تحويل فايرشتراس

في الرياضيات ، تحويل فايرشتراس ^{[ 1 ]} لدالة${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$، الذي سمي على اسم كارل فايرشتراس ، هو نسخة "مُنعّمة" من${\displaystyle f(x)}$تم الحصول عليها عن طريق حساب متوسط ​​قيم${\displaystyle f}$، مرجحة بتوزيع غاوسي مركزه عند${\displaystyle x}$.

وبالتحديد، إنها الوظيفة${\displaystyle F}$محدد بواسطة

${\displaystyle F(x)={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(y)\;e^{-{\frac {(xy)^{2}}{4}}}\;dy={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(xy)\;e^{-{\frac {y^{2}}{4}}}\;dy~,}$

التفاف​​${\displaystyle f}$باستخدام دالة غاوس

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}e^{-x^{2}/4}~.}$

العامل${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}}$يتم اختيارها بحيث يكون للدالة الغاوسية تكامل كلي يساوي 1، مما يؤدي إلى عدم تغيير الدوال الثابتة بواسطة تحويل فايرشتراس.

بدلاً من${\displaystyle F(x)}$ ويكتب أحدهم أيضاً${\displaystyle W[f](x)}$. لاحظ أن${\displaystyle F(x)}$ليس من الضروري أن يكون موجودًا لكل عدد حقيقي${\displaystyle x}$، عندما يفشل التكامل المحدد في التقارب.

يرتبط تحويل فايرشتراس ارتباطًا وثيقًا بمعادلة الحرارة (أو، بشكل مكافئ، معادلة الانتشار بمعامل انتشار ثابت). إذا كانت الدالة${\displaystyle f}$يصف هذا الشكل درجة الحرارة الابتدائية عند كل نقطة من قضيب لا نهائي الطول ذي موصلية حرارية ثابتة تساوي 1، ثم توزيع درجة الحرارة على طول القضيب.${\displaystyle t=1}$سيتم تحديد الوحدات الزمنية اللاحقة بواسطة الدالة${\displaystyle F}$باستخدام قيم${\displaystyle t}$إذا كان هذا يختلف عن 1، فيمكننا تعريف تحويل وييرشتراس المعمم لـ${\displaystyle f}$.

يوفر تحويل فايرشتراس المعمم وسيلة لتقريب دالة قابلة للتكامل معينة${\displaystyle f}$بشكل جيد للغاية مع الدوال التحليلية .

استخدم فايرشتراس هذا التحويل في برهانه الأصلي لنظرية تقريب فايرشتراس . ويُعرف أيضًا باسم تحويل غاوس أو تحويل غاوس-فايرشتراس نسبةً إلى كارل فريدريش غاوس، وباسم تحويل هيل نسبةً إلى إينار كارل هيل الذي درسه باستفاضة.${\displaystyle W_{t}}$يُعرف ما ذُكر أدناه في تحليل الإشارات باسم مرشح غاوسي ، وفي معالجة الصور (عند تنفيذه على${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$) كضبابية غاوسية .

يُعيّن تحويل فايرشتراس لكل دالة${\displaystyle f}$وظيفة جديدة${\displaystyle F}$هذا التعيين خطي . وهو أيضًا ثابت تحت الإزاحة، مما يعني أن تحويل الدالة${\displaystyle f(x+a)}$يكون${\displaystyle F(x+a)}$هاتان الحقيقتان صحيحتان بشكل عام لأي تحويل تكاملي معرف عن طريق الالتفاف.

إذا كان التحويل${\displaystyle F(x)}$يوجد للأعداد الحقيقية${\displaystyle x=a}$و${\displaystyle x=b}$إذن، فهي موجودة أيضاً لجميع القيم الحقيقية بينهما وتشكل دالة تحليلية هناك؛ علاوة على ذلك،${\displaystyle F(x)}$سيكون موجودًا لجميع القيم المركبة لـ${\displaystyle x}$مع${\displaystyle a\leq \Re (x)\leq b}$وتُشكّل دالة تحليلية على ذلك الشريط من المستوى المركب . هذا هو البيان الرسمي لـ "سلاسة"${\displaystyle F}$المذكور أعلاه.

لو${\displaystyle f}$قابلة للتكامل على كامل المحور الحقيقي (أي${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}$)، وبالتالي فإن تحويل فايرشتراس الخاص به يكون كذلك.${\displaystyle F}$وإذا كان كذلك${\displaystyle f(x)\geq 0}$للجميع${\displaystyle x}$ثم أيضًا${\displaystyle F(x)\geq 0}$للجميع${\displaystyle x}$وتكاملات${\displaystyle f}$و${\displaystyle F}$متساوية. وهذا يعبر عن الحقيقة الفيزيائية المتمثلة في أن الطاقة الحرارية الكلية أو الحرارة محفوظة بواسطة معادلة الحرارة، أو أن الكمية الكلية للمادة المنتشرة محفوظة بواسطة معادلة الانتشار.

