توزيع المعاينة

في الإحصاء ، يُعرف توزيع المعاينة أو توزيع العينة المحدودة بأنه التوزيع الاحتمالي لإحصائية معينة مبنية على عينة عشوائية . بالنسبة لعدد كبير من العينات، حيث تُستخدم كل عينة، التي تتضمن عدة مشاهدات (نقاط بيانات)، بشكل منفصل لحساب قيمة واحدة لإحصائية معينة (مثل متوسط العينة أو تباينها )، فإن توزيع المعاينة هو التوزيع الاحتمالي للقيم التي تأخذها هذه الإحصائية. في كثير من الحالات، تُلاحظ عينة واحدة فقط (أي مجموعة من المشاهدات)، ولكن يمكن إيجاد توزيع المعاينة نظريًا.

تُعدّ توزيعات المعاينة مهمة في الإحصاء لأنها تُسهّل عملية الاستدلال الإحصائي بشكل كبير . وبشكل أكثر تحديداً، فهي تسمح بأن تستند الاعتبارات التحليلية إلى التوزيع الاحتمالي للإحصائية، بدلاً من التوزيع الاحتمالي المشترك لجميع قيم العينة الفردية.

مقدمة

التوزيع الاحتمالي لإحصائية ما هو توزيع تلك الإحصائية، باعتبارها متغيرًا عشوائيًا ، عند اشتقاقها من عينة عشوائية بحجم $n$ يمكن اعتبار توزيع المعاينة بمثابة توزيع الإحصائية لجميع العينات الممكنة من نفس المجتمع الإحصائي ذي حجم عينة محدد. يعتمد توزيع المعاينة على التوزيع الأصلي للمجتمع الإحصائي، والإحصائية قيد الدراسة، وإجراءات المعاينة المستخدمة، وحجم العينة. غالبًا ما يُثار اهتمام كبير حول إمكانية تقريب توزيع المعاينة بتوزيع تقاربي ، والذي يُمثل الحالة الحدية إما عندما يؤول عدد العينات العشوائية ذات الحجم المحدود، المأخوذة من مجتمع إحصائي لانهائي والمستخدمة لإنتاج التوزيع، إلى اللانهاية، أو عند أخذ عينة واحدة فقط ذات حجم لانهائي من نفس المجتمع الإحصائي.

على سبيل المثال، لنفترض مجتمعًا طبيعيًا بمتوسط $\mu$ والتباين $\sigma ^{2}$ لنفترض أننا نأخذ عينات متكررة بحجم معين من هذا المجتمع ونحسب المتوسط الحسابي ${\bar {x}}$ لكل عينة، تُسمى هذه الإحصائية متوسط العينة . ويُطلق على توزيع هذه المتوسطات اسم "توزيع المعاينة لمتوسط العينة". هذا التوزيع طبيعي. ${\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2}/n)$ ( حيث n هو حجم العينة) لأن التوزيع الأصلي للمجتمع طبيعي، مع العلم أن توزيعات المعاينة قد تكون قريبة من التوزيع الطبيعي حتى عندما لا يكون توزيع المجتمع طبيعيًا (انظر نظرية النهاية المركزية ). يُعد الوسيط بديلاً عن متوسط العينة . عند حسابه من نفس المجتمع، يكون له توزيع معاينة مختلف عن توزيع المتوسط، وعادةً ما يكون غير طبيعي (ولكنه قد يكون قريبًا منه في حالة أحجام العينات الكبيرة).

يُعدّ متوسط عينة من مجتمع إحصائي يتبع التوزيع الطبيعي مثالاً على إحصائية بسيطة مأخوذة من أحد أبسط المجتمعات الإحصائية . أما بالنسبة للإحصاءات الأخرى والمجتمعات الأخرى، فتكون الصيغ أكثر تعقيداً، وغالباً ما لا توجد لها صيغة مغلقة . في مثل هذه الحالات، يمكن تقريب توزيعات المعاينة من خلال محاكاة مونت كارلو ، ^{[ 1 ]} أو طرق إعادة التوزيع العشوائي (Bootstrap )، أو نظرية التوزيع التقاربي .

الخطأ المعياري

يُشار إلى الانحراف المعياري لتوزيع المعاينة لإحصائية ما بالخطأ المعياري لتلك الإحصائية . في حالة كون الإحصائية هي متوسط العينة، وعدم وجود ارتباط بين العينات، يكون الخطأ المعياري كما يلي: $\sigma _{\bar {x}}={\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}$ أين $\sigma$ يمثل الانحراف المعياري لتوزيع تلك الكمية في المجتمع و $n$ يمثل حجم العينة (عدد العناصر في العينة).

من أهم نتائج هذه الصيغة أنه يجب مضاعفة حجم العينة أربع مرات (ضربه في 4) لتقليل خطأ القياس إلى النصف (1/2). عند تصميم الدراسات الإحصائية التي تُؤخذ فيها التكلفة في الاعتبار، قد يكون لهذا دور في فهم المفاضلة بين التكلفة والفائدة.

في حالة كون الإحصائية هي إجمالي العينة، والعينات غير مترابطة، يكون الخطأ المعياري هو: $\sigma _{\Sigma x}=\sigma {\sqrt {n}}$ أين، مرة أخرى، $\sigma$ يمثل الانحراف المعياري لتوزيع تلك الكمية في المجتمع و $n$ يمثل حجم العينة (عدد العناصر في العينة).

أمثلة

سكان	إحصائية	توزيع المعاينة
طبيعي : ${\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$	متوسط العينة ${\bar {X}}$ من عينات بحجم n	${\bar {X}}\sim {\mathcal {N}}{\Big (}\mu ,\,{\frac {\sigma ^{2}}{n}}{\Big )}$ . إذا كان الانحراف المعياري $\sigma$ إذا لم يكن معروفًا، فيمكن للمرء أن يأخذ في الاعتبار $T=\left({\bar {X}}-\mu \right){\frac {\sqrt {n}}{S}}$ ، والذي يتبع توزيع t للطالب مع $\nu =n-1$ درجات الحرية. هنا $S^{2}$ يمثل تباين العينة، و $T$ هي كمية محورية ، ولا يعتمد توزيعها على $\sigma$ .
برنولي : $\operatorname {Bernoulli} (p)$	نسبة العينة من "التجارب الناجحة" ${\bar {X}}$	$n{\bar {X}}\sim \operatorname {Binomial} (n,p)$
مجموعتان طبيعيتان مستقلتان: ${\mathcal {N}}(\mu _{1},\sigma _{1}^{2})$ و ${\mathcal {N}}(\mu _{2},\sigma _{2}^{2})$	الفرق بين متوسطات العينات، ${\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2}$	${\bar {X}}_{1}-{\bar {X}}_{2}\sim {\mathcal {N}}\!\left(\mu _{1}-\mu _{2},\,{\frac {\sigma _{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {\sigma _{2}^{2}}{n_{2}}}\right)$
أي توزيع مستمر تمامًا F بكثافة f	متوسط $X_{(k)}$ من عينة بحجم n = 2k − 1، حيث تكون العينة مرتبة $X_{(1)}$ ل $X_{(n)}$	$f_{X_{(k)}}(x)={\frac {(2k-1)!}{(k-1)!^{2}}}f(x){\Big (}F(x)(1-F(x)){\Big )}^{k-1}$
أي توزيع ذي دالة توزيع F	الحد الأقصى $M=\max \ X_{k}$ من عينة عشوائية بحجم n	$F_{M}(x)=P(M\leq x)=\prod P(X_{k}\leq x)=\left(F(x)\right)^{n}$