التكامل الغاوسي

تتمثل إحدى الطرق القياسية لحساب التكامل الغاوسي، والتي تعود فكرتها إلى بواسون، ^{[ 3 ]} في الاستفادة من الخاصية التالية:

$${\displaystyle \left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx\right)^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx\int _{-\infty }^{\infty }e^{-y^{2}}\,dy=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}\,dx\,dy.}$$

ضع في اعتبارك الدالة${\displaystyle e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}=e^{-r^{2}}}$على متن الطائرة${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$، واحسب تكاملها بطريقتين:

1. من ناحية أخرى، من خلال التكامل المزدوج في نظام الإحداثيات الديكارتية ، يكون تكاملها مربعًا:$${\displaystyle \left(\int e^{-x^{2}}\,dx\right)^{2};}$$
2. من ناحية أخرى، باستخدام التكامل على مستوى الغلاف (وهي حالة من التكامل المزدوج في الإحداثيات القطبية )، يتم حساب تكاملها على النحو التالي:${\displaystyle \pi }$

بمقارنة هاتين العمليتين الحسابيتين نحصل على التكامل، على الرغم من أنه ينبغي توخي الحذر بشأن التكاملات غير الصحيحة المعنية.

$$\begin{aligned}\iint _{\mathbb {R} ^{2}}e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}dx\,dy&=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}r\,dr\,d\theta \\[6pt]&=2\pi \int _{0}^{\infty }re^{-r^{2}}\,dr\\[6pt]&=2\pi \int _{-\infty }^{0}{\tfrac {1}{2}}e^{s}\,ds&&s=-r^{2}\\[6pt]&=\pi \int _{-\infty }^{0}e^{s}\,ds\\[6pt]&=\pi \,\left[e^{s}\right]_{-\infty }^{0}\\[6pt]&=\pi \,\left(e^{0}-e^{-\infty }\right)\\[6pt]&=\pi \,\left(1-0\right)\\[6pt]&=\pi ,\end{aligned}}}$$ حيث أن عامل r هو محدد جاكوبي الذي يظهر بسبب التحويل إلى الإحداثيات القطبية ( r dr dθ هو المقياس القياسي على المستوى، معبر عنه بالإحداثيات القطبية Wikibooks:Calculus/Polar Integration#Generalization )، ويتضمن الاستبدال أخذ s = − r ² ، لذلك ds = −2 r dr .

يؤدي الجمع بين هذه النتائج إلى $${\displaystyle \left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx\right)^{2}=\pi ,}$$ لذا $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}.}$$

ثمة تقنية مختلفة، تعود إلى لابلاس (1812)، ^{[ 3 ]} وهي كالتالي. $${\displaystyle {\begin{aligned}y&=xs\\dy&=x\,ds.\end{aligned}}}$$

بما أن حدود s عندما y → ±∞ تعتمد على إشارة x ، فإن استخدام حقيقة أن e ^{− x 2} دالة زوجية يبسط الحساب ، وبالتالي فإن التكامل على جميع الأعداد الحقيقية يساوي ضعف التكامل من الصفر إلى اللانهاية. أي،

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx=2\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx.}$$

وبالتالي، ضمن نطاق التكامل، يكون x ≥ 0 ، وللمتغيرين y و s نفس الحدود. وهذا ينتج عنه: $${\displaystyle {\begin{aligned}I^{2}&=4\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}dy\,dx\\[6pt]&=4\int _{0}^{\infty }\left(\int _{0}^{\infty }e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}\,dy\right)\,dx\\[6pt]&=4\int _{0}^{\infty }\left(\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}\left(1+s^{2}\right)}x\,ds\right)\,dx\\[6pt]\end{aligned}}}$$ ثم، باستخدام نظرية فوبيني لتغيير ترتيب التكامل : $${\displaystyle {\begin{aligned}I^{2}&=4\int _{0}^{\infty }\left(\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}\left(1+s^{2}\right)}x\,dx\right)\,ds\\[6pt]&=4\int _{0}^{\infty }\left[{\frac {e^{-x^{2}\left(1+s^{2}\right)}}{-2\left(1+s^{2}\right)}}\right]_{x=0}^{x=\infty }\,ds\\[6pt]&=4\left({\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {ds}{1+s^{2}}}\right)\\[6pt]&=2\arctan(s){\Big |}_{0}^{\infty }\\[6pt]&=\pi .\end{aligned}}}$$

لذلك،${\displaystyle I={\sqrt {\pi }}}$كما هو متوقع.

