تحويل فورييه

في الرياضيات ، يُعدّ تحويل فورييه ( FT ) تحويلاً تكاملياً يأخذ دالة كمدخلات ويُخرج دالة أخرى تصف مدى وجود ترددات مختلفة في الدالة الأصلية. ويكون ناتج التحويل دالة ذات قيم مركبة للتردد. ويشير مصطلح تحويل فورييه إلى كلٍّ من العملية الرياضية وهذه الدالة ذات القيم المركبة. وعند الحاجة إلى التمييز بينهما، يُطلق على ناتج العملية أحيانًا اسم تمثيل مجال التردد للدالة الأصلية. ^{[ ملاحظة 1 ]} ويُشابه تحويل فورييه تحليل صوت وتر موسيقي إلى شدة نغماته المكونة .

الدوال الموضعية في المجال الزمني لها تحويلات فورييه منتشرة عبر المجال الترددي، والعكس صحيح، وهي ظاهرة تُعرف بمبدأ عدم اليقين. وتُعدّ دالة غاوس الحالة الحرجة لهذا المبدأ، إذ لها أهمية بالغة في نظرية الاحتمالات والإحصاء ، وكذلك في دراسة الظواهر الفيزيائية التي تُظهر توزيعًا طبيعيًا (مثل الانتشار ). تحويل فورييه لدالة غاوس هو دالة غاوس أخرى. وقد قدّم جوزيف فورييه تحويلات الجيب وجيب التمام (التي تُقابل المكونين التخيلي والحقيقي لتحويل فورييه الحديث) في دراسته لانتقال الحرارة ، حيث تظهر دوال غاوس كحلول لمعادلة الحرارة .

يمكن تعريف تحويل فورييه رسميًا على أنه تكامل ريمان غير محدد ، مما يجعله تحويلًا تكامليًا، مع أن هذا التعريف لا يناسب العديد من التطبيقات التي تتطلب نظرية تكامل أكثر تعقيدًا. ^[^{ملاحظة 2}^] على سبيل المثال، تستخدم العديد من التطبيقات البسيطة نسبيًا دالة ديراك دلتا ، والتي يمكن التعامل معها رسميًا كما لو كانت دالة، لكن التبرير يتطلب منظورًا رياضيًا أكثر تعقيدًا. ^[^{ملاحظة 3}^]

يمكن تعميم تحويل فورييه ليشمل دوالًا لعدة متغيرات في الفضاء الإقليدي ، حيث يُحوّل دالة "فضاء الموضع" ثلاثي الأبعاد إلى دالة للزخم ثلاثي الأبعاد (أو دالة المكان والزمان إلى دالة للزخم رباعي الأبعاد ). هذه الفكرة تجعل تحويل فورييه المكاني مناسبًا جدًا لدراسة الموجات، وكذلك في ميكانيكا الكم ، حيث من المهم تمثيل حلول الموجات كدوال للموضع أو الزخم، وأحيانًا كليهما. عمومًا، الدوال التي تُطبّق عليها طرق فورييه هي دوال مركبة، وربما دوال متجهة . ^{[ ملاحظة 4 ]} يمكن تعميم ذلك بشكل أكبر ليشمل الدوال على الزمر ، والتي تتضمن ، بالإضافة إلى تحويل فورييه الأصلي على $R$ أو $Rⁿ ،$ $تحويل$ فورييه المتقطع (DTFT، الزمرة = $Z$ )، وتحويل فورييه المتقطع (DFT، الزمرة = $Z mod N$ )، ومتسلسلة فورييه أو تحويل فورييه الدائري (الزمرة = $S⁻¹$ ، دائرة الوحدة ≈ فترة مغلقة محدودة ذات نقاط نهاية محددة). يُستخدم الأخير بشكل روتيني للتعامل مع الدوال الدورية . يُعد تحويل فورييه السريع (FFT) خوارزمية لحساب تحويل فورييه المتقطع.

تعريف

تحويل فورييه لدالة ذات قيم مركبة قابلة للتكامل وفقًا لمعيار ليبيغ $f(x)$ على خط الأعداد الحقيقية، تكون الدالة ذات القيم المركبة ${\widehat {f}}(\xi )$ ، المحدد بواسطة التكامل^{[ 1 ]}

تحويل فورييه

${\widehat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ e^{-i2\pi \xi x}\,dx,\quad \forall \xi \in \mathbb {R} .$

المعادلة 1

متى $f(x)$ إذا كانت الدالة (ليبيغ) قابلة للتكامل على كامل خط الأعداد الحقيقية، فإن التكامل أعلاه يتقارب لجميع $\xi \in \mathbb {R}$ ، و ${\widehat {f}}(\xi )$ هي دالة متصلة بانتظام لـ $\xi$ والذي يتلاشى إلى الصفر عندما $\xi \to \infty$ ⁠ .

مع ذلك، يمكن تعريف تحويل فورييه أيضًا للدوال (المعممة) التي لا يكون لتكامل لوبيغ (المعادلة 1) معنىً لها. ^{[ 2 ]} إن تفسير التكامل تفسيرًا مناسبًا (مثلًا كتكامل غير محدود للدوال القابلة للتكامل محليًا ) يوسع نطاق تحويل فورييه ليشمل الدوال التي لا تكون بالضرورة قابلة للتكامل على كامل خط الأعداد الحقيقية. وبشكل أعم، ينطبق تحويل فورييه أيضًا على الدوال المعممة مثل دالة ديراك دلتا (وجميع التوزيعات المعتدلة الأخرى )، وفي هذه الحالة يُعرَّف بالازدواجية بدلًا من التكامل. ^{[ 3 ]}

تم تقديمها لأول مرة في نظرية فورييه التحليلية للحرارة ، ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}^{[ 7 ]،} وتُعطى صيغة الانعكاس المقابلة للدوال التي تحقق خصائص الانتظام والتضاؤل الكافية بواسطة نظرية انعكاس فورييه ، أي

التحويل العكسي

$f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi )\ e^{i2\pi \xi x}\,d\xi ,\quad \forall x\in \mathbb {R} .$

المعادلة 2

الوظائف $f$ و ${\widehat {f}}$ يُشار إليها باسم زوج تحويل فورييه . ^{[ 8 ]} والرمز الشائع لتسمية أزواج التحويل هو: ^{[ 9 ]} $f(x)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\ {\widehat {f}}(\xi ).$ على سبيل المثال، تحويل فورييه لدالة دلتا هو دالة ثابتة $1$ ⁠ : $\delta (x)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\ 1.$

التردد الزاوي ( ω )

عندما يكون المتغير المستقل ( ⁠ $x$ يمثل الوقت (ويرمز إليه غالبًا بـ $t$ ) ، متغير التحويل ( $\xi$ يمثل ) التردد ( يرمز إليه غالبًا بـ $f$ على سبيل المثال، إذا كانت وحدة الزمن هي الثانية ، فإن وحدة التردد هي الهرتز . ويمكن أيضًا كتابة متغير التحويل بدلالة التردد الزاوي . $\omega =2\pi \xi$ ، بوحدة راديان في الثانية.

الاستبدال $\xi ={\tfrac {\omega }{2\pi }}$ يؤدي إدخالها في المعادلة 1 إلى هذا الاصطلاح، حيث الدالة ${\widehat {f}}$ تمت إعادة تسميتها ${\widehat {f}}_{1}$ ⁠ : ${\begin{aligned}{\widehat {f}}_{3}(\omega )&\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\cdot e^{-i\omega x}\,dx={\widehat {f}}_{1}\left({\tfrac {\omega }{2\pi }}\right),\\f(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}_{3}(\omega )\cdot e^{i\omega x}\,d\omega .\end{aligned}}$ بخلاف تعريف المعادلة 1 ، لم يعد تحويل فورييه تحويلاً وحدوياً ، كما أن هناك تناظراً أقل بين صيغ التحويل ومعكوسه. وتُستعاد هذه الخصائص بتقسيم $2\pi$ قم بتقسيم التحويل ومعكوسه بالتساوي، مما يؤدي إلى اصطلاح آخر: ${\begin{aligned}{\widehat {f}}_{2}(\omega )&\triangleq {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\cdot e^{-i\omega x}\,dx={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\ \ {\widehat {f}}_{1}\left({\tfrac {\omega }{2\pi }}\right),\\f(x)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}_{2}(\omega )\cdot e^{i\omega x}\,d\omega .\end{aligned}}$ يمكن إنشاء تنويعات على جميع الاتفاقيات الثلاث عن طريق مرافقة النواة الأسية المركبة لكل من التحويل الأمامي والتحويل العكسي. يجب أن تكون الإشارات متعاكسة.

ملخص لأشكال تحويل فورييه الشائعة، أحادية البعد
التردد العادي $ξ$ (هرتز)	وحدة	${\begin{aligned}{\widehat {f}}_{1}(\xi )\ &\triangleq \ \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,e^{-i2\pi \xi x}\,dx={\sqrt {2\pi }}\ \ {\widehat {f}}_{2}(2\pi \xi )={\widehat {f}}_{3}(2\pi \xi )\\f(x)&=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}_{1}(\xi )\,e^{i2\pi x\xi }\,d\xi \end{aligned}}$
التردد الزاوي $ω$ (راديان/ثانية)	وحدة	${\begin{aligned}{\widehat {f}}_{2}(\omega )\ &\triangleq \ {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\ \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,e^{-i\omega x}\,dx={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\ \ {\widehat {f}}_{1}\!\left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\ \ {\widehat {f}}_{3}(\omega )\\f(x)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\ \int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}_{2}(\omega )\,e^{i\omega x}\,d\omega \end{aligned}}$
التردد الزاوي $ω$ (راديان/ثانية)	غير موحد	${\begin{aligned}{\widehat {f}}_{3}(\omega )\ &\triangleq \ \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,e^{-i\omega x}\,dx={\widehat {f}}_{1}\left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)={\sqrt {2\pi }}\ \ {\widehat {f}}_{2}(\omega )\\f(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}_{3}(\omega )\,e^{i\omega x}\,d\omega \end{aligned}}$

تعميم للدوال ذات الأبعاد $n$
التردد العادي $ξ$ (هرتز)	وحدة	${\begin{aligned}{\widehat {f}}_{1}(\xi )\ &\triangleq \ \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-i2\pi \xi \cdot x}\,dx=(2\pi )^{\frac {n}{2}}{\widehat {f}}_{2}(2\pi \xi )={\widehat {f}}_{3}(2\pi \xi )\\f(x)&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\widehat {f}}_{1}(\xi )e^{i2\pi \xi \cdot x}\,d\xi \end{aligned}}$
التردد الزاوي $ω$ (راديان/ثانية)	وحدة	${\begin{aligned}{\widehat {f}}_{2}(\omega )\ &\triangleq \ {\frac {1}{(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-i\omega \cdot x}\,dx={\frac {1}{(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}{\widehat {f}}_{1}\!\left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)={\frac {1}{(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}{\widehat {f}}_{3}(\omega )\\f(x)&={\frac {1}{(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\widehat {f}}_{2}(\omega )e^{i\omega \cdot x}\,d\omega \end{aligned}}$
التردد الزاوي $ω$ (راديان/ثانية)	غير موحد	${\begin{aligned}{\widehat {f}}_{3}(\omega )\ &\triangleq \ \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-i\omega \cdot x}\,dx={\widehat {f}}_{1}\left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)=(2\pi )^{\frac {n}{2}}{\widehat {f}}_{2}(\omega )\\f(x)&={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\widehat {f}}_{3}(\omega )e^{i\omega \cdot x}\,d\omega \end{aligned}}$

دوال ليبيغ القابلة للتكامل

دالة قابلة للقياس $f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ يُطلق عليها اسم قابلة للتكامل (ليبيغ) إذا كان تكامل ليبيغ لقيمتها المطلقة محدودًا: $\|f\|_{1}=\int _{\mathbb {R} }|f(x)|\,dx<\infty .$ لو $f$ إذا كانت الدالة قابلة للتكامل وفقًا لمعيار ليبيغ، فإن تحويل فورييه، المعطى بالمعادلة 1 ، يكون مُعرَّفًا جيدًا لجميع قيم ⁠ $\xi \in \mathbb {R}$ [^{10 ]} علاوة على^ذلك ، ${\widehat {f}}\in L^{\infty }\cap C_{0}(\mathbb {R} )$ محدودة، ومستمرة بانتظام ، وتتلاشى (بحسب مبرهنة ريمان-ليبيغ ) عند اللانهاية . هنا $C_{0}(\mathbb {R} )$ يرمز إلى فضاء الدوال المتصلة على $\mathbb {R}$ تلك التي تقترب من الصفر عندما يقترب x من اللانهاية الموجبة أو السالبة.

المساحة $L^{1}(\mathbb {R} )$ هو فضاء الدوال القابلة للقياس التي يكون معيارها $\|f\|_{1}$ هي محدودة، باستثناء علاقة التكافؤ للمساواة في كل مكان تقريبًا . تحويل فورييه على $L^{1}(\mathbb {R} )$ هي علاقة تقابلية . ومع ذلك، لا توجد طريقة سهلة لوصف الصورة، وبالتالي لا توجد طريقة سهلة لوصف التحويل العكسي. على وجه الخصوص، لم تعد المعادلة 2 صالحة، لأنها ذُكرت فقط في ظل فرضية أن $f(x)$ كان "لطيفًا بما فيه الكفاية" (على سبيل المثال، $f(x)$ يتحلل مع جميع المشتقات ).

بينما تحدد المعادلة 1 تحويل فورييه للدوال (ذات القيم المركبة) في $L^{1}(\mathbb {R} )$ ⁠ ، فهي غير محددة جيدًا لفئات التكامل الأخرى، وأهمها فضاء الدوال القابلة للتكامل التربيعي ⁠ $L^{2}(\mathbb {R} )$ على سبيل المثال، الدالة $f(x)=(1+x^{2})^{-1/2}$ هو في $L^{2}$ لكن ليس $L^{1}$ وبالتالي، فإن تكامل ليبيغ في المعادلة 1 غير موجود. ومع ذلك، فإن تحويل فورييه على الفضاء الجزئي الكثيف $L^{1}\cap L^{2}(\mathbb {R} )\subset L^{2}(\mathbb {R} )$ يسمح بامتداد متصل فريد لمؤثر وحدوي على $L^{2}(\mathbb {R} )$ يُعد هذا التوسع مهمًا جزئيًا لأنه ، على عكس حالة $L^{1}$ ، تحويل فورييه هو تشاكل ذاتي للفضاء $L^{2}(\mathbb {R} )$ ⁠ .

في مثل هذه الحالات، يمكن الحصول على تحويل فورييه بشكل صريح عن طريق تنظيم التكامل، ثم الانتقال إلى النهاية. عمليًا، يُعتبر التكامل غالبًا تكاملًا غير محدود بدلًا من تكامل ليبيغ صحيح، ولكن في بعض الأحيان ، من أجل التقارب، نحتاج إلى استخدام النهاية الضعيفة أو القيمة الرئيسية بدلًا من النهايات (النقطية) الضمنية في التكامل غير المحدود. يقدم كل من تيتشمارش (1986) وديم وماكين (1985) ثلاث طرق دقيقة لتوسيع تحويل فورييه ليشمل الدوال القابلة للتكامل التربيعي باستخدام هذه الطريقة. مبدأ عام في التعامل مع $L^{2}$ تحويل فورييه هو أن التراكيب الخطية المحدودة للدوال الغاوسية كثيفة في $L^{1}\cap L^{2}$ ويمكن استنتاج الخصائص المختلفة لتحويل فورييه ، مثل خاصية الوحدة، بسهولة بالنسبة للتوزيعات الغاوسية. ويمكن إثبات العديد من خصائص تحويل فورييه من حقيقتين حول التوزيعات الغاوسية:^{[ 11 ]}

الذي - التي $e^{-\pi x^{2}}$ هو تحويل فورييه الخاص به؛ و
أن التكامل الغاوسي $\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-\pi x^{2}}\,dx=1$ ⁠ .

إحدى سمات $L^{1}$ تحويل فورييه هو عبارة عن تشاكل بين جبر باناخ من $L^{1}$ مزود بعملية الالتفاف لجبر باناخ للدوال المتصلة تحت $L^{\infty }$ المعيار (الأعلى). الاصطلاحات المختارة في هذه المقالة هي تلك الخاصة بالتحليل التوافقي ، بحيث يكون تحويل فورييه وحدويًا على $L^{2}$ وتماثل جبري من ${1}$ إلى $L^{\infty }$ ، دون إعادة تطبيع مقياس ليبيغ.^{[ 12 ]}

خلفية

تاريخ

في عام 1822، ادعى فورييه (انظر جوزيف فورييه، قسم النظرية التحليلية للحرارة ) أن أي دالة، سواء كانت متصلة أو غير متصلة، يمكن توسيعها إلى سلسلة من الدوال الجيبية. ^{[ 13 ]} وقد تم تصحيح هذا العمل المهم وتوسيعه من قبل آخرين لتوفير الأساس للأشكال المختلفة لتحويل فورييه المستخدمة منذ ذلك الحين.

الجيوب الأنفية المعقدة

يمكن وصف الموجة الجيبية الحمراء بسعة الذروة (1)، والفرق بين الذروتين (2)، والقيمة الفعالة (3)، والطول الموجي (4). يوجد فرق طور مقداره

θ

بين الموجتين الجيبيتين الحمراء والزرقاء .

بشكل عام، المعاملات ${\widehat {f}}(\xi )$ هي أعداد مركبة، ولها شكلان متكافئان (انظر صيغة أويلر ): ${\widehat {f}}(\xi )=\underbrace {Ae^{i\theta }} _{\text{polar coordinate form}}=\underbrace {A\cos(\theta )+iA\sin(\theta )} _{\text{rectangular coordinate form}}.$

المنتج مع $e^{i2\pi \xi x}$ تأخذ المعادلة ( 2 ) هذه الأشكال: ${\begin{aligned}{\widehat {f}}(\xi )\cdot e^{i2\pi \xi x}&=Ae^{i\theta }\cdot e^{i2\pi \xi x}\\[6pt]&=\underbrace {Ae^{i(2\pi \xi x+\theta )}} _{\text{polar coordinate form}}\\[6pt]&=\underbrace {A\cos(2\pi \xi x+\theta )+iA\sin(2\pi \xi x+\theta )} _{\text{rectangular coordinate form}},\end{aligned}}$ والذي ينقل كلاً من سعة وطور التردد $\xi$ وبالمثل ، فإن التفسير البديهي للمعادلة 1 هو أن الضرب $f(x)$ بواسطة $e^{-i2\pi \xi x}$ له تأثير الطرح $\xi$ من كل مكون ترددي للدالة $f(x)$ [ ملاحظة⁵^] المكون الذي كان عند^التردد $\xi$ يمكن أن ينتج قيمة غير صفرية للتكامل اللانهائي، لأن (على الأقل من الناحية الشكلية) جميع المكونات الأخرى المزاحة متذبذبة وتتكامل إلى الصفر (انظر § مثال ).

