ملاءمة توزيع الاحتمالات

تُعرف عملية مطابقة التوزيع الاحتمالي ، أو ببساطة مطابقة التوزيع ، بأنها مطابقة توزيع احتمالي مع سلسلة من البيانات المتعلقة بالقياس المتكرر لظاهرة متغيرة. وتهدف هذه العملية إلى التنبؤ باحتمالية حدوث الظاهرة أو توقع تكرارها ضمن فترة زمنية محددة.

توجد العديد من التوزيعات الاحتمالية (انظر قائمة التوزيعات الاحتمالية )، بعضها يُطابق التكرار المرصود للبيانات بشكل أدق من غيرها، وذلك تبعًا لخصائص الظاهرة والتوزيع. يُفترض أن التوزيع الذي يُحقق تطابقًا دقيقًا يُؤدي إلى تنبؤات جيدة. لذا، عند اختيار التوزيع، يجب تحديد التوزيع الذي يُناسب البيانات جيدًا.

يعتمد اختيار التوزيع المناسب على وجود أو عدم وجود تناظر في مجموعة البيانات فيما يتعلق بالنزعة المركزية .

التوزيعات المتناظرة

عندما تتوزع البيانات بشكل متناظر حول المتوسط، بينما يقل تكرار البيانات الأبعد عن المتوسط، يمكن اختيار التوزيع الطبيعي ، أو التوزيع اللوجستي ، أو توزيع t للطالب . يتشابه التوزيعان الأولان إلى حد كبير، بينما يتميز التوزيع الأخير، بدرجة حرية واحدة، بذيل أثقل، مما يعني أن القيم الأبعد عن المتوسط ​​تتكرر بشكل أكبر نسبيًا (أي أن التفرطح أعلى). توزيع كوشي متناظر أيضًا.

توزيعات ملتوية إلى اليمين

عندما تميل القيم الأكبر إلى أن تكون أبعد عن المتوسط ​​من القيم الأصغر، يكون التوزيع ملتويًا نحو اليمين (أي أن هناك التواءً موجبًا ). يمكن، على سبيل المثال، اختيار التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي (أي أن القيم اللوغاريتمية للبيانات موزعة توزيعًا طبيعيًا )، أو التوزيع اللوغاريتمي اللوجستي (أي أن القيم اللوغاريتمية للبيانات تتبع التوزيع اللوجستي )، أو توزيع غامبل ، أو التوزيع الأسي ، أو توزيع باريتو ، أو توزيع ويبول ، أو توزيع بور ، أو توزيع فريشيه . التوزيعات الأربعة الأخيرة محدودة من اليسار.

توزيعات ملتوية إلى اليسار

عندما تميل القيم الأصغر إلى أن تكون أبعد عن المتوسط ​​من القيم الأكبر، يكون لدينا توزيع ملتوٍ إلى اليسار (أي أن هناك التواءً سلبيًا)، ويمكن للمرء على سبيل المثال اختيار التوزيع التربيعي الطبيعي (أي التوزيع الطبيعي المطبق على مربع قيم البيانات)، ^{[ 1 ]} توزيع غامبل المعكوس (المنعكس)، ^{[ 1 ]} توزيع داغوم (توزيع بور المعكوس)، أو توزيع غومبيرتز ، وهو محدود إلى اليسار.

توجد التقنيات التالية لمطابقة التوزيع: ^{[ 2 ]}

• الطرق البارامترية ، التي يتم من خلالها حساب معلمات التوزيع من سلسلة البيانات. ^{[ 3 ]} الطرق البارامترية هي:
  • طريقة العزوم
  • تقدير أقصى مسافة بين القطع
  • طريقة العزوم-L ^{[ 4 ]}
  • طريقة الاحتمال الأقصى ^{[ 5 ]}

على سبيل المثال، المعلمة${\displaystyle \mu }$يمكن تقدير ( القيمة المتوقعة ) عن طريق متوسط ​​البيانات والمعامل${\displaystyle \sigma ^{2}}$يمكن تقدير التباين من الانحراف المعياري للبيانات. ويُحسب المتوسط ​​كما يلي :$m=\sum {X}/n}$، أين${\displaystyle X}$هي قيمة البيانات و${\displaystyle n}$عدد البيانات، بينما يتم حساب الانحراف المعياري على النحو التالي${\textstyle s={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum {(Xm)^{2}}}}}$. باستخدام هذه المعلمات، يتم تعريف العديد من التوزيعات بشكل كامل، على سبيل المثال التوزيع الطبيعي.

