التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي

يترك${\displaystyle Z}$ليكن متغيرًا طبيعيًا معياريًا ، وليكن${\displaystyle \mu }$و${\displaystyle \sigma }$ليكن عددان حقيقيان، مع${\displaystyle \sigma >0}$ثم ، توزيع المتغير العشوائي

$${\displaystyle X=e^{\mu +\sigma Z}}$$

يُطلق عليه اسم التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي ذو المعلمات${\displaystyle \mu }$و${\displaystyle \sigma }$هذه هي القيمة المتوقعة (أو المتوسط ) والانحراف المعياري للوغاريتم الطبيعي للمتغير ،${\displaystyle \ln X}$، وليس التوقع والانحراف المعياري لـ${\displaystyle X}$نفسها.

هذه العلاقة صحيحة بغض النظر عن أساس الدالة اللوغاريتمية أو الأسية: إذا${\displaystyle \log _{a}X}$إذا كان التوزيع طبيعيًا، فإن التوزيع الطبيعي هو كذلك.${\displaystyle \log _{b}X}$لأي عددين موجبين${\displaystyle a,b\neq 1}$وبالمثل ، إذا${\displaystyle e^{Y}}$إذا كان التوزيع لوغاريتميًا طبيعيًا، فإن التوزيع كذلك${\displaystyle a^{Y}}$، أين${\displaystyle 0<a\neq 1}$.

من أجل إنتاج توزيع بمتوسط ​​مرغوب فيه${\displaystyle \mu _{X}}$والتباين${\displaystyle \sigma _{X}^{2}}$، يستخدم${\displaystyle \mu =\ln {\frac {\mu _{X}^{2}}{\sqrt {\mu _{X}^{2}+\sigma _{X}^{2}}}}}$و${\displaystyle \sigma ^{2}=\ln \left(1+{\frac {\sigma _{X}^{2}}{\mu _{X}^{2}}}\right)}$.

أو بدلاً من ذلك، المعاملات "الضربية" أو "الهندسية"${\displaystyle \mu ^{*}=e^{\mu }}$و${\displaystyle \sigma ^{*}=e^{\sigma }}$يمكن استخدامها. ولها تفسير أكثر مباشرة:${\displaystyle \mu ^{*}}$هو الوسيط للتوزيع، و${\displaystyle \sigma ^{*}}$يُعد هذا مفيدًا لتحديد فترات "التشتت"، انظر أدناه.

متغير عشوائي موجب${\displaystyle X}$يتبع التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي (أي،${\textstyle X\sim \operatorname {Lognormal} \left(\mu ,\sigma ^{2}\right)}$) إذا كان اللوغاريتم الطبيعي لـ${\displaystyle X}$يتوزع توزيعًا طبيعيًا بمتوسط${\displaystyle \mu }$والتباين${\displaystyle \sigma ^{2}}$:

$${\displaystyle \ln X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$$

يترك${\displaystyle \Phi }$و${\displaystyle \varphi }$ولتكن على التوالي دالة التوزيع الاحتمالي التراكمي ودالة كثافة الاحتمال لـ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$إذا كان التوزيع طبيعيًا قياسيًا، فإن دالة كثافة الاحتمال للتوزيع اللوغاريتمي الطبيعي تُعطى بالصيغة التالية: ^{[ 1 ] [ 3 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}f_{X}(x)&={\frac {d}{dx}}\Pr \nolimits _{X}\left[X\leq x\right]\\[6pt]&={\frac {d}{dx}}\Pr \nolimits _{X}\left[\ln X\leq \ln x\right]\\[6pt]&={\frac {d}{dx}}\Phi {\left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)}\\[6pt]&=\varphi {\left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)}{\frac {d}{dx}}\left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)\\[6pt]&=\varphi {\left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)}{\frac {1}{\sigma x}}\\[6pt]&={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {(\ln x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)~.\end{aligned}}}$$

دالة التوزيع التراكمي هي

$${\displaystyle F_{X}(x)=\Phi {\left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)}}$$

أين${\displaystyle \Phi }$هي دالة التوزيع التراكمي للتوزيع الطبيعي القياسي (أي،${\displaystyle \operatorname {\mathcal {N}} (0,1)}$).

