التوزيع ذو الحدين السالب

دالة الكتلة الاحتمالية لتوزيع ذي الحدين السالب هي $${\displaystyle f(k;r,p)\equiv \Pr(X=k)={\binom {k+r-1}{k}}(1-p)^{k}p^{r}}$$ حيث r هو عدد النجاحات، و X = k هو عدد حالات الفشل قبل النجاح رقم r ، و p هو احتمال النجاح في كل محاولة.

هنا، الكمية بين قوسين هي معامل ذات الحدين ، وتساوي $${\displaystyle {\binom {k+r-1}{k}}={\frac {(k+r-1)!}{(r-1)!\,k!}}={\frac {(k+r-1)(k+r-2)\dotsm (r)}{k!}}={\frac {\Gamma (k+r)}{k!\ \Gamma (r)}}=\left(\!\!{r \choose k}\!\!\right).}$$ لاحظ أن Γ( r ) هي دالة غاما ، و${\displaystyle \textstyle \left(\!\!{r \choose k}\!\!\right)}$هو معامل المجموعة المتعددة .

هناك k فشل تم اختيارها من k + r − 1 تجربة بدلاً من k + r لأن آخر تجربة من التجارب k + r هي بحكم التعريف نجاح.

ويمكن كتابة هذه الكمية بطريقة بديلة على النحو التالي، مما يفسر اسم "التوزيع ذي الحدين السالب":

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {(k+r-1)\dotsm (r)}{k!}}\\[10pt]={}&(-1)^{k}{\frac {\overbrace {(-r)(-r-1)(-r-2)\dotsm (-r-(k-1))} ^{k{\text{ عوامل}}}}{k!}}=(-1)^{k}{\binom {-r}{{\phantom {-}}k}}.\end{aligned}}}$$

لاحظ أنه وفقًا للصيغة الأخيرة ومتسلسلة ذات الحدين ، لكل 0 ≤ p < 1 و${\displaystyle q=1-p}$،

$$$$$

وبالتالي فإن حدود دالة الكتلة الاحتمالية تتجمع بالفعل لتساوي واحدًا كما هو موضح أدناه. $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\binom {k+r-1}{k}}\left(1-p\right)^{k}p^{r}=p^{-r}p^{r}=1}$$

لفهم تعريف دالة الكتلة الاحتمالية أعلاه، لاحظ أن احتمال كل تسلسل محدد من r  نجاحات و k  إخفاقات هو p ^r (1 − p ) ^k ، لأن نتائج k + r محاولات يفترض أن تحدث بشكل مستقل . وبما أن النجاح رقم r يأتي دائمًا في النهاية، يبقى اختيار k  محاولات فاشلة من بين المحاولات المتبقية k + r − 1. ويعطي معامل ذات الحدين أعلاه، نظرًا لتفسيره التوافقي، العدد الدقيق لجميع هذه التسلسلات التي يبلغ طولها k + r − 1 .

يظهر تفسير بديل لمعامل ذي الحدين لدالة الكتلة الاحتمالية عند النظر في معامل المجموعة المتعددة المكافئ.${\displaystyle \textstyle \left(\!\!{r \choose k}\!\!\right)}$يمكن تمثيل سلسلة من المحاولات تنتهي بـ r نجاحات بمجموعة من r أعداد صحيحة غير سالبة، حيث يمثل كل عدد منها عدد مرات الفشل قبل النجاح التالي. وباستخدام طريقة النجوم والخطوط ، يتضح أن عدد هذه المجموعات التي مجموعها يساوي k (وبالتالي تمثل k فشلًا إجماليًا و r نجاحًا إجماليًا) يُعطى بالصيغة التالية:${\displaystyle \textstyle \left(\!\!{r \choose k}\!\!\right)}$.

يمكن التعبير عن دالة التوزيع التراكمي بدلالة دالة بيتا غير الكاملة المنتظمة : ^{[ 3 ] [ 6 ]}$${\displaystyle F(k;r,p)\equiv \Pr(X\leq k)=I_{p}(r,k+1).}$$ (تستخدم هذه الصيغة نفس المعاملات المستخدمة في جدول المقالة، حيث يمثل r عدد حالات النجاح، و${\displaystyle p=r/(r+\mu )}$مع${\displaystyle \mu }$(المتوسط.)

