربيعي. يبدأ معامل الحد التربيعي بالتزايد من${\displaystyle -\infty }$تجاه${\displaystyle 0}$مع ازدياد حدة حزمة الموجة الغاوسية، تتغير طور دالة الموجة خطيًا مع الموضع عند لحظة الحدة القصوى. ثم يزداد معامل الحد التربيعي من${\displaystyle 0}$تجاه${\displaystyle +\infty }$، حيث تنتشر حزمة الموجة الغاوسية مرة أخرى.

التكامل ∫ |Ψ| ² d ³ r ثابت أيضًا، وهو بيان لحفظ الاحتمال. ^{[ 16 ]} بشكل صريح، $${\displaystyle P(r)=|\Psi |^{2}=\Psi ^{*}\Psi =\left({a \over {\sqrt {a^{2}+(\hbar t/m)^{2}}}}\right)^{3}~e^{-{a\,\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \over a^{2}+(\hbar t/m)^{2}}},}$$ حيث r هي المسافة من نقطة الأصل، وسرعة الجسيم تساوي صفرًا، والعرض يُعطى بواسطة $${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+(\hbar t/m)^{2} \over a}},}$$ وهو √ a عند الزمن t = 0 (المختار بشكل تعسفي) بينما ينمو في النهاية خطيًا مع الزمن، كـ ħt / ( m √ a ) ، مما يشير إلى انتشار حزمة الموجة . ^{[ 17 ]}

^على سبيل المثال، إذا كانت حزمة موجات إلكترونية متمركزة مبدئيًا في منطقة ذات أبعاد ذرية (أي 10⁻¹⁰ متر) ^، فإن عرض الحزمة يتضاعف في غضون 10⁻¹⁶ ثانية تقريبًا. من الواضح أن حزم موجات الجسيمات تنتشر بسرعة كبيرة جدًا (في الفضاء الحر): ^{[ 18 ]} فعلى سبيل المثال، بعد 1 مللي ثانية، سيصل عرضها إلى حوالي كيلومتر واحد.

يعكس هذا النمو الخطي عدم اليقين في الزخم (الثابت مع الزمن): إذ تنحصر حزمة الموجة في نطاق ضيق Δx = √a / 2 ، وبالتالي يكون زخمها غير مؤكد (وفقًا لمبدأ عدم اليقين) بمقدار ħ / √2a ، وانتشار سرعتها بمقدار ħ/m√2a ، وبالتالي موضعها المستقبلي بمقدار ħt/ m√2a . إذن ، علاقة عدم اليقين هي متباينة صارمة، بعيدة كل البعد عن التشبع! وقد ازداد عدم اليقين الأولي Δx Δp = ħ / 2 الآن بمعامل ħt/ma (لأزمنة t الكبيرة ) .

الحالة ثنائية الأبعاد

دالة موجية كمومية ثنائية الأبعاد غاوسية:

${\displaystyle \psi (x,y,t)=\psi (x,t)\psi (y,t)}$

${\displaystyle \psi (x,t)=\left({\frac {2a^{2}}{\pi }}\right)^{1/4}{\frac {e^{i\phi }}{\left(a^{4}+{\frac {4\hbar ^{2}t^{2}}{m^{2}}}\right)^{1/4}}}e^{ik_{0}x}\exp \left[-{\frac {\left(x-{\frac {\hbar k_{0}}{m}}t\right)^{2}}{a^{2}+{\frac {2i\hbar t}{m}}}}\right]}$