باستخدام ما سبق، يمكن للمرء أن يثبت أنه بالنسبة لـ${\displaystyle 1\leq p\leq +\infty }$و${\displaystyle f\in L^{p}(\mathbb {R} )}$لدينا${\displaystyle F\in L^{p}(\mathbb {R} )}$و${\displaystyle \left\|F\right\|_{p}\leq \left\|f\right\|_{p}}$وبالتالي، ينتج عن تحويل فايرشتراس مؤثر محدود${\displaystyle W:L^{p}(\mathbb {R} )\to L^{p}(\mathbb {R} )}$.

لو${\displaystyle f}$إذا كانت ناعمة بما فيه الكفاية، فإن تحويل فايرشتراس لـ${\displaystyle k}$المشتقة النونية لـ${\displaystyle f}$يساوي${\displaystyle k}$المشتقة من الرتبة n لتحويل فايرشتراس لـ${\displaystyle f}$.

توجد صيغة تربط بين تحويل فايرشتراس W وتحويل لابلاس ثنائي الجانب${\displaystyle L}$إذا عرّفنا

${\displaystyle g(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{4}}}f(x)}$

ثم

${\displaystyle W[f](x)={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}e^{-x^{2}/4}L[g]\left(-{\frac {x}{2}}\right).}$

الصيغة التالية، المرتبطة ارتباطًا وثيقًا بتحويل لابلاس لدالة غاوسية، وهي نظير حقيقي لتحويل هوبارد-ستراتونوفيتش ، يسهل نسبيًا إثباتها:

${\displaystyle e^{u^{2}}={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-uy}e^{-y^{2}/4}\;dy.}$

الآن استبدل u بمعامل التفاضل الرسمي D  = d / dx واستخدم معامل إزاحة لاغرانج 

${\displaystyle e^{-yD}f(x)=f(xy)}$،

(نتيجة لصيغة متسلسلة تايلور وتعريف الدالة الأسية )، للحصول على

$\begin{aligned}e^{D^{2}}f(x)&={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-yD}f(x)e^{-y^{2}/4}\;dy\\&={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(xy)e^{-y^{2}/4}\;dy=W[f](x)\end{aligned}}}$

وبذلك نحصل على الصيغة الرسمية التالية لتحويل فايرشتراس${\displaystyle W}$،

حيث يُفهم المؤثر الموجود على اليمين على أنه يعمل على الدالة f ( x ) كما يلي:

${\displaystyle e^{D^{2}}f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {D^{2k}f(x)}{k!}}~.}$

يتجاهل الاشتقاق الرسمي أعلاه تفاصيل التقارب، والصيغة${\displaystyle W=e^{D^{2}}}$وبالتالي، فهي ليست صالحة بشكل عام؛ فهناك عدة وظائف${\displaystyle f}$والتي لها تحويل وييرشتراس محدد جيدًا، ولكن بالنسبة لـ${\displaystyle e^{D^{2}}(f)}$لا يمكن تعريفها تعريفاً ذا معنى.

ومع ذلك، لا تزال القاعدة مفيدة للغاية ويمكن استخدامها، على سبيل المثال، لاستنتاج تحويلات وييرشتراس لكثيرات الحدود والدوال الأسية والمثلثية المذكورة أعلاه.

وبالتالي، يُعطى المعكوس الرسمي لتحويل فايرشتراس بالصيغة التالية:

${\displaystyle W^{-1}=e^{-D^{2}}~.}$

مرة أخرى، هذه الصيغة ليست صالحة بشكل عام، ولكنها يمكن أن تكون بمثابة دليل إرشادي. ويمكن إثبات صحتها لأنواع معينة من الدوال إذا تم تعريف عامل الطرف الأيمن بشكل صحيح. ^{[ 2 ]}

يمكن للمرء، بدلاً من ذلك، محاولة عكس تحويل فايرشتراس بطريقة مختلفة قليلاً: بالنظر إلى الدالة التحليلية

${\displaystyle F(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}~,}$

يتقدم${\displaystyle W^{-1}}$للحصول على

${\displaystyle f(x)=W^{-1}[F(x)]=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}W^{-1}[x^{n}]=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}H_{n}(x/2)}$

باستخدام خاصية أساسية لكثيرات حدود هيرميت (الفيزيائية) مرة أخرى${\displaystyle H_{n}}$.

مرة أخرى، هذه الصيغة لـ${\displaystyle f(x)}$هو في أحسن الأحوال شكلي، لأنه لم يتم التحقق مما إذا كانت السلسلة النهائية متقاربة. ولكن إذا، على سبيل المثال،${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} )}$ثم معرفة جميع مشتقات${\displaystyle F}$في${\displaystyle x=0}$يكفي ذلك للحصول على المعاملات${\displaystyle a_{n}}$ومن ثم إعادة بناء${\displaystyle f}$كسلسلة من كثيرات حدود هيرميت .

تعتمد طريقة ثالثة لعكس تحويل فايرشتراس على ارتباطه بتحويل لابلاس المذكور أعلاه، وعلى صيغة العكس المعروفة لتحويل لابلاس. وسيتم توضيح النتيجة أدناه فيما يخص التوزيعات.