ويمكن التعبير عن ذلك أيضاً على النحو التالي: ^{[ 1 ]}

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left(-{\frac {\ln x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)}$$

حيث أن erfc هي دالة الخطأ التكميلية .

لو${\displaystyle {\boldsymbol {X}}\sim {\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }},\,{\boldsymbol {\Sigma }})}$إذا كان توزيعًا طبيعيًا متعدد المتغيرات ، فإن${\displaystyle Y_{i}=\exp(X_{i})}$له توزيع لوغاريتمي طبيعي متعدد المتغيرات. ^{[ 5 ] [ 6 ]} يتم تطبيق الدالة الأسية عنصرًا بعنصر على المتجه العشوائي${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$متوسط${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}}$يكون

$${\displaystyle \operatorname {E} [{\boldsymbol {Y}}]_{i}=e^{\mu _{i}+{\frac {1}{2}}\Sigma _{ii}},}$$

ومصفوفة التباين الخاصة بها هي

$${\displaystyle \operatorname {Var} [{\boldsymbol {Y}}]_{ij}=e^{\mu _{i}+\mu _{j}+{\frac {1}{2}}(\Sigma _{ii}+\Sigma _{jj})}\left(e^{\Sigma _{ij}}-1\right).}$$

بما أن التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي متعدد المتغيرات لا يستخدم على نطاق واسع، فإن الجزء المتبقي من هذه المقالة يتناول فقط التوزيع أحادي المتغير .

جميع لحظات التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي موجودة و

$${\displaystyle \operatorname {E} [X^{n}]=e^{n\mu +n^{2}\sigma ^{2}/2}\,.}$$

مع ذلك، فإن التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي لا يتحدد بعزومه. ^{[ 7 ]} وهذا يعني أنه لا يمكن أن يكون له دالة توليد عزوم محددة في جوار الصفر. ^{[ 8 ]} في الواقع، القيمة المتوقعة${\displaystyle \operatorname {E} [e^{tX}]}$لا يتم تعريفها لأي قيمة موجبة للوسيط${\displaystyle t}$، لأن التكامل المحدد متباعد.

الدالة المميزة${\displaystyle \operatorname {E} [e^{itX}]}$تُعرَّف الدالة المميزة للقيم الحقيقية لـ t ، ولكنها غير مُعرَّفة لأي قيمة مركبة لـ t ذات جزء تخيلي سالب، وبالتالي فإن الدالة المميزة ليست تحليلية عند نقطة الأصل. ونتيجةً لذلك، لا يمكن تمثيل الدالة المميزة للتوزيع اللوغاريتمي الطبيعي كمتسلسلة متقاربة لانهائية. ^{[ 9 ]} وعلى وجه الخصوص، فإن متسلسلة تايلور الرسمية الخاصة بها متباعدة.

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{\left(it\right)}^{n}}{n!}}e^{n\mu +n^{2}\sigma ^{2}/2}\,.}$$

مع ذلك، تم الحصول على عدد من التمثيلات البديلة للمتسلسلات المتباعدة . ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]}

صيغة مغلقة للدالة المميزة${\displaystyle \varphi (t)}$مع${\displaystyle t}$لا يُعرف نطاق التقارب. تتوفر صيغة تقريبية بسيطة نسبياً بصيغة مغلقة، وهي معطاة في ^{[ 13 ].}

$${\displaystyle \varphi (t)\approx {\frac {\exp \left(-{\frac {W^{2}(-it\sigma ^{2}e^{\mu })+2W(-it\sigma ^{2}e^{\mu })}{2\sigma ^{2}}}\right)}{\sqrt {1+W{\left(-it\sigma ^{2}e^{\mu }\right)}}}}}$$

أين${\displaystyle W}$هي دالة لامبرت W. يُشتق هذا التقريب عبر طريقة تقاربية، ولكنه يظل دقيقًا في جميع أنحاء مجال تقارب${\displaystyle \varphi }$.