حيث ^{[ 19 ]}

${\displaystyle \phi =-\theta -{\frac {\hbar k_{0}^{2}}{2m}}t}$

${\displaystyle \tan(2\theta )={\frac {2\hbar t}{ma^{2}}}}$

وعلى النقيض من حزمة الموجة الغاوسية المذكورة أعلاه، والتي تتحرك بسرعة مجموعة ثابتة، وتتشتت دائمًا، توجد دالة موجية تعتمد على دوال آيري ، والتي تنتشر بحرية دون تشتت الغلاف، وتحافظ على شكلها، وتتسارع في الفضاء الحر: ^{[ 20 ]}$${\displaystyle \psi =\operatorname {Ai} \left[{\frac {B}{\hbar ^{2/3}}}\left(x-{\frac {B^{3}t^{2}}{4m^{2}}}\right)\right]e^{(iB^{3}t/2m\hbar )[x-(B^{3}t^{2}/6m^{2})]},}$$ حيث، من أجل التبسيط (والتجريد من الأبعاد )، ينتج عن اختيار ħ = 1 و m = 1/2 و B ثابت اختياري ما يلي: $${\displaystyle \psi =\operatorname {Ai} [B(x-B^{3}t^{2})]\,e^{iB^{3}t(x-{\tfrac {2}{3}}B^{3}t^{2})}\,.}$$

لا يوجد تعارض مع نظرية إهرنفست في هذه الحالة الخالية من القوى، لأن الحالة غير قابلة للتطبيع ولها قيمة غير معرفة (لا نهائية) لـ ⟨ x ⟩ في جميع الأوقات. (بقدر ما يمكن تعريفها، فإن ⟨ p ⟩ = 0 في جميع الأوقات، على الرغم من التسارع الظاهري للجبهة).

سلسلة موجات آيري هي الموجة الوحيدة عديمة التشتت في الفضاء الحر أحادي البعد. ^{[ 21 ]} في الأبعاد الأعلى، توجد موجات أخرى عديمة التشتت. ^{[ 22 ]}

في فضاء الطور ، يتضح هذا في توزيع ويغنر شبه الاحتمالي للحالة النقية لهذه الموجة، والذي يظل شكله في x و p ثابتًا مع مرور الوقت، لكن خصائصه تتسارع نحو اليمين، في قطوع مكافئة متسارعة. تحقق دالة ويغنر ما يلي:$${\displaystyle {\begin{aligned}W(x,p;t)&=W(x-B^{3}t^{2},p-B^{3}t;0)\\&={\frac {1}{2^{1/3}\pi B}}\,\mathrm {Ai} \left(2^{2/3}\left(B(x-B^{3}t^{2}\right)+\left(p/B-tB^{2})^{2}\right)\right)\\&=W(x-2pt,p;0).\end{aligned}}}$$تُظهر هذه المتساويات الثلاث ثلاث حقائق:

1. التطور الزمني يعادل انتقالًا في فضاء الطور بواسطة${\displaystyle (B^{3}t^{2},B^{3}t)}$.
2. خطوط الكفاف لدالة ويغنر هي قطع مكافئة من الشكل${\textstyle B\left(x-B^{3}t^{2}\right)+\left(p/B-tB^{2}\right)^{2}=C}$.
3. التطور الزمني يعادل قصًا في فضاء الطور على طول${\displaystyle x}$- الاتجاه بسرعة${\displaystyle p/m=2p}$.

لاحظ أن توزيع الزخم الناتج عن التكامل على جميع قيم x ثابت. وبما أن هذا هو توزيع الاحتمالية في فضاء الزخم ، فمن الواضح أن الدالة الموجية نفسها غير قابلة للتطبيع.

إن الحد الضيق لحل حزمة الموجة الغاوسية الذي تمت مناقشته هو نواة الانتشار الحرة K. بالنسبة للمعادلات التفاضلية الأخرى، يُطلق على هذا عادةً اسم دالة غرين ، ^{[ 23 ]} ولكن في ميكانيكا الكم، من التقليدي حصر اسم دالة غرين على تحويل فورييه الزمني لـ K.

بالعودة إلى بُعد واحد للتبسيط، مع ضبط m و ħ على واحد، عندما تكون a هي الكمية المتناهية الصغر ε ، وهي الشرط الأولي الغاوسي، الذي أعيد قياسه بحيث يكون تكامله واحدًا، $${\displaystyle \psi _{0}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi \varepsilon }}}e^{-{x^{2} \over 2\varepsilon }}\,}$$ تصبح دالة دلتا ، δ ( x ) ، بحيث يكون تطورها الزمني، $${\displaystyle K_{t}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi (it+\varepsilon )}}}e^{-x^{2} \over 2(it+\varepsilon )}\,}$$ ينتج عنه عامل الانتشار.

