إحصائية الاختبار

إحصائية الاختبار هي كمية مُستمدة من العينة لاختبار الفرضيات الإحصائية . ^{[ 1 ]} يُحدد اختبار الفرضية عادةً باستخدام إحصائية الاختبار، التي تُعتبر ملخصًا رقميًا لمجموعة البيانات، حيث تُختزل البيانات إلى قيمة واحدة يُمكن استخدامها لإجراء اختبار الفرضية. بشكل عام، تُختار إحصائية الاختبار أو تُعرّف بطريقة تُحدد، ضمن البيانات المرصودة، السلوكيات التي تُميز الفرضية الصفرية عن الفرضية البديلة ، في حال وجود فرضية بديلة، أو التي تُميز الفرضية الصفرية في حال عدم وجود فرضية بديلة مُحددة صراحةً.

من الخصائص المهمة لإحصائية الاختبار إمكانية حساب توزيعها الاحتمالي تحت الفرضية الصفرية، إما بدقة أو تقريبًا، مما يسمح بحساب قيم الاحتمال (p -values) . تشترك إحصائية الاختبار في بعض خصائص الإحصائية الوصفية ، ويمكن استخدام العديد من الإحصاءات كإحصائية اختبار وإحصائية وصفية في آنٍ واحد. مع ذلك، فإن إحصائية الاختبار مُخصصة للاستخدام في الاختبارات الإحصائية، بينما تتمثل السمة الرئيسية للإحصائية الوصفية في سهولة تفسيرها. بعض الإحصاءات الوصفية المفيدة، مثل مدى العينة ، لا تُعد إحصاءات اختبار جيدة لصعوبة تحديد توزيعها الاحتمالي.

هناك إحصائيتان اختباريتان شائعتان الاستخدام هما إحصائية t وإحصائية F.

لنفترض أن المهمة هي اختبار ما إذا كانت العملة المعدنية عادلة (أي أن احتمالات ظهور الصورة أو الكتابة متساوية). إذا تم رمي العملة 100 مرة وسُجلت النتائج، فيمكن تمثيل البيانات الأولية كسلسلة من 100 صورة و100 كتابة. إذا كان المطلوب هو معرفة الاحتمال الهامشي لظهور الكتابة، فيكفي تسجيل عدد مرات ظهور الكتابة (T) من بين مرات الرمي المئة. ولكن يمكن أيضًا استخدام T كإحصائية اختبار بإحدى طريقتين:

• إن التوزيع الدقيق لأخذ العينات لـ T في ظل الفرضية الصفرية هو التوزيع ذو الحدين بمعاملات 0.5 و 100.
• يمكن مقارنة قيمة T بقيمتها المتوقعة في ظل الفرضية الصفرية 50، وبما أن حجم العينة كبير، يمكن استخدام التوزيع الطبيعي كتقريب لتوزيع المعاينة إما لـ T أو لإحصائية الاختبار المعدلة T − 50.

باستخدام أحد توزيعات المعاينة هذه، يُمكن حساب قيمة احتمالية (p-value ) أحادية الطرف أو ثنائية الطرف لفرضية العدم القائلة بأن العملة عادلة. في هذه الحالة، تُختزل إحصائية الاختبار مجموعة من 100 رقم إلى ملخص رقمي واحد يُمكن استخدامه للاختبار.

تُعدّ اختبارات العينة الواحدة مناسبة عند مقارنة عينة ما بالمجتمع الإحصائي بناءً على فرضية معينة. وتكون خصائص المجتمع الإحصائي معروفة نظرياً أو يتم حسابها منه.

تُعد اختبارات العينتين مناسبة لمقارنة عينتين، وعادة ما تكون عينات تجريبية وعينات ضابطة من تجربة مضبوطة علميًا .

تُعدّ الاختبارات المزدوجة مناسبة لمقارنة عينتين عندما يتعذر التحكم في المتغيرات المهمة. فبدلاً من مقارنة مجموعتين، يتمّ إقران عناصر العينتين بحيث يصبح الفرق بينهما هو العينة. وعادةً ما تتمّ مقارنة متوسط ​​الفروق بالصفر. ومن الأمثلة الشائعة على استخدام اختبار الفروق المزدوجة، تطبيق تأثير ما على مجموعة واحدة من الأفراد، بهدف التحقق من وجود هذا التأثير.

