اختبار مربع كاي

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 8 صور
الموسوعة الحرة

توزيع مربع كاي ، يظهر χ 2 على المحور الأول وقيمة p (احتمالية الذيل الأيمن) على المحور الثاني.

اختبار مربع كاي ( يُعرف أيضًا باختبار مربع كاي أو اختبار χ² ) هو اختبار فرضية إحصائية يُستخدم في تحليل جداول التوافق عندما تكون أحجام العينات كبيرة. بعبارة أبسط، يُستخدم هذا الاختبار بشكل أساسي لفحص ما إذا كان متغيران فئويان ( بعدان من أبعاد جدول التوافق ) مستقلين في التأثير على إحصائية الاختبار ( القيم داخل الجدول ). [ 1 ]

يكون الاختبار صالحًا عندما يكون إحصاء الاختبار موزعًا وفقًا لتوزيع كاي تربيع تحت الفرضية الصفرية ، وتحديدًا اختبار كاي تربيع لبيرسون ومشتقاته. يُستخدم اختبار كاي تربيع لبيرسون لتحديد ما إذا كان هناك فرق ذو دلالة إحصائية بين التكرارات المتوقعة والتكرارات الملاحظة في فئة واحدة أو أكثر من فئات جدول التوافق. أما بالنسبة لجداول التوافق ذات أحجام العينات الصغيرة، فيُستخدم اختبار فيشر الدقيق بدلًا من ذلك.

في التطبيقات القياسية لهذا الاختبار، تُصنَّف المشاهدات إلى فئات حصرية. إذا كانت الفرضية الصفرية ، التي تنص على عدم وجود فروق بين الفئات في المجتمع الإحصائي، صحيحة، فإن إحصائية الاختبار المحسوبة من المشاهدات تتبع توزيع كاي تربيع . يهدف الاختبار إلى تقييم مدى احتمالية التكرارات المرصودة بافتراض صحة الفرضية الصفرية.

تظهر إحصائيات الاختبار التي تتبع توزيع χ² عندما تكون المشاهدات مستقلة. كما توجد اختبارات χ² لاختبار الفرضية الصفرية لاستقلال زوج من المتغيرات العشوائية بناءً على مشاهدات هذه الأزواج.

تشير اختبارات مربع كاي غالبًا إلى الاختبارات التي يقترب فيها توزيع إحصائية الاختبار من توزيع χ 2 بشكل تقاربي ، مما يعني أن توزيع المعاينة (إذا كانت الفرضية الصفرية صحيحة) لإحصائية الاختبار يقترب من توزيع مربع كاي بشكل أكثر فأكثر مع زيادة أحجام العينات .

تاريخ

في القرن التاسع عشر، تم تطبيق الأساليب التحليلية الإحصائية بشكل رئيسي في تحليل البيانات البيولوجية، وكان من المعتاد أن يفترض الباحثون أن الملاحظات تتبع التوزيع الطبيعي ، مثل السير جورج إيري ومانسفيلد ميريمان ، الذين انتقد كارل بيرسون أعمالهم في ورقته البحثية عام 1900. [ 2 ]

في أواخر القرن التاسع عشر، لاحظ بيرسون وجود انحراف ملحوظ في بعض الملاحظات البيولوجية. ولنمذجة هذه الملاحظات بغض النظر عن كونها طبيعية أو ملتوية، ابتكر بيرسون، في سلسلة من المقالات المنشورة بين عامي 1893 و1916، [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] توزيع بيرسون ، وهو عائلة من التوزيعات الاحتمالية المستمرة ، تشمل التوزيع الطبيعي والعديد من التوزيعات الملتوية، واقترح طريقة للتحليل الإحصائي تعتمد على استخدام توزيع بيرسون لنمذجة الملاحظة وإجراء اختبار لجودة المطابقة لتحديد مدى ملاءمة النموذج للملاحظات.

اختبار مربع كاي لبيرسون

في عام 1900، نشر بيرسون بحثًا [ 2 ] حول اختبار مربع كاي ، الذي يُعتبر أحد أسس الإحصاء الحديث. [ 7 ] في هذا البحث، درس بيرسون اختبارًا لمدى جودة المطابقة.