ويمكن التعبير عنها أيضاً بدلالة دالة التوزيع التراكمي للتوزيع ذي الحدين : ^{[ 7 ]}$${\displaystyle F(k;r,p)=F_{\text{binomial}}(k;n=k+r,1-p).}$$

قد تُعرّف بعض المصادر التوزيع ذي الحدين السالب بشكل مختلف قليلاً عن التعريف الأساسي المذكور هنا. وتتمثل الاختلافات الأكثر شيوعًا في استخدام المتغير العشوائي X لحساب أشياء مختلفة. ويمكن الاطلاع على هذه الاختلافات في الجدول التالي:

	X يقوم بالعد...	دالة الكتلة الاحتمالية	صيغة	صيغة بديلة (باستخدام التوزيع الثنائي المكافئ)	صيغة بديلة (مبسط باستخدام:${\textstyle n=k+r}$)	يدعم
1	عدد حالات الفشل k ، بافتراض وجود r حالات نجاح	${\textstyle f(k;r,p)\equiv \Pr(X=k)=}$	${\textstyle {\binom {k+r-1}{k}}p^{r}(1-p)^{k}}$[ 8 ] [ 6 ] [ 9 ]	${\textstyle {\binom {k+r-1}{r-1}}p^{r}(1-p)^{k}}$[ 3 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]	${\textstyle {\binom {n-1}{k}}p^{r}(1-p)^{k}}$	${\displaystyle {\text{for }}k=0,1,2,\ldots }$
2	عدد التجارب n ، بافتراض r نجاحات	${\textstyle f(n;r,p)\equiv \Pr(X=n)=}$	${\textstyle {\binom {n-1}{r-1}}p^{r}(1-p)^{nr}}$[ 6 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]	${\textstyle {\binom {n-1}{nr}}p^{r}(1-p)^{nr}}$		${\displaystyle {\text{for }}n=r,r+1,r+2,\dotsc }$
3	عدد المحاولات n ، مع الأخذ في الاعتبار r من حالات الفشل	${\textstyle f(n;r,p)\equiv \Pr(X=n)=}$	${\textstyle {\binom {n-1}{r-1}}p^{nr}(1-p)^{r}}$	${\textstyle {\binom {n-1}{nr}}p^{nr}(1-p)^{r}}$	${\textstyle {\binom {n-1}{k}}p^{k}(1-p)^{r}}$
4	عدد النجاحات k ، مع وجود r حالة فشل	${\textstyle f(k;r,p)\equiv \Pr(X=k)=}$	${\textstyle {\binom {k+r-1}{k}}p^{k}(1-p)^{r}}$	${\textstyle {\binom {k+r-1}{r-1}}p^{k}(1-p)^{r}}$		${\displaystyle {\text{for }}k=0,1,2,\ldots }$
-	k نجاحات، بالنظر إلى n محاولة	${\textstyle f(k;n,p)\equiv \Pr(X=k)=}$	هذا هو التوزيع ذو الحدين وليس التوزيع ذو الحدين السالب: ${\textstyle {\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{nk}={\binom {n}{nk}}p^{k}(1-p)^{nk}={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{r}}$			${\displaystyle {\text{لـ }}k=0,1,2,\dotsc ,n}$

يمكن التعبير عن كل تعريف من التعريفات الأربعة لتوزيع ذي الحدين السالب بطرق مختلفة قليلاً ولكنها متكافئة. الصيغة البديلة الأولى هي ببساطة شكل مكافئ لمعامل ذي الحدين، أي:${\textstyle {\binom {a}{b}}={\binom {a}{ab}}\quad {\text{for }}\ 0\leq b\leq a}$أما الصيغة البديلة الثانية فتبسط التعبير إلى حد ما من خلال إدراك أن العدد الإجمالي للمحاولات هو ببساطة عدد حالات النجاح والفشل، أي:${\textstyle n=r+k}$قد تكون هذه الصيغ الثانية أكثر سهولة في الفهم، إلا أنها ربما تكون أقل عملية لأنها تحتوي على مصطلحات أكثر.