في تقريب لابلاس ، نتعامل فقط مع الحدود حتى الرتبة الثانية في متسلسلة تايلور ، لذلك نعتبر${\displaystyle e^{-x^{2}}\approx 1-x^{2}\approx (1+x^{2})^{-1}}$.

في الواقع، منذ${\displaystyle (1+t)e^{-t}\leq 1}$للجميع${\displaystyle t}$لدينا الحدود الدقيقة:$${\displaystyle 1-x^{2}\leq e^{-x^{2}}\leq (1+x^{2})^{-1}}$$ثم يمكننا حساب الحد عند حد تقريب لابلاس:$${\displaystyle \int _{[-1,1]}(1-x^{2})^{n}dx\leq \int _{[-1,1]}e^{-nx^{2}}dx\leq \int _{[-1,1]}(1+x^{2})^{-n}dx}$$

إنه، $${\displaystyle 2{\sqrt {n}}\int _{[0,1]}(1-x^{2})^{n}dx\leq \int _{[-{\sqrt {n}},{\sqrt {n}}]}e^{-x^{2}}dx\leq 2{\sqrt {n}}\int _{[0,1]}(1+x^{2})^{-n}dx}$$

باستخدام التعويض المثلثي، نحسب بدقة هذين الحدين:${\displaystyle 2{\sqrt {n}}(2n)!!/(2n+1)!!}$و${\displaystyle 2{\sqrt {n}}(\pi /2)(2n-3)!!/(2n-2)!!}$

بأخذ الجذر التربيعي لصيغة واليس ،$${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\prod _{n=1}{\frac {(2n)^{2}}{(2n-1)(2n+1)}}}$$لدينا${\displaystyle {\sqrt {\pi }}=2\lim _{n\to \infty }{\sqrt {n}}{\frac {(2n)!!}{(2n+1)!!}}}$، وهو الحد الأدنى المطلوب. وبالمثل، يمكننا الحصول على الحد الأعلى المطلوب. وعلى العكس، إذا قمنا أولاً بحساب التكامل باستخدام إحدى الطرق الأخرى المذكورة أعلاه، فسنحصل على برهان لصيغة واليس.

تم اكتشاف العديد من البراهين باستخدام صيغة كوشي التكاملية ، على الرغم من الاعتقاد الأولي بأن التكامل غير مناسب لحساب البواقي . ^{[ 3 ] [ 4 ]}

تكامل دالة غاوسية اختيارية هو $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-a(x+b)^{2}}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}.}$$

وهناك شكل بديل هو $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-(ax^{2}-bx+c)}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\,e^{{\frac {b^{2}}{4a}}-c}.}$$

يُعد هذا الشكل مفيدًا لحساب التوقعات لبعض التوزيعات الاحتمالية المستمرة المرتبطة بالتوزيع الطبيعي، مثل التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي ، على سبيل المثال.

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{{\frac {1}{2}}it^{2}}dt=e^{i\pi /4}{\sqrt {2\pi }}}$$وبشكل أعم،$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{N}}e^{{\frac {1}{2}}i\mathbf {x} ^{T}A\mathbf {x} }dx=\det(A)^{-{\frac {1}{2}}}{\left(e^{i\pi /4}{\sqrt {2\pi }}\right)}^{N}}$$لأي مصفوفة متناظرة موجبة التحديد${\displaystyle A}$.