لنفترض أن n مشاهدة في عينة عشوائية من مجتمع إحصائي مصنفة إلى k فئة حصرية متبادلة ، ولكل فئة عدد مشاهدات xi ( حيث i = 1, 2, ..., k )، وأن الفرضية الصفرية تعطي احتمال pᵢ أن تقع المشاهدة في الفئة i . إذن ، لدينا الأعداد المتوقعة mᵢ = npi لجميع قيم i ، حيث

∑أنا=1كصأنا=1∑أنا=1كمأنا=ن∑أنا=1كصأنا=ن{\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{i=1}^{k}{p_{i}}=1\\[8pt]&\sum _{i=1}^{k}{m_{i}}=n\sum _{i=1}^{k}{p_{i}}=n\end{aligned}}}

اقترح بيرسون أنه في ظل ظروف صحة الفرضية الصفرية، عندما n → ∞ يكون التوزيع الحدي للكمية الموضحة أدناه هو توزيع χ 2 .

X2=∑أنا=1ك(xأنا-مأنا)2مأنا=∑أنا=1كxأنا2مأنا-ن{\displaystyle X^{2}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {(x_{i}-m_{i})^{2}}{m_{i}}}=\sum _{i=1}^{k}{{\frac {x_{i}^{2}}{m_{i}}}-n}}

تناول بيرسون أولاً الحالة التي تكون فيها الأعداد المتوقعة m i أعدادًا معروفة كبيرة بما يكفي في جميع الخلايا بافتراض أن كل ملاحظة x i يمكن اعتبارها موزعة توزيعًا طبيعيًا ، وتوصل إلى النتيجة التي مفادها أنه في الحد عندما يصبح n كبيرًا، فإن X 2 يتبع توزيع χ 2 مع k − 1 درجة من الحرية.

لكن بيرسون نظر بعد ذلك في الحالة التي تعتمد فيها الأعداد المتوقعة على المعلمات التي يجب تقديرها من العينة، واقترح أنه باستخدام الرمز mᵢ للأعداد المتوقعة الحقيقية و m′ᵢ للأعداد المتوقعة المقدرة، فإن الفرق

X2-X′2=∑أنا=1كxأنا2مأنا-∑أنا=1كxأنا2مأنا′{\displaystyle X^{2}-{X'}^{2}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {x_{i}^{2}}{m_{i}}}-\sum _{i=1}^{k}{\frac {x_{i}^{2}}{m'_{i}}}}

عادةً ما تكون قيمة X′² موجبة وصغيرة بما يكفي لإهمالها. في الختام، جادل بيرسون بأنه إذا اعتبرنا X′² موزعًا أيضًا وفقًا لتوزيع χ² بدرجات حرية k − 1 ، فإن الخطأ في هذا التقريب لن يؤثر على القرارات العملية. أثار هذا الاستنتاج بعض الجدل في التطبيقات العملية، ولم يُحسم الأمر لمدة عشرين عامًا حتى نشر فيشر ورقتيه البحثيتين عامي 1922 و1924 . [ 8 ] [ 9 ]

أمثلة أخرى لاختبارات مربع كاي

إحدى الإحصائيات الاختبارية التي تتبع توزيع كاي تربيع بدقة هي اختبار ما إذا كان تباين مجتمع ذي توزيع طبيعي له قيمة معينة بناءً على تباين العينة . هذه الاختبارات غير شائعة في الممارسة العملية لأن التباين الحقيقي للمجتمع عادةً ما يكون غير معروف. مع ذلك، توجد عدة اختبارات إحصائية يكون فيها توزيع كاي تربيع صالحًا تقريبًا.

اختبار فيشر الدقيق

للاطلاع على اختبار دقيق يُستخدم بدلاً من اختبار مربع كاي 2 × 2 للاستقلال عندما تكون جميع مجاميع الصفوف والأعمدة ثابتة بحكم التصميم، انظر اختبار فيشر الدقيق . عندما تكون هوامش الصفوف أو الأعمدة (أو كلاهما) متغيرات عشوائية (كما هو الحال في معظم التصاميم البحثية الشائعة)، فإن هذا الاختبار يميل إلى أن يكون متحفظًا للغاية وضعيفًا من حيث القوة الإحصائية . [ 10 ]

اختبار ذي الحدين

للاطلاع على اختبار دقيق يستخدم بدلاً من اختبار مربع كاي 2 × 1 لجودة المطابقة، انظر اختبار ذي الحدين .