• التعريف الذي يُمثل فيه X عدد المحاولات n التي تحدث لعدد مُحدد من النجاحات r يُشابه التعريف الأساسي، باستثناء أنه يُعطى عدد المحاولات بدلاً من عدد حالات الفشل. هذا يُضيف r إلى قيمة المتغير العشوائي، مما يُغير نطاقه ومتوسطه.
• التعريف الذي يُمثل فيه X عدد النجاحات k (أو n محاولة ) التي تحدث لعدد مُحدد من حالات الفشل r، يُشابه التعريف الأساسي المُستخدم في هذه المقالة، باستثناء تبديل عدد حالات الفشل والنجاح عند النظر في ما يتم حسابه وما هو مُعطى. مع ذلك، تجدر الإشارة إلى أن p لا يزال يُشير إلى احتمال "النجاح".
• يمكن توسيع تعريف التوزيع ذي الحدين السالب ليشمل الحالة التي يمكن أن يأخذ فيها المعامل r قيمة حقيقية موجبة . على الرغم من استحالة تصور عدد غير صحيح من "الإخفاقات"، إلا أنه لا يزال بإمكاننا تعريف التوزيع رسميًا من خلال دالة الكتلة الاحتمالية الخاصة به. وتتلخص مشكلة توسيع التعريف ليشمل قيم r الحقيقية (الموجبة) في توسيع معامل ذي الحدين إلى نظيره ذي القيمة الحقيقية، استنادًا إلى دالة غاما .$${\displaystyle {\binom {k+r-1}{k}}={\frac {(k+r-1)(k+r-2)\dotsm (r)}{k!}}={\frac {\Gamma (k+r)}{k!\,\Gamma (r)}}}$$بعد استبدال هذا التعبير في التعريف الأصلي، نقول إن X له توزيع ذي الحدين السالب (أو توزيع بوليا ) إذا كان له دالة كتلة احتمالية :$${\displaystyle f(k;r,p)\equiv \Pr(X=k)={\frac {\Gamma (k+r)}{k!\,\Gamma (r)}}(1-p)^{k}p^{r}\quad {\text{لـ }}k=0,1,2,\dotsc }$$هنا r هو عدد حقيقي موجب.

في الانحدار ذي الحدين السالب، ^{[ 16 ]} يتم تحديد التوزيع من حيث متوسطه،${\textstyle m={\frac {r(1-p)}{p}}}$ثم يرتبط ذلك بالمتغيرات التفسيرية كما هو الحال في الانحدار الخطي أو النماذج الخطية المعممة الأخرى . ومن صيغة المتوسط ​​m ، يمكن استنتاج${\textstyle p={\frac {r}{m+r}}}$و${\textstyle 1-p={\frac {m}{m+r}}}$ثم، باستبدال هذه التعبيرات في التعبير الخاص بدالة كتلة الاحتمال عندما تكون قيمة r حقيقية ، ينتج هذا التحديد البارامتري لدالة كتلة الاحتمال بدلالة m : 

$${\displaystyle \Pr(X=k)={\frac {\Gamma (r+k)}{k!\,\Gamma (r)}}\left({\frac {r}{r+m}}\right)^{r}\left({\frac {m}{r+m}}\right)^{k}\quad {\text{لـ }}k=0,1,2,\dotsc }$$ ويمكن كتابة التباين على النحو التالي${\textstyle m+{\frac {m^{2}}{r}}}$يفضل بعض المؤلفين تحديد${\textstyle \alpha ={\frac {1}{r}}}$، وعبّر عن التباين على النحو التالي${\textstyle m+\alpha m^{2}}$في هذا السياق، وبحسب المؤلف، يُشار إلى المعامل r أو مقلوبه α إما بـ"معامل التشتت" أو "معامل الشكل " أو "معامل التكتل" ^{[ 17 ]} أو " معامل عدم التجانس " ^{[ 16 ] أو "معامل التجميع" [ 11 ]} . يُستخدم مصطلح "التجميع" تحديدًا في علم البيئة عند وصف أعداد الكائنات الحية. انخفاض قيمة معامل التجميع r باتجاه الصفر يُشير إلى زيادة تجميع الكائنات الحية، بينما ارتفاع قيمة r باتجاه اللانهاية يُشير إلى انعدام التجميع، كما هو موضح في انحدار بواسون .