المتوسط ​​الهندسي أو المتوسط ​​الضربي للتوزيع اللوغاريتمي الطبيعي هو${\displaystyle \operatorname {GM} [X]=e^{\mu }=\mu ^{*}}$يساوي الوسيط. الانحراف المعياري الهندسي أو الضربي هو${\displaystyle \operatorname {GSD} [X]=e^{\sigma }=\sigma ^{*}}$[ ^{14 ] [ 15 ]​}

قياساً على الإحصاءات الحسابية، يمكن تعريف التباين الهندسي،${\displaystyle \operatorname {GVar} [X]=e^{\sigma ^{2}}}$، ومعامل التباين الهندسي ، ^{[ 14 ]}${\displaystyle \operatorname {GCV} [X]=e^{\sigma }-1}$تم اقتراح مصطلح GCV. كان الهدف من هذا المصطلح أن يكون مماثلاً لمعامل التباين، لوصف التباين المضاعف في البيانات اللوغاريتمية الطبيعية، ولكن هذا التعريف لـ GCV ليس له أساس نظري كتقدير لـ${\displaystyle \operatorname {CV} }$نفسه (انظر أيضًا معامل التباين ).

لاحظ أن المتوسط ​​الهندسي أصغر من المتوسط ​​الحسابي. ويعود ذلك إلى متباينة المتوسط ​​الحسابي والمتوسط ​​الهندسي ، وهو نتيجة لكون اللوغاريتم دالة مقعرة . في الواقع، ^{[ 16 ]}

$${\displaystyle \operatorname {E} [X]=e^{\mu +{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}=e^{\mu }\cdot {\sqrt {e^{\sigma ^{2}}}}=\operatorname {GM} [X]\cdot {\sqrt {\operatorname {GVar} [X]}}.}$$

في مجال التمويل، المصطلح${\displaystyle e^{-\sigma ^{2}/2}}$يُفسَّر أحيانًا على أنه تصحيح للتحدب . من وجهة نظر حساب التفاضل والتكامل العشوائي ، يُعد هذا هو نفس مصطلح التصحيح الموجود في مبرهنة إيتو للحركة البراونية الهندسية .

بالنسبة لأي عدد حقيقي أو مركب n ، فإن العزم النوني لمتغير X ذي التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي يُعطى بواسطة ^{[ 3 ].}$${\displaystyle \operatorname {E} [X^{n}]=e^{n\mu +{\frac {1}{2}}n^{2}\sigma ^{2}}.}$$

على وجه التحديد، يتم إعطاء المتوسط ​​الحسابي، والمربع المتوقع، والتباين الحسابي، والانحراف المعياري الحسابي لمتغير X ذي التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي على التوالي بواسطة: ^{[ 1 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X]&=e^{\mu +{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}},\\[4pt]\operatorname {E} [X^{2}]&=e^{2\mu +2\sigma ^{2}},\\[4pt]\operatorname {Var} [X]&=\operatorname {E} [X^{2}]-\operatorname {E} [X]^{2}={\left(\operatorname {E} [X]\right)}^{2}\left(e^{\sigma ^{2}}-1\right)\\[2pt]&=e^{2\mu +\sigma ^{2}}\left(e^{\sigma ^{2}}-1\right),\\[4pt]\operatorname {SD} [X]&={\sqrt {\operatorname {Var} [X]}}=\operatorname {E} [X]{\sqrt {e^{\sigma ^{2}}-1}}\\[2pt]&=e^{\mu +{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}}{\sqrt {e^{\sigma ^{2}}-1}},\end{aligned}}}$$

معامل التباين الحسابي${\displaystyle \operatorname {CV} [X]}$هي النسبة${\displaystyle {\tfrac {\operatorname {SD} [X]}{\operatorname {E} [X]}}}$بالنسبة للتوزيع اللوغاريتمي الطبيعي، يكون مساوياً لـ ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \operatorname {CV} [X]={\sqrt {e^{\sigma ^{2}}-1}}.}$$ يُشار إلى هذا التقدير أحيانًا باسم "معامل التباين الهندسي" (GCV)، ^{[ 17 ] [ 18 ]} نظرًا لاستخدامه التباين الهندسي. وعلى عكس الانحراف المعياري الحسابي، فإن معامل التباين الحسابي مستقل عن المتوسط ​​الحسابي.