ومن الجدير بالذكر مدى سهولة تبسيط المنتج باستخدام الشكل القطبي، ومدى سهولة استنتاج الشكل المستطيل من خلال تطبيق صيغة أويلر.

التردد السلبي

تُدخل صيغة أويلر إمكانية القيم السالبة $\xi$ . تم تعريف المعادلة 1 ⁠ $\forall \xi \in \mathbb {R}$ . فقط بعض القيم المركبة $f(x)$ لديها تحويلات ${\widehat {f}}=0,\ \forall \ \xi <0$ . (انظر الإشارة التحليلية ؛ مثال بسيط هو ⁠ $e^{i2\pi \xi _{0}x}\ (\xi _{0}>0)$ . ) لكن التردد السالب ضروري لتوصيف جميع القيم المركبة الأخرى ⁠ $f(x)$ ، الموجودة في معالجة الإشارات ، والمعادلات التفاضلية الجزئية ، والرادار ، والبصريات غير الخطية ، وميكانيكا الكم ، وغيرها.

للحصول على قيمة حقيقية $f(x)$ تتمتع المعادلة 1 بخاصية التناظر ${\widehat {f}}(-\xi )={\widehat {f}}^{*}(\xi )$ (انظر قسم الاقتران أدناه). يُمكّن هذا التكرار المعادلة 2 من التمييز $f(x)=\cos(2\pi \xi _{0}x)$ من $e^{i2\pi \xi _{0}x}$ لكنها لا تستطيع تحديد الإشارة الفعلية لـ $\xi _{0}$ لأن $\cos(2\pi \xi _{0}x)$ و $\cos(2\pi (-\xi _{0})x)$ لا يمكن تمييزها على خط الأعداد الحقيقية فقط.

تحويل فورييه للدوال الدورية

لا يمكن تعريف تحويل فورييه لدالة دورية باستخدام صيغة التكامل مباشرةً. لكي يكون التكامل في المعادلة 1 قابلاً للتعريف، يجب أن تكون الدالة قابلة للتكامل المطلق . ولذلك، يشيع استخدام متسلسلات فورييه . ويمكن توسيع التعريف ليشمل الدوال الدورية من خلال اعتبارها توزيعات معتدلة .

وهذا يُتيح إمكانية رؤية العلاقة بين متسلسلة فورييه وتحويل فورييه للدوال الدورية التي لها متسلسلة فورييه متقاربة . $f(x)$ هي دالة دورية ، دورها ⁠ $P$ ، التي لها متسلسلة فورييه متقاربة، إذن: ${\widehat {f}}(\xi )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\cdot \delta \left(\xi -{\tfrac {n}{P}}\right),$ أين $c_{n}$ هي معاملات متسلسلة فورييه لـ $f$ ، و $\delta$ هي دالة ديراك دلتا . بعبارة أخرى، تحويل فورييه هو دالة ديراك مشطية يتم ضرب أسنانها بمعاملات متسلسلة فورييه.

أخذ عينات من تحويل فورييه

تحويل فورييه لدالة قابلة للتكامل $f$ يمكن أخذ عينات منها على فترات منتظمة ذات طول عشوائي $1/P$ يمكن استنتاج هذه العينات من دورة واحدة لدالة دورية . $f_{P}$ ، والتي لها معاملات متسلسلة فورييه تتناسب مع تلك العينات وفقًا لصيغة جمع بواسون : $f_{P}(x)\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }f(x+nP)={\frac {1}{P}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}\left({\tfrac {k}{P}}\right)e^{i2\pi {\frac {k}{P}}x},\quad \forall k\in \mathbb {Z} .$

قابلية التكامل $f$ يضمن ذلك تقارب عملية الجمع الدوري . لذلك، فإن العينات ${\widehat {f}}({\tfrac {k}{P}})$ يمكن تحديد ذلك عن طريق تحليل متسلسلة فورييه: ${\widehat {f}}\left({\tfrac {k}{P}}\right)=\int _{P}f_{P}(x)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}x}\,dx.$

متى $f(x)$ يتميز بدعم مدمج ، $f_{P}(x)$ تحتوي على عدد محدود من الحدود ضمن فترة التكامل. عندما $f(x)$ لا يتوفر دعم مضغوط، والتقييم العددي لـ $f_{P}(x)$ يتطلب الأمر تقريبًا، مثل التناقص التدريجي $f(x)$ أو تقليص عدد المصطلحات.

الوحدات

يجب أن تكون وحدات متغير التردد معكوسة لوحدات مجال الدالة الأصلية (يُسمى عادةً $t$ أو $x$ على سبيل المثال، إذا $t$ يُقاس بالثواني، $\xi$ يجب أن تكون بوحدات دورات في الثانية أو هرتز . إذا كان مقياس الوقت بوحدات $2\pi$ ثوانٍ، ثم حرف يوناني آخر $\omega$ يُستخدم عادةً بدلاً من ذلك لتمثيل التردد الزاوي ( حيث $\omega =2\pi \xi$ ) بوحدات الراديان في الثانية. إذا كنت تستخدم $x$ بالنسبة لوحدات الطول، ثم $\xi$ يجب أن تكون الأطوال معكوسة، مثل أعداد الموجات . أي أن هناك نسختين من الخط الحقيقي: إحداهما تمثل نطاق $t$ ومقاسة بوحدات ⁠ $t$ والآخر هو نطاق $\xi$ ويتم قياسها بوحدات معكوسة لوحدات ⁠ $t$ لا يمكن مساواة هذين الشكلين المختلفين للخط الحقيقي. لذا، فإن تحويل فورييه ينتقل من فضاء دوال إلى فضاء دوال آخر: دوال ذات مجال تعريف مختلف .

على العموم، $\xi$ يجب دائمًا اعتبارها شكلًا خطيًا على فضاء مجالها، أي أن الخط الحقيقي الثاني هو الفضاء الثنائي للخط الحقيقي الأول. (انظر مقالة الجبر الخطي لمزيد من التوضيح والتفاصيل). يصبح هذا المنظور أساسيًا في تعميمات تحويل فورييه إلى مجموعات التناظر العامة ، بما في ذلك حالة متسلسلات فورييه.

That there is no one preferred way (often, one says "no canonical way") to compare the two versions of the real line that are involved in the Fourier transform—fixing the units on one line does not force the scale of the units on the other line—is the reason for the plethora of rival conventions on the definition of the Fourier transform. The various definitions resulting from different choices of units differ by various constants.

In other conventions, the Fourier transform has $i$ in the exponent instead of $- i$ , and vice versa for the inversion formula. This convention is common in modern physics^[14] and is the default for Wolfram Alpha, and does not mean that the frequency has become negative, since there is no canonical definition of positivity for frequency of a complex wave. It simply means that ${\widehat {f}}(\xi )$ is the amplitude of the wave ⁠ $e^{-i2\pi \xi x}$ ⁠ instead of the wave $e^{i2\pi \xi x}$ (the former, with its minus sign, is often seen in the time dependence for sinusoidal plane-wave solutions of the electromagnetic wave equation, or in the time dependence for quantum wave functions). Many of the identities involving the Fourier transform remain valid in those conventions, provided all terms that explicitly involve $i$ have it replaced by $- i$ . In electrical engineering the letter $j$ is typically used for the imaginary unit instead of $i$ because $i$ is used for current.

When using dimensionless units, the constant factors might not be written in the transform definition. For instance, in probability theory, the characteristic function $Φ$ of the probability density function ⁠ $f$ ⁠ of a random variable ⁠ $X$ ⁠ of continuous type is defined without a negative sign in the exponential, and since the units of ⁠ $x$ ⁠ are ignored, there is no ⁠ $2\pi$ ⁠ either: $\varphi (\lambda )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{i\lambda x}\,dx.$

In probability theory and mathematical statistics, the use of the Fourier—Stieltjes transform is preferred, because many random variables are not of continuous type, and do not possess a density function, and one must treat not functions but distributions, i.e., measures that possess "atoms".

من وجهة النظر الأعلى لخصائص المجموعة ، وهي أكثر تجريدًا بكثير، تختفي كل هذه الخيارات التعسفية، كما سيتم شرحه في القسم اللاحق من هذه المقالة، والذي يتناول مفهوم تحويل فورييه لدالة على مجموعة أبيلية مدمجة محليًا .

ملكيات

يترك $f(x)$ و $h(x)$ تمثل الدوال القابلة للتكامل والقابلة للقياس وفقًا لمقياس ليبيغ على خط الأعداد الحقيقية التي تحقق ما يلي: $\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|\,dx<\infty .$ نرمز إلى تحويلات فورييه لهذه الدوال بـ ${\widehat {f}}(\xi )$ و ${\widehat {h}}(\xi )$ على التوالى.

الخصائص الأساسية

يتمتع تحويل فورييه بالخصائص الأساسية التالية: ^{[ 15 ]}

الخطية

$a\ f(x)+b\ h(x)\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ a\ {\widehat {f}}(\xi )+b\ {\widehat {h}}(\xi );\quad \ a,b\in \mathbb {C}$

تغيير الوقت

$f(x-x_{0})\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ e^{-i2\pi x_{0}\xi }\ {\widehat {f}}(\xi );\quad \ x_{0}\in \mathbb {R}$

تغيير التردد

$e^{i2\pi \xi _{0}x}f(x)\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\widehat {f}}(\xi -\xi _{0});\quad \ \xi _{0}\in \mathbb {R}$

تغيير المقياس الزمني

$f(ax)\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\frac {1}{|a|}}{\widehat {f}}\left({\frac {\xi }{a}}\right);\quad \ a\neq 0$ القضية $a=-1$ يؤدي ذلك إلى خاصية انعكاس الزمن : $f(-x)\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\widehat {f}}(-\xi )$

RE هو أيضًا دالة حقيقية متناظرة زوجيًا (f_RÊ). ويُنشئ الإزاحة الزمنية g(t) = g_RE + g_RO جزءًا تخيليًا، i_ig_IO. (انظر قسم التناظر).">

\scriptstyle f(t)

\scriptstyle {\widehat {f}}(\omega )

\scriptstyle g(t)

\scriptstyle {\widehat {g}}(\omega )

\scriptstyle t

\scriptstyle \omega

\scriptstyle t

\scriptstyle \omega

تحويل دالة حقيقية ذات تناظر زوجي

f(t)=f_{_{\text{RE}}}

وهي أيضًا دالة حقيقية ذات تناظر زوجي (

{\widehat {f}}\!_{_{\text{RE}}}

) . الإزاحة الزمنية ،

g(t)=g_{_{\text{RE}}}+g_{_{\text{RO}}}

، يُنشئ مكونًا وهميًا ،

i\ {\widehat {g\ \!}}_{_{\text{IO}}}

. (انظر § التناظر .)

التناظر

عند تحليل الأجزاء الحقيقية والخيالية لدالة مركبة إلى أجزائها الزوجية والفردية ، نحصل على أربعة مكونات، يُشار إليها أدناه بالرموز السفلية RE وRO وIE وIO. وهناك تطابق تام بين المكونات الأربعة لدالة زمنية مركبة والمكونات الأربعة لتحويلها الترددي المركب: ^{[ 16 ]}

{\begin{array}{rlcccccccc}{\mathsf {Time\ domain}}&f&=&f_{_{\text{RE}}}&+&f_{_{\text{RO}}}&+&i\ f_{_{\text{IE}}}&+&\underbrace {i\ f_{_{\text{IO}}}} \\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\mathsf {Frequency\ domain}}&{\widehat {f}}&=&{\widehat {f}}\!_{_{\text{RE}}}&+&\overbrace {i\ {\widehat {f}}\!_{_{\text{IO}}}} &+&i\ {\widehat {f}}\!_{_{\text{IE}}}&+&{\widehat {f}}\!_{_{\text{RO}}}\end{array}}

ومن هذا تتضح علاقات مختلفة، على سبيل المثال:

تحويل دالة ذات قيم حقيقية ( ⁠ $f_{_{\text{RE}}}+f_{_{\text{RO}}}$ ) هيالدالة المتناظرة المرافقة ${\widehat {f}}\!_{_{\text{RE}}}+i\ {\widehat {f}}\!_{_{\text{IO}}}$ . على العكس من ذلك، فإن التحويل المتناظر المترافق يستلزم مجالًا زمنيًا ذا قيم حقيقية.
تحويل دالة ذات قيمة تخيلية ( ⁠ $i\ f_{_{\text{IE}}}+i\ f_{_{\text{IO}}}$ ) هيالدالة المترافقة المضادة للتناظر ${\widehat {f}}\!_{_{\text{RO}}}+i\ {\widehat {f}}\!_{_{\text{IE}}}$ ، والعكس صحيح.
تحويل الدالة المتناظرة المترافقة $(f_{_{\text{RE}}}+i\ f_{_{\text{IO}}})$ هي دالة ذات قيم حقيقية ${\widehat {f}}\!_{_{\text{RE}}}+{\widehat {f}}\!_{_{\text{RO}}}$ ، والعكس صحيح.
تحويل دالة مترافقة مضادة للتناظر $(f_{_{\text{RO}}}+i\ f_{_{\text{IE}}})$ هي الدالة ذات القيم التخيلية $i\ {\widehat {f}}\!_{_{\text{IE}}}+i\ {\widehat {f}}\!_{_{\text{IO}}}$ ، والعكس صحيح.

اقتران

${\bigl (}f(x){\bigr )}^{*}\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ \left({\widehat {f}}(-\xi )\right)^{*}$ (ملاحظة: الـ $*$ ( يشير إلى الاقتران المركب .)

على وجه الخصوص، إذا $f$ إذا كان حقيقياً ، ${\widehat {f}}$ متناظرة مترافقة ( وتُعرف أيضًا بالدالة الهرميتية ): ${\widehat {f}}(-\xi )={\bigl (}{\widehat {f}}(\xi ){\bigr )}^{*}.$

لو $f$ إذا كان الأمر خيالياً بحتاً، ${\widehat {f}}$ متناظر فردي : ${\widehat {f}}(-\xi )=-({\widehat {f}}(\xi ))^{*}.$

الأجزاء الحقيقية والخيالية

$\operatorname {Re} \{f(x)\}\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\tfrac {1}{2}}\left({\widehat {f}}(\xi )+{\bigl (}{\widehat {f}}(-\xi ){\bigr )}^{*}\right)$ $\operatorname {Im} \{f(x)\}\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\tfrac {1}{2i}}\left({\widehat {f}}(\xi )-{\bigl (}{\widehat {f}}(-\xi ){\bigr )}^{*}\right)$

مكون التردد الصفري

الاستبدال $\xi =0$ في التعريف، نحصل على: ${\widehat {f}}(0)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx.$

تكامل $f$ يمثل نطاقها الكتلة الكلية أو الانحياز المستمر للدالة.

الاستمرارية المنتظمة ومبرهنة ريمان-ليبيغ

يمكن تعريف تحويل فورييه في بعض الحالات للدوال غير القابلة للتكامل، ولكن تحويلات فورييه للدوال القابلة للتكامل لها العديد من الخصائص القوية.

تحويل فورييه ${\widehat {f}}$ لأي دالة قابلة للتكامل $f$ متصلة بشكل منتظم و ^{[ 17 ]}^{[ 18 ]} $\left\|{\widehat {f}}\right\|_{\infty }\leq \left\|f\right\|_{1}$

بحسب ليمّا ريمان-ليبيغ ، ^{[ 19 ]} ${\widehat {f}}(\xi )\to 0{\text{ as }}|\xi |\to \infty .$

لكن، ${\widehat {f}}$ ليس بالضرورة أن تكون قابلة للتكامل. على سبيل المثال، تحويل فورييه للدالة المستطيلة ، وهي قابلة للتكامل، هو دالة sinc ، وهي غير قابلة للتكامل وفقًا لمعيار ليبيغ ، لأن تكاملاتها غير المحددة تتصرف بشكل مشابه للمتسلسلة التوافقية المتناوبة ، حيث تتقارب إلى مجموع دون أن تكون متقاربة تقاربًا مطلقًا .

لا يمكن عمومًا كتابة التحويل العكسي كتكامل ليبيغ . ومع ذلك، عندما يكون كلاهما $f$ و ${\widehat {f}}$ إذا كانت قابلة للتكامل، فإن المعادلة العكسية $f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi )e^{i2\pi x\xi }\,d\xi$ ينطبق هذا على جميع $قيم x$ تقريبًا . ونتيجة لذلك، فإن تحويل فورييه يكون أحاديًا على $L 1 (R)$ .

نظرية بلانشيريل ونظرية بارسيفال

دع $f(x)$ و $g(x)$ ليكن قابلاً للتكامل، وليكن ${\widehat {f}}$ و ${\widehat {g}}$ ⁠ لتكن تحويلات فورييه الخاصة بهم. إذا ⁠ $f(x)$ و $g(x)$ إذا كانت قابلة للتكامل التربيعي أيضًا، فإن صيغة بارسيفال تتبع:^{[ 20 ]} $\langle f,g\rangle _{L^{2}}=\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi ){\overline {{\widehat {g}}(\xi )}}\,d\xi ,$ حيث يشير الخط إلى الاقتران المركب .

تنص نظرية بلانشيريل ، التي تستنتج مما سبق، على أن ^{[ 21 ]} $\|f\|_{L^{2}}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\left|f(x)\right|^{2}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\widehat {f}}(\xi )\right|^{2}\,d\xi .$

تُتيح نظرية بلانشيريل إمكانية توسيع تحويل فورييه، من خلال حجة الاستمرارية، إلى مؤثر وحدوي على $L^{2}(\mathbb {R} )$ . على ⁠ $L^{1}(\mathbb {R} )\cap L^{2}(\mathbb {R} )$ يتوافق هذا الامتداد مع تحويل فورييه الأصلي المحدد على $L^{1}(\mathbb {R} )$ وبالتالي توسيع نطاق تحويل فورييه إلى $L^{1}(\mathbb {R} )+L^{2}(\mathbb {R} )$ ( وبالتالي إلى ) $L^{p}(\mathbb {R} )$ لـ $1\leq p\leq 2$ تُفسَّر نظرية بلانشيريل في العلوم بأن تحويل فورييه يحافظ على طاقة الكمية الأصلية. ولا يوجد توحيد تام لمصطلحات هذه الصيغ. وقد أُثبتت نظرية بارسيفال فقط لمتسلسلات فورييه، وكان ليابونوف أول من أثبتها. إلا أن صيغة بارسيفال تنطبق على تحويل فورييه أيضًا، ولذا ، فرغم أن بلانشيريل هو من أثبتها في سياق تحويل فورييه، إلا أنها لا تزال تُعرف غالبًا بصيغة بارسيفال، أو علاقة بارسيفال، أو حتى نظرية بارسيفال.

انظر إلى ثنائية بونترياجين للحصول على صياغة عامة لهذا المفهوم في سياق المجموعات الأبيلية المدمجة محليًا.

نظرية الالتفاف

يُحوّل تحويل فورييه بين عملية الالتفاف وعملية ضرب الدوال. إذا $f(x)$ و $g(x)$ هي دوال قابلة للتكامل مع تحويلات فورييه ${\widehat {f}}$ و ${\widehat {g}}(\xi )$ وبالتالي ، فإن تحويل فورييه للالتفاف يُعطى بضرب تحويلات فورييه . ${\widehat {f}}$ و ${\widehat {g}}$ ( في ظل اصطلاحات أخرى لتعريف تحويل فورييه، قد يظهر عامل ثابت).

