تحديد حجم العينة

تؤدي أحجام العينات الأكبر عمومًا إلى زيادة الدقة عند تقدير المعلمات المجهولة. على سبيل المثال، لتحديد مدى انتشار العدوى المرضية بدقة في نوع معين من الأسماك، يُفضل فحص عينة من 200 سمكة بدلًا من 100 سمكة. وتصف عدة حقائق أساسية في الإحصاء الرياضي هذه الظاهرة، بما في ذلك قانون الأعداد الكبيرة ونظرية النهاية المركزية .

في بعض الحالات، يكون التحسن في الدقة مع زيادة حجم العينة ضئيلاً، أو حتى معدوماً. وقد يعود ذلك إلى وجود أخطاء منهجية أو اعتماد قوي في البيانات، أو إذا كانت البيانات تتبع توزيعاً ذا ذيل سميك، أو لأن البيانات تعتمد بشدة على بعضها أو متحيزة.

يمكن تقييم حجم العينة بناءً على جودة التقديرات الناتجة، كما يلي: يُحدد عادةً بناءً على تكلفة جمع البيانات، والوقت اللازم لذلك، وسهولة جمعها، والحاجة إلى قوة إحصائية كافية. على سبيل المثال، عند تقدير نسبة معينة، يُفضل أن تكون فترة الثقة 95% أقل من 0.06 وحدة. بدلاً من ذلك، يمكن تقييم حجم العينة بناءً على قوة اختبار الفرضية. على سبيل المثال، عند مقارنة تأييد مرشح سياسي معين بين النساء بتأييده بين الرجال، يُفضل أن تكون لدينا قوة إحصائية بنسبة 80% للكشف عن فرق في مستويات التأييد مقداره 0.04 وحدة.

يُعد تقدير النسبة حالةً بسيطةً نسبيًا . وهو جانب أساسي من التحليل الإحصائي، لا سيما عند قياس مدى انتشار سمة معينة ضمن مجتمع ما. على سبيل المثال، قد نرغب في تقدير نسبة السكان في مجتمع ما ممن يبلغون من العمر 65 عامًا فأكثر.

مقدر النسبة هو​​${\displaystyle {\hat {p}}=X/n,}$حيث يمثل X عدد الحالات "الإيجابية" (على سبيل المثال، عدد الأشخاص من بين n شخصًا تم اختيارهم عشوائيًا ممن يبلغون من العمر 65 عامًا على الأقل). عندما تكون المشاهدات مستقلة ، فإن هذا المُقدِّر له توزيع ثنائي (مُقاس) (وهو أيضًا متوسط ​​العينة لبيانات من توزيع برنولي ). يبلغ الحد الأقصى لتباين هذا التوزيع 0.25، ويحدث ذلك عندما تكون قيمة المعلمة الحقيقية p = 0.5. في التطبيقات العملية، حيث تكون قيمة المعلمة الحقيقية p غير معروفة، غالبًا ما يُستخدم الحد الأقصى للتباين لتقييم حجم العينة. إذا كان هناك تقدير معقول لـ p معروف، فإن الكمية${\displaystyle p(1-p)}$يمكن استخدامها بدلاً من 0.25.

مع ازدياد حجم العينة n بشكل كافٍ، يصبح توزيع${\displaystyle {\hat {p}}}$سيتم تقريبها بشكل وثيق بواسطة التوزيع الطبيعي . ^{[ 1 ]} باستخدام هذا وطريقة والد للتوزيع ذي الحدين ، ينتج فاصل ثقة، حيث يمثل Z درجة Z المعيارية لمستوى الثقة المطلوب (على سبيل المثال، 1.96 لفاصل ثقة بنسبة 95٪)، بالشكل التالي:

${\displaystyle \left({\widehat {p}}-Z{\sqrt {\frac {0.25}{n}}},\quad {\widehat {p}}+Z{\sqrt {\frac {0.25}{n}}}\right)}$

لتحديد حجم العينة المناسب (n) لتقدير النسب، يمكن حل المعادلة التالية، حيث يمثل W عرض فترة الثقة المطلوبة. غالبًا ما تُستخدم صيغة حجم العينة الناتجة مع تقدير متحفظ لقيمة p (مثل 0.5):

${\displaystyle Z{\sqrt {\frac {0.25}{n}}}=W/2}$

بالنسبة لـ n ، ينتج حجم العينة

${\displaystyle n={\frac {Z^{2}}{W^{2}}},}$في حالة استخدام 0.5 كأكثر تقدير متحفظ للنسبة. (ملاحظة: W/2 = هامش الخطأ .)