لنفترض أن A مصفوفة متناظرة موجبة التحديد (وبالتالي قابلة للعكس) من الرتبة n × n ، وهي معكوس مصفوفة التغاير . عندئذٍ،

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp {\left(-{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {x} \right)}\,d^{n}\mathbf {x} &=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp {\left(-{\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j=1}^{n}A_{ij}x_{i}x_{j}\right)}\,d^{n}\mathbf {x} \\[1ex]&={\sqrt {\frac {{\left(2\pi \right)}^{n}}{\det A}}}={\sqrt {\frac {1}{\det \left(A/2\pi \right)}}}\\[1ex]&={\sqrt {\det \left(2\pi A^{-1}\right)}}\end{aligned}}}$$

بإكمال المربع، يصبح هذا تعميمًا لـ$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp {\left(-{\tfrac {1}{2}}\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {x} +\mathbf {b} ^{\mathsf {T}}\mathbf {x} +c\right)}\,d^{n}\mathbf {x} ={\sqrt {\det \left(2\pi A^{-1}\right)}}\exp \left({\tfrac {1}{2}}\mathbf {b} ^{\mathsf {T}}A^{-1}\mathbf {b} +c\right)}$$

يتم تطبيق هذه الحقيقة في دراسة التوزيع الطبيعي متعدد المتغيرات .

أيضًا، $${\displaystyle \int x_{k_{1}}\cdots x_{k_{2N}}\,\exp {\left(-{\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j=1}^{n}A_{ij}x_{i}x_{j}\right)}\,d^{n}x={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{\det A}}}\,{\frac {1}{2^{N}N!}}\,\sum _{\sigma \in S_{2N}}(A^{-1})_{k_{\sigma (1)}k_{\sigma (2)}}\cdots (A^{-1})_{k_{\sigma (2N-1)}k_{\sigma (2N)}}}$$ حيث σ هو تبديل لـ {1، …، 2 N } والعامل الإضافي على الجانب الأيمن هو المجموع على جميع الاقترانات التوافقية لـ {1، …، 2 N } من N نسخة من A ⁻¹ .

أو بدلاً من ذلك، ^{[ 5 ]}

$${\displaystyle \int f(\mathbf {x} )\exp {\left(-{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{n}A_{ij}x_{i}x_{j}\right)}d^{n}\mathbf {x} ={\sqrt {\frac {{\left(2\pi \right)}^{n}}{\det A}}}\,\left.\exp \left({\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{n}\left(A^{-1}\right)_{ij}{\partial \over \partial x_{i}}{\partial \over \partial x_{j}}\right)f(\mathbf {x} )\right|_{\mathbf {x} =0}}$$

بالنسبة لدالة تحليلية f ، بشرط أن تحقق بعض الحدود المناسبة على نموها وبعض المعايير التقنية الأخرى. (ينجح هذا مع بعض الدوال ويفشل مع غيرها. كثيرات الحدود مقبولة). يُفهم الأس على مؤثر تفاضلي على أنه متسلسلة قوى .

على الرغم من أن التكاملات الوظيفية لا تملك تعريفًا دقيقًا (أو حتى تعريفًا حسابيًا غير دقيق في معظم الحالات)، إلا أنه يمكننا تعريف التكامل الوظيفي الغاوسي قياسًا على الحالة ذات الأبعاد المحدودة. ومع ذلك، لا تزال هناك مشكلة تتمثل في${\displaystyle (2\pi )^{\infty }}$هي لانهائية، وكذلك المحدد الوظيفي سيكون لانهائيًا بشكل عام. يمكن معالجة هذا الأمر إذا اقتصرنا على النظر في النسب فقط.

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\displaystyle \int f(x_{1})\cdots f(x_{2N})\exp \left[{-\iint {\frac {1}{2}}A(x_{2N+1},x_{2N+2})f(x_{2N+1})f(x_{2N+2})\,d^{d}x_{2N+1}\,d^{d}x_{2N+2}}\right]{\mathcal {D}}f}{\displaystyle \int \exp \left[{-\iint {\frac {1}{2}}A(x_{2N+1},x_{2N+2})f(x_{2N+1})f(x_{2N+2})\,d^{d}x_{2N+1}\,d^{d}x_{2N+2}}\right]{\mathcal {D}}f}}\\[6pt]={}&{\frac {1}{2^{N}N!}}\sum _{\sigma \in S_{2N}}A^{-1}(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)})\cdots A^{-1}(x_{\sigma (2N-1)},x_{\sigma (2N)}).\end{aligned}}}$$

في تدوين ديويت ، تبدو المعادلة مطابقة للحالة ذات الأبعاد المحدودة.