يمكن الحصول على المعاملين μ و σ إذا كان المتوسط ​​الحسابي والتباين الحسابي معروفين:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mu &=\ln {\frac {\operatorname {E} [X]^{2}}{\sqrt {\operatorname {E} [X^{2}]}}}=\ln {\frac {\operatorname {E} [X]^{2}}{\sqrt {\operatorname {Var} [X]+\operatorname {E} [X]^{2}}}},\\[1ex]\sigma ^{2}&=\ln {\frac {\operatorname {E} [X^{2}]}{\operatorname {E} [X]^{2}}}=\ln \left(1+{\frac {\operatorname {Var} [X]}{\operatorname {E} [X]^{2}}}\right).\end{aligned}}}$$

لا يُحدد التوزيع الاحتمالي بشكلٍ فريدٍ بواسطة العزوم E[ X n ] = e nμ  + 1/2 n  2  σ  2  لـ n ≥ 1. أي أنه توجد توزيعات أخرى لها نفس مجموعة العزوم. [ 3 ] في الواقع، توجد عائلة كاملة من التوزيعات لها نفس عزوم التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي؛ انظر التوزيعات ذات الصلة أدناه.

المنوال هو نقطة القيمة العظمى العالمية لدالة كثافة الاحتمال. على وجه الخصوص، من خلال حل المعادلة${\displaystyle (\ln f)'=0}$، فهمنا ذلك:

$${\displaystyle \operatorname {Mode} [X]=e^{\mu -\sigma ^{2}}.}$$

بما أن المتغير المحول لوغاريتميًا${\displaystyle Y=\ln X}$لها توزيع طبيعي، وتُحفظ الكميات المئوية تحت التحويلات الرتيبة، كميات${\displaystyle X}$نكون

$${\displaystyle q_{X}(\alpha )=\exp \left[\mu +\sigma q_{\Phi }(\alpha )\right]=\mu ^{*}(\sigma ^{*})^{q_{\Phi }(\alpha )},}$$

أين${\displaystyle q_{\Phi }(\alpha )}$يمثل الكمية المئوية للتوزيع الطبيعي القياسي.

على وجه التحديد، فإن الوسيط لتوزيع لوغاريتمي طبيعي يساوي متوسطه المضاعف، ^{[ 19 ]}

$${\displaystyle \operatorname {Med} [X]=e^{\mu }=\mu ^{*}~.}$$

التوقع الجزئي لمتغير عشوائي${\displaystyle X}$فيما يتعلق بالعتبة${\displaystyle k}$يُعرَّف بأنه

$${\displaystyle g(k)=\int _{k}^{\infty }x\,f_{X}(x)\,dx.}$$

أو بدلاً من ذلك، باستخدام تعريف التوقع الشرطي ، يمكن كتابتها على النحو التالي${\displaystyle g(k)=\operatorname {E} [X\mid X>k]\Pr(X>k)}$بالنسبة لمتغير عشوائي لوغاريتمي طبيعي، يُعطى التوقع الجزئي بالصيغة التالية:

$${\displaystyle {\begin{aligned}g(k)&=\int _{k}^{\infty }xf_{X}(x)\,dx\\[1ex]&=e^{\mu +{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}}\,\Phi {\left({\frac {\mu -\ln k}{\sigma }}+\sigma \right)}\end{aligned}}}$$

أين${\displaystyle \Phi }$هي دالة التوزيع التراكمي الطبيعي . اشتقاق الصيغة موجود في صفحة النقاش . صيغة التوقع الجزئي لها تطبيقات في التأمين والاقتصاد ، وتُستخدم في حل المعادلات التفاضلية الجزئية المؤدية إلى صيغة بلاك-شولز .