اختبارات مربع كاي الأخرى

تصحيح ييتس للاستمرارية

يتطلب استخدام توزيع كاي تربيع لتفسير إحصائية كاي تربيع لبيرسون افتراض أن الاحتمال المنفصل لتكرارات ذات الحدين الملاحظة في الجدول يمكن تقريبه بتوزيع كاي تربيع المستمر . هذا الافتراض ليس دقيقًا تمامًا، ويُدخل بعض الخطأ.

لتقليل الخطأ في التقريب، اقترح فرانك ييتس تصحيحًا للاستمرارية يُعدّل صيغة اختبار مربع كاي لبيرسون عن طريق طرح 0.5 من الفرق المطلق بين كل قيمة مُلاحظة وقيمتها المتوقعة في جدول توافق 2 × 2. [ 11 ] هذا يُقلل قيمة مربع كاي المُستحصلة، وبالتالي يزيد من قيمة الاحتمال (p -value ).

اختبار مربع كاي للتباين في مجتمع طبيعي

إذا أُخذت عينة بحجم n من مجتمع ذي توزيع طبيعي ، فستكون هناك نتيجة (انظر توزيع تباين العينة ) تسمح باختبار ما إذا كان تباين المجتمع له قيمة محددة مسبقًا. على سبيل المثال، قد تكون عملية تصنيع ما مستقرة لفترة طويلة، مما يسمح بتحديد قيمة التباين بدقة عالية. لنفترض أننا نختبر أحد متغيرات هذه العملية، مما ينتج عنه عينة صغيرة من n عنصرًا من المنتج المراد اختبار هذا المتغير. يمكن في هذه الحالة تحديد إحصائية الاختبار T على أنها مجموع مربعات الانحرافات حول متوسط ​​العينة، مقسومًا على القيمة الاسمية للتباين (أي القيمة المراد اختبارها). عندئذٍ، يكون لـ T توزيع كاي تربيع بدرجات حرية n − 1. على سبيل المثال، إذا كان حجم العينة 21، فإن منطقة القبول لـ T بمستوى دلالة 5% تقع بين 9.59 و34.17.

مثال على اختبار مربع كاي للبيانات الفئوية

لنفترض وجود مدينة يبلغ عدد سكانها مليون نسمة، وتضم أربعة أحياء: أ ، ب ، ج ، د . تم اختيار عينة عشوائية من 650 من سكان المدينة، وسُجلت مهنهم كالتالي: "موظفون إداريون"، "عمال"، أو "غير موظفين" . تنص الفرضية الصفرية على أن حي سكن كل شخص مستقل عن تصنيفه المهني. البيانات مُجدولة كما يلي:

أبجدالمجموع
ذوي الياقات البيضاء906010495349
العمال30505120151
بدون طوق30404535150
المجموع150150200150650

لنأخذ عينة من سكان الحي (أ) ، وعددهم 150، لتقدير نسبة سكان الحي (أ) من إجمالي مليون نسمة . وبالمثل، نأخذ عينة أخرى، وعددهم 349/650، لتقدير نسبة العاملين في المكاتب من إجمالي مليون نسمة. وبافتراض استقلال العينة، نتوقع أن يكون عدد العاملين في المكاتب في الحي (أ) هو 150 .

150×349650≈80.54{\displaystyle 150\times {\frac {349}{650}}\approx 80.54}

ثم في تلك "الخلية" من الجدول، لدينا

(لاحظ-مُتوقع)2مُتوقع=(90-80.54)280.54≈1.11{\displaystyle {\frac {\left({\text{observed}}-{\text{expected}}\right)^{2}}{\text{expected}}}={\frac {\left(90-80.54\right)^{2}}{80.54}}\approx 1.11}

مجموع هذه الكميات على جميع الخلايا هو إحصائية الاختبار؛ في هذه الحالة،≈24.57{\displaystyle \approx 24.57}في ظل الفرضية الصفرية، يكون لهذا المجموع تقريبًا توزيع كاي تربيع، وعدد درجات حريته هو

(عدد الصفوف-1)(عدد الأعمدة-1)=(3-1)(4-1)=6{\displaystyle ({\text{عدد الصفوف}}-1)({\text{عدد الأعمدة}}-1)=(3-1)(4-1)=6}

إذا كانت إحصائية الاختبار كبيرة بشكل غير محتمل وفقًا لتوزيع مربع كاي، فإن المرء يرفض الفرضية الصفرية للاستقلال.