في بعض الأحيان يتم تحديد معلمات التوزيع من حيث متوسطه μ وتباينه σ ² : $${\displaystyle {\begin{aligned}&p={\frac {\mu }{\sigma ^{2}}},\\[6pt]&r={\frac {\mu ^{2}}{\sigma ^{2}-\mu }},\\[3pt]&\Pr(X=k)={k+{\frac {\mu ^{2}}{\sigma ^{2}-\mu }}-1 \choose k}\left(1-{\frac {\mu }{\sigma ^{2}}}\right)^{k}\left({\frac {\mu }{\sigma ^{2}}}\right)^{\mu ^{2}/(\sigma ^{2}-\mu )}\\&\operatorname {E} (X)=\mu \\&\operatorname {Var} (X)=\sigma ^{2}.\end{aligned}}}$$

تستخدم طريقة أخرى شائعة لتحديد المعلمات r ونسبة الفشل β : $${\displaystyle {\begin{aligned}&p={\frac {1}{1+\beta }}\\&\Pr(X=k)={k+r-1 \choose k}\left({\frac {\beta }{1+\beta }}\right)^{k}\left({\frac {1}{1+\beta }}\right)^{r}\\&\operatorname {E} (X)=r\beta \\&\operatorname {Var} (X)=r\beta (1+\beta ).\end{aligned}}}$$

العدد الإجمالي المتوقع للتجارب اللازمة لرؤية r من النجاحات هو${\displaystyle {\frac {r}{p}}}$وبالتالي، فإن العدد المتوقع للفشل سيكون هذه القيمة مطروحًا منها عدد حالات النجاح: $${\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {NB} (r,p)]={\frac {r}{p}}-r={\frac {r(1-p)}{p}}}$$

العدد الإجمالي المتوقع للفشل في توزيع ذي الحدين السالب ذي المعاملات ( r , p ) هو r (1 − p )/ p . ولتوضيح ذلك، تخيل إجراء تجربة تحاكي توزيع ذي الحدين السالب عدة مرات. أي، يتم إجراء مجموعة من المحاولات حتى يتم الحصول على r من النجاحات، ثم مجموعة أخرى من المحاولات، وهكذا. اكتب عدد المحاولات التي تم إجراؤها في كل تجربة: a ، b ، c ، ... ، وافترض أن a + b + c + ... = N. نتوقع الآن حوالي Np من النجاحات إجمالاً. لنفترض أن التجربة أُجريت n مرة. إذن، هناك nr من النجاحات إجمالاً. لذا نتوقع أن nr = Np ، وبالتالي N / n = r / p . لاحظ أن N / n هو ببساطة متوسط ​​عدد المحاولات لكل تجربة. هذا ما نعنيه بـ "التوقع". متوسط ​​عدد الفشل لكل تجربة هو N / n − r = r / p − r = r (1 − p )/ p . وهذا يتوافق مع المتوسط ​​الوارد في المربع الموجود على الجانب الأيمن من هذه الصفحة.

يمكن إجراء اشتقاق دقيق من خلال تمثيل التوزيع ذي الحدين السالب كمجموع أوقات الانتظار. لنفترض${\displaystyle X_{r}\sim \operatorname {NB} (r,p)}$مع الاتفاقية${\displaystyle X}$يمثل عدد حالات الفشل التي لوحظت من قبل${\displaystyle r}$النجاحات باحتمالية نجاحها${\displaystyle p}$ودع${\displaystyle Y_{i}\sim \mathrm {Geom} (p)}$أين${\displaystyle Y_{i}}$يمثل عدد مرات الفشل قبل تحقيق النجاح. يمكننا أن نفكر في${\displaystyle Y_{i}}$باعتباره وقت الانتظار (عدد حالات الفشل) بين${\displaystyle i}$و${\displaystyle (i-1)}$النجاح. وهكذا $${\displaystyle X_{r}=Y_{1}+Y_{2}+\cdots +Y_{r}.}$$ المتوسط ​​هو $${\displaystyle \operatorname {E} [X_{r}]=\operatorname {E} [Y_{1}]+\operatorname {E} [Y_{2}]+\cdots +\operatorname {E} [Y_{r}]={\frac {r(1-p)}{p}},}$$ وهذا يترتب على حقيقة${\displaystyle \operatorname {E} [Y_{i}]=(1-p)/p}$.