هذا يعني أنه إذا: $h(x)=(f*g)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(y)g(x-y)\,dy,$ حيث تشير علامة $*$ إلى عملية الالتفاف، إذن: ${\widehat {h}}(\xi )={\widehat {f}}(\xi )\,{\widehat {g}}(\xi ).$

في نظرية الأنظمة الخطية الثابتة مع الزمن (LTI) ، من الشائع تفسير ⁠ $g(x)$ باعتبارها استجابة نبضية لنظام خطي ثابت مع مدخلات $f(x)$ والإخراج $h(x)$ ، حيث أن استبدال الدفعة الوحدوية بـ $f(x)$ ينتج $h(x)=g(x)$ في هذه الحالة ، ${\widehat {g}}(\xi )$ يمثل استجابة التردد للنظام.

وعلى العكس من ذلك، إذا $f(x)$ يمكن تحليلها إلى حاصل ضرب دالتين قابلتين للتكامل التربيعي . $p(x)$ و $q(x)$ ثم تحويل فورييه لـ $f(x)$ يُعطى الناتج عن عملية الالتفاف لتحويلات فورييه الخاصة بكل منهما . ${\widehat {p}}(\xi )$ و ${\widehat {q}}(\xi )$ ⁠ .

نظرية الارتباط المتبادل

وبالمثل، يمكن إثبات أنه إذا $h(x)$ ⁠ هو الارتباط المتبادل لـ ⁠ $f(x)$ و $g(x)$ ⁠ : $h(x)=(f\star g)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(y)}}g(x+y)\,dy$ ثم تحويل فورييه لـ $h(x)$ هو : ${\widehat {h}}(\xi )={\overline {{\widehat {f}}(\xi )}}\,{\widehat {g}}(\xi ).$

كحالة خاصة، الارتباط الذاتي للدالة $f(x)$ هو : $h(x)=(f\star f)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(y)}}f(x+y)\,dy$ والتي ${\widehat {h}}(\xi )={\overline {{\widehat {f}}(\xi )}}{\widehat {f}}(\xi )=\left|{\widehat {f}}(\xi )\right|^{2}.$

التمايز

لنفترض أن $f (x)$ قابلة للتفاضل تقريبًا في كل مكان ، وكلاهما $f$ ومشتقاته $f'$ قابلة للتكامل ( في $L^{1}(\mathbb {R} )$ ثم يُعطى تحويل فورييه للمشتقة بالصيغة التالية: ${\widehat {f'}}(\xi )={\mathcal {F}}\left\{{\frac {d}{dx}}f(x)\right\}=i2\pi \xi {\widehat {f}}(\xi ).$ وبشكل أعم، فإن تحويل فورييه لـ $n$ المشتقة من الدرجة الثالثة $f^{(n)}$ يتم إعطاؤها بواسطة ${\widehat {f^{(n)}}}(\xi )={\mathcal {F}}\left\{{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)\right\}=(i2\pi \xi )^{n}{\widehat {f}}(\xi ).$

وبالمثل ، ${\mathcal {F}}^{-1}\left\{{\frac {d^{n}}{d\xi ^{n}}}{\widehat {f}}(\xi )\right\}=(-i2\pi x)^{n}f(x)$ ، لذا ${\mathcal {F}}\left\{x^{n}f(x)\right\}=\left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}{\frac {d^{n}}{d\xi ^{n}}}{\widehat {f}}(\xi )$ ⁠ .

بتطبيق تحويل فورييه واستخدام هذه الصيغ، يمكن تحويل بعض المعادلات التفاضلية العادية إلى معادلات جبرية، وهي أسهل بكثير في الحل. كما تُنتج هذه الصيغ قاعدة عامة " $f(x)$ يكون السطح أملسًا إذا وفقط إذا ${\widehat {f}}(\xi )$ سرعان ما يتراجع إلى $0$ لـ $\vert \xi \vert \to \infty$ باستخدام القواعد المماثلة لتحويل فورييه العكسي، يمكن للمرء أيضًا أن يقول " $f(x)$ سرعان ما يتراجع إلى $0$ لـ $\vert x\vert \to \infty$ إذا وفقط إذا ${\widehat {f}}(\xi )$ سلس .

الدوال الذاتية

تحويل فورييه هو تحويل خطي له دوال ذاتية تخضع لـ ${\mathcal {F}}[\psi ]=\lambda \psi$ ، مع $\lambda \in \mathbb {C}$ ⁠ .

يتم إيجاد مجموعة من الدوال الذاتية من خلال ملاحظة أن المعادلة التفاضلية المتجانسة $\left[U\left({\frac {1}{2\pi }}{\frac {d}{dx}}\right)+U(x)\right]\psi (x)=0$ يؤدي إلى الدوال الذاتية $\psi (x)$ تحويل فورييه ${\mathcal {F}}$ طالما بقي شكل المعادلة ثابتًا تحت تحويل فورييه. ^{[ ملاحظة 6 ]} بعبارة أخرى، كل حل $\psi (x)$ وتحويل فورييه الخاص به ${\widehat {\psi }}(\xi )$ تخضع جميع الحلول لنفس المعادلة. وبافتراض تفرد الحلول، فإن كل حل $\psi (x)$ لذا، يجب أن تكون دالة ذاتية لتحويل فورييه. ويبقى شكل المعادلة دون تغيير تحت تحويل فورييه إذا $U(x)$ يمكن توسيعها في متسلسلة قوى يكون فيها لجميع الحدود نفس العامل لأي من ⁠ $\pm 1$ ، $\pm i$ ينشأ من العوامل $i^{n}$ يتم إدخال هذا العامل بواسطة قواعد التفاضل عند تحويل فورييه للمعادلة التفاضلية المتجانسة، لأنه يمكن حينها إلغاؤه. أبسط ما يمكن $U(x)=x$ يؤدي إلى التوزيع الطبيعي القياسي . ^{[ 22 ]}

وبشكل أعم، يمكن إيجاد مجموعة من الدوال الذاتية أيضًا من خلال ملاحظة أن قواعد التفاضل تعني أن المعادلة التفاضلية العادية $\left[W\left({\frac {i}{2\pi }}{\frac {d}{dx}}\right)+W(x)\right]\psi (x)=C\psi (x)$ مع $C$ ثابت و $W(x)$ كونها دالة زوجية غير ثابتة، فإنها تظل ثابتة في شكلها عند تطبيق تحويل فورييه. ${\mathcal {F}}$ لكلا طرفي المعادلة. أبسط مثال على ذلك هو ⁠ $W(x)=x^{2}$ وهو ما يُعادل النظر في معادلة شرودنغر للمذبذب التوافقي الكمومي .^{[ 23 ]} تُوفر الحلول المُقابلة خيارًا هامًا لأساس متعامد لـ $L² (R)$ وتُعطى بواسطة دوال هيرميت "الفيزيائية". وبشكل مُكافئ $،$ يُمكن استخدام $\psi _{n}(x)={\frac {\sqrt[{4}]{2}}{\sqrt {n!}}}e^{-\pi x^{2}}\mathrm {He} _{n}\left(2x{\sqrt {\pi }}\right),$ أين $\mathrm {He} _{n}(x)$ هي كثيرات حدود هيرميت "الاحتمالية"، والتي تُعرَّف على النحو التالي: $\mathrm {He} _{n}(x)=(-1)^{n}e^{{\frac {1}{2}}x^{2}}\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}.$

بموجب هذا الاصطلاح لتحويل فورييه، لدينا ما يلي: ${\widehat {\psi }}_{n}(\xi )=(-i)^{n}\psi _{n}(\xi ).$

بمعنى آخر، تشكل دوال هيرميت نظامًا متعامدًا كاملًا من الدوال الذاتية لتحويل فورييه على $L^{2}(\mathbb {R} )$ [ ¹⁵^]^[²⁴^] ومع ذلك ،^فإن هذا الاختيار للدوال الذاتية ليس فريدًا. بسبب ${\mathcal {F}}^{4}=\mathrm {id}$ لا يوجد سوى أربع قيم ذاتية مختلفة لتحويل فورييه (الجذور الرابعة للوحدة ). $\pm 1$ و $\pm i$ (و ) وأي توليفة خطية من الدوال الذاتية ذات القيمة الذاتية نفسها تعطي دالة ذاتية أخرى.^{[ 25 ]} ونتيجة لذلك، من الممكن تحليل $L2$ ( $R) كمجموع مباشر$ لأربعة فضاءات $H0$ $و H1$ $و$ H2 $و$ H3 $حيث$ يعمل تحويل فورييه على $Hk$ $ببساطة$ $عن$ طريق $الضرب$ في $ik$ $.$

بما أن المجموعة الكاملة من دوال هيرميت $ψ n$ توفر حلاً للهوية، فإنها تقوم بقطرية عامل فورييه، أي يمكن تمثيل تحويل فورييه بمجموع حدود موزونة بالقيم الذاتية المذكورة أعلاه، ويمكن جمع هذه المجاميع بشكل صريح: ${\mathcal {F}}[f](\xi )=\int dxf(x)\sum _{n\geq 0}(-i)^{n}\psi _{n}(x)\psi _{n}(\xi )~.$

اقترح نوربرت وينر هذا النهج لتعريف تحويل فورييه لأول مرة . ^{[ 26 ]} من بين خصائص أخرى، تتناقص دوال هيرميت بشكل أُسّي سريع في كلٍ من نطاقي التردد والزمن، ولذلك تُستخدم لتعريف تعميم لتحويل فورييه، وهو تحويل فورييه الكسري المستخدم في تحليل الزمن والتردد. ^{[ 27 ]} في الفيزياء ، قدّم إدوارد كوندون هذا التحويل . ^{[ 28 ]} يصبح تغيير الأساس هذا ممكنًا لأن تحويل فورييه هو تحويل وحدوي عند استخدام الاصطلاحات الصحيحة . وبالتالي، في ظل الشروط المناسبة، يُتوقع أن ينتج عن مولد ذاتي الترافق. $N$ عبر ^{[ 29 ]} ${\mathcal {F}}[\psi ]=e^{-itN}\psi .$

المشغل $N$ هو عامل العدد للمذبذب التوافقي الكمي المكتوب على النحو التالي ^{[ 30 ]}^{[ 31 ]} $N\equiv {\frac {1}{4\pi }}\left(2\pi x-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\left(2\pi x+{\frac {\partial }{\partial x}}\right)=-{\frac {1}{4\pi }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+\pi x^{2}-{\frac {1}{2}}.$

يمكن تفسيره على أنه مولد تحويلات فورييه الكسرية لقيم عشوائية لـ $t$ ، وتحويل فورييه المستمر التقليدي ${\mathcal {F}}$ للقيمة المحددة $t=\pi /2$ ، مع نواة ميهلر التي تُنفذ التحويل النشط المقابل. الدوال الذاتية لـ $N$ هي دوال هيرميت $\psi _{n}(x)$ وبالتالي فهي أيضًا دوال ذاتية لـ ${\mathcal {F}}$ ⁠ .

عند توسيع تحويل فورييه ليشمل التوزيعات، فإن مشط ديراك هو أيضًا دالة ذاتية لتحويل فورييه.

الانعكاس والدورية

في ظل ظروف مناسبة على الوظيفة $f$ ، ويمكن استعادته من تحويل فورييه الخاص به ${\widehat {f}}$ في الواقع، يُرمز إلى عامل تحويل فورييه بـ ${\mathcal {F}}$ ، لذا ${\mathcal {F}}f:={\widehat {f}}$ ثم بالنسبة للدوال المناسبة، فإن تطبيق تحويل فورييه مرتين يؤدي ببساطة إلى عكس الدالة : $\left({\mathcal {F}}^{2}f\right)(x)=f(-x)$ ، وهو ما يمكن تفسيره على أنه "عكس الزمن". وبما أن عكس الزمن عملية دورية ثنائية، فإن تطبيق ذلك مرتين ينتج عنه ⁠ ${\mathcal {F}}^{4}(f)=f$ وبالتالي ، فإن عامل تحويل فورييه دوري بأربع دورات، وبالمثل يمكن الحصول على تحويل فورييه العكسي بتطبيق تحويل فورييه ثلاث مرات : ${\mathcal {F}}^{3}\left({\widehat {f}}\right)=f$ . على وجه الخصوص، فإن تحويل فورييه قابل للعكس (في ظل ظروف مناسبة).

وبشكل أدق، تعريف عامل التكافؤ ${\mathcal {P}}$ بحيث $({\mathcal {P}}f)(x)=f(-x)$ لدينا : ${\begin{aligned}{\mathcal {F}}^{0}&=\mathrm {id} ,\\{\mathcal {F}}^{1}&={\mathcal {F}},\\{\mathcal {F}}^{2}&={\mathcal {P}},\\{\mathcal {F}}^{3}&={\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {P}}\circ {\mathcal {F}}={\mathcal {F}}\circ {\mathcal {P}},\\{\mathcal {F}}^{4}&=\mathrm {id} \end{aligned}}$ تتطلب هذه المساواة بين المؤثرات تعريفًا دقيقًا لفضاء الدوال المعنية، وتحديد مساواة الدوال (هل هي مساواة عند كل نقطة؟ أم مساواة في كل مكان تقريبًا ؟) وتحديد مساواة المؤثرات - أي تحديد الطوبولوجيا على فضاء الدوال وفضاء المؤثرات المعنيين. لا تنطبق هذه المساواة على جميع الدوال، ولكنها تنطبق في ظل شروط مختلفة، وهي مضمون الصيغ المختلفة لنظرية فورييه العكسية .

تُشبه هذه الدورية الرباعية لتحويل فورييه دوران المستوى بزاوية 90 درجة، خاصةً وأن التكرار الثنائي يُؤدي إلى انعكاس، وفي الواقع يُمكن جعل هذا التشبيه دقيقًا. بينما يُمكن تفسير تحويل فورييه ببساطة على أنه تبديل بين مجال الزمن ومجال التردد، مع قيام تحويل فورييه العكسي بتبديلهما مرة أخرى، فإنه يُمكن تفسيره هندسيًا على أنه دوران بزاوية 90 درجة في مجال الزمن والتردد (مع اعتبار الزمن هو ⁠ $x$ المحور - والتردد كـ $y$ (على المحور ⁠ )، ويمكن تعميم تحويل فورييه إلى تحويل فورييه الكسري ، الذي يتضمن دورانات بزوايا أخرى. ويمكن تعميم ذلك أيضًا إلى تحويلات قانونية خطية ، والتي يمكن تصورها على أنها تأثير المجموعة الخطية الخاصة $SL 2 (R)$ على مستوى الزمن-التردد، مع الحفاظ على الشكل التبسيطي الموافق لمبدأ عدم اليقين ، المذكور أدناه. وقد دُرست هذه المقاربة بشكل خاص في معالجة الإشارات ، ضمن تحليل الزمن-التردد .

العلاقة مع مجموعة هايزنبرغ

زمرة هايزنبرغ هي زمرة معينة من المؤثرات الوحدوية على فضاء هيلبرت $L² (R) للدوال$ $f$ $ذات$ القيم المركبة القابلة للتكامل التربيعي على خط الأعداد الحقيقية، والمولدة بواسطة الإزاحات $(Tyf)(x) = f (x + y)$ والضرب بـ $e^$ $($ $2πξx$ $)$ ، $أي (Mξf)(x) = e^( 2πξx) f (x$ $)$ $.$ هذه المؤثرات لا تتبادل، لأن مبدلها (الزمرة) هو $\left(M_{\xi }^{-1}T_{y}^{-1}M_{\xi }T_{y}f\right)(x)=e^{i2\pi \xi y}f(x),$ وهو الضرب بالثابت (المستقل عن $x$ ) $e i 2π ξy \in U (1)$ ( مجموعة الدائرة للأعداد المركبة ذات المعامل الواحد). كمجموعة مجردة، فإن مجموعة هايزنبرغ هي مجموعة لي ثلاثية الأبعاد للثلاثيات $(x, ξ, z) \in R 2 \times U (1)$ ، مع قانون المجموعة $\left(x_{1},\xi _{1},t_{1}\right)\cdot \left(x_{2},\xi _{2},t_{2}\right)=\left(x_{1}+x_{2},\xi _{1}+\xi _{2},t_{1}t_{2}e^{-2i\pi x_{1}\xi _{2}}\right).$

لنرمز إلى زمرة هايزنبرغ بالرمز $H₁ .$ $لا$ يصف الإجراء أعلاه بنية الزمرة فحسب، بل يصف أيضًا تمثيلًا وحدويًا قياسيًا $لـ$ H₁ على $فضاء$ هيلبرت، والذي نرمز إليه بالرمز $ρ : H₁ \to B (L₂ (R))$ . عرّف التشاكل الخطي لـ $R₂$ $كما$ يلي $:$ $J{\begin{pmatrix}x\\\xi \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\xi \\x\end{pmatrix}}$ بحيث يكون $J 2 = - I.$ يمكن تمديد $J$ هذا إلى تشاكل ذاتي فريد لـ $H 1$ : $j\left(x,\xi ,t\right)=\left(-\xi ,x,te^{-i2\pi \xi x}\right).$

وفقًا لنظرية ستون-فون نيومان ، فإن التمثيلات الوحدوية $ρ$ و $ρ \circ j$ متكافئة وحدويًا، لذا يوجد متشابك فريد $W \in U (L 2 (R))$ بحيث $\rho \circ j=W\rho W^{*}.$ هذا المؤثر $W$ هو تحويل فورييه.

تُعدّ العديد من الخصائص القياسية لتحويل فورييه نتائج مباشرة لهذا الإطار الأكثر عمومية. ^{[ 32 ]} $على سبيل المثال ،$ مربع تحويل فورييه، $W²$ $، هو$ دالة متشابكة مرتبطة بـ $J² = -I$ ، وبالتالي فإن $($ $W²f$ $)($ $x$ $)$ $=$ $f$ $(-x$ $)$ $هو$ انعكاس الدالة الأصلية $f$ .