وإلا، ستكون الصيغة كالتالي${\displaystyle Z{\sqrt {\frac {p(1-p)}{n}}}=W/2,}$مما ينتج عنه${\displaystyle n={\frac {4Z^{2}p(1-p)}{W^{2}}}.}$

في الشكل الموجود على اليمين، يمكن للمرء أن يلاحظ كيف تتغير أحجام العينات للنسب ذات الحدين بالنظر إلى مستويات الثقة المختلفة وهوامش الخطأ.

على سبيل المثال، لتقدير نسبة سكان الولايات المتحدة المؤيدين لمرشح رئاسي بفترة ثقة 95% وعرض فاصل ثقة يبلغ نقطتين مئويتين (0.02)، يلزم حجم عينة قدره (1.96) ^² / (0.02² ^{) = 9604، مع هامش خطأ في هذه الحالة يبلغ} نقطة مئوية واحدة . من المعقول استخدام تقدير 0.5 لقيمة p في هذه الحالة لأن السباقات الرئاسية غالبًا ما تكون متقاربة بنسبة 50/50، ومن الحكمة أيضًا استخدام تقدير متحفظ. هامش الخطأ في هذه الحالة هو نقطة مئوية واحدة (نصف 0.02).

عملياً، الصيغة هي  :${\displaystyle \left({\widehat {p}}-1.96{\sqrt {\frac {0.25}{n}}},\quad {\widehat {p}}+1.96{\sqrt {\frac {0.25}{n}}}\right)}$تُستخدم هذه الطريقة عادةً لتكوين فاصل ثقة بنسبة 95% للنسبة الحقيقية. المعادلة${\displaystyle 2{\sqrt {\frac {0.25}{n}}}=W/2}$يمكن إيجاد قيمة n ، مما يوفر الحد الأدنى لحجم العينة اللازم لتحقيق هامش الخطأ المطلوب W. ويُبسط ما سبق عادةً إلى: ^{[ 2 ] [ 3 ]} n  =  4/ W² = 1/ ^B² ، حيث B هو حد الخطأ في التقدير، أي أن التقدير يُعطى عادةً ضمن ±B . عندما تكون B = 10% ^، يلزم n = 100، وعندما تكون B = 5%، يلزم n = 400، وعندما تكون B = 3%، يقترب المطلوب من n = 1000، بينما عندما تكون B = 1% ، يلزم حجم عينة n = 10000. كثيرًا ما تُذكر هذه الأرقام في التقارير الإخبارية لاستطلاعات الرأي وغيرها من الدراسات الاستقصائية . مع ذلك، قد لا تكون النتائج المُبلغ عنها هي القيمة الدقيقة، حيث يُفضل تقريب الأرقام لأعلى. وبما أن قيمة n هي الحد الأدنى لعدد نقاط العينة اللازمة للحصول على النتيجة المرجوة، فإن عدد المستجيبين يجب أن يكون مساويًا أو أكبر من الحد الأدنى.  

ببساطة، إذا أردنا تقدير متوسط ​​الوقت الذي يستغرقه الناس للوصول إلى أعمالهم في مدينة ما، فبدلاً من إجراء مسح شامل لجميع السكان، يمكننا أخذ عينة عشوائية من 100 فرد، وتسجيل أوقات تنقلهم، ثم حساب متوسط ​​وقت التنقل لهذه العينة. على سبيل المثال، يستغرق الشخص 1 مدة 25 دقيقة، والشخص 2 مدة 30 دقيقة، وهكذا حتى الشخص 100 يستغرق مدة 20 دقيقة. نجمع أوقات التنقل ونقسمها على عدد أفراد العينة (100 في هذه الحالة). ستكون النتيجة تقديرًا لمتوسط ​​وقت التنقل لجميع السكان. هذه الطريقة عملية عندما يتعذر قياس أوقات تنقل جميع أفراد المجتمع، وهي توفر تقريبًا معقولًا بناءً على عينة تمثيلية.

