نواة ميهلر

نواة ميهلر هي دالة ذات قيم مركبة تم العثور عليها على أنها ناشر المذبذب التوافقي الكمي .

اكتشفها ميهلر لأول مرة عام 1866، ومنذ ذلك الحين، كما لاحظ إينار هيل عام 1932، "أعيد اكتشافها من قبل كل من عمل في هذا المجال تقريباً". ^{[ 1 ]}

قام ميهلر ( 1866 ) بتعريف دالة ^{[ 2 ]} 

وأظهر، في تدوين حديث، ^{[ 3 ]} أنه يمكن توسيعه بدلالة كثيرات حدود هيرميت${\displaystyle H(\cdot )}$بناءً على دالة الوزن${\displaystyle \exp(-x^{2})}$مثل $${\displaystyle E(x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\rho /2)^{n}}{n!}}~{\mathit {H}}_{n}(x){\mathit {H}}_{n}(y)~.}$$

تُعدّ هذه النتيجة مفيدة، بصيغة معدّلة، في الفيزياء الكمومية، ونظرية الاحتمالات ، والتحليل التوافقي. وبالمثل، في كثيرات حدود هيرميت الاحتمالية:$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}\exp \left(-{\frac {\rho ^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)-2\rho xy}{2\left(1-\rho ^{2}\right)}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\rho ^{n}}{n!}}~\operatorname {He} _{n}(x)\operatorname {He} _{n}(y)}$$ الاستبدال${\displaystyle \rho =e^{-t}}$، والسماح${\displaystyle h_{n}:=\operatorname {He} _{n}/{\sqrt {n!}}}$لدينا $${\displaystyle {\sqrt {\tanh(t/2)}}\exp \left(-{\frac {e^{-t}(x^{2}+y^{2})-2xy}{4\sinh t}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }(1-e^{-t})e^{-nt}~h_{n}(x)h_{n}(y)}$$

في الفيزياء، يُطلق على الحل الأساسي ( دالة غرين )، أو مُوَصِّل هاميلتونيان المذبذب التوافقي الكمومي، اسم نواة ميهلر . وهي تُقدِّم الحل الأساسي ^{[ 4 ].}${\displaystyle \varphi (x,t)}$ل $${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}-x^{2}\varphi \equiv D_{x}\varphi ~.}$$

الدوال الذاتية المتعامدة للمؤثر${\displaystyle D}$هي دوال هيرميت ، $${\displaystyle \psi _{n}={\frac {H_{n}(x)\,e^{-x^{2}/2}}{\sqrt {2^{n}n!{\sqrt {\pi }}}}},}$$ مع القيم الذاتية المقابلة${\displaystyle (-2n-1)}$، وتوفير حلول خاصة $${\displaystyle \varphi _{n}(x,t)=e^{-(2n+1)t}~H_{n}(x)e^{-x^{2}/2}.}$$

الحل العام هو إذن توليفة خطية من هذه الحلول؛ عند مطابقتها مع الحالة الأولية${\displaystyle \varphi (x,0)}$، ويختزل الحل العام إلى $${\displaystyle \varphi (x,t)=\int K(x,y;t)\varphi (y,0)dy~,}$$ حيث النواة${\displaystyle K}$له تمثيل قابل للفصل $$//$$

وباستخدام صيغة ميهلر نحصل على $${\displaystyle {\sum _{n\geq 0}{\frac {(\rho /2)^{n}}{n!}}H_{n}(x)H_{n}(y)\exp \left(-{\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}\right)={\frac {1}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}\exp \left({\frac {4xy\rho -\left(1+\rho ^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)}{2\left(1-\rho ^{2}\right)}}\right)}~.}$$

عند استبدال هذا في التعبير عن${\displaystyle K}$بقيمة${\displaystyle e^{-2t}}$ل${\displaystyle \rho }$أخيرًا، تُقرأ نواة ميهلر

متى${\displaystyle t=0}$المتغيرات${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$يتطابقان، مما ينتج عنه الصيغة الحدية اللازمة وفقًا للشرط الأولي ، $${\displaystyle K(x,y;0)=\delta (x-y)~.}$$

كحل أساسي، فإن النواة جمعية، $${\displaystyle \int dy\,K(x,y;t)K(y,z;t')=K(x,z;t{+}t')~.}$$