مجال معقد

التكامل لتحويل فورييه ${\widehat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-2i\pi t\xi }f(t)\,dt$ يمكن دراسة هذه الدالة لقيم مركبة لمتغيرها $ξ$ . وبناءً على خصائص $f$ ، قد لا تتقارب هذه الدالة خارج المحور الحقيقي على الإطلاق، أو قد تتقارب إلى دالة تحليلية مركبة لجميع قيم $ξ$ $=$ $σ$ $+$ $iτ$ ، أو شيء بينهما. ^[³³^]

تنص نظرية بالي -وينر على أن الدالة $f$ سلسة (أي قابلة للتفاضل $n$ مرة لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة $n$ ) وذات دعم مضغوط إذا وفقط إذا كانت $f̂ (σ + iτ)$ دالة تحليلية يوجد لها ثابت $a > 0$ بحيث أنه لأي عدد صحيح $n \geq 0$ ، $\left\vert \xi ^{n}{\widehat {f}}(\xi )\right\vert \leq C_{n}e^{2\pi a\vert \tau \vert }$ لثابت ما $C_n$ . (في هذه الحالة، تكون الدالة $f$ مدعومة على الفترة $[- a, a]$ ). يمكن التعبير عن ذلك بالقول إن $f̂$ دالة كاملة تتناقص بسرعة في $σ$ (لـ $τ$ ثابتة ) وتنمو نموًا أُسّيًا في $τ$ (بشكل منتظم في $σ$ ). ^{[ 34 ]}

(إذا لم تكن $الدالة f سلسة، وإنما$ $من$ $نوع$ $L²$ فقط ، فإن صيغة مماثلة تنطبق مع استبدال شرط التناقص السريع بشرط $L²$ المناسب . ^{[ 35 ]} ) يُطلق على فضاء هذه الدوال لمتغير عقدي اسم فضاء بالي-وينر. وقد عُممت هذه النظرية لتشمل زمر لي شبه البسيطة . ^{[ 36 ]}

إذا كانت الدالة $f$ مدعومة على نصف الخط $t \geq 0$ ، يُقال إن $f "سببية" لأن$ دالة استجابة النبضة لمرشح قابل للتحقيق فيزيائيًا يجب أن تتمتع بهذه الخاصية، إذ لا يمكن لأي تأثير أن يسبق سببه. وقد بيّن بالي ووينر أنه في ظل فرضيات التكامل المناسبة، تمتد $f̂$ إلى دالة تحليلية على النصف السفلي المركب $τ < 0$ ، والتي تؤول إلى الصفر عندما يؤول $τ$ إلى $-\infty$ . ^{[ 37 ]} إن عكس هذه الفرضية البسيط خاطئ؛ أما العكس الدقيق فيتطلب فرضيات إضافية تتعلق بالنمو أو فضاء هاردي. ^{[ 38 ]}

تحويل لابلاس

يرتبط تحويل فورييه $f̂ (ξ)$ بتحويل لابلاس $F (s)$ ، والذي يستخدم أيضًا لحل المعادلات التفاضلية وتحليل المرشحات .

قد يحدث أن الدالة $f$ التي لا يتقارب تكامل فورييه لها على المحور الحقيقي على الإطلاق، ومع ذلك يكون لها تحويل فورييه مركب معرف في منطقة ما من المستوى المركب .

على سبيل المثال، إذا كانت $f$ دالة سببية وذات نمو أسي، أي $f(t)=0\quad (t<0),\qquad \vert f(t)\vert <Ce^{at}\quad (t\geq 0)$ بالنسبة لبعض الثوابت $C ، a \geq 0$ ، فإن ^{[ 39 ]} ${\widehat {f}}(i\tau )=\int _{0}^{\infty }e^{2\pi \tau t}f(t)\,dt,$ متقارب لجميع $2π τ < - a$ ، هو تحويل لابلاس أحادي الجانب لـ $f$ .

النسخة أحادية الجانب المعتادة لتحويل لابلاس هي $F(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt.$

إذا كانت $f$ دالة سببية وتتقارب التكاملات، فإن ${\widehat {f}}(i\tau )=F(-2\pi \tau )$ وبالتالي ، فإن توسيع تحويل فورييه إلى المجال المركب يعني أنه يشمل تحويل لابلاس كحالة خاصة في حالة الدوال السببية - ولكن مع تغيير المتغير $s = i 2π ξ$ .

من منظور آخر، ربما أكثر كلاسيكية، يتضمن تحويل لابلاس، بصيغته، حدًا تنظيميًا أُسّيًا إضافيًا يسمح له بالتقارب خارج الخط التخيلي الذي يُعرَّف عنده تحويل فورييه. وبذلك، يمكنه التقارب للدوال والتكاملات ذات النمو الأُسّي على الأكثر في الاتجاه المُنظَّم، بينما لا يستطيع تحليل فورييه الأصلي ذلك، مما يُتيح تحليل الأنظمة ذات العناصر المتباعدة أو الحرجة. ومن الأمثلة المحددة في معالجة الإشارات الخطية بناء شبكات مرشحات تمرير الكل من مرشحات الترددات الحرجة، ومرشحات التخفيف عبر إلغاء الأقطاب والأصفار بدقة على دائرة الوحدة. وتُعد هذه التصاميم شائعة في معالجة الصوت، حيث يُسعى إلى الحصول على استجابة طورية غير خطية للغاية، كما هو الحال في الصدى.

علاوة على ذلك، عند البحث عن استجابات نبضية ممتدة لمعالجة الإشارات، فإن أسهل طريقة لإنتاجها هي استخدام دائرة واحدة تُنتج استجابة زمنية متباعدة، ثم إلغاء هذا التباعد من خلال استجابة معاكسة ومُعوضة مُؤجلة. في هذه الحالة، تُتيح دائرة التأخير الوسيطة فقط وصفًا كلاسيكيًا باستخدام تحويل فورييه، وهو أمر بالغ الأهمية. أما الدائرتان الجانبيتان فهما غير مستقرتين، ولا تُتيحان تحليلًا متقاربًا باستخدام تحويل فورييه. مع ذلك، فإنهما تُتيحان وصفًا في مجال لابلاس، مع أنصاف مستويات تقارب متوافقة في المستوى المركب (أو في الحالة المنفصلة، المستوى Z)، حيث تُلغي تأثيراتهما بعضها بعضًا.

في الرياضيات الحديثة، يُدرج تحويل لابلاس عادةً ضمن طرق فورييه. وكلاهما يندرج تحت مفهوم التحليل التوافقي الأكثر عمومية وتجريداً .

الانعكاس

لا يزال مع $\xi =\sigma +i\tau$ ، إذا ${\widehat {f}}$ إذا كانت دالة تحليلية معقدة لـ $a \leq τ \leq b$ ولها اضمحلال كافٍ في الشرائح الأفقية، فإن $\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\sigma +ia)e^{i2\pi (\sigma +ia)t}\,d\sigma =\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\sigma +ib)e^{i2\pi (\sigma +ib)t}\,d\sigma$ بحسب نظرية كوشي التكاملية . لذلك، يمكن استخدام صيغة عكس فورييه للتكامل على طول خطوط مختلفة موازية للمحور الحقيقي. ^{[ 40 ]}

نظرية: إذا كانت $f (t) = 0$ لـ $t < 0$ ، و $| f (t) | < Ce at$ لبعض الثوابت $C و a > 0$ و $t \geq 0$ ، فإن $f(t)=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\sigma +i\tau )e^{i2\pi (\sigma +i\tau )t}\,d\sigma ,$ لأي $τ < - ⁠ a / 2π ⁠$ ، في ظل الفرضيات المعتادة لانعكاس فورييه.

تشير هذه النظرية إلى صيغة ميلين العكسية لتحويل لابلاس، ^{[ 39 ]} $f(t)={\frac {1}{i2\pi }}\int _{b-i\infty }^{b+i\infty }F(s)e^{st}\,ds$ لأي $b > a$ ، حيث $F (s)$ هو تحويل لابلاس لـ $f (t)$ .

يمكن تخفيف الفرضيات، كما هو الحال في نتائج عكس فورييه القياسية، إلى $f (t) e - at$ حيث $L1 ،$ بشرط أن يكون لـ $f$ تباين محدود في جوار مغلق لـ $t$ (انظر اختبار ديني )، وأن تُؤخذ قيمة $f$ عند $t على أنها$ المتوسط الحسابي للنهايتين اليسرى واليمنى، وأن تُؤخذ التكاملات بمعنى القيم الرئيسية لكوشي. ^{[ 41 ]}

تتوفر أيضًا إصدارات $L2 من صيغ الانعكاس$ ^{هذه .}^[ $42$ ^]

تحويل فورييه على الفضاء الإقليدي

يمكن تعريف تحويل فورييه في أي عدد من الأبعاد $n$ . وكما هو الحال في البعد الواحد، توجد العديد من الاصطلاحات. بالنسبة للدالة القابلة للتكامل $f (x)$ ، تعتمد هذه المقالة التعريف التالي: ${\widehat {f}}({\boldsymbol {\xi }})={\mathcal {F}}(f)({\boldsymbol {\xi }})=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )e^{-i2\pi {\boldsymbol {\xi }}\cdot \mathbf {x} }\,d\mathbf {x}$ حيث $x$ و $ξ$ متجهان ذوا أبعاد $n$ ، و $x$ $\cdot$ $ξ$ هو حاصل الضرب القياسي للمتجهين. وبدلاً من ذلك، يمكن اعتبار $ξ$ منتمياً إلى فضاء المتجهات الثنائي . $\mathbb {R} ^{n\star }$ ⁠ ، وفي هذه الحالة يصبح الضرب النقطي هوانكماش x $و$ ξ $،$ وعادة ما يكتب على النحو التالي $⟨ x, ξ ⟩$ .

تنطبق جميع الخصائص الأساسية المذكورة أعلاه على تحويل فورييه ذي الأبعاد $n$ ، وكذلك مبرهنة بلانشيريل ومبرهنة بارسيفال. عندما تكون الدالة قابلة للتكامل، يظل تحويل فورييه متصلاً بانتظام، وتتحقق مبرهنة ريمان-ليبيغ . ^{[ 19 ]}

مبدأ عدم اليقين

بشكل عام، كلما زاد تركيز الدالة $f (x)$ ، زاد اتساع تحويل فورييه الخاص بها $f̂ (ξ)$ . ويمكن تفسير خاصية التناسب لتحويل فورييه على النحو التالي: إذا ضغطنا دالة ما في $x$ ، فإن تحويل فورييه الخاص بها سيتمدد في $ξ$ . ولا يمكن تركيز كل من الدالة وتحويل فورييه الخاص بها بشكل عشوائي.

يمكن صياغة المفاضلة بين ضغط الدالة وتحويل فورييه الخاص بها في شكل مبدأ عدم اليقين من خلال النظر إلى الدالة وتحويل فورييه الخاص بها كمتغيرات مترافقة بالنسبة للشكل التبسيطي على مجال التردد الزمني : من وجهة نظر التحويل الكنسي الخطي ، فإن تحويل فورييه هو دوران بمقدار 90 درجة في مجال التردد الزمني، ويحافظ على الشكل التبسيطي.

لنفترض أن $f (x)$ دالة قابلة للتكامل وقابلة للتكامل التربيعي . وبدون فقدان للعمومية ، نفترض أن $f (x)$ دالة معيارية: $\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=1.$

ويترتب على نظرية بلانشيريل أن $f̂ (ξ)$ يتم تطبيعها أيضًا.

يمكن قياس الانتشار حول $x = 0 من خلال$ التشتت حول الصفر المحدد بواسطة ^{[ 43 ]} $D_{0}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}|f(x)|^{2}\,dx.$

من حيث الاحتمالات، هذا هو العزم الثاني لـ $| f (x) | 2$ حول الصفر.

ينص مبدأ عدم اليقين على أنه إذا كانت الدالة $f (x)$ متصلة اتصالاً مطلقاً، وكانت الدالتان $x \cdot f (x)$ و $f' (x)$ قابلتين للتكامل التربيعي، فإن $D_{0}(f)D_{0}({\widehat {f}})\geq {\frac {1}{16\pi ^{2}}}.$

لا تتحقق المساواة إلا في حالة ${\begin{aligned}f(x)&=C_{1}\,e^{-\pi {\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}}\\\therefore {\widehat {f}}(\xi )&=\sigma C_{1}\,e^{-\pi \sigma ^{2}\xi ^{2}}\end{aligned}}$ حيث $σ > 0$ قيمة اختيارية، و $C 1 = ⁠ \sqrt 2 /$ $\sqrt σ ⁠ بحيث تكون f مُعَيَّرة L 2. بعبارة$ أخرى ، $f$ $دالة غاوسية$ ( $مُعَيَّرة$ ) بتباين σ $2 / 2 π$ ، مركزها الصفر، وتحويل فورييه الخاص بها دالة غاوسية بتباين $σ -2 /2 π$ . تُعد الدوال الغاوسية أمثلة على دوال شوارتز (انظر المناقشة حول التوزيعات المعتدلة أدناه).

في الواقع، تشير هذه المتباينة إلى ما يلي: $\left(\int _{-\infty }^{\infty }(x-x_{0})^{2}|f(x)|^{2}\,dx\right)\left(\int _{-\infty }^{\infty }(\xi -\xi _{0})^{2}\left|{\widehat {f}}(\xi )\right|^{2}\,d\xi \right)\geq {\frac {1}{16\pi ^{2}}},\quad \forall x_{0},\xi _{0}\in \mathbb {R} .$ في ميكانيكا الكم ، تُعتبر دوال الموجة للزخم والموضع أزواجًا من تحويلات فورييه، حتى عامل ثابت بلانك . وبأخذ هذا الثابت في الاعتبار، تصبح المتباينة أعلاه نصًا لمبدأ هايزنبرغ للشك . ^[⁴⁴^]

مبدأ عدم اليقين الأقوى هو مبدأ هيرشمان لعدم اليقين ، والذي يُعبَّر عنه على النحو التالي: $H\left(\left|f\right|^{2}\right)+H\left(\left|{\widehat {f}}\right|^{2}\right)\geq \log \left({\frac {e}{2}}\right)$ حيث $H (p)$ هي الإنتروبيا التفاضلية لدالة كثافة الاحتمال $p (x)$ : $H(p)=-\int _{-\infty }^{\infty }p(x)\log {\bigl (}p(x){\bigr )}\,dx$ حيث يمكن أن تكون اللوغاريتمات بأي أساس متسق. وتتحقق المساواة بالنسبة للتوزيع الغاوسي، كما في الحالة السابقة.

تحويلات الجيب وجيب التمام

لم يستخدم فورييه في صياغته الأصلية للتحويل الأعداد المركبة، بل استخدم الجيب وجيب التمام. ولا يزال الإحصائيون وغيرهم يستخدمون هذه الصيغة. ويمكن توسيع دالة قابلة للتكامل المطلق $f، والتي ينطبق عليها تحويل فورييه العكسي، بدلالة الترددات الحقيقية$ $λ$ (مع تجنب الترددات السالبة، التي يصعب أحيانًا تفسيرها فيزيائيًا ^{[ 45 ]} ) كما يلي: $f(t)=\int _{0}^{\infty }{\bigl (}a(\lambda )\cos(2\pi \lambda t)+b(\lambda )\sin(2\pi \lambda t){\bigr )}\,d\lambda .$

يُطلق على هذا اسم توسيع التكامل المثلثي ، أو توسيع تكامل فورييه. ويمكن إيجاد معاملات الدالتين $a$ و $b$ باستخدام صيغ مختلفة من تحويل فورييه الجيبي التمامي وتحويل فورييه الجيبي (مع العلم أن عمليات التوحيد غير موحدة). $a(\lambda )=2\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos(2\pi \lambda t)\,dt$ و $b(\lambda )=2\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin(2\pi \lambda t)\,dt.$

تشير الأدبيات القديمة إلى دالتي التحويل، تحويل جيب التمام لفورييه، $a$ ، وتحويل الجيب لفورييه، $b$ .

يمكن استعادة الدالة $f$ من تحويل الجيب وجيب التمام باستخدام $f(t)=2\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\cos {\bigl (}2\pi \lambda (\tau -t){\bigr )}\,d\tau \,d\lambda .$ بالإضافة إلى المتطابقات المثلثية. ويُشار إلى ذلك باسم صيغة فورييه التكاملية. ^{[ 39 ]}^{[ 46 ]}^{[ 47 ]}^{[ 48 ]}

التوافقيات الكروية

لنرمز إلى مجموعة كثيرات الحدود التوافقية المتجانسة من الدرجة $k$ على $Rⁿ$ $بالرمز$ $Ak$ . تتكون المجموعة $Ak$ من التوافقيات الكروية الصلبة من الدرجة $k . تلعب التوافقيات الكروية$ $الصلبة$ دورًا مشابهًا في الأبعاد الأعلى لكثيرات حدود هيرميت في البعد الواحد. تحديدًا $،$ إذا $كان$ $f$ $($ $x$ $)$ $=$ $e⁻π$ $|$ $x$ $|$ $²P$ $($ $x$ $)$ لبعض $P$ $($ $x$ $)$ في $Ak$ $،$ فإن ${\widehat {f}}(\xi )=i^{-k}f(\xi )$ لنفترض أن المجموعة $H k$ هي المجموعة المغلقة في $L 2 (R n)$ للمجموعات الخطية من الدوال على الصورة $f (| x |) P (x)$ ، حيث $P (x)$ تنتمي إلى $A k$ . عندئذٍ، يكون الفضاء $L 2 (R n)$ مجموعًا مباشرًا للفضاءات $H k$ ، ويُحوّل تحويل فورييه كل فضاء $H k$ إلى نفسه، ومن الممكن تحديد تأثير تحويل فورييه على كل فضاء $H k$ .^{[ 19 ]}

ليكن $f (x) = f₀ (| x |) P (x)$ (حيث $P (x)$ في $Aₖ)$ $،$ إذن ${\widehat {f}}(\xi )=F_{0}(|\xi |)P(\xi )$ أين $F_{0}(r)=2\pi i^{-k}r^{-{\frac {n+2k-2}{2}}}\int _{0}^{\infty }f_{0}(s)J_{\frac {n+2k-2}{2}}(2\pi rs)s^{\frac {n+2k}{2}}\,ds.$

هنا، $يرمز J(n + 2k - 2)/2 إلى دالة بيسل من النوع الأول من الرتبة n + 2k$ − $2/2 . عندما k = 0،$ تُعطي هذه $الصيغة$ $صيغةً$ $مفيدةً$ $لتحويل$ $فورييه$ $لدالة$ شعاعية $.$ $[$ $49$ ] ^وهذا^هو^في جوهره تحويل هانكل . علاوةً على ذلك، توجد علاقة تكرارية بسيطة تربط بين الحالتين $n$ $+ 2$ و $n$ ^[⁵⁰^] ، مما يسمح بحساب، على سبيل المثال، تحويل فورييه ثلاثي الأبعاد لدالة شعاعية من تحويل فورييه أحادي البعد.

