اختبار F

يُعد اختبار F حساسًا لعدم التوزيع الطبيعي . ^{[ 3 ] [ 4 ]} في تحليل التباين (ANOVA)، تشمل الاختبارات البديلة اختبار ليفين ، واختبار بارتليت ، واختبار براون-فورسايث . مع ذلك، عند إجراء أي من هذه الاختبارات لاختبار فرضية تجانس التباين ( أي تجانس التباين)، كخطوة أولية لاختبار تأثيرات المتوسط، يزداد معدل الخطأ من النوع الأول على مستوى التجربة . ^{[ 5 ]}

صيغة إحصائية اختبار F لتحليل التباين أحادي الاتجاه هي

${\displaystyle F={\frac {\text{التباين المُفسَّر}}{\text{التباين غير المُفسَّر}}},}$

أو

${\displaystyle F={\frac {\text{التباين بين المجموعات}}{\text{التباين داخل المجموعات}}}.}$

التباين المُفسَّر، أو التباين بين المجموعات، هو

${\displaystyle \sum _{i=1}^{K}n_{i}({\bar {Y}}_{i\cdot }-{\bar {Y}})^{2}/(K-1)}$

أين${\displaystyle {\bar {Y}}_{i\cdot }}$يرمز إلى متوسط ​​العينة في المجموعة رقم i ،${\displaystyle n_{i}}$يمثل عدد المشاهدات في المجموعة رقم i ،${\displaystyle {\bar {Y}}}$يشير إلى المتوسط ​​العام للبيانات، و${\displaystyle K}$يشير إلى عدد المجموعات.

التباين غير المفسر، أو التباين داخل المجموعة، هو

${\displaystyle \sum _{i=1}^{K}\sum _{j=1}^{n_{i}}\left(Y_{ij}-{\bar {Y}}_{i\cdot }\right)^{2}/(NK),}$

أين${\displaystyle Y_{ij}}$هي الملاحظة ^رقم j في الملاحظة ^رقم i من أصل${\displaystyle K}$المجموعات و${\displaystyle N}$يمثل حجم العينة الإجمالي. تتبع إحصائية F هذه توزيع F بدرجات حرية${\displaystyle d_{1}=K-1}$و${\displaystyle d_{2}=NK}$في ظل الفرضية الصفرية، ستكون الإحصائية كبيرة إذا كان التباين بين المجموعات كبيرًا مقارنةً بالتباين داخل المجموعة، وهو أمر من غير المرجح أن يحدث إذا كانت متوسطات المجموعات متساوية.

يمكن تحديد نتيجة اختبار F بمقارنة قيمة F المحسوبة مع قيمة F الحرجة عند مستوى دلالة محدد (مثل 5%). يُستخدم جدول F كدليل مرجعي يحتوي على قيم F الحرجة لتوزيع إحصائية F بافتراض صحة الفرضية الصفرية. صُمم هذا الجدول للمساعدة في تحديد العتبة التي يُتوقع أن تتجاوزها إحصائية F بنسبة مئوية محددة (مثل 5%) عندما تكون الفرضية الصفرية صحيحة. لتحديد قيمة F الحرجة في جدول F ، يجب استخدام درجات الحرية المناسبة. يتضمن ذلك تحديد الصف والعمود المناسبين في جدول F اللذين يتوافقان مع مستوى الدلالة قيد الاختبار (مثل 5%). ^{[ 6 ]}

كيفية استخدام قيم F الحرجة:

إذا كانت قيمة إحصائية F أقل من قيمة F الحرجة

• عدم رفض الفرضية الصفرية
• رفض الفرضية البديلة
• لا توجد فروق ذات دلالة إحصائية بين متوسطات العينات
• يمكن أن تُعزى الاختلافات الملحوظة بين متوسطات العينات بشكل معقول إلى الصدفة العشوائية نفسها.
• النتيجة غير ذات دلالة إحصائية

إذا كانت قيمة إحصائية F أكبر من قيمة F الحرجة

• قبول الفرضية البديلة
• رفض الفرضية الصفرية
• توجد اختلافات كبيرة بين متوسطات العينات
• لا يمكن تفسير الاختلافات الملحوظة بين متوسطات العينات بشكل معقول بالصدفة العشوائية نفسها.
• النتيجة ذات دلالة إحصائية

لاحظ أنه عندما يكون هناك مجموعتان فقط لاختبار ANOVA أحادي الاتجاه F ،${\displaystyle F=t^{2}}$حيث t هو الطالب${\displaystyle t}$إحصائية .