التوقع الشرطي لمتغير عشوائي لوغاريتمي طبيعي${\displaystyle X}$—فيما يتعلق بعتبة${\displaystyle k}$— هو القيمة المتوقعة الجزئية مقسومة على الاحتمالية التراكمية لوجودها في ذلك النطاق:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X\mid X<k]&=e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}\cdot {\frac {\Phi {\left[{\frac {\ln k-\mu }{\sigma }}-\sigma \right]}}{\Phi {\left[{\frac {\ln k-\mu }{\sigma }}\right]}}}\\[8pt]\operatorname {E} [X\mid X\geq k]&=e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}\cdot {\frac {\Phi {\left[{\frac {\mu -\ln k}{\sigma }}+\sigma \right]}}{1-\Phi {\left[{\frac {\ln k-\mu }{\sigma }}\right]}}}\\[8pt]\operatorname {E} [X\mid X\in [k_{1},k_{2}]]&=e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}\cdot {\frac {\Phi {\left[{\frac {\ln k_{2}-\mu }{\sigma }}-\sigma \right]}-\Phi {\left[{\frac {\ln k_{1}-\mu }{\sigma }}-\sigma \right]}}{\Phi \left[{\frac {\ln k_{2}-\mu }{\sigma }}\right]-\Phi \left[{\frac {\ln k_{1}-\mu }{\sigma }}\right]}}\end{aligned}}}$$

بالإضافة إلى التوصيف بواسطة${\displaystyle \mu ,\sigma }$أو${\displaystyle \mu ^{*},\sigma ^{*}}$فيما يلي عدة طرق لتحديد معلمات التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي. يسرد ProbOnto ، قاعدة المعرفة وعلم الوجود لتوزيعات الاحتمالات ^{[ 20 ] [ 21 ]،} سبعة من هذه الأشكال:

• LogNormal1( ^μ , σ ) مع المتوسط ​​μ والانحراف المعياري σ كلاهما ^على المقياس اللوغاريتمي [ ²² ]$${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\sigma }})={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {(\ln x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]}$$
• LogNormal2( μ , υ ) مع المتوسط ​​μ والتباين υ كلاهما على مقياس السجل$${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {v}})={\frac {1}{x{\sqrt {v}}{\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {(\ln x-\mu )^{2}}{2v}}\right]}$$
• LogNormal3( m , σ ) مع الوسيط ، m ، على المقياس الطبيعي والانحراف المعياري، σ ، على المقياس اللوغاريتمي ^{[ 22 ]}$${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {m}},{\boldsymbol {\sigma }})={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {\ln ^{2}(x/m)}{2\sigma ^{2}}}\right]}$$
• LogNormal4( m ,cv) حيث الوسيط m ومعامل التباين cv كلاهما على المقياس الطبيعي$${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {m}},{\boldsymbol {cv}})={\frac {1}{x{\sqrt {\ln(cv^{2}+1)}}{\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {\ln ^{2}(x/m)}{2\ln(cv^{2}+1)}}\right]}$$
• LogNormal5( μ , τ ) بالمتوسط ​​μ والدقة τ ^{وكلاهما} على مقياس السجل [ ^{23 ]}$${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\tau }})={\sqrt {\frac {\tau }{2\pi }}}{\frac {1}{x}}\exp \left[-{\frac {\tau }{2}}(\ln x-\mu )^{2}\right]}$$
• LogNormal6( m , σ _g ) مع الوسيط، m ، والانحراف المعياري الهندسي ، σ _g ، وكلاهما على المقياس الطبيعي ^{[ 24 ]}$${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {m}},{\boldsymbol {\sigma _{g}}})={\frac {1}{x{\sqrt {2\pi }}\,\ln \sigma _{g}}}\exp \left[-{\frac {\ln ^{2}(x/m)}{2\ln ^{2}(\sigma _{g})}}\right]}$$
• LogNormal7( μ _N , σ _N ) مع المتوسط ​​μ _N والانحراف المعياري σ _N وكلاهما على المقياس الطبيعي ^{[ 25 ]}$${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {\mu _{N}}},{\boldsymbol {\sigma _{N}}})={\frac {1}{x{\sqrt {2\pi \ln \left(1+\sigma _{N}^{2}/\mu _{N}^{2}\right)}}}}\exp \left[-{\frac {\left(\ln x-\ln {\frac {\mu _{N}}{\sqrt {1+\sigma _{N}^{2}/\mu _{N}^{2}}}}\right)^{2}}{2\ln \left(1+{\frac {\sigma _{N}^{2}}{\mu _{N}^{2}}}\right)}}\right]}$$

