الطريقة العددية

في التحليل العددي ، تُعدّ الطريقة العددية أداة رياضية مصممة لحل المسائل العددية. ويُطلق على تطبيق هذه الطريقة، مع التحقق المناسب من التقارب، في لغة برمجة اسم الخوارزمية العددية.

يترك${\displaystyle F(x,y)=0}$أن تكون مشكلة محددة جيدًا ، أي${\displaystyle F:X\times Y\rightarrow \mathbb {R} }$هي علاقة وظيفية حقيقية أو معقدة ، معرفة على حاصل الضرب الديكارتي لمجموعة بيانات الإدخال${\displaystyle X}$ومجموعة بيانات الإخراج${\displaystyle Y}$، بحيث توجد دالة ليبشيتز محلية${\displaystyle g:X\rightarrow Y}$يُطلق عليه اسم المُحلِّل ، والذي يتميز بالخاصية التي تنص على أنه لكل جذر${\displaystyle (x,y)}$ل${\displaystyle F}$،${\displaystyle y=g(x)}$نُعرّف طريقة عددية لتقريب${\displaystyle F(x,y)=0}$، سلسلة المشاكل

${\displaystyle \left\{M_{n}\right\}_{n\in \mathbb {N} }=\left\{F_{n}(x_{n},y_{n})=0\right\}_{n\in \mathbb {N} },}$

مع${\displaystyle F_{n}:X_{n}\times Y_{n}\rightarrow \mathbb {R} }$،${\displaystyle x_{n}\in X_{n}}$و${\displaystyle y_{n}\in Y_{n}}$لكل${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$لا يشترط أن تكون المسائل التي تتكون منها الطريقة محددة جيدًا. إذا كانت كذلك، يُقال إن الطريقة مستقرة أو محددة جيدًا . ^{[ 1 ]}

الشروط اللازمة لكي تتمكن الطريقة العددية من التقريب بفعالية${\displaystyle F(x,y)=0}$هل هذا${\displaystyle x_{n}\rightarrow x}$وذلك${\displaystyle F_{n}}$يتصرف مثل${\displaystyle F}$متى${\displaystyle n\rightarrow \infty }$لذا، تُسمى الطريقة العددية متسقة إذا وفقط إذا كان تسلسل الدوال${\displaystyle \left\{F_{n}\right\}_{n\in \mathbb {N} }}$يتقارب نقطيًا إلى${\displaystyle F}$في موقع التصوير${\displaystyle S}$من حلولها:

${\displaystyle \lim F_{n}(x,y+t)=F(x,y,t)=0,\quad \quad \forall (x,y,t)\in S.}$

متى${\displaystyle F_{n}=F,\forall n\in \mathbb {N} }$على${\displaystyle S}$يقال إن هذه الطريقة متسقة تماماً . ^{[ 1 ]}

يرمز بـ${\displaystyle \ell _{n}}$سلسلة من الاضطرابات المسموح بها${\displaystyle x\in X}$لبعض الطرق العددية${\displaystyle M}$(أي${\displaystyle x+\ell _{n}\in X_{n}\forall n\in \mathbb {N} }$) ومع${\displaystyle y_{n}(x+\ell _{n})\in Y_{n}}$القيمة التي${\displaystyle F_{n}(x+\ell _{n},y_{n}(x+\ell _{n}))=0}$الشرط الذي يجب أن تستوفيه الطريقة لتكون أداة فعالة لحل المشكلة${\displaystyle F(x,y)=0}$التقارب :​

$\begin{aligned} \forall \varepsilon > 0, \exists n_{0}(\varepsilon ) > 0, \exists \delta _{\varepsilon ,n_{0}}{\text{ such that}}\\ \forall n > n_{0}, \forall \ell _{n}: \|\ell _{n}\| < \delta _{\varepsilon ,n_{0}} \Rightarrow \|y_{n}(x + \ell _{n}) - y\| ≤ \varepsilon . \end{aligned}}}$

يمكن إثبات بسهولة أن التقارب النقطي لـ${\displaystyle \{y_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ل${\displaystyle y}$يشير ذلك إلى تقارب الطريقة المرتبطة. ^{[ 1 ]}

• الطرق العددية للمعادلات التفاضلية العادية
• الطرق العددية للمعادلات التفاضلية الجزئية