• يُستخدم تحليل الانحدار مع تحديد الموقع ، وذلك بتحويل دالة التوزيع التراكمي لإيجاد علاقة خطية بين الاحتمال التراكمي وقيم البيانات، والتي قد تحتاج بدورها إلى تحويل، اعتمادًا على توزيع الاحتمال المُختار. في هذه الطريقة، يُقدَّر الاحتمال التراكمي من خلال تحديد الموقع ^{[ 6 ] .}

على سبيل المثال، يمكن تحويل توزيع غامبل التراكمي إلى توزيع خطي${\displaystyle Y=aX+b}$، أين${\displaystyle X}$هو متغير البيانات و${\displaystyle Y=-\ln(-\ln P)}$، مع${\displaystyle P}$حيث تمثل الاحتمالية التراكمية، أي احتمال أن تكون قيمة البيانات أقل من${\displaystyle X}$وبالتالي، باستخدام موضع الرسم لـ${\displaystyle P}$يجد المرء المعلمات${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$من خلال الانحدار الخطي لـ${\displaystyle Y}$على${\displaystyle X}$ويكون توزيع غامبل محددًا بالكامل.

من المعتاد تحويل البيانات لوغاريتميًا لتناسب التوزيعات المتماثلة (مثل التوزيع الطبيعي واللوجستي ) مع البيانات التي تخضع لتوزيع ملتوي إيجابيًا (أي ملتوي نحو اليمين، بمتوسط ​​أكبر من المنوال ، وذيل أيمن أطول من الذيل الأيسر)، انظر التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي والتوزيع اللوغاريتمي اللوجستي . ويمكن تحقيق تأثير مماثل بأخذ الجذر التربيعي للبيانات.

لتركيب توزيع متماثل للبيانات التي تخضع لتوزيع ملتوٍ سلبيًا (أي ملتوٍ إلى اليسار، مع متوسط ​​< المنوال ، وذيل أيمن أقصر من الذيل الأيسر) يمكن للمرء استخدام القيم المربعة للبيانات لإنجاز التركيب.

بشكل عام، يمكن رفع البيانات إلى القوة p لمطابقة التوزيعات المتناظرة مع البيانات التي تخضع لتوزيع ذي أي انحراف، حيث p < 1 عندما يكون الانحراف موجبًا و p > 1 عندما يكون الانحراف سالبًا. يتم إيجاد القيمة المثلى لـ p باستخدام طريقة عددية . قد تتضمن هذه الطريقة افتراض نطاق من قيم p ، ثم تطبيق إجراء مطابقة التوزيع بشكل متكرر لجميع قيم p المفترضة ، وأخيرًا اختيار قيمة p التي يكون عندها مجموع مربعات انحرافات الاحتمالات المحسوبة عن التكرارات المقاسة ( مربع كاي ) في حده الأدنى.

يعزز التعميم مرونة التوزيعات الاحتمالية ويزيد من قابليتها للتطبيق في ملاءمة التوزيعات. ^{[ 6 ]}

تتيح مرونة التعميم، على سبيل المثال، إمكانية ملاءمة مجموعات البيانات الموزعة توزيعًا طبيعيًا تقريبًا مع عدد كبير من التوزيعات الاحتمالية المختلفة، ^{[ 7 ]} في حين يمكن ملاءمة التوزيعات الملتوية سلبًا مع التوزيعات الطبيعية المربعة وتوزيعات غامبل المعكوسة. ^{[ 8 ]}

يمكن عكس التوزيعات الملتوية (أو انعكاسها) باستبدال مكملها في الصيغة الرياضية لدالة التوزيع التراكمي (F): F'=1-F، فنحصل على دالة التوزيع المكملة (وتسمى أيضًا دالة البقاء ) التي تعطي صورة معكوسة. وبهذه الطريقة، يتحول التوزيع الملتوي نحو اليمين إلى توزيع ملتوي نحو اليسار، والعكس صحيح.

مثال . يُعطى التعبير F لتوزيع غامبل الموجب الانحراف بالصيغة التالية: F = exp[-exp{-( X - u )/0.78s } ]، حيث u هو المنوال (أي القيمة الأكثر تكرارًا) و s هو الانحراف المعياري . يمكن تحويل توزيع غامبل باستخدام الصيغة F' = 1 - exp[-exp{-( x - u )/0.78s } ]. ينتج عن هذا التحويل توزيع غامبل العكسي أو المتطابق أو المكمل، والذي قد يُناسب سلسلة بيانات تتبع توزيعًا سالب الانحراف.

تعمل تقنية عكس الانحراف على زيادة عدد التوزيعات الاحتمالية المتاحة لتركيب التوزيع وتوسيع فرص تركيب التوزيع.

بعض التوزيعات الاحتمالية، كالتوزيع الأسي ، لا تدعم القيم السالبة ( X ). مع ذلك، عند وجود بيانات سالبة، يمكن استخدام هذه التوزيعات باستبدال X بالمعادلة Y = X - Xm ، حيث Xm هي القيمة الدنيا لـ X. يُمثل هذا الاستبدال إزاحة للتوزيع الاحتمالي في الاتجاه الموجب، أي إلى اليمين، لأن Xm سالبة. بعد إتمام عملية مطابقة التوزيع لـ Y ، تُحسب قيم X المقابلة من المعادلة X = Y + Xm ، ما يُمثل إزاحة عكسية للتوزيع في الاتجاه السالب، أي إلى اليسار. تُعزز تقنية إزاحة التوزيع فرص إيجاد توزيع احتمالي مناسب.