لاحظ أن حزمة موجية أولية ضيقة للغاية تتحول فجأة إلى حزمة لا نهائية العرض، ولكن بطور يتذبذب بسرعة أكبر عند قيم x الكبيرة . قد يبدو هذا غريبًا - إذ ينتقل الحل من كونه متمركزًا عند نقطة واحدة إلى كونه "في كل مكان" في جميع الأوقات اللاحقة ، ولكنه يعكس عدم اليقين الهائل في زخم الجسيم المتمركز، كما هو موضح أعلاه.

لاحظ أيضًا أن معيار الدالة الموجية لانهائي، وهو أمر صحيح أيضًا، لأن مربع دالة دلتا متباعد بنفس الطريقة.

العامل الذي يتضمن ε هو كمية متناهية الصغر، وُضع لضمان تعريف التكاملات على K تعريفًا دقيقًا. في حالة اقتراب ε من الصفر ، تصبح K تذبذبية بحتة، ولا تكون تكاملات K متقاربة تقاربًا مطلقًا. في بقية هذا القسم، سيُفترض أن قيمته تساوي صفرًا، ولكن لكي تكون جميع التكاملات على الحالات الوسيطة مُعرَّفة تعريفًا دقيقًا، يجب أخذ النهاية ε → 0 فقط بعد حساب الحالة النهائية.

الدالة الناقلة هي سعة الوصول إلى النقطة x عند الزمن t ، عند البدء من نقطة الأصل، x = 0. وبسبب ثبات الإزاحة، فإن سعة الوصول إلى النقطة x عند البدء من النقطة y هي نفس الدالة، ولكنها الآن مُزاحة. $${\displaystyle K_{t}(x,y)=K_{t}(x-y)={1 \over {\sqrt {2\pi it}}}e^{i(x-y)^{2} \over 2t}\,.}$$

في حالة الحد عندما تكون قيمة t صغيرة، يتحول المولد إلى دالة دلتا $${\displaystyle \lim _{t\to 0}K_{t}(x-y)=\delta (x-y)~,}$$ ولكن فقط بمعنى التوزيعات : إن تكامل هذه الكمية مضروبًا في دالة اختبار قابلة للتفاضل بشكل تعسفي يعطي قيمة دالة الاختبار عند الصفر.

ولتوضيح ذلك، لاحظ أن التكامل على كامل فضاء K يساوي 1 في جميع الأوقات. $${\displaystyle \int K_{t}(x)dx=1\,,}$$ بما أن هذا التكامل هو حاصل الضرب الداخلي لـ K مع دالة الموجة المنتظمة. لكن عامل الطور في الأس له مشتقة مكانية غير صفرية في كل مكان باستثناء نقطة الأصل، ولذلك عندما يكون الزمن قصيرًا، تحدث عمليات إلغاء طور سريعة في جميع النقاط باستثناء نقطة واحدة. وهذا صحيح تمامًا عند أخذ النهاية ε → 0 في النهاية.

إذن، نواة الانتشار هي التطور الزمني (المستقبلي) لدالة دلتا، وهي متصلة بمعنى ما: إذ تعود إلى دالة دلتا الأولية عند الأزمنة الصغيرة. إذا كانت دالة الموجة الأولية عبارة عن نبضة ضيقة للغاية عند الموضع y ، $${\displaystyle \psi _{0}(x)=\delta (x-y)\,,}$$ تتحول إلى موجة تذبذبية، $${\displaystyle \psi _{t}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi it}}}e^{i(x-y)^{2}/2t}\,.}$$