مشاكل التقييد

في الأبعاد الأعلى، يصبح من المثير للاهتمام دراسة مسائل التقييد لتحويل فورييه. تحويل فورييه لدالة قابلة للتكامل يكون متصلاً، وتقييد هذه الدالة على أي مجموعة مُعرَّف. لكن بالنسبة لدالة قابلة للتكامل التربيعي، يمكن أن يكون تحويل فورييه فئة عامة $من الدوال القابلة للتكامل التربيعي. على هذا النحو، لا يمكن تعريف تقييد تحويل فورييه لدالة L²(Rⁿ)$ على مجموعات $قياسها$ $صفر . لا يزال$ فهم مسائل التقييد في $Lⁿ$ ، حيث $1 <$ $p$ $< 2$ $،$ $مجالًا$ نشطًا للدراسة . من الممكن في بعض الحالات تعريف تقييد تحويل فورييه على مجموعة $S$ ، بشرط أن يكون لـ $S$ انحناء غير صفري. الحالة التي تكون فيها $S$ هي كرة الوحدة في $Rⁿ$ ذات أهمية خاصة. في هذه الحالة، تنص نظرية توماس- $شتاين$ $للتقييد$ $على$ أن تقييد تحويل فورييه على كرة الوحدة في $Rⁿ$ هو مؤثر محدود على $Lⁿ$ $بشرط$ أن يكون 1 $\leq$ $p$ $\leq$ $2ⁿ⁺²$ $/$ $($ $n⁺³$ $)$ $.$

$يتمثل$ أحد الفروق الملحوظة بين تحويل فورييه في بُعد واحد والأبعاد الأعلى في عامل الجمع الجزئي. لنفترض مجموعة متزايدة من المجموعات القابلة للقياس $ℝⁿ$ مُفهرسة بـ $R \in (0, \infty)$ : مثل الكرات ذات نصف القطر $R$ المتمركزة عند نقطة الأصل، أو المكعبات ذات الضلع $2R .$ بالنسبة لدالة قابلة للتكامل $f$ ، لنعتبر الدالة $f ℝⁿ$ المعرفة كما يلي: $f_{R}(x)=\int _{E_{R}}{\widehat {f}}(\xi )e^{i2\pi x\cdot \xi }\,d\xi ,\quad x\in \mathbb {R} ^{n}.$

لنفترض أيضًا أن $f \in L p (R n)$ . بالنسبة $لـ n = 1$ و $1 1. في حالة اعتبار ER$ $مكعبًا$ طول $ضلعه R$ ، $فإن$ التقارب $يظل$ قائمًا. مرشح طبيعي آخر هو الكرة الإقليدية $ER = {ξ : | ξ | < R}$ . لكي يتقارب مؤثر المجموع الجزئي هذا، من الضروري أن يكون مُضاعِف كرة الوحدة محدودًا في $L p (R n)$ . بالنسبة لـ $n \geq 2،$ $هناك$ نظرية شهيرة لتشارلز فيفرمان تنص على أن مُضاعِف كرة الوحدة لا يكون محدودًا أبدًا إلا إذا كان $p = 2$ . ^{[ 51 ]} في الواقع، عندما يكون $p \neq 2$ ، فإن هذا يدل على أنه ليس فقط قد تفشل $f R$ في التقارب إلى $f$ في $L p$ ، ولكن بالنسبة لبعض الدوال $f \in L p (R n)$ ، فإن $f R$ ليست حتى عنصرًا من $L p$ .

تحويل فورييه على فضاءات الدوال

يمتد تعريف تحويل فورييه بشكل طبيعي من $L^{1}(\mathbb {R} )$ إلى $L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ أي إذا $f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ ثم تحويل فورييه ${\mathcal {F}}:L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\to L^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ يُعطى بواسطة $f(x)\mapsto {\widehat {f}}(\xi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-i2\pi \xi \cdot x}\,dx,\quad \forall \xi \in \mathbb {R} ^{n}.$ هذا المؤثر محدود كما $\sup _{\xi \in \mathbb {R} ^{n}}\left\vert {\widehat {f}}(\xi )\right\vert \leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}\vert f(x)\vert \,dx,$ مما يدل على أن معيار المؤثر محدود بـ $1.$ وتُبين مبرهنة ريمان -ليبيغ أنه إذا $f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ إذن، فإن تحويل فورييه الخاص بها ينتمي في الواقع إلى فضاء الدوال المتصلة التي تتلاشى عند اللانهاية ، أي ${\widehat {f}}\in C_{0}(\mathbb {R} ^{n})\subset L^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ [ ⁵²^]^[⁵³^] علاوة على^ذلك ،فإن صورة $L^{1}$ تحت ${\mathcal {F}}$ هي مجموعة فرعية صارمة من $C_{0}(\mathbb {R} ^{n})$ [ ⁵⁴ ]

على غرار حالة المتغير الواحد، يمكن تعريف تحويل فورييه على $L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ . تحويل فورييه في $L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ لم يعد يُعطى بواسطة تكامل ليبيغ العادي، على الرغم من أنه يمكن حسابه بواسطة تكامل غير محدد ، أي ${\widehat {f}}(\xi )=\lim _{R\to \infty }\int _{|x|\leq R}f(x)e^{-i2\pi \xi \cdot x}\,dx$ حيث تُؤخذ النهاية بالمعنى L $2. [$ ^{ملاحظة 7 ]}^{[ 55 ]}

بالإضافة إلى، ${\mathcal {F}}:L^{2}(\mathbb {R} ^{n})\to L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ هو مؤثر وحدوي . ^{[ 56 ]} لكي يكون المؤثر وحدويًا، يكفي إثبات أنه تقابلي ويحافظ على الجداء الداخلي. تنص نظرية انعكاس فورييه على أن التحويل تقابلي. كذلك، $لأي$ $f و g \in L² (Rⁿ) ،$ لدينا $\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x){\mathcal {F}}g(x)\,dx=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\mathcal {F}}f(x)g(x)\,dx.$ لذا ${\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\overline {{\mathcal {F}}f(x)}}{\mathcal {F}}g(x)\,dx&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\mathcal {F}}^{-1}{\overline {f(x)}}{\mathcal {F}}g(x)\,dx\\&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\mathcal {F}}{\mathcal {F}}^{-1}{\overline {f(x)}}g(x)\,dx=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\overline {f(x)}}g(x)\,dx\end{aligned}}$

لذا فإن التحويل يحافظ على الضرب الداخلي.

على الجانب الآخر من L ^p

لـ $1<p<2$ ، يمكن تعريف تحويل فورييه على $L^{p}(\mathbb {R} )$ عن طريق استيفاء ريز-ثورين ، والذي يرقى إلى تحليل هذه الدوال إلى جزء ذي ذيل سميك $|f|\leq 1$ في $L 2$ بالإضافة إلى جزء من الجسم السمين $|f|>1$ في $L1 .$ $في كل من هذه الفضاءات ، يكون تحويل فورييه لدالة في Lp(Rn) في Lq($ $Rn$ $)$ ، $حيث q = p$ / $($ $p$ $-$ $1$ $)$ هو $المرافق هولدر للدالة p (بحسب متباينة هاوسدورف$ - يونغ ) $.$ مع ذلك ، باستثناء $p = 2$ ، يصعب تحديد الصورة. وتصبح التوسعات اللاحقة أكثر تعقيدًا. يتطلب تحويل فورييه للدوال في $Lp$ للمدى $2$ $ 2$ بحيث لا يُعرَّف تحويل فورييه كدالة. ^{[ 19 ]}

توزيعات معتدلة

يمكن للمرء أن يفكر في توسيع نطاق تحويل فورييه من $L^{1}+L^{2}$ من خلال النظر في الدوال المعممة ، أو التوزيعات. توزيع على $\mathbb {R} ^{n}$ دالة خطية متصلة على الفضاء $C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ من الدوال الملساء ذات الدعم المحدود (أي دوال النتوءات )، والمجهزة بطوبولوجيا مناسبة. بما أن $C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ كثيف في $L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ تسمح نظرية بلانشيريل بتوسيع تعريف تحويل فورييه ليشمل الدوال العامة في $L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ باستخدام حجج الاستمرارية. وتتمثل الاستراتيجية بعد ذلك في دراسة تأثير تحويل فورييه على $C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ ثم يتم الانتقال إلى التوزيعات عن طريق الازدواجية. يكمن العائق أمام القيام بذلك في أن تحويل فورييه لا يُطابق $C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ إلى $C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ في الواقع ، تحويل فورييه لعنصر في $C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ لا يمكن أن تختفي على مجموعة مفتوحة؛ انظر المناقشة أعلاه حول مبدأ عدم اليقين. ^{[ 58 ]}^{[ 59 ]}

يمكن تعريف تحويل فورييه أيضاً للتوزيعات المعتدلة ${\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})$ ، ثنائي لفضاء دوال شوارتز ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ دالة شوارتز هي دالة سلسة تتلاشى عند اللانهاية، وكذلك جميع مشتقاتها، وبالتالي $C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\subset {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ و: ${\mathcal {F}}:C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\rightarrow {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})\setminus C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}).$ يُعد تحويل فورييه تشاكلاً ذاتياً لفضاء شوارتز، وبالازدواجية، هو أيضاً تشاكل ذاتي لفضاء التوزيعات المعتدلة. ^{[ 19 ]}^{[ 60 ]} تشمل التوزيعات المعتدلة الدوال المنتظمة ذات النمو متعدد الحدود، والتوزيعات ذات الدعم المدمج، بالإضافة إلى جميع الدوال القابلة للتكامل المذكورة أعلاه.

لتعريف تحويل فورييه لتوزيع معتدل، ليكن $f$ و $g$ لتكن دوال قابلة للتكامل، ولتكن ${\widehat {f}}$ و ${\widehat {g}}$ ولتكن تحويلات فورييه الخاصة بهما على التوالي. عندئذٍ، يخضع تحويل فورييه لصيغة الضرب التالية، ^{[ 19 ]} $\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\widehat {f}}(x)g(x)\,dx=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x){\widehat {g}}(x)\,dx.$

كل وظيفة قابلة للتكامل $f$ يُحدد (يُحفز) توزيعًا $T_{f}$ عن طريق العلاقة $T_{f}(\varphi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\varphi (x)\,dx,\quad \forall \varphi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}).$ لذلك من المنطقي تعريف تحويل فورييه للتوزيع المعتدل $T_{f}\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )$ بسبب الازدواجية: $\langle {\widehat {T}}_{f},\varphi \rangle =\langle T_{f},{\widehat {\varphi }}\rangle ,\quad \forall \varphi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}).$ ويمكن تطبيق ذلك على جميع التوزيعات المعتدلة. $T$ يقدم التعريف العام لتحويل فورييه.

يمكن تفاضل التوزيعات، ويظل التوافق المذكور أعلاه لتحويل فورييه مع التفاضل والالتفاف صحيحًا بالنسبة للتوزيعات المعتدلة.

التعميمات

تحويل فورييه-ستيلتيس على الفضاءات القابلة للقياس

التحويل الفورييه لمقياس بوريل محدود $μ$ على $R$ $n$ ، معطى بواسطة الدالة المحدودة والمتصلة بشكل منتظم: ^[⁶¹^]^[⁶²^] ${\widehat {\mu }}(\xi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-i2\pi x\cdot \xi }\,d\mu ,$ يُطلق عليه اسم تحويل فورييه-ستيلتيس نظرًا لارتباطه بالتمثيل التكاملي لريمان-ستيلتيس لمقاييس (رادون) . ^{[ 63 ]} إذا $\mu$ هو التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي $X$ عندئذٍ، يكون تحويل فورييه-ستيلتيس الخاص به، بحكم التعريف، دالة مميزة . ^{[ 64 ]} وإذا كان لتوزيع الاحتمال، بالإضافة إلى ذلك، دالة كثافة احتمالية ، فإن هذا التعريف يخضع لتحويل فورييه المعتاد. ^{[ 65 ]} وبصورة أعم، عندما $\mu$ وهي متصلة تمامًا بالنسبة لمقياس ليبيغ، أي $d\mu =f(x)\,dx,$ ثم ${\widehat {\mu }}(\xi )={\widehat {f}}(\xi ),$ ويختزل تحويل فورييه-ستيلتيس إلى التعريف المعتاد لتحويل فورييه. أي أن الاختلاف الملحوظ مع تحويل فورييه للدوال القابلة للتكامل هو أن تحويل فورييه-ستيلتيس لا يشترط أن يتلاشى عند اللانهاية، أي أن مبرهنة ريمان-ليبيغ لا تنطبق على القياسات. ^{[ 66 ]}

تحدد نظرية بوخنر الوظائف التي قد تنشأ كتحويل فورييه-ستيلتيس لمقياس موجب على الدائرة.

أحد الأمثلة على مقياس بوريل المحدود الذي ليس دالة هو مقياس ديراك . ^{[ 67 ]} تحويل فورييه الخاص به هو دالة ثابتة (تعتمد قيمتها على شكل تحويل فورييه المستخدم).

مجموعات أبيلية متراصة محليًا

يمكن تعميم تحويل فورييه ليشمل أي زمرة أبيلية متراصة محليًا ، أي زمرة أبيلية هي أيضًا فضاء هاوسدورف متراص محليًا بحيث تكون عملية الزمرة متصلة. إذا كانت $G$ زمرة أبيلية متراصة محليًا، فإن لها مقياسًا ثابتًا تحت الإزاحة $μ$ ، يُسمى مقياس هار . بالنسبة لزمرة أبيلية متراصة محليًا $G$ ، تُسمى مجموعة التمثيلات الوحدوية غير القابلة للاختزال، أي أحادية البعد، بخصائصها . مع بنيتها الزمرية الطبيعية وطوبولوجيا التقارب المنتظم على المجموعات المتراصة (أي الطوبولوجيا المستحثة بواسطة طوبولوجيا التقارب المتراص المفتوح على فضاء جميع الدوال المتصلة من $G$ بالنسبة لمجموعة الدائرة )، فإن مجموعة الأحرف $Ĝ$ هي نفسها مجموعة أبيلية متراصة محليًا، تسمى المجموعة الثنائية لبونترياجين لـ $G.$ بالنسبة لدالة $f$ في $L1 (G)$ ، يتم تعريف تحويل فورييه الخاص بها بواسطة ^[⁵⁷^] $.$ ${\widehat {f}}(\xi )=\int _{G}{\overline {\xi (x)}}f(x)\,d\mu \quad {\text{for any }}\xi \in {\widehat {G}}.$

تنطبق ليمّة ريمان-ليبيغ في هذه الحالة؛ $f̂ (ξ)$ هي دالة تتلاشى عند اللانهاية على $Ĝ$ .

يُعد تحويل فورييه على $T$ = R/Z مثالًا على ذلك؛ حيث $T$ زمرة أبيلية متراصة محليًا، ويمكن اعتبار مقياس هار $μ$ على $T مقياس ليبيغ على [0,1). لنفترض تمثيلًا لـ$ $T$ على المستوى العقدي $C،$ الذي يُنظر إليه على أنه فضاء متجهي عقدي أحادي البعد. توجد زمرة من هذه التمثيلات (وهي غير قابلة للاختزال لأن $C$ أحادي البعد). $\{e_{k}:T\rightarrow GL_{1}(C)=C^{*}\mid k\in Z\}$ أين $e_{k}(x)=e^{i2\pi kx}$ لـ $x\in T$ ⁠ .

إن طبيعة هذا التمثيل، أي أثره $e_{k}(x)$ (يُنظر إليها على أنها مصفوفة أحادية) لكل $x\in T$ و $k\in Z$ ، هو $e^{i2\pi kx}$ في حالة تمثيلات الزمر المنتهية، يتكون جدول خصائص الزمرة $G$ من صفوف من المتجهات، بحيث يمثل كل صف خاصية أحد التمثيلات غير القابلة للاختزال لـ $G$ ، وتشكل هذه المتجهات أساسًا متعامدًا لفضاء الدوال من الفئة (أي الدوال الثابتة تحت الاقتران) التي تربط من $G$ إلى $C$ وفقًا لفرضية شور. لم تعد الزمرة $T$ منتهية ولكنها لا تزال متراصة، وتحافظ على تعامد جدول الخصائص. كل صف من الجدول هو الدالة $e_{k}(x)$ من $x\in T$ ، والضرب الداخلي بين دالتين من الفئة (جميع الدوال هي دوال من الفئة لأن $T$ تبديلية) $f,g\in L^{2}(T,d\mu )$ يُعرَّف بأنه ${\textstyle \langle f,g\rangle ={\frac {1}{|T|}}\int _{[0,1)}f(y){\overline {g}}(y)d\mu (y)}$ مع عامل التطبيع $\vert T\vert =1$ التسلسل $\{e_{k}\mid k\in Z\}$ هي أساس متعامد لفضاء الدوال من الفئة ⁠ $L^{2}(T,d\mu )$ ⁠ .

لأي تمثيل $V$ لمجموعة منتهية $G$ ، $\chi _{v}$ يمكن التعبير عنها بالمدى ${\textstyle \sum _{i}\left\langle \chi _{v},\chi _{v_{i}}\right\rangle \chi _{v_{i}}}$ ( $V_{i}$ هي التمثيلات غير القابلة للاختزال لـ $G )$ ، بحيث $\textstyle \left\langle \chi _{v},\chi _{v_{i}}\right\rangle ={\frac {1}{\vert G\vert }}\sum _{g\in G}\chi _{v}(g){\overline {\chi }}_{v_{i}}(g)$ وبالمثل بالنسبة لـ $G=T$ و $f\in L^{2}(T,d\mu )$ ، $\textstyle f(x)=\sum _{k\in Z}{\widehat {f}}(k)e_{k}$ . ثنائية بونترياجين ${\widehat {T}}$ يكون $\{e_{k}\}(k\in Z)$ ولـ $f\in L^{2}(T,d\mu )$ ، ${\textstyle {\widehat {f}}(k)={\frac {1}{|T|}}\int _{[0,1)}f(y)e^{-i2\pi ky}dy}$ وهو تحويل فورييه الخاص به لـ $e_{k}\in {\widehat {T}}$ ⁠ .

جيلفاند تحول

يُعد تحويل فورييه حالة خاصة من تحويل جيلفاند . وفي هذا السياق تحديداً، يرتبط ارتباطاً وثيقاً بخريطة بونترياجين الثنائية المعرّفة أعلاه.

بالنظر إلى زمرة هاوسدورف الطوبولوجية الموضعية المدمجة الأبيلية $G ، كما في السابق$ $،$ نعتبر الفضاء $L1$ $($ $G$ $)$ المعرّف باستخدام مقياس هار. وباعتبار الالتفاف ضربًا، $فإن$ $L1$ $($ $G$ $)$ هو جبر باناخ أبيلي . كما أنه يمتلك عملية انعكاس * معطاة بواسطة $f^{*}(g)={\overline {f\left(g^{-1}\right)}}.$

إن أخذ الإكمال بالنسبة لأكبر معيار $C *$ ممكن يعطي جبر $C *$ المغلف له، والذي يسمى جبر $C *$ للمجموعة $C *(G)$ لـ $G.$ (أي معيار $C * على$ $L1 (G)$ محدود بمعيار $L1$ ، وبالتالي فإن قيمته العليا موجودة $.)$

بالنظر إلى أي جبر تبديلي من النوع $C *،$ $A$ ، فإن تحويل جيلفاند يُعطي تماثلًا بين $A$ و $C0 (A^)$ ، حيث $A^$ هي الدوال الخطية الضربية، أي التمثيلات أحادية البعد، على $A$ مع طوبولوجيا * الضعيفة. ويُعطى هذا التحويل ببساطة بواسطة $a\mapsto {\bigl (}\varphi \mapsto \varphi (a){\bigr )}.$ اتضح أن الدوال الخطية المضاعفة لـ $C *(G)$ ، بعد تحديد مناسب ، هي بالضبط خصائص $G$ ، وتحويل جيلفاند ، عند تقييده على المجموعة الفرعية الكثيفة $L 1 (G)$ ، هو تحويل فورييه-بونترياجين.