يمكننا استخدام الالتفاف مع نواة غاوس$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi t}}}e^{-{\frac {x^{2}}{4t}}},\quad t>0,}$$بدلاً من$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{4}}},}$$وبالتالي تعريف عامل W _t ، وهو تحويل وييرشتراس المعمم.

بالنسبة للقيم الصغيرة لـ${\displaystyle t}$،${\displaystyle W_{t}[f]}$قريب جداً من${\displaystyle f}$لكنها ناعمة. الأكبر حجماً${\displaystyle t}$كلما زاد هذا العامل من متوسط ​​التغييرات${\displaystyle f}$جسديًا،${\displaystyle W_{t}}$يتوافق ذلك مع اتباع معادلة الحرارة (أو الانتشار) لـ${\displaystyle t}$وحدات زمنية، وهذا أمر تراكمي. $${\displaystyle W_{s}\circ W_{t}=W_{s+t},}$$ بما يتوافق مع "الانتشار لـ${\displaystyle t}$وحدات زمنية، ثم${\displaystyle s}$وحدات زمنية، تعادل الانتشار لـ${\displaystyle s+t}$"وحدات زمنية". ويمكن توسيع هذا ليشمل${\displaystyle t=0}$عن طريق الضبط${\displaystyle W_{0}}$ليكون عامل الهوية (أي الالتفاف مع دالة ديراك دلتا )، ثم تشكل هذه العوامل شبه مجموعة ذات معلمة واحدة من العوامل.

النواة$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi t}}}e^{-{\frac {x^{2}}{4t}}},}$$يُطلق على الدالة المستخدمة في تحويل فايرشتراس المعمم أحيانًا اسم نواة غاوس-فايرشتراس ، وهي دالة غرين لمعادلة الانتشار$${\displaystyle (\partial _{t}-D^{2})(e^{tD^{2}}f(x))=0,}$$على${\displaystyle \mathbb {R} }$. ${\displaystyle W_{t}}$يمكن حسابها من${\displaystyle W}$: بالنظر إلى دالة${\displaystyle f(x)}$، تعريف دالة جديدة$${\displaystyle f_{t}(x):=f(x{\sqrt {t}}),}$$ثم$${\displaystyle W_{t}[f](x)=W[f_{t}](x{\sqrt {t}}),}$$نتيجة لقاعدة الاستبدال .

يمكن تعريف تحويل فايرشتراس أيضًا لفئات معينة من التوزيعات أو "الدوال المعممة". ^{[ 3 ]} على سبيل المثال، تحويل فايرشتراس لدالة ديراك دلتا هو التوزيع الغاوسي.$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}e^{-x^{2}/4}.}$$ في هذا السياق، يمكن إثبات صيغ عكسية دقيقة، على سبيل المثال، $${\displaystyle f(x)=\lim _{r\to \infty }{\frac {1}{i{\sqrt {4\pi }}}}\int _{x_{0}-ir}^{x_{0}+ir}F(z)e^{\frac {(x-z)^{2}}{4}}\;dz,}$$ أين${\displaystyle x_{0}}$أي عدد حقيقي ثابت يكون فيه${\displaystyle F(x_{0})}$إذا كان التكامل موجودًا، فإنه يمتد على طول الخط الرأسي في المستوى المركب بجزء حقيقي${\displaystyle x_{0}}$ويجب أخذ الحد بمعنى التوزيعات.

علاوة على ذلك، يمكن تعريف تحويل فايرشتراس للدوال (أو التوزيعات) ذات القيم الحقيقية (أو المركبة) المعرفة على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$نستخدم نفس صيغة الالتفاف المذكورة أعلاه، لكننا نفسر التكامل على أنه يمتد على كامل${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$والتعبير${\displaystyle (x-y)^{2}}$كمربع الطول الإقليدي للمتجه${\displaystyle x-y}$يجب تعديل العامل الموجود أمام التكامل بحيث يكون للدالة الغاوسية تكامل كلي يساوي 1.

بشكل أعم، يمكن تعريف تحويل فايرشتراس على أي مشعب ريماني : يمكن صياغة معادلة الحرارة هناك (باستخدام مؤثر لابلاس-بيلترامي الخاص بالمشعب )، وتحويل فايرشتراس${\displaystyle W[f]}$ثم يتم تحديدها باتباع حل معادلة الحرارة لوحدة زمنية واحدة، بدءًا من "توزيع درجة الحرارة" الأولي.${\displaystyle f}$.

إذا أخذنا في الاعتبار عملية الالتفاف مع النواة ${\displaystyle {\frac {1}{(1+x^{2})\pi }}}$بدلاً من استخدام دالة غاوسية، يتم الحصول على تحويل بواسون الذي يقوم بتنعيم ومتوسط ​​دالة معينة بطريقة مشابهة لتحويل فايرشتراس.

• تمويه غاوسي
• مرشح غاوسي
• تمثيل حسيني كيو
• معادلة الحرارة# الحلول الأساسية