تُعدّ مسألة اختبار التجانس مسألةً ذات صلة. لنفترض أننا، بدلاً من منح كل ساكن في كل حي من الأحياء الأربعة فرصة متساوية للانضمام إلى العينة، نُحدّد مُسبقاً عدد سكان كل حيّ الذي سنضمه. عندئذٍ، يكون لكل ساكن نفس فرصة الاختيار التي يتمتع بها جميع سكان الحيّ نفسه، ولكن سكان الأحياء المختلفة ستكون لديهم احتمالات اختيار مختلفة إذا لم تكن أحجام العينات الأربعة متناسبة مع عدد سكان الأحياء الأربعة. في هذه الحالة، سنختبر "التجانس" بدلاً من "الاستقلال". السؤال هو ما إذا كانت نسب العمال اليدويين، والعمال الإداريين، والعمال غير العاملين في الأحياء الأربعة متساوية. ومع ذلك، يُجرى الاختبار بالطريقة نفسها.

التطبيقات

في تحليل الشفرات ، يُستخدم اختبار مربع كاي لمقارنة توزيع النص الأصلي والنص المشفر (إن وُجد) . تشير أدنى قيمة للاختبار إلى نجاح عملية فك التشفير باحتمالية عالية. [ 12 ] [ 13 ] يمكن تعميم هذه الطريقة لحل مسائل التشفير الحديثة. [ 14 ]

في المعلوماتية الحيوية ، يُستخدم اختبار مربع كاي لمقارنة توزيع خصائص معينة للجينات (مثل المحتوى الجينومي، ومعدل الطفرات، وتجميع شبكة التفاعل، وما إلى ذلك) التي تنتمي إلى فئات مختلفة (مثل جينات الأمراض، والجينات الأساسية، والجينات الموجودة على كروموسوم معين، وما إلى ذلك). [ 15 ] [ 16 ]