الآن، بما أن كل دالة يمكن كتابتها كمجموع مرجح لمثل هذه الارتفاعات الضيقة، $${\displaystyle \psi _{0}(x)=\int \psi _{0}(y)\delta (x-y)dy\,,}$$يتم تحديد التطور الزمني لكل دالة ψ _{0 بواسطة نواة الانتشار} K هذه ،

وبالتالي، فهذه طريقة رسمية للتعبير عن الحل الأساسي أو الحل العام . ويُفسَّر هذا التعبير بأن سعة جسيم موجود عند النقطة x في الزمن t هي مجموع السعة التي بدأ بها عند النقطة y مضروبة في السعة التي انتقل بها من y إلى x ، وذلك على جميع نقاط البداية الممكنة . وبعبارة أخرى، هو التفاف النواة K مع الشرط الابتدائي ψ₀ _.$${\displaystyle \psi _{t}=K*\psi _{0}\,.}$$

بما أن السعة اللازمة للانتقال من x إلى y بعد مرور زمن t + t ' يمكن اعتبارها على مرحلتين، فإن المولد يتبع متطابقة التركيب. $${\displaystyle \int K(x-y;t)K(y-z;t')dy=K(x-z;t+t')~,}$$ ويمكن تفسير ذلك على النحو التالي: سعة الانتقال من x إلى z في الزمن t + t ' هي مجموع سعة الانتقال من x إلى y في الزمن t ، مضروبة في سعة الانتقال من y إلى z في الزمن t '، مضروبة في مجموع جميع الحالات الوسيطة الممكنة y . هذه خاصية لأي نظام كمومي، ومن خلال تقسيم الزمن إلى أجزاء متعددة، يمكن التعبير عن التطور الزمني كتكامل مسار . ^{[ 24 ]}

يرتبط انتشار حزم الموجات في ميكانيكا الكم ارتباطًا مباشرًا بانتشار كثافات الاحتمال في الانتشار . بالنسبة لجسيم يتحرك عشوائيًا ، فإن دالة كثافة الاحتمال تحقق معادلة الانتشار ^{[ 25 ].}$${\displaystyle {\partial \over \partial t}\rho ={1 \over 2}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}\rho ,}$$ حيث أن العامل 2، الذي يمكن إزالته عن طريق إعادة قياس الوقت أو المكان، هو فقط للتسهيل.

أحد حلول هذه المعادلة هو دالة غاوس المتغيرة مع الزمن$${\displaystyle \rho _{t}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi t}}}e^{-x^{2} \over 2t},}$$ وهو شكل من أشكال نواة الحرارة . وبما أن تكامل ρ _t ثابت بينما يصبح العرض ضيقًا عند الأزمنة الصغيرة، فإن هذه الدالة تقترب من دالة دلتا عند t = 0. $${\displaystyle \lim _{t\to 0}\rho _{t}(x)=\delta (x)}$$ ومرة أخرى، فقط بمعنى التوزيعات، بحيث $${\displaystyle \lim _{t\to 0}\int _{x}f(x)\rho _{t}(x)=f(0)}$$ لأي دالة اختبار f .

تُعدّ دالة غاوس المتغيرة مع الزمن نواة الانتشار لمعادلة الانتشار، وهي تخضع لهوية الالتفاف . $${\displaystyle K_{t+t'}=K_{t}*K_{t'}\,,}$$مما يسمح بالتعبير عن الانتشار كتكامل مسار. المولد هو الدالة الأسية للمؤثر H.$${\displaystyle K_{t}(x)=e^{-tH}\,,}$$ وهو عامل الانتشار المتناهي الصغر، $${\displaystyle H=-{\nabla ^{2} \over 2}\,.}$$

تحتوي المصفوفة على مؤشرين، مما يجعلها في الفضاء المتصل دالةً لـ x و x '. في هذه الحالة، وبسبب ثبات الإزاحة، يعتمد عنصر المصفوفة K فقط على فرق الموضع، ومن الملائم استخدام نفس الاسم للإشارة إلى المؤثر وعناصر المصفوفة ودالة الفرق. $${\displaystyle K_{t}(x,x')=K_{t}(x-x')\,.}$$