ويرتبط هذا أيضًا ببنية الدوران التبسيطي للنواة${\displaystyle K}$[ ^{5 ]​}

عند استخدام الاصطلاحات الفيزيائية المعتادة لتعريف المذبذب التوافقي الكمومي بدلاً من ذلك عبر $${\displaystyle i{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}={\frac {1}{2}}\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+x^{2}\right)\varphi \equiv H\varphi ,}$$ وبافتراض أطوال ومقاييس طاقة طبيعية ، فإن نواة ميهلر تصبح مُوَصِّل فاينمان${\displaystyle K_{H}}$والذي ينص على $${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle x\right|\exp(-itH)\left|y\right\rangle &\equiv K_{H}(x,y;t)\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi i\sin t}}}\exp \left({\frac {i}{2\sin t}}\left(\left(x^{2}+y^{2}\right)\cos t-2xy\right)\right),\quad t<\pi ,\end{aligned}}}$$ أي${\displaystyle K_{H}(x,y;t)=K(x,y;it/2).}$

متى${\displaystyle t>\pi }$ال${\displaystyle i\sin t}$يجب استبدال الجزء الموجود في الجذر التربيعي العكسي بـ${\displaystyle \left|\sin t\right|}$و${\displaystyle K_{H}}$ينبغي ضربها بمعامل طور ماسلوف إضافي ^{[ 6 ]}$${\displaystyle \exp \left(i\theta _{\text{Maslov}}\right)=\exp \left(-i{\frac {\pi }{2}}\left({\frac {1}{2}}+\left\lfloor {\frac {t}{\pi }}\right\rfloor \right)\right).}$$

متى${\displaystyle t=\pi /2}$الحل العام يتناسب مع تحويل فورييه${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ من الشروط الأولية${\displaystyle \varphi _{0}(y)\equiv \varphi (y,0)}$منذ $${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (x,\,t{=}{\tfrac {\pi }{2}})&=\int K_{H}(x,y;{\tfrac {\pi }{2}})\varphi (y,0)\,dy\\[1ex]&={\frac {1}{\sqrt {2\pi i}}}\int e^{-ixy}\varphi (y,0)\,dy\\[1ex]&=e^{-i\pi /4}{\mathcal {F}}[\varphi _{0}](x)~,\end{aligned}}}$$وبالتالي يتم الحصول على تحويل فورييه الدقيق من عامل عدد المذبذب التوافقي الكمي المكتوب على النحو التالي ^{[ 7 ].}$${\displaystyle {\begin{aligned}N&\equiv {\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\left(x+{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\\&=H-{\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+x^{2}-1\right)~\end{aligned}}}$$ منذ النواة الناتجة $${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle x\right|\exp(-itN)\left|y\right\rangle &\equiv K_{N}(x,y;t)\\&=e^{it/2}K_{H}(x,y;t)\\&=e^{it/2}K(x,y;it/2)\end{aligned}}}$$ كما أنه يعوض عن عامل الطور الذي لا يزال يظهر في${\displaystyle K_{H}}$و${\displaystyle K}$، أي $${\displaystyle \varphi (x,\,t{=}{\tfrac {\pi }{2}})=\int K_{N}(x,y;\pi /2)\varphi (y,0)dy={\mathcal {F}}[\varphi _{0}](x)~,}$$ وهذا يُظهر أنه يمكن تفسير عامل العدد عبر نواة ميهلر على أنه مولد تحويلات فورييه الكسرية لقيم عشوائية لـ${\displaystyle t}$، وتحويل فورييه التقليدي${\displaystyle {\mathcal {F}}}$بالنسبة للقيمة المحددة${\displaystyle t=\pi /2}$، حيث توفر نواة ميهلر تحويلاً فعالاً ، بينما يكون التحويل السلبي المقابل مضمناً بالفعل في تغيير الأساس من فضاء الموضع إلى فضاء الزخم . الدوال الذاتية لـ${\displaystyle N}$هي وظائف هيرميت المعتادة${\displaystyle \psi _{n}(x)}$والتي هي بالتالي أيضاً دوال ذاتية لـ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$[ ^{8 ]​}

هناك العديد من البراهين على صحة هذه الصيغة.

الصيغة هي حالة خاصة من صيغة هاردي-هيل ، باستخدام حقيقة أن كثيرات حدود هيرميت هي حالة خاصة من كثيرات حدود لاغير المرتبطة بها :$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{2n}(x)&=\left(-1\right)^{n}2^{2n}n!L_{n}^{(-1/2)}(x^{2})\\[4pt]H_{2n+1}(x)&=\left(-1\right)^{n}2^{2n+1}n!xL_{n}^{(1/2)}(x^{2})\end{aligned}}}$$تُعد هذه الصيغة حالة خاصة من صيغة كيبل-سليبيان ، لذا فإن أي برهان عليها يؤدي مباشرة إلى برهان صيغة ميهلر. ^{[ 9 ]}