مجموعات غير أبيلية متراصة

يمكن تعريف تحويل فورييه أيضًا للدوال على زمرة غير تبديلية، بشرط أن تكون الزمرة متراصة . وبإزالة افتراض أن الزمرة الأساسية تبديلية، لا يشترط أن تكون التمثيلات الوحدوية غير القابلة للاختزال أحادية البعد دائمًا. وهذا يعني أن تحويل فورييه على زمرة غير تبديلية يأخذ قيمًا كمؤثرات فضاء هيلبرت. ^{[ 68 ]} يُعد تحويل فورييه على الزمر المتراصة أداةً رئيسيةً في نظرية التمثيل ^{[ 69 ]} والتحليل التوافقي غير التبادلي .

ليكن $G زمرة$ هاوسدورف طوبولوجية متراصة ، وليكن $λ$ مقياس هار المعياري لها . ولتكن $Σ$ مجموعة جميع فئات التشاكل للتمثيلات الوحدوية غير القابلة للاختزال $ذات$ الأبعاد المحدودة ، بالإضافة إلى اختيار محدد للتمثيل $U (σ)$ على فضاء هيلبرت $Hσ$ $ذي$ البعد المحدود $dσ$ لكل $σ \in Σ$ .

بالنسبة $للدالة f \in L 1 (G)$ ، فإن تحويل فورييه للدالة $f$ عند النقطة $σ$ هو المؤثر على $H σ$ المعرف بواسطة ${\widehat {f}}(\sigma )=\int _{G}f(g)U_{g^{-1}}^{(\sigma )}\,d\lambda (g).$ وبعبارة أخرى، $\left\langle {\widehat {f}}(\sigma )\xi ,\eta \right\rangle _{H_{\sigma }}=\int _{G}f(g)\left\langle U_{g^{-1}}^{(\sigma )}\xi ,\eta \right\rangle \,d\lambda (g).$ بما أن $U (σ)$ دالة وحدوية، فيمكن كتابة ذلك أيضًا باستخدام الدالة المرافقة. ${U^{(\sigma )}}_{g}^{*}$ .

إذا كان $μ$ مقياس بوريل عقدي منتهٍ على $G$ ، فإن تحويل فورييه-ستيلتيس لـ $μ$ هو المؤثر على $H σ$ المعرف بواسطة ${\widehat {\mu }}(\sigma )=\int _{G}U_{g^{-1}}^{(\sigma )}\,d\mu (g),$ أو بشكل ضعيف، $\left\langle {\widehat {\mu }}(\sigma )\xi ,\eta \right\rangle _{H_{\sigma }}=\int _{G}\left\langle U_{g^{-1}}^{(\sigma )}\xi ,\eta \right\rangle \,d\mu (g).$ إذا كانت $μ$ متصلة تمامًا بالنسبة إلى $λ$ ، ممثلة بـ $d\mu =f\,d\lambda$ بالنسبة لبعض $f \in L 1 (G)$ ، يتم تحديد تحويل فورييه لـ $f$ مع تحويل فورييه-ستيلتيس لـ $μ$ .

رسم الخرائط $\mu \mapsto {\widehat {\mu }}$ هي دالة حقنية وترسل مقاييس منتهية إلى حقول محدودة من المؤثرات $(\widehat\mu(\sigma)) σ∈Σ$ ، مع $\sup _{\sigma \in \Sigma }\|{\widehat {\mu }}(\sigma )\|\leq \|\mu \|.$ وبالتالي، يمكن اعتبارها تمثيلاً لجبر باناخ $M (G)$ للمقاييس البوريلية المنتهية، حيث يُعطى الضرب بالتفاف المقاييس. ووفقًا للاتفاقية المذكورة أعلاه، يتوافق الالتفاف مع ضرب المؤثرات بترتيب معكوس. ${\widehat {\mu *\nu }}(\sigma )={\widehat {\nu }}(\sigma ){\widehat {\mu }}(\sigma ).$ يؤدي استخدام الاصطلاح البديل $\widehat f(\sigma)=\int_G f(g)U^{(\sigma)}_g\,d\lambda(g)$ إلى عكس هذا الترتيب. ويُعطى الالتفاف على $M (G) بالنسبة للمقاييس المتصلة تمامًا، بواسطة$ $f^{*}(g)={\overline {f(g^{-1})}},$ لأن المجموعات المدمجة أحادية النمط.

تنطبق نظرية بيتر -ويل ، ويترتب عليها صيغة معكوس فورييه: إذا كانت $f \in L² (G) ،$ فإن $f(g)=\sum _{\sigma \in \Sigma }d_{\sigma }\operatorname {tr} \left({\widehat {f}}(\sigma )U_{g}^{(\sigma )}\right),$ حيث يُفهم الجمع على أنه متقارب بالمعنى $L²$ $.$ صيغة بلانشيريل المقابلة هي $\|f\|_{2}^{2}=\sum _{\sigma \in \Sigma }d_{\sigma }\|{\widehat {f}}(\sigma )\|_{\mathrm {HS} }^{2},$ حيث $||\cdot|| HS$ تشير إلى معيار هيلبرت-شميدت .

ساهم تعميم تحويل فورييه إلى الحالة غير التبادلية جزئيًا في تطوير الهندسة غير التبادلية . في هذا السياق، يُعدّ ازدواجية تاناكا-كراين تعميمًا فئويًا لتحويل فورييه إلى الزمر غير التبادلية ، حيث تستبدل زمرة الخصائص بفئة التمثيلات. مع ذلك، لم يعد هذا مجرد تحويل للدوال ذات القيم العددية إلى دوال ذات قيم عددية أخرى.

البدائل

في مجال معالجة الإشارات ، تُعرَّف دالة الزمن بأنها تمثيل للإشارة بدقة زمنية مثالية ، ولكن دون أي معلومات ترددية، بينما يتميز تحويل فورييه بدقة ترددية مثالية ، ولكنه يفتقر إلى المعلومات الزمنية: فمقدار تحويل فورييه عند نقطة ما يُحدد مقدار المحتوى الترددي، بينما يُحدد الموقع فقط بواسطة الطور (وسيط تحويل فورييه عند تلك النقطة)، والموجات المستقرة غير محددة الموقع زمنيًا - إذ تستمر الموجة الجيبية إلى ما لا نهاية دون أن تتلاشى. هذا يُحد من فائدة تحويل فورييه في تحليل الإشارات المحددة الموقع زمنيًا، ولا سيما الإشارات العابرة ، أو أي إشارة ذات مدى محدود.

كبديل لتحويل فورييه، في تحليل الزمن والتردد ، تُستخدم تحويلات الزمن والتردد أو توزيعات الزمن والتردد لتمثيل الإشارات بصيغة تتضمن معلومات زمنية ومعلومات ترددية، حيث يوجد توازن بينهما وفقًا لمبدأ عدم اليقين. ويمكن أن تكون هذه التحويلات تعميمات لتحويل فورييه، مثل تحويل فورييه قصير المدى ، وتحويل فورييه الكسري ، وتحويل فورييه بالتزامن ^{[ 70 ]} ، أو دوال أخرى لتمثيل الإشارات، كما في تحويلات المويجات وتحويلات تشيربليت ، حيث يُعد تحويل المويجات المستمر نظيرًا لتحويل فورييه ^[²⁷^] .

مثال

توضح الأشكال التالية كيفية قياس التكامل في تحويل فورييه لوجود تردد معين في دالة معينة. الصورة الأولى تصور الدالة ⁠ $f(t)=\cos(2\pi \ 3t)\ e^{-\pi t^{2}}$ وهي عبارة عن موجة جيبية بتردد 3 هرتز (الحد الأول) مُشكَّلة بواسطة دالة غلاف غاوسية (الحد الثاني) تعمل على تشغيل الموجة وإيقافها بسلاسة. تُظهر الصورتان التاليتان الناتج . $f(t)e^{-i2\pi 3t}$ ، والتي يجب تكاملها لحساب تحويل فورييه عند +3 هرتز. الجزء الحقيقي من الدالة المتكاملة له قيمة متوسطة غير سالبة، لأن الإشارات المتناوبة لـ $f(t)$ و $\operatorname {Re} (e^{-i2\pi 3t})$ تتذبذب بنفس المعدل وبنفس الطور، بينما $f(t)$ و $\operatorname {Im} (e^{-i2\pi 3t})$ تتذبذب بنفس المعدل ولكن بطور متعامد. القيمة المطلقة لتحويل فورييه عند +3 هرتز هي 0.5، وهي قيمة كبيرة نسبيًا. عند جمعها مع تحويل فورييه عند -3 هرتز (وهو مطابق لأننا بدأنا بإشارة حقيقية)، نجد أن سعة مُركِّبة التردد 3 هرتز تساوي 1.

الدالة الأصلية، التي تحتوي على مكون قوي بتردد 3 هرتز. الأجزاء الحقيقية والخيالية من تكامل تحويل فورييه الخاص بها عند +3 هرتز.

مع ذلك، عند محاولة قياس تردد غير موجود، يتغير كل من الجزء الحقيقي والجزء التخيلي للتكامل بسرعة بين القيم الموجبة والسالبة. على سبيل المثال، يبحث المنحنى الأحمر عن تردد 5 هرتز. القيمة المطلقة لتكامله تقترب من الصفر، مما يشير إلى عدم وجود أي مكون بتردد 5 هرتز تقريبًا في الإشارة. عادةً ما يكون الوضع العام أكثر تعقيدًا من ذلك، ولكن هذه هي الطريقة التي يقيس بها تحويل فورييه مقدار وجود تردد معين في دالة ما . $f(t)$ ⁠ .

الأجزاء الحقيقية والخيالية للدالة التكاملية لتحويل فورييه الخاص بها عند +5 هرتز.
مقدار تحويل فورييه الخاص به، مع وضع علامة +3 و +5 هرتز.

وللتأكيد على نقطة سابقة، فإن سبب الاستجابة في $\xi =-3$ هرتز هو بسبب $\cos(2\pi 3t)$ و $\cos(2\pi (-3)t)$ لا يمكن تمييزها. تحويل $e^{i2\pi 3t}\cdot e^{-\pi t^{2}}$ سيكون لها استجابة واحدة فقط، سعتها هي تكامل الغلاف الأملس : $e^{-\pi t^{2}}$ بينما $\operatorname {Re} (f(t)\cdot e^{-i2\pi 3t})$ هو $e^{-\pi t^{2}}(1+\cos(2\pi 6t))/2$ ⁠ .

التطبيقات

العمليات الخطية التي تُجرى في أحد المجالين (الزمن أو التردد) لها عمليات مقابلة في المجال الآخر، والتي قد تكون أسهل في بعض الأحيان. فعملية التفاضل في المجال الزمني تُقابلها عملية الضرب في التردد ^{[ ملاحظة 8 ]،} لذا فإن بعض المعادلات التفاضلية أسهل في التحليل في مجال التردد. كذلك، فإن عملية الالتفاف في المجال الزمني تُقابلها عملية الضرب العادية في مجال التردد (انظر نظرية الالتفاف ). بعد إجراء العمليات المطلوبة، يمكن تحويل النتيجة إلى المجال الزمني. التحليل التوافقي هو الدراسة المنهجية للعلاقة بين مجالي التردد والزمن، بما في ذلك أنواع الدوال أو العمليات التي تكون "أبسط" في أحدهما دون الآخر، وله صلات وثيقة بالعديد من مجالات الرياضيات الحديثة.

تحليل المعادلات التفاضلية

لعلّ أهم استخدام لتحويل فورييه هو حلّ المعادلات التفاضلية الجزئية . ويمكن معالجة العديد من معادلات الفيزياء الرياضية في القرن التاسع عشر بهذه الطريقة. درس فورييه معادلة الحرارة، التي تُكتب في بُعد واحد وبوحدات لا بُعدية على النحو التالي: ${\frac {\partial ^{2}y(x,t)}{\partial ^{2}x}}={\frac {\partial y(x,t)}{\partial t}}.$ المثال الذي سنقدمه، وهو مثال أكثر صعوبة بعض الشيء، هو معادلة الموجة في بُعد واحد. ${\frac {\partial ^{2}y(x,t)}{\partial ^{2}x}}={\frac {\partial ^{2}y(x,t)}{\partial ^{2}t}}.$

كالعادة، لا تكمن المشكلة في إيجاد حل، فالحلول لا حصر لها. إنما تكمن المشكلة فيما يُسمى "مشكلة الحدود": إيجاد حل يحقق "شروط الحدود". $y(x,0)=f(x),\qquad {\frac {\partial y(x,0)}{\partial t}}=g(x).$

هنا، $f$ و $g$ دالتان معطيتان. بالنسبة لمعادلة الحرارة، يكفي شرط حدودي واحد (عادةً الشرط الأول). أما بالنسبة لمعادلة الموجة، فلا يزال هناك عدد لا نهائي من الحلول $y$ التي تحقق الشرط الحدودي الأول. ولكن عند فرض كلا الشرطين، لا يوجد سوى حل واحد ممكن.

من الأسهل إيجاد تحويل فورييه $ŷ$ للحل من إيجاد الحل مباشرةً. ذلك لأن تحويل فورييه يحوّل التفاضل إلى ضرب بمتغير فورييه الثنائي، وبالتالي تتحول المعادلة التفاضلية الجزئية المطبقة على الدالة الأصلية إلى ضرب بدوال متعددة الحدود للمتغيرات الثنائية المطبقة على الدالة المحولة. بعد تحديد $ŷ$ ، يمكننا تطبيق تحويل فورييه العكسي لإيجاد $y$ .

تتلخص طريقة فورييه فيما يلي. أولاً، لاحظ أن أي دالة من الأشكال $\cos {\bigl (}2\pi \xi (x\pm t){\bigr )}{\text{ or }}\sin {\bigl (}2\pi \xi (x\pm t){\bigr )}$ تحقق هذه الحلول معادلة الموجة. وتسمى هذه الحلول بالحلول الأولية.

ثانيًا، لاحظ أن أي تكامل ${\begin{aligned}y(x,t)=\int _{0}^{\infty }d\xi {\Bigl [}&a_{+}(\xi )\cos {\bigl (}2\pi \xi (x+t){\bigr )}+a_{-}(\xi )\cos {\bigl (}2\pi \xi (x-t){\bigr )}+{}\\&b_{+}(\xi )\sin {\bigl (}2\pi \xi (x+t){\bigr )}+b_{-}(\xi )\sin \left(2\pi \xi (x-t)\right){\Bigr ]}\end{aligned}}$ يحقق هذا التكامل معادلة الموجة لأي قيم $a + ، a- ، b + ، b- .$ $ويمكن تفسير هذا التكامل على أنه$ توليفة خطية متصلة من حلول المعادلة الخطية.

يشبه هذا الآن صيغة تركيب فورييه لدالة. في الواقع، هذا هو التحويل العكسي الحقيقي لفورييه لـ $a \pm$ و $b \pm$ في المتغير $x$ .

تتمثل الخطوة الثالثة في دراسة كيفية إيجاد دالتي المعاملات المجهولة $a و$ $b اللتين$ تؤديان إلى تحقيق $y$ لشروط الحدود. يهمنا إيجاد قيم هذه الحلول عند $t = 0$ ، لذا سنضع $t = 0.$ بافتراض استيفاء الشروط اللازمة لعكس فورييه، يمكننا إيجاد تحويلات فورييه الجيبية وجيب التمام (بالنسبة للمتغير $x$ ) لكلا الطرفين، ومن ثم الحصول على $2\int _{-\infty }^{\infty }y(x,0)\cos(2\pi \xi x)\,dx=a_{+}+a_{-}$ و $2\int _{-\infty }^{\infty }y(x,0)\sin(2\pi \xi x)\,dx=b_{+}+b_{-}.$

وبالمثل، فإن اشتقاق $y$ بالنسبة إلى $t$ ثم تطبيق تحويلات فورييه للجيب وجيب التمام ينتج عنه $2\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial y(u,0)}{\partial t}}\sin(2\pi \xi x)\,dx=(2\pi \xi )\left(-a_{+}+a_{-}\right)$ و $2\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial y(u,0)}{\partial t}}\cos(2\pi \xi x)\,dx=(2\pi \xi )\left(b_{+}-b_{-}\right).$

هذه أربع معادلات خطية للمجاهيل الأربعة $a \pm$ و $b \pm$ ، بدلالة تحويلات الجيب وجيب التمام لفورييه للشروط الحدودية، والتي يمكن حلها بسهولة عن طريق الجبر الابتدائي، بشرط أن يكون من الممكن إيجاد هذه التحويلات.

باختصار، اخترنا مجموعة من الحلول الأولية، مُعَلمة بالمعامل $ξ$ ، حيث يكون الحل العام عبارة عن توليفة خطية (متصلة) على شكل تكامل على المعامل $ξ$ . وكان هذا التكامل على شكل تكامل فورييه. تمثلت الخطوة التالية في التعبير عن الشروط الحدية بدلالة هذه التكاملات، ومساواتها بالدالتين المعطيتين $f$ و $g$ . إلا أن هذه التعبيرات اتخذت أيضًا شكل تكامل فورييه نظرًا لخصائص تحويل فورييه للمشتقة. أما الخطوة الأخيرة، فكانت استغلال خاصية عكس فورييه بتطبيق تحويل فورييه على كلا الطرفين، ما أدى إلى الحصول على تعبيرات لدالتي المعامل $a \pm$ و $b \pm$ بدلالة الشروط الحدية المعطاة $f$ و $g$ .

من منظور أوسع، يمكن إعادة صياغة إجراء فورييه بشكل أكثر تجريدًا. نظرًا لوجود متغيرين، سنستخدم تحويل فورييه في كل من $x$ و $t$ بدلًا من العمل كما فعل فورييه نفسه، الذي حوّل المتغيرات المكانية فقط. تجدر الإشارة إلى أنه يجب اعتبار $ŷ$ بمثابة توزيع، لأن $y (x, t)$ لن يكون $L1 :$ كموجة، سيستمر عبر الزمن، وبالتالي فهو ليس ظاهرة عابرة. ولكنه سيكون محدودًا، لذا يمكن تعريف تحويل فورييه الخاص به على أنه توزيع. الخصائص التشغيلية لتحويل فورييه ذات الصلة بهذه المعادلة هي أنه يحول التفاضل بالنسبة إلى $x$ إلى ضرب في $i 2π ξ$ ، والتفاضل بالنسبة إلى $t$ إلى ضرب في $i 2π f،$ حيث $f$ هو التردد. عندئذٍ، تصبح معادلة الموجة معادلة جبرية في $ŷ$ . $\xi ^{2}{\widehat {y}}(\xi ,f)=f^{2}{\widehat {y}}(\xi ,f).$ هذا يُعادل اشتراط أن تكون $ŷ (ξ, f) = 0$ إلا إذا كانت $ξ = \pm f$ . وهذا يُفسر مباشرةً سبب نجاح اختيار الحلول الأولية التي اعتمدناها سابقًا: فمن الواضح أن $ŷ = δ (ξ \pm f)$ ستكون حلولًا. بتطبيق تحويل فورييه العكسي على دوال دلتا هذه، نحصل على الحلول الأولية التي اخترناها سابقًا. ولكن من منظور أوسع، لا يتم اختيار الحلول الأولية، بل يُنظر في فضاء جميع التوزيعات التي تدعمها الدالة المخروطية (المتدهورة $)$ $ξ² - f² = 0$ .