عند حساب عدد حالات الفشل قبل النجاح رقم r ، يكون التباين r (1 − p )/ p ^2. وعند حساب عدد حالات النجاح قبل الفشل رقم r ، كما في الصيغة البديلة (3) أعلاه، يكون التباين rp /(1 − p ) ² .  

لنفترض أن Y متغير عشوائي ذو توزيع ذي الحدين بمعاملات n و p . بافتراض أن p + q = 1 ، حيث p و q ≥ 0 ، فإن

$${\displaystyle 1=1^{n}=(p+q)^{n}.}$$

باستخدام نظرية نيوتن ذات الحدين ، يمكن كتابة ذلك بنفس الطريقة على النحو التالي:

$${\displaystyle (p+q)^{n}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {n}{k}}p^{k}q^{n-k},}$$

حيث يكون الحد الأعلى للمجموع لانهائيًا. في هذه الحالة، يكون معامل ذات الحدين

$${\displaystyle {\binom {n}{k}}={n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1) \over k!}.}$$

تُعرَّف الدالة عندما يكون n عددًا حقيقيًا، بدلًا من كونه عددًا صحيحًا موجبًا فقط . ولكن في حالة التوزيع ذي الحدين، تكون الدالة صفرًا عندما يكون k > n . يمكننا حينها أن نقول، على سبيل المثال

$${\displaystyle (p+q)^{8.3}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {8.3}{k}}p^{k}q^{8.3-k}.}$$

لنفترض الآن أن r > 0 ونستخدم أسًا سالبًا:

$${\displaystyle 1=p^{r}\cdot p^{-r}=p^{r}(1-q)^{-r}=p^{r}\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {-r}{k}}(-q)^{k}.}$$

إذن جميع الحدود موجبة، والحد

$${\displaystyle p^{r}{\binom {-r}{k}}(-q)^{k}={\binom {k+r-1}{k}}p^{r}q^{k}}$$

هي ببساطة احتمال أن يكون عدد حالات الفشل قبل النجاح رقم r مساويًا لـ k ، بشرط أن يكون r عددًا صحيحًا. (إذا كان r عددًا غير صحيح سالبًا، بحيث يكون الأس عددًا غير صحيح موجبًا، فإن بعض حدود المجموع أعلاه ستكون سالبة، وبالتالي لن يكون لدينا توزيع احتمالي على مجموعة جميع الأعداد الصحيحة غير السالبة).

والآن نسمح أيضاً بقيم غير صحيحة لـ r .

تذكر مما سبق أن

إن مجموع المتغيرات العشوائية المستقلة ذات التوزيع الثنائي السالب r ₁ و r ₂ بنفس قيمة المعلمة p يكون ذا توزيع ثنائي سالب بنفس قيمة p ولكن بقيمة r تساوي r ₁ + r ₂ . 

تستمر هذه الخاصية عندما يتم تعميم التعريف بهذه الطريقة، وتوفر طريقة سريعة لرؤية أن التوزيع ذي الحدين السالب قابل للقسمة إلى ما لا نهاية .