يُستخدم اختبار F في تحليل التباين أحادي الاتجاه ( ANOVA ) لتقييم ما إذا كانت القيم المتوقعة لمتغير كمي ضمن عدة مجموعات محددة مسبقًا تختلف عن بعضها البعض. على سبيل المثال، لنفترض أن تجربة طبية تقارن أربعة علاجات. يمكن استخدام اختبار F في تحليل التباين لتقييم ما إذا كان أي من العلاجات متفوقًا أو أدنى من غيره في المتوسط، مقارنةً بالفرضية الصفرية التي تنص على أن جميع العلاجات الأربعة تُعطي نفس متوسط ​​الاستجابة. هذا مثال على اختبار "شامل"، أي أنه يتم إجراء اختبار واحد للكشف عن أي من الاختلافات المحتملة. بدلاً من ذلك، يمكننا إجراء اختبارات ثنائية بين العلاجات (على سبيل المثال، في مثال التجربة الطبية التي تتضمن أربعة علاجات، يمكننا إجراء ستة اختبارات بين أزواج العلاجات). تتمثل ميزة اختبار F في تحليل التباين في أننا لسنا بحاجة إلى تحديد العلاجات المراد مقارنتها مسبقًا، ولا نحتاج إلى تعديل لإجراء مقارنات متعددة . إن عيب اختبار ANOVA F هو أنه إذا رفضنا الفرضية الصفرية ، فإننا لا نعرف أي المعالجات يمكن القول إنها تختلف اختلافًا كبيرًا عن غيرها، ولا يمكننا، إذا تم إجراء اختبار F عند مستوى α، أن نؤكد أن زوج المعالجة الذي لديه أكبر فرق متوسط ​​يختلف اختلافًا كبيرًا عند مستوى α.

لنفترض وجود نموذجين، 1 و2، حيث يكون النموذج 1 "متداخلًا" ضمن النموذج 2. النموذج 1 هو النموذج المقيد، والنموذج 2 هو النموذج غير المقيد. أي أن النموذج 1 يحتوي على _p1 معلمات ، والنموذج 2 يحتوي على p2 معلمات، حيث _p1 < p2 _{. وبأي اختيار للمعلمات في النموذج 1 ،} يمكن الحصول على منحنى الانحدار نفسه باختيار معلمات معينة في النموذج 2 .  

يتمثل أحد السياقات الشائعة في هذا الصدد في تحديد ما إذا كان نموذج ما يُطابق البيانات بشكل أفضل بكثير من نموذج بسيط، حيث يكون الحد التفسيري الوحيد هو الحد الثابت، بحيث تُساوي جميع القيم المتوقعة للمتغير التابع متوسط ​​عينة ذلك المتغير. يُعد النموذج البسيط نموذجًا مقيدًا، لأن معاملات جميع المتغيرات التفسيرية المحتملة مُقيدة بحيث تساوي صفرًا.

يتمثل سياق شائع آخر في تحديد ما إذا كان هناك انقطاع هيكلي في البيانات: هنا، يستخدم النموذج المقيد جميع البيانات في انحدار واحد، بينما يستخدم النموذج غير المقيد انحدارات منفصلة لمجموعتين فرعيتين مختلفتين من البيانات. يُعرف هذا الاستخدام لاختبار F باختبار تشاو .

النموذج ذو المعاملات الأكثر سيتمكن دائمًا من مطابقة البيانات على الأقل بنفس كفاءة النموذج ذي المعاملات الأقل. وبالتالي، عادةً ما يُعطي النموذج 2 مطابقة أفضل (أي خطأ أقل) للبيانات من النموذج 1. ولكن غالبًا ما نرغب في تحديد ما إذا كان النموذج 2 يُعطي مطابقة أفضل للبيانات بشكل ملحوظ . أحد أساليب حل هذه المشكلة هو استخدام اختبار F.

إذا كان لدينا n نقطة بيانات لتقدير معلمات كلا النموذجين، فيمكن حساب إحصائية F ، المعطاة بواسطة

${\displaystyle F={\frac {\left({\frac {{\text{RSS}}_{1}-{\text{RSS}}_{2}}{p_{2}-p_{1}}}\right)}{\left({\frac {{\text{RSS}}_{2}}{n-p_{2}}}\right)}}={\frac {{\text{RSS}}_{1}-{\text{RSS}}_{2}}{{\text{RSS}}_{2}}}\cdot {\frac {n-p_{2}}{p_{2}-p_{1}}},}$

حيث يُمثل RSS _i مجموع مربعات البواقي للنموذج i . إذا تم حساب نموذج الانحدار باستخدام الأوزان، فاستبدل RSS _i بـ χ² ^، وهو مجموع مربعات البواقي المرجح. في ظل الفرضية الصفرية التي تنص على أن النموذج 2 لا يُقدم مُلاءمة أفضل بشكلٍ ملحوظ من النموذج 1، فإن F سيتبع توزيع F، بدرجات حرية (p² - _p₁ , n - p₂ ) . _يتم رفض الفرضية الصفرية إذا كانت _قيمة F المحسوبة من البيانات أكبر من القيمة الحرجة لتوزيع F عند احتمال رفض خاطئ مُحدد (مثل 0.05). بما أن F دالة رتيبة لإحصائية نسبة الاحتمال، فإن اختبار F هو اختبار نسبة احتمال .