• الضرب في ثابت: إذا${\displaystyle X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$ثم${\displaystyle aX\sim \operatorname {Lognormal} (\mu +\ln a,\sigma ^{2})}$ل${\displaystyle a>0.}$
• المقلوب: إذا${\displaystyle X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$ثم${\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim \operatorname {Lognormal} (-\mu ,\sigma ^{2}).}$
• الطاقة: إذا${\displaystyle X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$ثم${\displaystyle X^{a}\sim \operatorname {Lognormal} (a\mu ,a^{2}\sigma ^{2})}$ل${\displaystyle a\neq 0.}$

إذا كان لدينا متغيران مستقلان يتبعان التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي${\displaystyle X_{1}}$و${\displaystyle X_{2}}$عند ضرب [قسمة] الناتج، يكون الناتج [النسبة] لوغاريتميًا طبيعيًا مرة أخرى، بمعاملات${\displaystyle \mu =\mu _{1}+\mu _{2}}$[${\displaystyle \mu =\mu _{1}-\mu _{2}}$] و${\displaystyle \sigma }$، أين${\displaystyle \sigma ^{2}=\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}$.

وبشكل أعم، إذا${\displaystyle X_{j}\sim \operatorname {Lognormal} (\mu _{j},\sigma _{j}^{2})}$نكون${\displaystyle n}$المتغيرات المستقلة ذات التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي، إذن${\textstyle Y=\prod _{j=1}^{n}X_{j}\sim \operatorname {Lognormal} {\Big (}\sum _{j=1}^{n}\mu _{j},\sum _{j=1}^{n}\sigma _{j}^{2}{\Big )}.}$

المتوسط ​​الهندسي أو الضربي لـ${\displaystyle n}$متغيرات عشوائية موجبة مستقلة ومتطابقة التوزيع${\displaystyle X_{i}}$العروض، لـ${\displaystyle n\to \infty }$، تقريبًا توزيع لوغاريتمي طبيعي ذو معلمات${\displaystyle \mu =\operatorname {E} [\ln X_{i}]}$و${\displaystyle \sigma ^{2}=\operatorname {var} [\ln X_{i}]/n}$، بافتراض${\displaystyle \sigma ^{2}}$محدود.

في الواقع، لا يشترط أن تكون المتغيرات العشوائية موزعة توزيعًا متطابقًا. يكفي أن تكون توزيعات${\displaystyle \ln X_{i}}$أن يكون لكل منها تباين محدود وتفي بالشروط الأخرى لأي من المتغيرات العديدة لنظرية النهاية المركزية .

يُعرف هذا عادةً باسم قانون جبرات .

تتميز مجموعة البيانات الناتجة عن التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي بمنحنى لورنز متناظر (انظر أيضًا معامل عدم تناظر لورنز ). ^{[ 29 ]}

التوافقي${\displaystyle H}$هندسي${\displaystyle G}$والحساب${\displaystyle A}$ترتبط متوسطات هذا التوزيع ببعضها البعض؛ ^{[ 30 ]} وتُعطى هذه العلاقة بواسطة

$${\displaystyle H={\frac {G^{2}}{A}}.}$$

التوزيعات اللوغاريتمية الطبيعية قابلة للقسمة إلى ما لا نهاية ، ^{[ 31 ]} لكنها ليست توزيعات مستقرة ، والتي يمكن سحبها بسهولة. ^{[ 32 ]}

تتمثل الطريقة الأكثر فعالية للحصول على تقديرات الفترات عند تحليل البيانات الموزعة لوغاريتميًا في تطبيق الطرق المعروفة القائمة على التوزيع الطبيعي على البيانات المحولة لوغاريتميًا ثم عكس تحويل النتائج إذا كان ذلك مناسبًا.