قدم فواتا برهانًا توافقيًا للصيغة. ^{[ 10 ]}

قدّم هاردي برهانًا بسيطًا باستخدام تمثيل تكامل فورييه لكثيرات حدود هيرميت. ^{[ 11 ]} باستخدام تحويل فورييه للدالة الغاوسية${\textstyle e^{-x^{2}}={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int e^{-t^{2}+2ixt}dt}$لدينا$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}(x)&=\left(-1\right)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}\\&={\frac {e^{x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}\int \left(-2it\right)^{n}e^{-t^{2}+2ixt}dt\end{aligned}}}$$ومنها المجموع${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\rho /2)^{n}}{n!}}{\mathit {H}}_{n}(x){\mathit {H}}_{n}(y)}$يحوّل إلى تكامل مزدوج على مجموع$${\displaystyle {\frac {e^{x^{2}+y^{2}}}{\pi }}\iint _{\mathbb {R} ^{2}}e^{-\left(t^{2}+s^{2}\right)+2i(xt+ys)}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\left(-2ts\rho \right)^{n}}{n!}}dt\,ds}$$والتي يمكن تقييمها مباشرة على أنها تكاملان غاوسيان .

يمكن ربط نتيجة ميهلر بالاحتمالية أيضًا. ولتحقيق ذلك، يجب إعادة قياس المتغيرات على النحو التالي:${\displaystyle x\to x/{\sqrt {2}}}$،${\displaystyle y\to y/{\sqrt {2}}}$وذلك للتغيير من كثيرات حدود هيرميت "الفيزيائية"${\displaystyle H(\cdot )}$(مع وظيفة الوزن)${\displaystyle e^{-x^{2}}}$) إلى كثيرات حدود هيرميت "الاحتمالية"${\displaystyle \operatorname {He} (\cdot )}$(مع وظيفة الوزن)${\displaystyle \exp(-x^{2}/2)}$). إنها تُرضي$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}(x)&=2^{\frac {n}{2}}\operatorname {He} _{n}\left({\sqrt {2}}\,x\right),&\operatorname {He} _{n}(x)&=2^{-{\frac {n}{2}}}H_{n}{\left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)}.\end{aligned}}}$$ثم،${\displaystyle E}$يصبح $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}\exp \left(-{\frac {\rho ^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)-2\rho xy}{2\left(1-\rho ^{2}\right)}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\rho ^{n}}{n!}}~\operatorname {He} _{n}(x)\operatorname {He} _{n}(y)~.}$$

الجانب الأيسر هنا هو${\displaystyle p(x,y)/p(x)p(y)}$أين${\displaystyle p(x,y)}$هي دالة كثافة الاحتمال الغاوسية ثنائية المتغيرات للمتغيرات${\displaystyle x,y}$بمتوسطات صفرية وتباينات تساوي واحدًا: $${\displaystyle p(x,y)={\frac {1}{2\pi {\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\exp \left(-{\frac {(x^{2}+y^{2})-2\rho xy}{2(1-\rho ^{2})}}\right)~,}$$ و${\displaystyle p(x),p(y)}$هي كثافات الاحتمال المقابلة لـ${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$(كلاهما طبيعي قياسي).

ويتبع ذلك الشكل المعتاد للنتيجة (كيبيل 1945) ^{[ 12 ]}$${\displaystyle p(x,y)=p(x)p(y)\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\rho ^{n}}{n!}}~\operatorname {He} _{n}(x)\operatorname {He} _{n}(y)~.}$$

يمكن كتابة الأس بشكل أكثر تناظرًا:$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}\exp \left({\frac {\rho (x+y)^{2}}{4(1+\rho )}}-{\frac {\rho (x-y)^{2}}{4(1-\rho )}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\rho ^{n}}{n!}}~\operatorname {He} _{n}(x)\operatorname {He} _{n}(y)~.}$$يمكن اشتقاق هذا التوسع بسهولة باستخدام تحويل فورييه ثنائي الأبعاد لـ${\displaystyle p(x,y)}$، وهو $${\displaystyle c(iu_{1},iu_{2})=\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}\left(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}-2\rho u_{1}u_{2}\right)\right).}$$

يمكن توسيع ذلك على النحو التالي $${\displaystyle \exp(-(u_{1}^{2}+u_{2}^{2})/2)\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\rho ^{n}}{n!}}(u_{1}u_{2})^{n}~.}$$ ثم ينتج عن تحويل فورييه العكسي صيغة التوسع المذكورة أعلاه مباشرة.

