نواة التسخين

في الدراسة الرياضية لتوصيل الحرارة وانتشارها ، تُعدّ نواة الحرارة الحل الأساسي لمعادلة الحرارة على نطاق محدد بشروط حدودية مناسبة . كما أنها إحدى الأدوات الرئيسية في دراسة طيف مؤثر لابلاس ، ولذا فهي ذات أهمية إضافية في الفيزياء الرياضية . تمثل نواة الحرارة تطور درجة الحرارة في منطقة تُثبّت حدودها عند درجة حرارة معينة (عادةً ما تكون صفرًا)، بحيث توضع وحدة ابتدائية من الطاقة الحرارية عند نقطة ما في الزمن t = 0 .

إن أكثر أنواع النوى الحرارية شهرة هي نواة الحرارة للفضاء الإقليدي ذي الأبعاد d ^، والتي تأخذ شكل دالة غاوسية متغيرة مع الزمن . $${\displaystyle K(t,x,y)={\frac {1}{\left(4\pi t\right)^{d/2}}}\exp \left(-{\frac {\left\|xy\right\|^{2}}{4t}}\right),}$$ وهو محدد للجميع${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{d}}$و${\displaystyle t>0}$[ ^{1 ] هذا يحل معادلة} الحرارة $${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&{\frac {\partial K}{\partial t}}(t,x,y)=\Delta _{x}K(t,x,y)\\&\lim _{t\to 0}K(t,x,y)=\delta (xy)=\delta _{x}(y)\end{aligned}}\right.}$$ بالنسبة للدالة المجهولة K. هنا δ هو توزيع ديراك دلتا ، ويتم أخذ النهاية بمعنى التوزيعات ، أي لكل دالة ϕ في الفضاء C ^∞ _c ( R ^d ) للدوال الملساء ذات الدعم المضغوط ، لدينا ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \lim _{t\to 0}\int _{\mathbb {R} ^{d}}K(t,x,y)\phi (y)\,dy=\phi (x).}$$

في نطاق أعم Ω في R ^d ، لا يمكن عمومًا صياغة صيغة صريحة كهذه. تتضمن أبسط الحالات التالية، وهي القرص أو المربع، دوال بيسل ودوال جاكوبي ثيتا على التوالي . ومع ذلك، تظل نواة الحرارة موجودة وتكون سلسة لـ t > 0 على أي نطاق، بل وعلى أي مشعب ريماني ذي حدود ، شريطة أن تكون الحدود منتظمة بدرجة كافية. بتعبير أدق، في هذه النطاقات الأكثر عمومية، تُعد نواة الحرارة حلًا لمسألة القيمة الحدية الابتدائية. $${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial K}{\partial t}}(t,x,y)=\Delta _{x}K(t,x,y)&{\text{لكل }}t>0{\text{ و}}x,y\in \Omega \\[6pt]\lim _{t\to 0}K(t,x,y)=\delta _{x}(y)&{\text{لكل }}x,y\in \Omega \\[6pt]K(t,x,y)=0&x\in \partial \Omega {\text{ أو }}y\in \partial \Omega \end{cases}}}$$

لاستنتاج تعبير رسمي لنواة الحرارة على مجال عشوائي، ضع في اعتبارك مسألة ديريشليه في مجال متصل (أو متعدد الشعب ذي حدود) U. ولتكن λ _n هي القيم الذاتية لمسألة ديريشليه لمؤثر لابلاس [ ^{3 ] .}$${\displaystyle {\begin{cases}\Delta \phi +\lambda \phi =0&{\text{في }}U,\\\phi =0&{\text{على }}\ \partial U.\end{cases}}}$$ لنفترض أن ^ϕ n _تُمثل الدوال الذاتية المرتبطة ، بعد تطبيعها لتكون متعامدة في L² ( U ) . إن لابلاس ديريشليه العكسي Δ⁻¹ هو مؤثر مضغوط ومترافق ذاتيًا ^، وبالتالي فإن نظرية الطيف تُشير إلى أن القيم الذاتية لـ Δ تُحقق $${\displaystyle 0<\lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \lambda _{3}\leq \cdots ,\quad \lambda _{n}\to \infty .}$$ تحتوي نواة الحرارة على التعبير التالي: $${\displaystyle K(t,x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-\lambda _{n}t}\phi _{n}(x)\phi _{n}(y).}$$ يُظهر الاشتقاق الرسمي للمتسلسلة تحت إشارة المجموع أنها يجب أن تحقق معادلة الحرارة. ومع ذلك، فإن تقارب وانتظام المتسلسلة أمران دقيقان للغاية.

يُعرَّف النواة الحرارية أحيانًا بالتحويل التكاملي المرتبط بها ، والذي يُعرَّف لـ ϕ السلسة ذات الدعم المدمج بواسطة $${\displaystyle T\phi =\int _{\Omega }K(t,x,y)\phi (y)\,dy.}$$ تعطي نظرية التعيين الطيفي تمثيلاً لـ T في شكل شبه المجموعة ^{[ 4 ] [ 5 ]}

$${\displaystyle T=e^{t\Delta }.}$$

هناك العديد من النتائج الهندسية المتعلقة بنوى الحرارة على المشعبات؛ على سبيل المثال، التقارب قصير المدى، والتقارب طويل المدى، والحدود العليا/السفلى من النوع الغاوسي.

• بصمة نواة الحرارة
• دالة ميناكشيسوندارام-بليجيل زيتا
• نواة ميهلر
• تحويل فايرشتراس §  التعميمات