تتحقق العلاقات التكرارية التالية :

بالنسبة لدالة الكتلة الاحتمالية $${\displaystyle {\begin{cases}(k+1)\Pr(X=k+1)-(1-p)\Pr(X=k)(k+r)=0,\\[5pt]\Pr(X=0)=(1-p)^{r}.\end{cases}}}$$

للحظات${\displaystyle m_{k}=\mathbb {E} (X^{k}),}$$${\displaystyle m_{k+1}=rPm_{k}+(P^{2}+P){dm_{k} \over dP},\quad P:=(1-p)/p,\quad m_{0}=1.}$$

بالنسبة للعوامل التراكمية $${\displaystyle \kappa _{k+1}=(Q-1)Q{d\kappa _{k} \over dQ},\quad Q:=1/p,\quad \kappa _{1}=r(Q-1).}$$

لنفترض سلسلة من المتغيرات العشوائية ذات التوزيع الثنائي السالب، حيث يؤول معامل التوقف r إلى اللانهاية، بينما يؤول احتمال النجاح p في كل محاولة إلى الواحد، بحيث يبقى متوسط ​​التوزيع (أي العدد المتوقع للفشل) ثابتًا. إذا رمزنا لهذا المتوسط ​​بـ λ ، فإن قيمة المعامل p ستكون p = r / ( r + λ ).$${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Mean:}}\quad &\lambda ={\frac {(1-p)r}{p}}\quad \Rightarrow \quad p={\frac {r}{r+\lambda }},\\{\text{Variance:}}\quad &\lambda \left(1+{\frac {\lambda }{r}}\right)>\lambda ,\quad {\text{thus always overdispersed}}.\end{aligned}}}$$

في ظل هذه المعلمة، ستكون دالة الكتلة الاحتمالية $${\displaystyle f(k;r,p)={\frac {\Gamma (k+r)}{k!\cdot \Gamma (r)}}(1-p)^{k}p^{r}={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\cdot {\frac {\Gamma (r+k)}{\Gamma (r)\;(r+\lambda )^{k}}}\cdot {\frac {1}{\left(1+{\frac {\lambda }{r}}\right)^{r}}}}$$

الآن إذا اعتبرنا النهاية عندما r → ∞ ، فإن العامل الثاني سيتقارب إلى واحد، والثالث إلى دالة الأس: $${\displaystyle \lim _{r\to \infty }f(k;r,p)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\cdot 1\cdot {\frac {1}{e^{\lambda }}},}$$ وهي دالة الكتلة لمتغير عشوائي موزع وفقًا لتوزيع بواسون بقيمة متوقعة λ . 

بمعنى آخر، يتقارب التوزيع ذو الحدين السالب ذو المعاملات البديلة مع توزيع بواسون، ويتحكم r في الانحراف عن توزيع بواسون. وهذا ما يجعل التوزيع ذو الحدين السالب بديلاً مناسباً وقوياً لتوزيع بواسون، الذي يقترب من توزيع بواسون عند قيم r الكبيرة ، ولكنه يتميز بتباين أكبر من توزيع بواسون عند قيم r الصغيرة . $${\displaystyle \operatorname {Poisson} (\lambda )=\lim _{r\to \infty }\operatorname {NB} \left(r,{\frac {r}{r+\lambda }}\right).}$$

ينشأ التوزيع ذو الحدين السالب أيضًا كمزيج متصل من توزيعات بواسون (أي توزيع احتمالي مركب )، حيث يكون توزيع مزيج معدل بواسون هو توزيع غاما . بمعنى آخر، يمكننا اعتبار التوزيع ذو الحدين السالب توزيع بواسون ( λ ) ، حيث λ متغير عشوائي، موزع كتوزيع غاما ذي شكل r ومقياس θ = (1 − p )/ p أو معدل β = p /(1 − p ) .

لتوضيح الفكرة الكامنة وراء هذه العبارة، لنفترض وجود عمليتين مستقلتين من نوع بواسون، "نجاح" و"فشل"، بكثافتين p و 1 − p . تُكافئ عمليتا النجاح والفشل معًا عملية بواسون واحدة بكثافتين 1، حيث يُعتبر حدوث العملية نجاحًا إذا أسفرت رمية عملة مستقلة مقابلة عن ظهور صورة باحتمالية p ؛ وإلا، يُعتبر فشلًا. إذا كان r عددًا صحيحًا، فإن رميات العملة تُظهر أن عدد النجاحات قبل الفشل رقم r يتبع توزيعًا ثنائيًا سالبًا بمعاملات r و 1 − p . ومع ذلك، فإن هذا العدد هو أيضًا عدد عمليات بواسون للنجاح عند الزمن العشوائي T لحدوث الفشل رقم r في عملية بواسون للفشل. يتبع عدد مرات النجاح توزيع بواسون بمتوسط ​​pT ، حيث T هو زمن الانتظار لـ r من مرات الحدوث في عملية بواسون بكثافة 1 − p ، أي أن T يتبع توزيع جاما بمعامل شكل r وكثافة 1 − p . وبالتالي، فإن التوزيع ذو الحدين السالب يُكافئ توزيع بواسون بمتوسط ​​pT ، حيث يتبع المتغير العشوائي T توزيع جاما بمعامل شكل r وكثافة (1 − p ) . ويتبع ما سبق، لأن λ = pT يتبع توزيع جاما بمعامل شكل r وكثافة (1 − p )/ p .