يعني ثبات الترجمة أن ضرب المصفوفات المستمر ، $${\displaystyle C(x,x'')=\int _{x'}A(x,x')B(x',x'')\,,}$$ هي في الأساس عملية التفاف، $${\displaystyle C(\Delta )=C(x-x'')=\int _{x'}A(x-x')B(x'-x'')=\int _{y}A(\Delta -y)B(y)\,.}$$

يمكن تعريف الدالة الأسية على نطاق من قيم t التي تشمل القيم المركبة، طالما أن التكاملات على نواة الانتشار تظل متقاربة. $${\displaystyle K_{z}(x)=e^{-zH}\,.}$$ طالما أن الجزء الحقيقي من z موجب، بالنسبة للقيم الكبيرة لـ x ، فإن K يتناقص بشكل أسي، والتكاملات على K متقاربة بشكل مطلق بالفعل.

إن نهاية هذا التعبير عندما يقترب z من المحور التخيلي البحت هي دالة شرودنغر المذكورة أعلاه. $${\displaystyle K_{t}^{\rm {Schr}}=K_{it+\varepsilon }=e^{-(it+\varepsilon )H}\,,}$$ وهذا يوضح التطور الزمني المذكور أعلاه للتوزيعات الغاوسية.

انطلاقاً من الهوية الأساسية للأس، أو تكامل المسار، $${\displaystyle K_{z}*K_{z'}=K_{z+z'}\,}$$ ينطبق هذا على جميع قيم z المركبة ، حيث تكون التكاملات متقاربة بشكل مطلق بحيث تكون المؤثرات محددة جيدًا.

وبالتالي، فإن التطور الكمي لدالة غاوسية، وهي نواة الانتشار المعقدة K ، $${\displaystyle \psi _{0}(x)=K_{a}(x)=K_{a}*\delta (x)\,}$$ يمثل ذلك الحالة المتطورة بمرور الوقت، $${\displaystyle \psi _{t}=K_{it}*K_{a}=K_{a+it}\,.}$$

يوضح هذا الشكل الانتشارى المذكور أعلاه للحلول الغاوسية المعقدة، $${\displaystyle \psi _{t}(x)={1 \over {\sqrt {2\pi (a+it)}}}e^{-{x^{2} \over 2(a+it)}}\,.}$$

• كوهين تنودجي، كلود؛ ديو، برنارد. لالوي ، فرانك (2019). ميكانيكا الكم، المجلد الأول . فاينهايم، ألمانيا: جون وايلي وأولاده. رقم ISBN 978-3-527-34553-3.
• جاكسون، جون ديفيد (1998). الديناميكا الكهربائية الكلاسيكية . نيويورك: جون وايلي وأولاده. ISBN 978-0-471-30932-1.
• كوزدرون، مايكل ج. (2008). "الحركة البراونية ومعادلة الحرارة" (ملف PDF) . جامعة ريجينا . تم الاطلاع عليه بتاريخ 29 أكتوبر 2024 .

• مواد تعليمية متعلقة بحركة حزمة الموجات على موقع ويكيفيرسيتي
• تعريف كلمة " حزمة موجية" في قاموس ويكشنري
• مخطط حزمة الموجة أحادية البعد في جوجل
• قطار الموجة أحادي البعد ومخطط كثافة الاحتمال في جوجل
• مخطط حزمة الموجة ثنائي الأبعاد في جوجل
• مخطط قطار الموجة ثنائي الأبعاد في جوجل
• مخطط كثافة الاحتمال ثنائي الأبعاد في جوجل
• الفيزياء الكمية عبر الإنترنت  : محاكاة تفاعلية لحزمة موجية حرة
• برنامج Web-Schrödinger : محاكاة تفاعلية ثنائية الأبعاد لديناميكيات حزم الموجات
• محاكاة حزمة موجية ثنائية الأبعاد (وفقًا لتركيب فورييه ثنائي الأبعاد)