بطريقة رياضية دقيقة، عند تقدير متوسط ​​المجتمع باستخدام عينة مستقلة وموزعة توزيعًا متطابقًا (iid) بحجم n ، حيث يكون لكل قيمة بيانات تباين σ ² ، فإن الخطأ المعياري لمتوسط ​​العينة هو:

${\displaystyle {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}.}$

يصف هذا التعبير كميًا كيف تصبح التقديرات أكثر دقة مع زيادة حجم العينة. وباستخدام نظرية النهاية المركزية لتبرير تقريب متوسط ​​العينة بتوزيع طبيعي، نحصل على فترة ثقة بالشكل التالي:

${\displaystyle \left({\bar {x}}-{\frac {Z\sigma }{\sqrt {n}}},\quad {\bar {x}}+{\frac {Z\sigma }{\sqrt {n}}}\right)}$،

حيث Z هي درجة Z القياسية لمستوى الثقة المطلوب (1.96 لفترة ثقة 95٪).

لتحديد حجم العينة n المطلوب لفترة ثقة بعرض W، مع اعتبار W/2 هامش الخطأ على جانبي متوسط ​​العينة، فإن المعادلة

${\displaystyle {\frac {Z\sigma }{\sqrt {n}}}=W/2}$يمكن حلها. وهذا ينتج عنه صيغة حجم العينة، لـ n :

${\displaystyle n={\frac {4Z^{2}\sigma ^{2}}{W^{2}}}}$.

على سبيل المثال، إذا أردنا تقدير تأثير دواء ما على ضغط الدم بفترة ثقة 95% بعرض ست وحدات، وكان الانحراف المعياري المعروف لضغط الدم في المجتمع 15، فإن حجم العينة المطلوب سيكون${\displaystyle {\frac {4\times 1.96^{2}\times 15^{2}}{6^{2}}}=96.04}$سيتم تقريب هذا الرقم إلى 97، لأن أحجام العينات يجب أن تكون أعدادًا صحيحة وأن تساوي أو تتجاوز الحد الأدنى المحسوب . يُعد فهم هذه الحسابات أمرًا بالغ الأهمية للباحثين الذين يصممون دراسات لتقدير متوسطات المجتمع بدقة ضمن مستوى الثقة المطلوب.

يمكن استخدام الجدول الموضح على اليمين في اختبار t لعينتين لتقدير حجمي عينتين متساويتين، إحداهما لمجموعة تجريبية والأخرى لمجموعة ضابطة ، أي أن العدد الإجمالي للأفراد في التجربة يساوي ضعف العدد المعطى، ومستوى الدلالة المطلوب هو 0.05. ^{[ 4 ]} المعلمات المستخدمة هي:

• القوة الإحصائية المطلوبة للتجربة، موضحة في العمود إلى اليسار.
• Cohen's d (=  حجم التأثير)، وهو الفرق المتوقع بين متوسطات القيم المستهدفة بين المجموعة التجريبية والمجموعة الضابطة ، مقسومًا على الانحراف المعياري المتوقع .

غالباً ما يكون حساب حجم العينة المطلوب أمراً صعباً، نظراً لصعوبة التعامل مع توزيع إحصائية الاختبار تحت الفرضية البديلة محل الاهتمام. تتوفر صيغ تقريبية لحساب حجم العينة لمشاكل محددة، ومن المراجع العامة ^{[ 5 ]} و ^{[ 6 ].}

تُعدّ خوارزمية QuickSize ^{[ 7 ]} منهجًا عامًا جدًا، سهل الاستخدام، ومتعدد الاستخدامات بما يكفي لتقديم حل دقيق لمجموعة واسعة من المشكلات. وهي تستخدم المحاكاة جنبًا إلى جنب مع خوارزمية البحث.