يمكننا أيضًا النظر في التوزيعات المدعومة على القطع المخروطي والتي تُعطى بواسطة توزيعات متغير واحد على الخط $ξ = f$ بالإضافة إلى التوزيعات على الخط $ξ = - f$ على النحو التالي: إذا كانت $Φ$ أي دالة اختبار، $\iint {\widehat {y}}\varphi (\xi ,f)\,d\xi \,df=\int s_{+}\varphi (\xi ,\xi )\,d\xi +\int s_{-}\varphi (\xi ,-\xi )\,d\xi ,$ حيث $s +$ و $s -$ هما توزيعات لمتغير واحد.

ثم يعطينا تحويل فورييه العكسي، بالنسبة للشروط الحدية، شيئًا مشابهًا جدًا لما كان لدينا بشكل أكثر تحديدًا أعلاه (ضع $Φ (ξ, f) = e i 2π(xξ + tf)$ ، وهو من الواضح أنه ذو نمو متعدد الحدود): $y(x,0)=\int {\bigl \{}s_{+}(\xi )+s_{-}(\xi ){\bigr \}}e^{i2\pi \xi x+0}\,d\xi$ و ${\frac {\partial y(x,0)}{\partial t}}=\int {\bigl \{}s_{+}(\xi )-s_{-}(\xi ){\bigr \}}i2\pi \xi e^{i2\pi \xi x+0}\,d\xi .$

الآن، كما في السابق، فإن تطبيق تحويل فورييه ذي المتغير الواحد في المتغير $x$ على هذه الدوال لـ $x$ ينتج عنه معادلتان في التوزيعين المجهولين $s \pm$ (والتي يمكن اعتبارها دوال عادية إذا كانت الشروط الحدية هي $L 1$ أو $L 2$ ).

من الناحية الحسابية، تكمن المشكلة بالطبع في ضرورة حساب تحويلات فورييه للشروط الحدية أولاً، ثم تجميع الحل منها، ثم حساب تحويل فورييه العكسي. ونادراً ما تتوفر صيغ مغلقة، إلا في حال وجود تناظر هندسي يمكن استغلاله، كما أن الحسابات العددية صعبة بسبب الطبيعة التذبذبية للتكاملات، مما يجعل التقارب بطيئاً ويصعب تقديره. لذا، تُستخدم طرق أخرى في الحسابات العملية.

تحويل فورييه غير الخطي

شهد القرن العشرون تطبيق هذه الأساليب على جميع المعادلات التفاضلية الجزئية الخطية ذات المعاملات متعددة الحدود، بالإضافة إلى امتدادها إلى فئات معينة من المعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية . وتحديدًا، معادلات التطور غير الخطية (أي تلك المعادلات التي تصف كيفية تطور كمية معينة مع الزمن انطلاقًا من حالة ابتدائية محددة) التي يمكن ربطها بمسائل القيم الذاتية الخطية التي تكون قيمها الذاتية تكاملات للمعادلات غير الخطية. ^{[ 71 ]}^{[ 72 ]} وبما أنه يمكن اعتبارها امتدادًا لتحليل فورييه إلى المسائل غير الخطية، تُسمى طريقة الحل طريقة تحويل فورييه غير الخطي (أو تحويل التشتت العكسي ). ^{[ 73 ]}

مطيافية تحويل فورييه

يُستخدم تحويل فورييه أيضًا في الرنين المغناطيسي النووي (NMR) وفي أنواع أخرى من التحليل الطيفي ، مثل الأشعة تحت الحمراء ( FTIR ). في الرنين المغناطيسي النووي، تُسجَّل إشارة اضمحلال الحث الحر (FID) ذات الشكل الأسي في المجال الزمني، ثم تُحوَّل باستخدام تحويل فورييه إلى شكل خط لورنتزي في المجال الترددي. كما يُستخدم تحويل فورييه في التصوير بالرنين المغناطيسي (MRI) وقياس الطيف الكتلي .

ميكانيكا الكم

يُعدّ تحويل فورييه مفيدًا في ميكانيكا الكم بطريقتين على الأقل. أولًا، يفترض الهيكل المفاهيمي الأساسي لميكانيكا الكم وجود أزواج من المتغيرات المتكاملة ، المرتبطة بمبدأ هايزنبرغ للشك . على سبيل المثال، في بُعد واحد، لا يمكن قياس المتغير المكاني $q ، على سبيل المثال، لجسيم، إلا بواسطة "$ مؤثر الموضع " الكمومي، على حساب فقدان معلومات حول زخم الجسيم $p$ . لذلك، يمكن وصف الحالة الفيزيائية للجسيم إما بدالة تُسمى "الدالة الموجية" لـ $q$ ، أو بدالة لـ $p،$ ولكن ليس بدالة لكلا المتغيرين. يُسمى المتغير $p بالمتغير المرافق لـ$ $q$ .

في الميكانيكا الكلاسيكية، تُحدد الحالة الفيزيائية للجسيم (الموجود في بُعد واحد، تبسيطًا للشرح) بتعيين قيم محددة لكل من $p$ و $q$ في آنٍ واحد. وبالتالي، فإن مجموعة جميع الحالات الفيزيائية الممكنة هي فضاء متجهي حقيقي ثنائي الأبعاد، له محور $p$ ومحور $q،$ ويُسمى فضاء الطور . في المقابل، تختار ميكانيكا الكم استقطابًا لهذا الفضاء، بمعنى أنها تنتقي فضاءً جزئيًا بنصف البُعد، على سبيل المثال، المحور $q$ وحده، ولكن بدلًا من الاقتصار على النقاط، تأخذ مجموعة جميع "الدوال الموجية" ذات القيم المركبة على هذا المحور. مع ذلك، يُعد اختيار المحور $p$ استقطابًا صحيحًا أيضًا، مما يُنتج تمثيلًا مختلفًا لمجموعة الحالات الفيزيائية الممكنة للجسيم. يرتبط كلا تمثيلي الدالة الموجية بتحويل فورييه، بحيث $\varphi (p)=\int dq\,\psi (q)e^{-ipq/h},$ أو، على نحو مماثل، $\psi (q)=\int dp\,\varphi (p)e^{ipq/h}.$

الحالات القابلة للتحقيق فيزيائياً هي من $نوع$ $L²$ ، وبالتالي، وفقاً لنظرية بلانشيريل ، فإن تحويلات فورييه الخاصة بها هي أيضاً من نوع $L²$ $.$ (لاحظ أنه بما أن $q$ بوحدات المسافة و $p$ بوحدات الزخم، فإن وجود ثابت بلانك في الأس يجعل الأس بلا أبعاد ، كما ينبغي أن يكون).

لذا، يمكن استخدام تحويل فورييه للانتقال من طريقة تمثيل حالة الجسيم، باستخدام دالة موجية للموقع، إلى طريقة أخرى لتمثيل حالته: باستخدام دالة موجية للزخم. توجد احتمالات لا حصر لها من الاستقطابات المختلفة، وجميعها صحيحة بنفس القدر. إن القدرة على تحويل الحالات من تمثيل إلى آخر باستخدام تحويل فورييه ليست مريحة فحسب، بل هي أيضًا السبب الجوهري لمبدأ هايزنبرغ للشك .

يُستخدم تحويل فورييه أيضًا في كلٍّ من ميكانيكا الكم ونظرية الحقل الكمومي لحل معادلة الموجة المناسبة. في ميكانيكا الكم غير النسبية، تكون معادلة شرودنغر لدالة موجية متغيرة مع الزمن في بُعد واحد، غير خاضعة لقوى خارجية، كما يلي: $-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)=i{\frac {h}{2\pi }}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t).$

هذه المعادلة هي نفسها معادلة الحرارة باستثناء وجود الوحدة التخيلية $i$ . ويمكن استخدام طرق فورييه لحل هذه المعادلة.

في وجود جهد، معبر عنه بدالة طاقة الوضع $V (x)$ ، تصبح المعادلة $-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)+V(x)\psi (x,t)=i{\frac {h}{2\pi }}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t).$

تُعرف "الحلول الأولية"، كما أشرنا إليها سابقًا، باسم "الحالات المستقرة" للجسيم، ويمكن استخدام خوارزمية فورييه، كما وُصفت أعلاه، لحل مسألة القيمة الحدية للتطور المستقبلي للدالة $ψ$ بمعلومية قيمها عند $t = 0.$ لا يُعد أي من هذين النهجين ذا فائدة عملية كبيرة في ميكانيكا الكم. فمسألة القيمة الحدية والتطور الزمني للدالة الموجية ليسا ذا أهمية عملية كبيرة، بل إن الحالات المستقرة هي الأهم.

في ميكانيكا الكم النسبية، تتحول معادلة شرودنغر إلى معادلة موجية كما هو معتاد في الفيزياء الكلاسيكية، باستثناء أنها تأخذ في الاعتبار الموجات ذات القيم المركبة. ومن الأمثلة البسيطة على ذلك، في غياب التفاعلات مع الجسيمات أو المجالات الأخرى، معادلة كلاين-غوردون-شرودنغر-فوك الحرة أحادية البعد، ولكن هذه المرة بوحدات لا بُعدية. $\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+1\right)\psi (x,t)={\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi (x,t).$

من الناحية الرياضية، يُعدّ هذا مماثلاً لمعادلة الموجة في الفيزياء الكلاسيكية التي تم حلها سابقًا (ولكن مع موجة ذات قيم مركبة، وهو ما لا يُحدث فرقًا في الطرق). ويُعدّ هذا مفيدًا للغاية في نظرية الحقل الكمومي: إذ يُمكن التعامل مع كل مُركّب فورييه مُنفصل للموجة كمذبذب توافقي مُستقل، ثمّ تكميمه، وهي عملية تُعرف باسم "التكميم الثاني". وقد تمّ تكييف طرق فورييه للتعامل أيضًا مع التفاعلات غير التافهة.

وأخيرًا، يمكن تفسير عامل العدد للمذبذب التوافقي الكمومي ، على سبيل المثال من خلال نواة ميهلر ، على أنه مولد تحويل فورييه . ${\mathcal {F}}$ [ ³⁰ ]

معالجة الإشارات

يُستخدم تحويل فورييه في التحليل الطيفي للسلاسل الزمنية. مع ذلك، لا يُطبّق مجال معالجة الإشارات الإحصائية عادةً تحويل فورييه على الإشارة نفسها. حتى لو كانت الإشارة الحقيقية عابرة، فقد وُجد عمليًا أنه من المستحسن نمذجة الإشارة بدالة (أو بديلًا عنها، عملية عشوائية) ثابتة، بمعنى أن خصائصها المميزة ثابتة عبر الزمن. لا يوجد تحويل فورييه لمثل هذه الدالة بالمعنى المعتاد، وقد وُجد أنه من الأجدى لتحليل الإشارات استخدام تحويل فورييه لدالة الارتباط الذاتي الخاصة بها.

تُعرَّف دالة الارتباط الذاتي $R$ للدالة $f كما يلي:$ $R_{f}(\tau )=\lim _{T\rightarrow \infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}f(t)f(t+\tau )\,dt.$

هذه الدالة هي دالة للفارق الزمني $τ$ الذي ينقضي بين قيم $f$ المراد ربطها.

بالنسبة لمعظم الدوال $f$ التي تحدث في الممارسة العملية، فإن $R$ هي دالة زوجية محدودة لتأخر الوقت $τ$ وبالنسبة للإشارات الضوضائية النموذجية، فإنها تصبح مستمرة بشكل منتظم مع قيمة عظمى عند $τ = 0$ .

تقيس دالة الارتباط الذاتي، والتي تُسمى بشكل أدق دالة التغاير الذاتي ما لم يتم تطبيعها بطريقة مناسبة، قوة الارتباط بين قيم $f$ التي تفصل بينها فترة زمنية. هذه طريقة للبحث عن ارتباط $f$ بقيمها السابقة. وهي مفيدة حتى في مهام إحصائية أخرى إلى جانب تحليل الإشارات. على سبيل المثال، إذا كانت $f (t)$ تمثل درجة الحرارة عند الزمن $t$ ، فمن المتوقع وجود ارتباط قوي مع درجة الحرارة عند فترة زمنية قدرها 24 ساعة.

يمتلك تحويل فورييه، $P_{f}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }R_{f}(\tau )e^{-i2\pi \xi \tau }\,d\tau .$

يُطلق على تحويل فورييه هذا اسم دالة كثافة القدرة الطيفية للدالة $f$ . (ما لم يتم ترشيح جميع المكونات الدورية من $f$ أولاً ، فإن هذا التكامل سيتباعد، ولكن من السهل ترشيح هذه الدوريات.)

يقيس طيف القدرة، كما هو موضح بدالة الكثافة $P$ ، مقدار التباين الذي تُساهم به الترددات $ξ$ في البيانات . في الإشارات الكهربائية، يتناسب التباين طرديًا مع متوسط القدرة (الطاقة لكل وحدة زمنية)، وبالتالي يصف طيف القدرة مقدار مساهمة الترددات المختلفة في متوسط قدرة الإشارة. تُسمى هذه العملية بالتحليل الطيفي للسلاسل الزمنية، وهي تُشابه تحليل التباين المعتاد للبيانات غير الزمنية ( ANOVA ).

يُعدّ معرفة الترددات "المهمة" في هذا السياق أمرًا بالغ الأهمية لتصميم المرشحات بشكل سليم ولتقييم أجهزة القياس تقييمًا دقيقًا. كما يُمكن أن يكون مفيدًا في التحليل العلمي للظواهر المسؤولة عن إنتاج البيانات.

يمكن أيضًا قياس طيف القدرة للإشارة بشكل تقريبي مباشر عن طريق قياس متوسط القدرة المتبقية في الإشارة بعد ترشيح جميع الترددات خارج نطاق ضيق.

يُجرى التحليل الطيفي للإشارات المرئية أيضاً. يتجاهل طيف القدرة جميع علاقات الطور، وهو ما يكفي للعديد من الأغراض، ولكن بالنسبة لإشارات الفيديو، يجب أيضاً استخدام أنواع أخرى من التحليل الطيفي، مع الاستمرار في استخدام تحويل فورييه كأداة.

ملاحظات أخرى

رموز شائعة أخرى لـ ${\widehat {f}}(\xi )$ يشمل: ${\tilde {f}}(\xi ),\ F(\xi ),\ {\mathcal {F}}\left(f\right)(\xi ),\ \left({\mathcal {F}}f\right)(\xi ),\ {\mathcal {F}}(f),\ {\mathcal {F}}\{f\},\ {\mathcal {F}}{\bigl (}f(t){\bigr )},\ {\mathcal {F}}{\bigl \{}f(t){\bigr \}}.$

في العلوم والهندسة، من الشائع أيضاً إجراء استبدالات كهذه: $\xi \rightarrow f,\quad x\rightarrow t,\quad f\rightarrow x,\quad {\widehat {f}}\rightarrow X.$

إذن زوج التحويل $f(x)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ {\widehat {f}}(\xi )$ يمكن أن يصبح $x(t)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ X(f)$

من عيوب استخدام الأحرف الكبيرة التعبير عن تحويل مثل ${\widehat {f}}\cdot g$ أو ${\widehat {f}}'$ والتي تصبح أكثر إحراجاً ${\mathcal {F}}\{f\cdot g\}$ و ${\mathcal {F}}\{f'\}$ ⁠ .

في بعض السياقات مثل فيزياء الجسيمات، نفس الرمز $f$ يمكن استخدامها لكل من الدالة وتحويل فورييه الخاص بها، مع التمييز بينهما فقط من خلال وسيطهما Ie $f(k_{1}+k_{2})$ سيشير ذلك إلى تحويل فورييه بسبب حجة الزخم، بينما $f(x_{0}+\pi {\vec {r}})$ سيشير ذلك إلى الدالة الأصلية بسبب الوسيط الموضعي. على الرغم من أنه يمكن استخدام علامات التلدة كما في ${\tilde {f}}$ للدلالة على تحويلات فورييه، يمكن أيضًا استخدام علامات التلدة للإشارة إلى تعديل كمية ما بصيغة أكثر ثباتًا تحت تحويلات لورنتز ، مثل ⁠ ${\tilde {dk}}={\frac {dk}{(2\pi )^{3}2\omega }}$ لذلك يجب توخي الحذر. وبالمثل، ${\widehat {f}}$ غالباً ما يشير إلى تحويل هيلبرت لـ $f$ ⁠ .

يمكن تسهيل تفسير الدالة المركبة $f̂ (ξ)$ من خلال التعبير عنها في شكل الإحداثيات القطبية ${\widehat {f}}(\xi )=A(\xi )e^{i\varphi (\xi )}$ بدلالة الدالتين الحقيقيتين $A (ξ)$ و $φ (ξ)$ حيث: $A(\xi )=\left|{\widehat {f}}(\xi )\right|,$ هي السعة و $\varphi (\xi )=\arg \left({\widehat {f}}(\xi )\right),$ هي المرحلة (انظر Arg ).

ويمكن كتابة التحويل العكسي على النحو التالي: $f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }A(\xi )\ e^{i{\bigl (}2\pi \xi x+\varphi (\xi ){\bigr )}}\,d\xi ,$ وهو عبارة عن إعادة تركيب لجميع مكونات التردد لـ $f (x) . كل مكون عبارة عن$ موجة جيبية مركبة من الشكل $e 2π ixξ$ سعتها $A (ξ)$ وزاوية طورها الأولية (عند $x = 0$ ) هي $φ (ξ)$ .

يمكن اعتبار تحويل فورييه بمثابة تطبيق على فضاءات الدوال. يُرمز لهذا التطبيق هنا بالرمز F ، ويُستخدم $F (f)$ للدلالة على تحويل فورييه للدالة $f$ . هذا التطبيق خطي، مما يعني أنه يمكن اعتبار F أيضًا تحويلًا خطيًا على فضاء الدوال، ويترتب على ذلك إمكانية استخدام الترميز القياسي في الجبر الخطي لتطبيق تحويل خطي على متجه (هنا الدالة $f$ ) لكتابة $F = f$ بدلًا من $F (f)$ . بما أن نتيجة تطبيق تحويل فورييه هي دالة أيضًا، فإننا نهتم بقيمة هذه الدالة عند القيمة $ξ$ لمتغيرها، ويُرمز لها إما بـ $F = f (ξ)$ أو بـ $(F = f)(ξ)$ . لاحظ أنه في الحالة الأولى، يُفهم ضمنيًا أن F تُطبق أولًا على $f$ ثم تُحسب قيمة الدالة الناتجة عند $ξ$ ، وليس العكس.