تُعد اختبارات Z مناسبة لمقارنة المتوسطات في ظل شروط صارمة تتعلق بالتوزيع الطبيعي والانحراف المعياري المعروف.

يُعد اختبار t مناسبًا لمقارنة المتوسطات في ظل ظروف مخففة (حيث يُفترض وجود قيم أقل) .

اختبارات النسب مماثلة لاختبارات المتوسطات (نسبة 50٪).

تستخدم اختبارات مربع كاي نفس الحسابات ونفس توزيع الاحتمالات لتطبيقات مختلفة:

• تُستخدم اختبارات مربع كاي للتباين لتحديد ما إذا كان للمجتمع الطبيعي تباين محدد. الفرضية الصفرية هي أنه كذلك.
• تُستخدم اختبارات مربع كاي للاستقلال لتحديد ما إذا كان متغيران مرتبطين أم مستقلين. المتغيرات فئوية وليست عددية. يمكن استخدامها لتحديد ما إذا كان استخدام اليد اليسرى مرتبطًا بالطول (أو لا). الفرضية الصفرية هي أن المتغيرات مستقلة. الأرقام المستخدمة في الحساب هي التكرارات المرصودة والمتوقعة للحدوث (من جداول التوافق ).
• تُستخدم اختبارات مربع كاي لجودة المطابقة لتحديد مدى ملاءمة المنحنيات للبيانات. الفرضية الصفرية هي أن مطابقة المنحنى كافية. من الشائع تحديد أشكال المنحنيات لتقليل متوسط ​​مربع الخطأ ، لذا من المناسب أن يجمع حساب جودة المطابقة مربعات الأخطاء.

تُستخدم اختبارات F ( تحليل التباين ، ANOVA) بشكل شائع لتحديد مدى جدوى تصنيف البيانات حسب الفئة. فإذا كان تباين درجات اختبار الطلاب العُسر في فصل دراسي أصغر بكثير من تباين درجات الفصل ككل، فقد يكون من المفيد دراسة العُسر كمجموعة. أما الفرضية الصفرية فتنص على أن التباينين ​​متساويان، وبالتالي فإن التصنيف المقترح غير ذي جدوى.

في الجدول أدناه، تم تعريف الرموز المستخدمة في أسفل الجدول. يمكن الاطلاع على العديد من الاختبارات الأخرى في مقالات أخرى . توجد أدلة تثبت ملاءمة إحصائيات الاختبار. ^{[ 2 ]}