يؤكد الاشتقاق الرسمي التالي (الذي لا يعتمد على كون r عددًا للعد) الحدس.

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }f_{\operatorname {Poisson} (\lambda )}(k)\times f_{\operatorname {Gamma} \left(r,\,{\frac {p}{1-p}}\right)}(\lambda )\,\mathrm {d} \lambda \\[8pt]={}&\int _{0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }\times {\frac {1}{\Gamma (r)}}\left({\frac {p}{1-p}}\lambda \right)^{r-1}e^{-{\frac {p}{1-p}}\lambda }\,\left({\frac {p}{1-p}}\,\right)\mathrm {d} \lambda \\[8pt]={}&\left({\frac {p}{1-p}}\right)^{r}{\frac {1}{k!\,\Gamma (r)}}\int _{0}^{\infty }\lambda ^{r+k-1}e^{-\lambda {\frac {p+1-p}{1-p}}}\;\mathrm {d} \lambda \\[8pt]={}&\left({\frac {p}{1-p}}\right)^{r}{\frac {1}{k!\,\Gamma (r)}}\Gamma (r+k)(1-p)^{k+r}\int _{0}^{\infty }f_{\operatorname {Gamma} \left(k+r,{\frac {1}{1-p}}\right)}(\lambda )\;\mathrm {d} \lambda \\[8pt]={}&{\frac {\Gamma (r+k)}{k!\;\Gamma (r)}}\;(1-p)^{k}\,p^{r}\\[8pt]={}&f(k;r,p).\end{aligned}}}$$

ولهذا السبب، يُعرف التوزيع ذو الحدين السالب أيضًا باسم توزيع جاما-بواسون (المزيج) . وقد اشتُقّ التوزيع ذو الحدين السالب في الأصل كحالة حدية لتوزيع جاما-بواسون. ^{[ 20 ]}

إذا كان Y _{_r} متغيرًا عشوائيًا يتبع التوزيع ذي الحدين السالب بمعاملات r و p ، ويحمل المجال {0، 1، 2، ...} ، فإن Y _{_r} هو مجموع r متغيرات مستقلة تتبع التوزيع الهندسي (على المجال {0، 1، 2، ...} ) بمعامل p . ونتيجةً لنظرية النهاية المركزية ، فإن Y _{_r} (بعد تعديله وتغيير مقياسه بشكل مناسب) يكون توزيعًا طبيعيًا تقريبًا عندما تكون قيمة r كبيرة بما فيه الكفاية . 

علاوة على ذلك، إذا كان B _{s + r} متغيرًا عشوائيًا يتبع التوزيع ذي الحدين بمعاملات s + r و p ، فإن

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr(Y_{r}\leq s)&{}=1-I_{p}(s+1,r)\\[5pt]&{}=1-I_{p}((s+r)-(r-1),(r-1)+1)\\[5pt]&{}=1-\Pr(B_{s+r}\leq r-1)\\[5pt]&{}=\Pr(B_{s+r}\geq r)\\[5pt]&{}=\Pr({\text{after }}s+r{\text{ trials, there are at least }}r{\text{ successes}}).\end{aligned}}}$$

وبهذا المعنى، فإن التوزيع ذو الحدين السالب هو "معكوس" التوزيع ذو الحدين.

إن مجموع المتغيرات العشوائية المستقلة ذات التوزيع الثنائي السالب r ₁ و r ₂ بنفس قيمة المعلمة p يكون ذا توزيع ثنائي سالب بنفس قيمة p ولكن بقيمة r تساوي r ₁ + r ₂ . 