يُمكن استخدام توزيعين احتماليين مختلفين، أحدهما لنطاق البيانات الأدنى، والآخر لنطاق البيانات الأعلى، مثل توزيع لابلاس على سبيل المثال . ويفصل بين النطاقين نقطة فاصلة. ويُمكن أن يكون استخدام هذه التوزيعات الاحتمالية المركبة (غير المتصلة) مناسبًا عندما تُجمع بيانات الظاهرة المدروسة في ظل مجموعتين مختلفتين من الظروف. ^{[ 6 ]}

تخضع تنبؤات الحدوث القائمة على توزيعات الاحتمالات المُلائمة لعدم اليقين ، والذي ينشأ من الشروط التالية:

• قد ينحرف التوزيع الاحتمالي الحقيقي للأحداث عن التوزيع المُطابق، حيث قد لا تكون سلسلة البيانات المرصودة ممثلة تمامًا للاحتمال الحقيقي لحدوث الظاهرة بسبب الخطأ العشوائي
• قد ينحرف وقوع الأحداث في موقف آخر أو في المستقبل عن التوزيع المتوقع، حيث يمكن أن يخضع هذا الوقوع أيضًا للخطأ العشوائي.
• قد يؤدي تغير الظروف البيئية إلى تغيير في احتمالية حدوث هذه الظاهرة.

يمكن تقدير عدم اليقين في الحالتين الأولى والثانية باستخدام توزيع الاحتمال ذي الحدين، وذلك باستخدام احتمال التجاوز Pe (أي احتمال أن يكون الحدث X أكبر من القيمة المرجعية Xr لـ X ) واحتمال عدم التجاوز Pn (أي احتمال أن يكون الحدث X أصغر من أو يساوي القيمة المرجعية Xr ، ويُسمى هذا أيضًا بالاحتمال التراكمي ). في هذه الحالة، لا يوجد سوى احتمالين: إما حدوث تجاوز أو عدم حدوثه. هذه الازدواجية هي سبب إمكانية تطبيق توزيع ذي الحدين.

باستخدام التوزيع ذي الحدين، يمكن الحصول على فترة تنبؤ . تُقدّر هذه الفترة أيضًا خطر الفشل، أي احتمال بقاء الحدث المتوقع خارج فترة الثقة. قد يشمل تحليل الثقة أو المخاطر فترة العودة T=1/Pe، كما هو الحال في علم المياه .

تباين دوال الاحتمالية المُلائمة وفقًا لنموذج بايزي

يمكن استخدام المنهج البايزي لتركيب نموذج${\displaystyle P(x|\theta )}$وجود توزيع مسبق${\displaystyle P(\theta )}$بالنسبة للمعامل${\displaystyle \theta }$عندما يكون لدى المرء عينات${\displaystyle X}$إذا تم سحبها بشكل مستقل من التوزيع الأساسي، فيمكن اشتقاق ما يسمى بالتوزيع اللاحق.${\displaystyle P(\theta |X)}$يمكن استخدام هذا التوزيع الاحتمالي اللاحق لتحديث دالة كتلة الاحتمال لعينة جديدة${\displaystyle x}$بالنظر إلى الملاحظات${\displaystyle X}$، يحصل المرء

$${\displaystyle P_{\theta }(x|X):=\int d\theta \ P(x|\theta )\ P(\theta |X).}$$

يمكن أيضًا تحديد تباين دالة الكتلة الاحتمالية المُستخلصة حديثًا. يُمكن تعريف تباين دالة الكتلة الاحتمالية البايزية على النحو التالي:

$${\displaystyle \sigma _{P_{\theta }(x|X)}^{2}:=\int d\theta \ \left[P(x|\theta )-P_{\theta }(x|X)\right]^{2}\ P(\theta |X).}$$

يمكن تبسيط هذا التعبير عن التباين بشكل كبير (بافتراض سحب العينات بشكل مستقل). بتعريف "دالة كتلة الاحتمال الذاتي" على النحو التالي:

$${\displaystyle P_{\theta }(x|\left\{X,x\right\})=\int d\theta \ P(x|\theta )\ P(\theta |\left\{X,x\right\}),}$$

يحصل المرء على التباين ^{[ 12 ]}

$${\displaystyle \sigma _{P_{\theta }(x|X)}^{2}=P_{\theta }(x|X)\left[P_{\theta }(x|\left\{X,x\right\})-P_{\theta }(x|X)\right].}$$

يتضمن التعبير عن التباين عملية ملاءمة إضافية تشمل العينة${\displaystyle x}$مثير للاهتمام.

من خلال تصنيف مدى ملاءمة التوزيعات المختلفة، يمكن للمرء أن يحصل على انطباع عن التوزيع المقبول والتوزيع غير المقبول.

من دالة التوزيع التراكمي (CDF) يمكن للمرء أن يستنتج المدرج التكراري ودالة كثافة الاحتمال (PDF).

• ملاءمة المنحنيات
• تقدير الكثافة
• توزيع الخليط
• توزيع المنتجات