إذا كانت A مصفوفة متناظرة موجبة التحديد، فإن (بافتراض أن جميعها متجهات عمودية) $${\displaystyle {\begin{aligned}\int \exp \left(-{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{n}A_{ij}x_{i}x_{j}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}x_{i}\right)d^{n}\mathbf {x} &=\int \exp \left(-{\tfrac {1}{2}}\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {x} +\mathbf {b} ^{\mathsf {T}}\mathbf {x} \right)d^{n}\mathbf {x} \\&={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{\det A}}}\exp \left({\tfrac {1}{2}}\mathbf {b} ^{\mathsf {T}}A^{-1}\mathbf {b} \right).\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n}e^{-{x^{2}}/{a^{2}}}\,dx={\sqrt {\pi }}{\frac {a^{2n+1}(2n-1)!!}{2^{n+1}}}}$$$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n+1}e^{-{x^{2}}/{a^{2}}}\,dx={\frac {n!}{2}}a^{2n+2}}$$$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n}e^{-bx^{2}}\,dx={\frac {(2n-1)!!}{b^{n}2^{n+1}}}{\sqrt {\frac {\pi }{b}}}}$$$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n+1}e^{-bx^{2}}\,dx={\frac {n!}{2b^{n+1}}}}$$$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-bx^{2}}\,dx={\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}{2b^{\frac {n+1}{2}}}}}$$ أين${\displaystyle n}$هو عدد صحيح موجب

إحدى الطرق السهلة لاستنتاج هذه هي عن طريق الاشتقاق تحت علامة التكامل .

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }x^{2n}e^{-\alpha x^{2}}\,dx&=\left(-1\right)^{n}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial ^{n}}{\partial \alpha ^{n}}}e^{-\alpha x^{2}}\,dx\\[1ex]&=\left(-1\right)^{n}{\frac {\partial ^{n}}{\partial \alpha ^{n}}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha x^{2}}\,dx\\[1ex]&={\sqrt {\pi }}\left(-1\right)^{n}{\frac {\partial ^{n}}{\partial \alpha ^{n}}}\alpha ^{-{\frac {1}{2}}}\\[1ex]&={\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}{\frac {(2n-1)!!}{\left(2\alpha \right)^{n}}}\end{aligned}}}$$

يمكن أيضاً إجراء التكامل بالتجزئة وإيجاد علاقة تكرارية لحل هذه المسألة.

يُظهر تطبيق تغيير خطي للأساس أن تكامل الدالة الأسية لكثير الحدود المتجانس في n متغيرًا قد يعتمد فقط على ثوابت SL( n ) لكثير الحدود. أحد هذه الثوابت هو المميز ، الذي تُشير أصفاره إلى نقاط التفرد في التكامل. مع ذلك، قد يعتمد التكامل أيضًا على ثوابت أخرى. ^{[ 6 ]}

يمكن إيجاد حلول عددية للأسس الخاصة بكثيرات الحدود الزوجية الأخرى باستخدام المتسلسلات. ويمكن تفسير هذه الحلول على أنها حسابات شكلية عندما لا يكون هناك تقارب. على سبيل المثال، حل تكامل الأسس لكثيرة حدود من الدرجة الرابعة هو

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+f}\,dx={\frac {1}{2}}e^{f}\sum _{\begin{smallmatrix}n,m,p=0\\n+p=0{\bmod {2}}\end{smallmatrix}}^{\infty }{\frac {b^{n}}{n!}}{\frac {c^{m}}{m!}}{\frac {d^{p}}{p!}}{\frac {\Gamma {\left({\frac {3n+2m+p+1}{4}}\right)}}{{\left(-a\right)}^{\frac {3n+2m+p+1}{4}}}}.}$$

يُشترط أن يكون n + p = 0 mod 2 لأن التكامل من −∞ إلى 0 يُضيف عامل (−1) ^{n + p} /2 إلى كل حد، بينما يُضيف التكامل من 0 إلى +∞ عامل 1/2 إلى كل حد. وتظهر هذه التكاملات في مواضيع مثل نظرية الحقل الكمومي .