في الرياضيات والعلوم التطبيقية المختلفة، غالبًا ما يكون من الضروري التمييز بين الدالة $f$ وقيمة $f$ عندما يكون متغيرها $x$ ، والتي يُرمز لها بـ $f (x)$ . هذا يعني أن رمزًا مثل $F (f (x))$ يُمكن تفسيره رسميًا على أنه تحويل فورييه لقيم $f$ عند $x$ . على الرغم من هذا القصور، يظهر الرمز السابق بشكل متكرر، غالبًا عند تحويل دالة معينة أو دالة لمتغير معين. على سبيل المثال، ${\mathcal {F}}{\bigl (}\operatorname {rect} (x){\bigr )}=\operatorname {sinc} (\xi )$ يُستخدم أحيانًا للتعبير عن أن تحويل فورييه لدالة مستطيلة هو دالة sinc ، أو ${\mathcal {F}}{\bigl (}f(x+x_{0}){\bigr )}={\mathcal {F}}{\bigl (}f(x){\bigr )}\,e^{i2\pi x_{0}\xi }$ يُستخدم للتعبير عن خاصية الإزاحة في تحويل فورييه.

لاحظ أن المثال الأخير صحيح فقط بافتراض أن الدالة المحولة هي دالة لـ $x$ ، وليست دالة لـ $x 0$ .

كما ذُكر أعلاه، فإن الدالة المميزة لمتغير عشوائي هي نفسها تحويل فورييه-ستيلتيس لمقياس توزيعه، ولكن في هذا السياق، من الشائع استخدام اصطلاح مختلف للثوابت. عادةً ما تُعرَّف الدالة المميزة على النحو التالي: $E\left(e^{it\cdot X}\right)=\int e^{it\cdot x}\,d\mu _{X}(x).$

كما هو الحال في اصطلاح "التردد الزاوي غير الوحدوي" المذكور أعلاه، لا يظهر العامل 2π $في$ ثابت التوحيد ولا في الأس. وعلى عكس جميع الاصطلاحات المذكورة أعلاه، يأخذ هذا الاصطلاح إشارة معاكسة في الأس.

أساليب الحساب

تعتمد طريقة الحساب المناسبة إلى حد كبير على كيفية تمثيل الدالة الرياضية الأصلية والشكل المطلوب لدالة الإخراج. في هذا القسم، سننظر في كلتا الدالتين لمتغير مستمر ، $f(x)$ ، ودوال متغير منفصل (أي أزواج مرتبة من $x$ و $f$ القيم المنفصلة) . $x$ يصبح التكامل التحويلي مجموعًا لدوال جيبية، وهو ما يزال دالة متصلة للتردد ( $\xi$ أو $\omega$ عندما تكون الموجات الجيبية مرتبطة توافقياً ( أي عندما $x$ يتم توزيع القيم على شكل مضاعفات صحيحة لفترة زمنية)، ويسمى التحويل بتحويل فورييه المنفصل زمنيًا (DTFT).

تحويلات فورييه المنفصلة وتحويلات فورييه السريعة

يُعدّ أخذ عينات من تحويل فورييه المنفصل زمنيًا (DTFT) بترددات متساوية التباعد الطريقة الحديثة الأكثر شيوعًا للحساب. تُشرح الإجراءات الفعّالة، بحسب دقة التردد المطلوبة، في قسم " تحويل فورييه المنفصل زمنيًا" ( Sampling the DTFT ) . عادةً ما يُحسب تحويل فورييه المنفصل (DFT) المستخدم هناك باستخدام خوارزمية تحويل فورييه السريع (FFT).

التكامل الرمزي للدوال ذات الصيغة المغلقة

يتم إنشاء جداول تحويلات فورييه ذات الصيغة المغلقة ، مثل جداول الدوال القابلة للتكامل التربيعي، أحادية البعد ، وجداول تحويلات فورييه ذات الزمن المتقطع ، عن طريق التقييم الرياضي لتكامل تحليل فورييه (أو مجموعه) في دالة تردد أخرى ذات صيغة مغلقة ( ⁠ $\xi$ أو $\omega$ ) .^{[ 74 ]} عندما يكون ذلك ممكنًا رياضيًا، فإن هذا يوفر تحويلًا لسلسلة متصلة من قيم التردد.

تستطيع العديد من أنظمة الجبر الحاسوبي، مثل Matlab و Mathematica، القادرة على التكامل الرمزي، حساب تحويلات فورييه رمزياً. ^{[ ملاحظة 9 ]} https://en.wikipedia.org/wiki/Help:Edit_summary

التكامل العددي للدوال المستمرة ذات الصيغة المغلقة

يمكن أيضًا إجراء أخذ عينات منفصلة لتحويل فورييه عن طريق التكامل العددي للتعريف عند كل قيمة تردد مطلوب عندها التحويل. ^{[ 75 ]}^{[ 76 ]}^{[ 77 ]} يعمل أسلوب التكامل العددي على فئة أوسع بكثير من الدوال مقارنةً بالأسلوب التحليلي.

التكامل العددي لسلسلة من الأزواج المرتبة

إذا كانت دالة الإدخال عبارة عن سلسلة من الأزواج المرتبة، فإن التكامل العددي يختزل إلى مجرد جمع على مجموعة أزواج البيانات. ^{[ 78 ]} يُعد تحويل فورييه المنفصل حالة فرعية شائعة من هذه الحالة الأكثر عمومية.

جداول تحويلات فورييه المهمة

تُسجّل الجداول التالية بعض تحويلات فورييه ذات الصيغة المغلقة. بالنسبة للدالتين $f (x)$ و $g (x)،$ يُرمز إلى تحويلات فورييه الخاصة بهما بالرمزين $f̂$ و $ĝ$ . وقد تم تضمين الاصطلاحات الثلاثة الأكثر شيوعًا فقط. ومن المفيد ملاحظة أن المدخل 105 يُبيّن العلاقة بين تحويل فورييه للدالة والدالة الأصلية، والتي يُمكن اعتبارها علاقة بين تحويل فورييه ومعكوسه.

العلاقات الوظيفية، أحادية البعد

يمكن العثور على تحويلات فورييه في هذا الجدول في إرديلي (1954) أو كاميلر (2000 ، الملحق) .

	وظيفة	تحويل فورييه أحادي التردد العادي	تحويل فورييه أحادي، التردد الزاوي	تحويل فورييه غير وحدوي، التردد الزاوي	ملاحظات
	$f(x)$	${\begin{aligned}&{\widehat {f}}(\xi )\triangleq {\widehat {f}}_{1}(\xi )\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i2\pi \xi x}\,dx\end{aligned}}$	${\begin{aligned}&{\widehat {f}}(\omega )\triangleq {\widehat {f}}_{2}(\omega )\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx\end{aligned}}$	${\begin{aligned}&{\widehat {f}}(\omega )\triangleq {\widehat {f}}_{3}(\omega )\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx\end{aligned}}$	التعريفات
101	$a\,f(x)+b\,g(x)$	$a\,{\widehat {f}}(\xi )+b\,{\widehat {g}}(\xi )$	$a\,{\widehat {f}}(\omega )+b\,{\widehat {g}}(\omega )$	$a\,{\widehat {f}}(\omega )+b\,{\widehat {g}}(\omega )$	الخطية
102	$f(x-a)$	$e^{-i2\pi \xi a}{\widehat {f}}(\xi )$	$e^{-ia\omega }{\widehat {f}}(\omega )$	$e^{-ia\omega }{\widehat {f}}(\omega )$	التحول في المجال الزمني
103	$f(x)e^{iax}$	${\widehat {f}}\left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)$	${\widehat {f}}(\omega -a)$	${\widehat {f}}(\omega -a)$	انزياح في مجال التردد، ثنائي 102
104	$f(ax)$	${\frac {1}{\|a\|}}{\widehat {f}}\left({\frac {\xi }{a}}\right)$	${\frac {1}{\|a\|}}{\widehat {f}}\left({\frac {\omega }{a}}\right)$	${\frac {1}{\|a\|}}{\widehat {f}}\left({\frac {\omega }{a}}\right)$	القياس في المجال الزمني. إذا كانت $القيمة المطلقة لـ a$ كبيرة، فإن $f$ $(ax) تتركز$ حول $الصفر$ و ${\textstyle {\frac {1}{\|a\|}}{\widehat {f}}\left({\frac {\omega }{a}}\right)}$ ينتشر ويتسطح.
105	${\widehat {f}}_{n}(x)$	${\widehat {f}}_{1}(x)\ {\stackrel {{\mathcal {F}}_{1}}{\longleftrightarrow }}\ f(-\xi )$	${\widehat {f}}_{2}(x)\ {\stackrel {{\mathcal {F}}_{2}}{\longleftrightarrow }}\ f(-\omega )$	${\widehat {f}}_{3}(x)\ {\stackrel {{\mathcal {F}}_{3}}{\longleftrightarrow }}\ 2\pi f(-\omega )$	يتم تطبيق نفس التحويل مرتين، ولكن $x$ يحل محل متغير التردد ( $ξ$ أو $ω$ ) بعد التحويل الأول.
106	${\frac {d^{n}f(x)}{dx^{n}}}$	$(i2\pi \xi )^{n}{\widehat {f}}(\xi )$	$(i\omega )^{n}{\widehat {f}}(\omega )$	$(i\omega )^{n}{\widehat {f}}(\omega )$	المشتقة من الرتبة $n .$ بما أن $f$ دالة شوارتز
106.5	$\int _{-\infty }^{x}f(\tau )d\tau$	${\frac {{\widehat {f}}(\xi )}{i2\pi \xi }}+C\,\delta (\xi )$	${\frac {{\widehat {f}}(\omega )}{i\omega }}+{\sqrt {2\pi }}C\delta (\omega )$	${\frac {{\widehat {f}}(\omega )}{i\omega }}+2\pi C\delta (\omega )$	التكامل. ^{[ 79 ]} ملاحظة: $\delta$ دالة ديراك دلتا و $C$ هي القيمة المتوسطة ( DC ) لـ $f(x)$ بحيث ${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }(f(x)-C)\,dx=0}$
107	$x^{n}f(x)$	$\left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}{\frac {d^{n}{\widehat {f}}(\xi )}{d\xi ^{n}}}$	$i^{n}{\frac {d^{n}{\widehat {f}}(\omega )}{d\omega ^{n}}}$	$i^{n}{\frac {d^{n}{\widehat {f}}(\omega )}{d\omega ^{n}}}$	هذا هو المبارزة رقم 106
108	$(f*g)(x)$	${\widehat {f}}(\xi ){\widehat {g}}(\xi )$	${\sqrt {2\pi }}\ {\widehat {f}}(\omega ){\widehat {g}}(\omega )$	${\widehat {f}}(\omega ){\widehat {g}}(\omega )$	يرمز الرمز $f * g$ إلى عملية الالتفاف بين $f$ و $g$ – وهذه القاعدة هي نظرية الالتفاف
109	$f(x)g(x)$	$\left({\widehat {f}}*{\widehat {g}}\right)(\xi )$	${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\left({\widehat {f}}*{\widehat {g}}\right)(\omega )$	${\frac {1}{2\pi }}\left({\widehat {f}}*{\widehat {g}}\right)(\omega )$	هذا هو المبارزة لـ 108
110	بالنسبة لـ $f (x)$ حقيقي بحت	${\widehat {f}}(-\xi )={\overline {{\widehat {f}}(\xi )}}$	${\widehat {f}}(-\omega )={\overline {{\widehat {f}}(\omega )}}$	${\widehat {f}}(-\omega )={\overline {{\widehat {f}}(\omega )}}$	التناظر الهرميتي. يشير $z$ إلى المرافق المركب .
113	بالنسبة لـ $f (x)$ تخيلية بحتة	${\widehat {f}}(-\xi )=-{\overline {{\widehat {f}}(\xi )}}$	${\widehat {f}}(-\omega )=-{\overline {{\widehat {f}}(\omega )}}$	${\widehat {f}}(-\omega )=-{\overline {{\widehat {f}}(\omega )}}$	يشير $الحرف z$ إلى المرافق المعقد.
114	${\overline {f(x)}}$	${\overline {{\widehat {f}}(-\xi )}}$	${\overline {{\widehat {f}}(-\omega )}}$	${\overline {{\widehat {f}}(-\omega )}}$	الاقتران المركب ، تعميم للمعادلتين 110 و113
115	$f(x)\cos(ax)$	${\frac {{\widehat {f}}{\left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)}+{\widehat {f}}{\left(\xi +{\frac {a}{2\pi }}\right)}}{2}}$	${\frac {{\widehat {f}}(\omega -a)+{\widehat {f}}(\omega +a)}{2}}$	${\frac {{\widehat {f}}(\omega -a)+{\widehat {f}}(\omega +a)}{2}}$	ويترتب على ذلك القاعدتان 101 و103 باستخدام صيغة أويلر : $\cos(ax)={\tfrac {e^{iax}+e^{-iax}}{2}}$ ⁠ .
116	$f(x)\sin(ax)$	${\frac {{\widehat {f}}{\left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)}-{\widehat {f}}{\left(\xi +{\frac {a}{2\pi }}\right)}}{2i}}$	${\frac {{\widehat {f}}(\omega -a)-{\widehat {f}}(\omega +a)}{2i}}$	${\frac {{\widehat {f}}(\omega -a)-{\widehat {f}}(\omega +a)}{2i}}$	ويستنتج هذا من المعادلتين 101 و103 باستخدام صيغة أويلر : $\sin(ax)={\tfrac {e^{iax}-e^{-iax}}{2i}}$ ⁠ .

الدوال القابلة للتكامل التربيعي، أحادية البعد

يمكن العثور على تحويلات فورييه في هذا الجدول في كامبل وفوستر (1948) ، إرديلي (1954) ، أو كاملر (2000 ، الملحق) .

	وظيفة	تحويل فورييه أحادي التردد العادي	تحويل فورييه أحادي، التردد الزاوي	تحويل فورييه غير وحدوي، التردد الزاوي	ملاحظات
	$f(x)$	${\begin{aligned}&{\widehat {f}}(\xi )\triangleq {\widehat {f}}_{1}(\xi )\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i2\pi \xi x}\,dx\end{aligned}}$	${\begin{aligned}&{\widehat {f}}(\omega )\triangleq {\widehat {f}}_{2}(\omega )\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx\end{aligned}}$	${\begin{aligned}&{\widehat {f}}(\omega )\triangleq {\widehat {f}}_{3}(\omega )\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx\end{aligned}}$	التعريفات
201	$\operatorname {rect} (ax)$	${\frac {1}{\|a\|}}\,\operatorname {sinc} \left({\frac {\xi }{a}}\right)$	${\frac {1}{\sqrt {2\pi a^{2}}}}\,\operatorname {sinc} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)$	${\frac {1}{\|a\|}}\,\operatorname {sinc} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)$	النبضة المستطيلة ودالة sinc المعيارية ، المعرفة هنا على النحو التالي: $sinc$ $($ $x$ $)$ $=$ $sin$ $($ $πx$ $)$ $/$ $πx$
202	$\operatorname {sinc} (ax)$	${\frac {1}{\|a\|}}\,\operatorname {rect} \left({\frac {\xi }{a}}\right)$	${\frac {1}{\sqrt {2\pi a^{2}}}}\,\operatorname {rect} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)$	${\frac {1}{\|a\|}}\,\operatorname {rect} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)$	نظير القاعدة 201. الدالة المستطيلة هي مرشح تمرير منخفض مثالي ، ودالة sinc هي استجابة النبضة غير السببية لهذا المرشح. تُعرَّف دالة sinc هنا على النحو $التالي$ $: sinc(x) = sin (πx) / πx .$
203	$\operatorname {sinc} ^{2}(ax)$	${\frac {1}{\|a\|}}\,\operatorname {tri} \left({\frac {\xi }{a}}\right)$	${\frac {1}{\sqrt {2\pi a^{2}}}}\,\operatorname {tri} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)$	${\frac {1}{\|a\|}}\,\operatorname {tri} \left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)$	الدالة $tri(x)$ هي دالة مثلثية
204	$\operatorname {tri} (ax)$	${\frac {1}{\|a\|}}\,\operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {\xi }{a}}\right)$	${\frac {1}{\sqrt {2\pi a^{2}}}}\,\operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)$	${\frac {1}{\|a\|}}\,\operatorname {sinc} ^{2}\left({\frac {\omega }{2\pi a}}\right)$	قاعدة مزدوجة 203.
205	$e^{-ax}u(x)$	${\frac {1}{a+i2\pi \xi }}$	${\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}(a+i\omega )}}$	${\frac {1}{a+i\omega }}$	الدالة $u (x)$ هي دالة الخطوة الوحدية لهيفسايد و $a > 0$ .
206	$e^{-\alpha x^{2}}$	${\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}\,e^{-{\frac {(\pi \xi )^{2}}{\alpha }}}$	${\frac {1}{\sqrt {2\alpha }}}\,e^{-{\frac {\omega ^{2}}{4\alpha }}}$	${\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}\,e^{-{\frac {\omega ^{2}}{4\alpha }}}$	يُبين هذا أنه بالنسبة لتحويلات فورييه الوحدوية، فإن دالة غاوس $e - αx 2$ هي تحويل فورييه الخاص بها لبعض قيم $α$ المختارة . ولكي يكون هذا التحويل قابلاً للتكامل، يجب أن يكون $Re(α) > 0$ .
208	$e^{-a\|x\|}$	${\frac {2a}{a^{2}+4\pi ^{2}\xi ^{2}}}$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,{\frac {a}{a^{2}+\omega ^{2}}}$	${\frac {2a}{a^{2}+\omega ^{2}}}$	بالنسبة لـ $Re(a) > 0.$ أي أن تحويل فورييه لدالة أسية متناقصة من الجانبين هو دالة لورنتزية .
209	$\operatorname {sech} (ax)$	${\frac {\pi }{a}}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi ^{2}}{a}}\xi \right)$	${\frac {1}{a}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi }{2a}}\omega \right)$	${\frac {\pi }{a}}\operatorname {sech} \left({\frac {\pi }{2a}}\omega \right)$	القاطع الزائدي هو تحويل فورييه الخاص به
210	$e^{-{\frac {a^{2}x^{2}}{2}}}H_{n}(ax)$	${\frac {{\sqrt {2\pi }}(-i)^{n}}{a}}e^{-{\frac {2\pi ^{2}\xi ^{2}}{a^{2}}}}H_{n}{\left({\frac {2\pi \xi }{a}}\right)}$	${\frac {(-i)^{n}}{a}}e^{-{\frac {\omega ^{2}}{2a^{2}}}}H_{n}{\left({\frac {\omega }{a}}\right)}$	${\frac {(-i)^{n}{\sqrt {2\pi }}}{a}}e^{-{\frac {\omega ^{2}}{2a^{2}}}}H_{n}{\left({\frac {\omega }{a}}\right)}$	$H <sub>n</sub>$ هي متعددة حدود هيرميت من الرتبة $n$ . إذا كانت $a$ $= 1،$ فإن دوال غاوس-هيرميت هي دوال ذاتية لمؤثر تحويل فورييه. للاطلاع على الاشتقاق، انظر متعددات حدود هيرميت § دوال هيرميت كدوال ذاتية لتحويل فورييه . تُختزل الصيغة إلى 206 عندما $n$ $= 0$ .

التوزيعات، أحادية البعد