اسم	صيغة	الافتراضات أو الملاحظات
عينة واحدة${\displaystyle z}$-امتحان	${\displaystyle z={\frac {{\overline {x}}-\mu _{0}}{({\sigma }/{\sqrt {n}})}}}$	(السكان الطبيعيون أو n كبير) و σ معروف. ( يمثل z المسافة من المتوسط ​​بالنسبة إلى الانحراف المعياري للمتوسط ). بالنسبة للتوزيعات غير الطبيعية، من الممكن حساب الحد الأدنى لنسبة السكان التي تقع ضمن k انحرافات معيارية لأي قيمة لـ k (انظر: متباينة تشيبيشيف ).
اختبار z لعينتين	${\displaystyle z={\frac {({\overline {x}}_{1}-{\overline {x}}_{2})-d_{0}}{\sqrt {{\frac {\sigma _{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {\sigma _{2}^{2}}{n_{2}}}}}}}$	تكون البيانات المتعلقة بالمجتمع الطبيعي والملاحظات المستقلة ، بالإضافة إلى σ1 و σ2 ، معروفة حيث${\displaystyle d_{0}}$قيمة${\displaystyle \mu _{1}-\mu _{2}}$في ظل الفرضية الصفرية
اختبار t لعينة واحدة	${\displaystyle t={\frac {{\overline {x}}-\mu _{0}}{(s/{\sqrt {n}})}},}$${\displaystyle df=n-1\ }$	(السكان الطبيعيون أو مجموعة كبيرة) و${\displaystyle \sigma }$مجهول
اختبار t المزدوج	${\displaystyle t={\frac {{\overline {d}}-d_{0}}{(s_{d}/{\sqrt {n}})}},}$ ${\displaystyle df=n-1\ }$	(مجموعة سكانية طبيعية من الاختلافات أو حجم كبير) و${\displaystyle \sigma }$مجهول
اختبار t المجمع لعينتين ، تباينات متساوية	${\displaystyle t={\frac {({\overline {x}}_{1}-{\overline {x}}_{2})-d_{0}}{s_{p}{\sqrt {{\frac {1}{n_{1}}}+{\frac {1}{n_{2}}}}}}},}$ ${\displaystyle s_{p}^{2}={\frac {(n_{1}-1)s_{1}^{2}+(n_{2}-1)s_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}},}$${\displaystyle df=n_{1}+n_{2}-2\ }$[ 3 ]	(المجموعات السكانية الطبيعية أو n1 + n2 > 40 ) والملاحظات المستقلة و σ1 = σ2 غير معروف
اختبار t غير المجمع لعينتين ، تباينات غير متساوية ( اختبار t لـ Welch )	${\displaystyle t={\frac {({\overline {x}}_{1}-{\overline {x}}_{2})-d_{0}}{\sqrt {{\frac {s_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {s_{2}^{2}}{n_{2}}}}}},}$ ${\displaystyle df={\frac {\left({\dfrac {s_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\dfrac {s_{2}^{2}}{n_{2}}}\right)^{2}}{{\dfrac {\left({\dfrac {s_{1}^{2}}{n_{1}}}\right)^{2}}{n_{1}-1}}+{\dfrac {\left({\dfrac {s_{2}^{2}}{n_{2}}}\right)^{2}}{n_{2}-1}}}}}$[ 3 ]	( السكان الطبيعيون أو n1 + n2 > 40 ) والملاحظات المستقلة و σ1 ≠ σ2  كلاهما غير معروف
اختبار النسبة الواحدة z	${\displaystyle z={\frac {{\hat {p}}-p_{0}}{\sqrt {p_{0}(1-p_{0})}}}{\sqrt {n}}}$	n · p 0 > 10 و n (1  − p 0 ) > 10 وهي عينة عشوائية بسيطة (SRS)، انظر الملاحظات .
اختبار z لنسبتين، مجمع لـ${\displaystyle H_{0}\colon p_{1}=p_{2}}$	${\displaystyle z={\frac {({\hat {p}}_{1}-{\hat {p}}_{2})}{\sqrt {{\hat {p}}(1-{\hat {p}})({\frac {1}{n_{1}}}+{\frac {1}{n_{2}}})}}}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}={\frac {x_{1}+x_{2}}{n_{1}+n_{2}}}}$	n 1 p 1 > 5 و n 1 (1  − p 1 ) > 5 و n 2 p 2 > 5 و n 2 (1 − p 2 ) > 5 وملاحظات مستقلة، انظر الملاحظات .