القيود

على الرغم من شيوع استخدام اختبار مربع كاي في تحليل البيانات الفئوية، إلا أنه ينطوي على عدة قيود مهمة ينبغي على الباحثين مراعاتها. أولًا، يفترض الاختبار استقلالية المشاهدات، وقد يؤدي انتهاك هذا الافتراض إلى نتائج مضللة. ثانيًا، يتأثر الاختبار بحجم العينة. ففي العينات الكبيرة جدًا، قد تُسفر حتى الفروق الطفيفة بين التكرارات المرصودة والمتوقعة عن نتائج ذات دلالة إحصائية، بينما في العينات الصغيرة جدًا، قد يفتقر الاختبار إلى القدرة على رصد الارتباطات المهمة. ثالثًا، لا يقيس اختبار مربع كاي قوة الارتباط أو أهميته العملية، بل يشير فقط إلى وجود علاقة ذات دلالة إحصائية. لذا، ينبغي ذكر مقاييس حجم التأثير، مثل معامل كرامر V أو معامل التوافق ، إلى جانب إحصائية الاختبار لتوفير السياق اللازم. أخيرًا، قد يكون الاختبار غير دقيق عندما تكون التكرارات المتوقعة في أي خلية صغيرة جدًا، والتي يُوصى عادةً بأن تكون 5 على الأقل؛ وفي مثل هذه الحالات، يُفضل استخدام الاختبارات الدقيقة أو الطرق البديلة. كما يجب على الباحثين توخي الحذر عند التعامل مع الفئات غير المتساوية التوزيع، إذ قد تُطغى المجموعات المهيمنة على الأنماط في المجموعات الأصغر. [ 17 ] [ 18 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ "اختبار مربع كاي - علم الاجتماع 3112 - قسم علم الاجتماع - جامعة يوتا" . soc.utah.edu . تاريخ الاسترجاع: 12 نوفمبر 2022 .
  2. 1 2 بيرسون، كارل (1900). "حول معيار أن نظامًا معينًا من الانحرافات عن الاحتمال في حالة نظام متغيرات مترابطة يكون من الممكن افتراض أنه نشأ بشكل معقول عن أخذ عينات عشوائية" . المجلة الفلسفية . السلسلة 5. 50 (302): 157-175 . doi : 10.1080/14786440009463897 .
  3. ↑ بيرسون، كارل (1893). "مساهمات في النظرية الرياضية للتطور [ ملخص ] " . وقائع الجمعية الملكية . 54 : 329-333 . doi : 10.1098/rspl.1893.0079 . JSTOR 115538 . 
  4. ↑ بيرسون، كارل (1895). "مساهمات في النظرية الرياضية للتطور، الجزء الثاني: التباين المنحرف في المادة المتجانسة" . المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية . 186 : 343-414 . Bibcode : 1895RSPTA.186..343P . doi : 10.1098/rsta.1895.0010 . JSTOR 90649 . 
  5. ↑ بيرسون، كارل (1901). "مساهمات رياضية في نظرية التطور، الجزء العاشر: ملحق لمذكرة حول التباين المنحرف". المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية أ . 197 ( 287-299 ): 443-459 . Bibcode : 1901RSPTA.197..443P . doi : 10.1098/rsta.1901.0023 . JSTOR 90841 . 
  6. ↑ بيرسون، كارل (1916). "مساهمات رياضية في نظرية التطور، الجزء التاسع عشر: الملحق الثاني لمذكرة حول التباين المنحرف" . المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية أ . 216 ( 538-548 ): 429-457 . Bibcode : 1916RSPTA.216..429P . doi : 10.1098/rsta.1916.0009 . JSTOR 91092 . 
  7. ↑ كوكران، ويليام ج. (1952). "اختبار مربع كاي لجودة المطابقة" . حوليات الإحصاء الرياضي . 23 (3): 315-345 . doi : 10.1214/aoms/1177729380 . JSTOR 2236678 . 
  8. ↑ فيشر، رونالد أ. (1922). "حول تفسير قيمة χ² من جداول التوافق، وحساب قيمة P". مجلة الجمعية الإحصائية الملكية . 85 (1): 87-94 . doi : 10.2307/2340521 . JSTOR 2340521 . 
  9. ↑ فيشر، رونالد أ. (1924). "الشروط التي يقيس بموجبها اختبار مربع كاي (χ² ) التباين بين الملاحظة والفرضية". مجلة الجمعية الإحصائية الملكية . 87 (3): 442-450 . JSTOR 2341149 . 
  10. ↑ كامبل، إيان (30 أغسطس/آب 2007). "اختبارات مربع كاي وفيشر-إروين للجداول الثنائية مع توصيات العينات الصغيرة". الإحصاء في الطب . 26 (19): 3661-3675 . doi : 10.1002/sim.2832 . ISSN 0277-6715 . PMID 17315184 .  
  11. ↑ ييتس، فرانك (1934). "جدول التوافق الذي يتضمن أعدادًا صغيرة واختبار مربع كاي ". ملحق لمجلة الجمعية الإحصائية الملكية . 1 (2): 217-235 . doi : 10.2307/2983604 . JSTOR 2983604 . 
  12. ↑ "إحصائية مربع كاي" . التشفير العملي . مؤرشف من الأصل في 18 فبراير 2015. تم الاسترجاع في 18 فبراير 2015 .
  13. ↑ "استخدام مربع كاي لفك الشفرات" . موارد الرياضيات لبرنامج البكالوريا الدولية . المدرسة البريطانية الدولية في فوكيت. 15 يونيو 2014.
  14. ↑ ريابكو، ب. يا.؛ ستونينكو، ف. س.؛ شوكين، يو. إ. (2004). "اختبار جديد للعشوائية وتطبيقه على بعض مسائل التشفير" (ملف PDF) . مجلة التخطيط والاستدلال الإحصائي . 123 (2): 365-376 . doi : 10.1016/s0378-3758(03)00149-6 . تاريخ الاسترجاع: 18 فبراير 2015 .
  15. ↑ فيلدمان، آي.؛ رزيتسكي، أ.؛ فيتكوب، د. (2008). "خصائص شبكة الجينات الحاملة لطفرات الأمراض الوراثية" . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم . 105 (11): 4323-432 . Bibcode : 2008PNAS..105.4323F . doi : 10.1073/pnas.0701722105 . PMC 2393821. PMID 18326631 .  
  16. ↑ "اختبارات مربع كاي" (ملف PDF) . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 29 يونيو 2018. تم الاطلاع عليه بتاريخ 29 يونيو 2018 .
  17. ↑ ماكهيو، ماري ل. (15 يونيو 2013). "اختبار مربع كاي للاستقلال" . بيوكيميا ميديكا . 23 (2). doi : 10.11613/BM.2013.018/fullArticle . تاريخ الاسترجاع: 7 يونيو 2026 .
  18. ↑ "الافتراضات الرئيسية وراء اختبار مربع كاي • مدينة علم النفس" . 2 نوفمبر 2025. تم الاطلاع عليه في 7 يونيو 2026 .

للمزيد من القراءة