يمكن تعميم هذه النتيجة على الحالة متعددة الأبعاد. ^{[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]}

قدم إرديلي هذا على أنه تكامل على المستوى المركب ^{[ 15 ]}$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\rho ^{n}}{n!}}\operatorname {He} _{n}(x)\operatorname {He} _{n}(y)={\frac {1}{\pi t}}\iint \exp \left[-{\frac {u^{2}+v^{2}}{\rho }}+(u+iv)x+(u-iv)y-{\frac {1}{2}}(u+iv)^{2}-{\frac {1}{2}}(u-iv)^{2}\right]du\,dv.}$$والتي يمكن دمجها مع تكاملين غاوسيين، مما ينتج عنه صيغة ميهلر.

بما أن وظائف هيرميت${\displaystyle \psi _{n}}$هي دوال ذاتية متعامدة لتحويل فورييه ، $${\displaystyle {\mathcal {F}}[\psi _{n}](y)=\left(-i\right)^{n}\psi _{n}(y)~,}$$ في التحليل التوافقي ومعالجة الإشارات ، يقومون بتحويل عامل فورييه إلى قطري. $${\displaystyle {\mathcal {F}}[f](y)=\int dxf(x)\sum _{n\geq 0}(-i)^{n}\psi _{n}(x)\psi _{n}(y)~.}$$

وبالتالي، فإن التعميم المستمر للزاوية الحقيقية${\displaystyle \alpha }$يمكن تعريفها بسهولة ( وينر ، 1929؛ ^{[ 16 ]} كوندون ، 1937 ^{[ 17 ]} )، وهي تحويل فورييه الجزئي (FrFT)، مع النواة $${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }=\sum _{n\geq 0}(-i)^{2\alpha n/\pi }\psi _{n}(x)\psi _{n}(y)~.}$$

هذه عائلة متصلة من التحويلات الخطية تعمم تحويل فورييه ، بحيث يكون، بالنسبة لـ${\displaystyle \alpha =\pi /2}$، فإنه يختزل إلى تحويل فورييه القياسي، و لـ${\displaystyle \alpha =-\pi /2}$إلى تحويل فورييه العكسي.

صيغة ميهلر، لـ${\displaystyle \rho =e^{-i\alpha }}$وبالتالي يوفر بشكل مباشر $${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }[f](y)={\sqrt {\frac {1-i\cot(\alpha )}{2\pi }}}~e^{{\frac {i}{2}}\cot(\alpha )y^{2}/2}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\left(\csc(\alpha )yx-{\frac {1}{2}}\!\cot(\alpha )x^{2}\right)}f(x)\,\mathrm {d} x\,.}$$ يُعرَّف الجذر التربيعي بحيث تقع قيمة الناتج في الفترة${\displaystyle [-\pi /2,\pi /2]}$.

لو${\displaystyle \alpha }$هو مضاعف صحيح لـ${\displaystyle \pi }$ثم تتباعد دالتا ظل التمام وقاطع التمام المذكورتان أعلاه . وفي النهاية ، تتحول النواة إلى دالة ديراك دلتا في الدالة المراد تكاملها.${\displaystyle \delta (x-y)}$أو${\displaystyle \delta (x+y)}$، ل${\displaystyle \alpha }$مضاعف زوجي أو فردي لـ${\displaystyle \pi }$على التوالي. بما أن${\displaystyle {\mathcal {F}}^{2}[f]=f(-x)}$،${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\alpha }[f]}$يجب أن يكون الأمر بسيطًا${\displaystyle f(x)}$أو${\displaystyle f(-x)}$ل${\displaystyle \alpha }$مضاعف زوجي أو فردي لـ${\displaystyle \pi }$، على التوالى.

• تمثيل المذبذب §  المذبذب التوافقي ووظائف هيرميت
• نواة التسخين
• كثيرات حدود هيرميت
• وظائف الأسطوانة المكافئة
• متعددات لاجير §  صيغة هاردي-هيل

• نيكول بيرلين، عزرا جيتزلر، وميشيل فيرجن (2013). حبات الحرارة ومشغلي ديراك ، (سبرينغر: إصدارات نص غروندلهرين) غلاف عادي ISBN 3540200622
• لوك، ج. د. (1981). "توسيع صيغة كيبل-سليبيان لكثيرات حدود هيرميت باستخدام طرق مؤثرات البوزون" . التقدم في الرياضيات التطبيقية . 2 (3): 239-249 . doi : 10.1016/0196-8858(81)90005-1 .
• سريفاستافا، إتش إم؛ سينغال، جيه بي (1972). "بعض التوسعات لصيغة ميهلر" . وقائع الجمعية الرياضية الأمريكية . 31 : 135-141 . doi : 10.1090/S0002-9939-1972-0285738-4 .