اختبار z لنسبتين، غير مجمع لـ${\displaystyle |d_{0}|>0}$	${\displaystyle z={\frac {({\hat {p}}_{1}-{\hat {p}}_{2})-d_{0}}{\sqrt {{\frac {{\hat {p}}_{1}(1-{\hat {p}}_{1})}{n_{1}}}+{\frac {{\hat {p}}_{2}(1-{\hat {p}}_{2})}{n_{2}}}}}}}$	n 1 p 1 > 5 و n 1 (1  − p 1 ) > 5 و n 2 p 2 > 5 و n 2 (1 − p 2 ) > 5 وملاحظات مستقلة، انظر الملاحظات .
اختبار مربع كاي للتباين	${\displaystyle \chi ^{2}=(n-1){\frac {s^{2}}{\sigma _{0}^{2}}}}$	df = n-1 • السكان الطبيعيون
اختبار مربع كاي لمدى جودة المطابقة	${\displaystyle \chi ^{2}=\sum _{k}{\frac {({\text{observed}}-{\text{expected}})^{2}}{\text{expected}}}}$	df = k − 1 − # المعلمات المقدرة ، ويجب أن يتحقق أحد هذه الشروط.      • جميع الأعداد المتوقعة لا تقل عن 5. [ 4 ] : ​​350 • جميع الأعداد المتوقعة >  1 ولا يزيد عن 20% من الأعداد المتوقعة التي تقل عن  5 [ 5 ]
اختبار F لعينتين لتساوي التباينات	${\displaystyle F={\frac {s_{1}^{2}}{s_{2}^{2}}}}$	يتم ترتيب المجموعات السكانية الطبيعية على النحو التالي${\displaystyle s_{1}^{2}\geq s_{2}^{2}}$ورفض الفرضية الصفرية H0 لـ${\displaystyle F>F(\alpha /2,n_{1}-1,n_{2}-1)}$[ 6 ]
اختبار الانحدار t لـ${\displaystyle H_{0}\colon R^{2}=0.}$	${\displaystyle t={\sqrt {\frac {R^{2}(n-k-1^{*})}{1-R^{2}}}}}$	ارفض الفرضية الصفرية (H0 ) لـ${\displaystyle t>t(\alpha /2,n-k-1^{*})}$[ 4 ] : 288*اطرح 1 للتقاطع؛kعلى متغيرات مستقلة.
بشكل عام، يشير الرمز السفلي 0 إلى قيمة مأخوذة من الفرضية الصفرية ، H₀ ، والتي ينبغي استخدامها قدر الإمكان في بناء إحصائية الاختبار. ... تعريفات الرموز الأخرى: ${\displaystyle \alpha }$، احتمال الخطأ من النوع الأول (رفض الفرضية الصفرية عندما تكون صحيحة في الواقع) ${\displaystyle n}$= حجم العينة ${\displaystyle n_{1}}$= حجم العينة 1 ${\displaystyle n_{2}}$= حجم العينة 2 ${\displaystyle {\overline {x}}}$= متوسط ​​العينة ${\displaystyle \mu _{0}}$= متوسط ​​المجتمع المفترض ${\displaystyle \mu _{1}}$= متوسط ​​عدد السكان 1 ${\displaystyle \mu _{2}}$= متوسط ​​عدد السكان 2 ${\displaystyle \sigma }$= الانحراف المعياري للمجتمع ${\displaystyle \sigma ^{2}}$= تباين السكان ${\displaystyle s}$= الانحراف المعياري للعينة ${\displaystyle \sum ^{k}}$= مجموع (من${\textstyle k}$أرقام) ${\displaystyle s^{2}}$= تباين العينة ${\displaystyle s_{1}}$= الانحراف المعياري للعينة 1 ${\displaystyle s_{2}}$= الانحراف المعياري للعينة 2 ${\displaystyle t}$= إحصائية t ${\displaystyle df}$= درجات الحرية ${\displaystyle {\overline {d}}}$= متوسط ​​الفروق العينة ${\displaystyle d_{0}}$= الفرق المتوسط ​​المفترض بين السكان ${\displaystyle s_{d}}$= الانحراف المعياري للفروق ${\displaystyle \chi ^{2}}$= إحصائية مربع كاي ${\displaystyle {\hat {p}}={\frac {x}{n}}}$= نسبة العينة ، ما لم يُنص على خلاف ذلك ${\displaystyle p_{0}}$= النسبة السكانية المفترضة ${\displaystyle p_{1}}$= النسبة 1 ${\displaystyle p_{2}}$= النسبة 2 ${\displaystyle d_{p}}$= الفرق المفترض في النسبة ${\displaystyle \min\{n_{1},n_{2}\}}$= الحد الأدنى من${\textstyle n_{1}}$و${\textstyle n_{2}}$ ${\displaystyle x_{1}=n_{1}p_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}=n_{2}p_{2}}$ ${\displaystyle F}$= إحصائية F

• التوزيع الصفري
• اختبار نسبة الاحتمال
• ليمّا نيمان-بيرسون
• ${\displaystyle R^{2}}$= معامل التحديد
• الكفاية (الإحصاءات)