تُستخدم معادلة ميد للموارد غالبًا لتقدير أحجام عينات حيوانات المختبر ، وكذلك في العديد من التجارب المختبرية الأخرى. قد لا تكون دقيقة مثل الطرق الأخرى في تقدير حجم العينة، لكنها تعطي فكرة عن حجم العينة المناسب عندما تكون معايير مثل الانحرافات المعيارية المتوقعة أو الفروق المتوقعة في القيم بين المجموعات غير معروفة أو يصعب تقديرها. ^{[ 8 ]}

جميع المعاملات في المعادلة هي في الواقع درجات حرية عدد مفاهيمها، وبالتالي، يتم طرح 1 من أعدادها قبل إدخالها في المعادلة.

المعادلة هي: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle E=NBT,}$

أين:

• يمثل N العدد الإجمالي للأفراد أو الوحدات في الدراسة (ناقص 1).
• يمثل B عنصر الحجب ، الذي يمثل التأثيرات البيئية المسموح بها في التصميم (ناقص 1).
• يمثل T عنصر العلاج ، والذي يتوافق مع عدد مجموعات العلاج (بما في ذلك مجموعة التحكم ) المستخدمة، أو عدد الأسئلة المطروحة (ناقص 1).
• يمثل E درجات حرية مكون الخطأ، ويجب أن يكون في مكان ما بين 10 و 20.

على سبيل المثال، إذا تم التخطيط لدراسة باستخدام حيوانات المختبر بأربع مجموعات علاجية ( T = 3)، مع ثمانية حيوانات في كل مجموعة، ليصبح المجموع 32 حيوانًا ( N = 31)، دون أي تقسيم إضافي ( B = 0)، فإن E ستكون مساوية لـ 28، وهي أعلى من الحد الأدنى البالغ 20، مما يشير إلى أن حجم العينة قد يكون كبيرًا بعض الشيء، وأن ستة حيوانات في كل مجموعة قد تكون أكثر ملاءمة. ^{[ 9 ]}

لنفترض أن Xᵢ _، حيث i = 1، 2، ...، n ، هي مشاهدات مستقلة مأخوذة من توزيع طبيعي بمتوسط ​​غير معلوم μ وتباين معلوم σ² ^. لنفترض فرضيتين، إحداهما فرضية العدم :

${\displaystyle H_{0}:\mu =0}$

وفرضية بديلة:

${\displaystyle H_{a}:\mu =\mu ^{*}}$

بالنسبة لـ "أصغر فرق ذي دلالة إحصائية" μ ^*  >  0، وهي أصغر قيمة نهتم بملاحظة فرق عندها. الآن، لكي (1) نرفض الفرضية _{الصفرية H₀} باحتمالية لا تقل عن 1 − β عندما تكون الفرضية البديلة Hₐ صحيحة (أي _بقوة 1 − β ) ، و(2) نرفض H₀ باحتمالية α عندما تكون H₀ صحيحة _، فإن ما يلي ضروري: إذا كانت _zα هي النقطة _{المئوية} العليا α للتوزيع الطبيعي القياسي، فإن    

${\displaystyle \Pr({\bar {x}}>z_{\alpha }\sigma /{\sqrt {n}}\mid H_{0})=\alpha }$

وهكذا

ارفض الفرضية _{الصفرية} H0 إذا كان متوسط ​​العينة لدينا (${\displaystyle {\bar {x}}}$) هو أكثر من${\displaystyle z_{\alpha }\sigma /{\sqrt {n}}}$'

هي قاعدة قرار تحقق الشرط (2). (هذا اختبار ذو طرف واحد). في مثل هذه الحالة، يصبح من الضروري تحقيق ذلك باحتمالية لا تقل عن 1−β عندما تكون الفرضية البديلة H _a صحيحة. هنا، ينشأ متوسط ​​العينة من توزيع طبيعي بمتوسط ​​μ ^* . وبالتالي، يُعبَّر عن الشرط كما يلي:

${\displaystyle \Pr({\bar {x}}>z_{\alpha }\sigma /{\sqrt {n}}\mid H_{a})\geq 1-\beta }$

من خلال التلاعب الدقيق، يمكن إثبات حدوث ذلك (انظر مثال القوة الإحصائية ) عندما

${\displaystyle n\geq \left({\frac {z_{\alpha }+\Phi ^{-1}(1-\beta )}{\mu ^{*}/\sigma }}\right)^{2}}$

أين${\displaystyle \Phi }$هي دالة التوزيع التراكمي الطبيعي .