إمكانات ريز

📅 آخر تحديث: ١ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ١ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 15 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، يُعرف جهد ريز بأنه جهد سُمي نسبةً إلى مكتشفه، عالم الرياضيات المجري مارسيل ريز . بمعنى ما، يُعرّف جهد ريز قوةً عكسيةً كسريةً(-Δ)-α/2{\displaystyle (-\Delta )^{-\alpha /2}} من مؤثر لابلاس على الفضاء الإقليدي. وهو يعمم تكاملات ريمان-ليوفيل لمتغير واحد إلى عدة متغيرات.

تعريف

إذا كان 0  < α < n ، فإن جهد ريس I α f لدالة قابلة للتكامل محليًا f على R n هو الدالة المعرفة بـ   

حيث يُعطى الثابت بواسطة

جα=πن/22αΓ(α/2)Γ((ن-α)/2).{\displaystyle c_{\alpha}=\pi ^{n/2}2^{\alpha }{\frac {\Gamma (\alpha /2)}{\Gamma ((n-\alpha )/2)}}.}

هذا التكامل المفرد مُعرَّف جيدًا بشرط أن يتلاشى f بسرعة كافية عند اللانهاية، وتحديدًا إذا كان f ∈ L p ( R n ) حيث 1 ≤ p < n / α . تنص النتيجة الكلاسيكية المنسوبة إلى سوبوليف على أن معدل تلاشي f ومعدل تلاشي I α f مرتبطان في صورة متباينة ( متباينة هاردي-ليتلوود-سوبوليف ).      

‖أناαو‖ص*≤جص‖و‖ص،ص*=نصن-αص،∀1<ص<نα\displaystyle \|I_{\alpha }f\|_{p^{*}}\leq C_{p}\|f\|_{p},\quad p^{*}={\frac {np}{n-\alpha p}},\quad \forall 1<p<{\frac {n}{\alpha }}}

بالنسبة لـ p = 1، تم توسيع النتيجة بواسطة ( شيكورا، سبيكتور وفان شافتينجن 2014 ) ،

‖أناαو‖1*≤جص‖Rو‖1.{\displaystyle \|I_{\alpha }f\|_{1^{*}}\leq C_{p}\|Rf\|_{1}.}

أينRو=دأنا1و{\displaystyle Rf=DI_{1}f}هو تحويل ريز ذو القيم المتجهة . وبشكل أعم، فإن المؤثرات I α معرفة جيدًا لـ α المركب بحيث 0 < Re α < n .

يمكن تعريف جهد ريز بشكل أعم وبمعنى ضعيف على أنه عملية الالتفاف

أناαو=و*كα{\displaystyle I_{\alpha }f=f*K_{\alpha }}

حيث K α هي الدالة القابلة للتكامل محليًا:

كα(x)=1جα1|x|ن-α.{\displaystyle K_{\alpha }(x)={\frac {1}{c_{\alpha }}}{\frac {1}{|x|^{n-\alpha }}}.}

وبالتالي، يمكن تعريف جهد ريز عندما تكون f توزيعًا محدود الدعم. وفي هذا السياق، يُعد جهد ريز لمقياس بوريل موجب μ ذي دعم محدود ذا أهمية بالغة في نظرية الجهد، لأن I α μ يكون حينها دالة توافقية فرعية (متصلة) خارج دعم μ، وهو شبه متصل من الأسفل على كامل R n .

يُظهر تحليل تحويل فورييه أن جهد ريز هو مُضاعِف فورييه . [ 1 ] في الواقع، لدينا

كα^(ξ)=∫Rنكα(x)هـ-2πأناxξدx=|2πξ|-α{\displaystyle {\widehat {K_{\alpha }}}(\xi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}K_{\alpha }(x)e^{-2\pi ix\xi }\,\mathrm {d} x=|2\pi \xi |^{-\alpha }}

وبالتالي، وفقًا لنظرية الالتفاف ،

أناαو^(ξ)=|2πξ|-αو^(ξ).{\displaystyle {\widehat {I_{\alpha }f}}(\xi )=|2\pi \xi |^{-\alpha }{\hat {f}}(\xi ).}

تحقق كمونات ريز خاصية شبه المجموعة التالية على سبيل المثال، الدوال المتصلة المتناقصة بسرعة

أناαأناβ=أناα+β{\displaystyle I_{\alpha }I_{\beta }=I_{\alpha +\beta }}

متاح

0<يكرر⁡α،يكرر⁡β<ن،0<يكرر⁡(α+β)<ن.{\displaystyle 0<\operatorname {Re} \alpha ,\operatorname {Re} \beta <n,\quad 0<\operatorname {Re} (\alpha +\beta )<n.}

علاوة على ذلك، إذا كان 0 < Re α < n –2 ، فإن

Δأناα+2=أناα+2Δ=-أناα.{\displaystyle \Delta I_{\alpha +2}=I_{\alpha +2}\Delta =-I_{\alpha }.}

كما يتوفر أيضاً، بالنسبة لهذه الفئة من الدوال،

ليمα→0+(أناαو)(x)=و(x).{\displaystyle \lim _{\alpha \to 0^{+}}(I_{\alpha }f)(x)=f(x).}

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ سامكو 1998 ، القسم الثاني .

مراجع