التوزيع ذو الحدين السالب قابل للقسمة إلى ما لا نهاية ، أي إذا كان Y له توزيع ذو حدين سالب، فإنه لأي عدد صحيح موجب n ، توجد متغيرات عشوائية مستقلة ومتطابقة التوزيع Y ₁ ، ...، Y _n يكون مجموعها له نفس التوزيع الذي يمتلكه Y.

يمكن تمثيل التوزيع ذي الحدين السالب NB( r , p ) كتوزيع بواسون مركب : ليكن${\textstyle (Y_{n})_{n\,\in \,\mathbb {N} }}$لنرمز إلى سلسلة من المتغيرات العشوائية المستقلة والمتطابقة التوزيع ، كل منها له توزيع السلسلة اللوغاريتمية Log( p ) ، مع دالة الكتلة الاحتمالية

$${\displaystyle f(k;r,p)={\frac {-p^{k}}{k\ln(1-p)}},\qquad k\in {\mathbb {N} }.}$$

ليكن N متغيرًا عشوائيًا، مستقلًا عن المتتالية، ولنفترض أن N يتبع توزيع بواسون بمتوسط ​​λ = − r ln(1 − p ) . عندئذٍ يكون المجموع العشوائي

$${\displaystyle X=\sum _{n=1}^{N}Y_{n}}$$

يتبع التوزيع NB( r , p ) . لإثبات ذلك، نحسب دالة توليد الاحتمالات G_{_X} للمتغير العشوائي X ، وهي عبارة عن تركيب دالتي توليد الاحتمالات G _{_N} و G_{_Y} . باستخدام

$${\displaystyle G_{N}(z)=\exp(\lambda (z-1)),\qquad z\in \mathbb {R} ,}$$

و

$${\displaystyle G_{Y_{1}}(z)={\frac {\ln(1-pz)}{\ln(1-p)}},\qquad |z|<{\frac {1}{p}},}$$

نحصل على

$${\displaystyle {\begin{aligned}G_{X}(z)&=G_{N}(G_{Y_{1}}(z))\\[4pt]&=\exp \left[\lambda \left({\frac {\ln(1-pz)}{\ln(1-p)}}-1\right)\right]\\[1ex]&=\exp \left[-r\left(\ln(1-pz)-\ln(1-p)\right)\right]\\[1ex]&=\left({\frac {1-p}{1-pz}}\right)^{r},\qquad |z|<{\frac {1}{p}},\end{aligned}}}$$

وهي دالة توليد الاحتمالات لتوزيع NB( r , p ) . ويمكن كتابة هذا التعبير الأخير على النحو التالي :${\displaystyle C(1-pz)^{-r}}$لثابت C. وينعكس اسم "التوزيع ذي الحدين السالب" في هذا التوزيع ذيالحدين .${\displaystyle (1-pz)}$مع رفع حد سالب إلى قوة سالبة${\displaystyle -r}$⁠ .

يصف الجدول التالي أربعة توزيعات تتعلق بعدد النجاحات في سلسلة من عمليات السحب:

يُعد التوزيع ذو الحدين السالب، إلى جانب توزيعي بواسون وذو الحدين، أحد أفراد فئة التوزيعات ( أ ، ب ، ٠) . وتُعتبر هذه التوزيعات الثلاثة حالات خاصة من توزيع بانجر ، كما أنها تنتمي إلى عائلة التوزيعات الأسية الطبيعية .

ليكن k و r عددين صحيحين، حيث k عدد غير سالب و r عدد موجب. في سلسلة من تجارب برنولي المستقلة باحتمالية نجاح p ، يُعطي التوزيع ذو الحدين السالب احتمالية k نجاح و r فشل، مع حدوث فشل في التجربة الأخيرة. بالتالي، يُمثل التوزيع ذو الحدين السالب توزيع احتمالية عدد النجاحات قبل الفشل رقم r في عملية برنولي ، باحتمالية نجاح p في كل تجربة.

لنأخذ المثال التالي. لنفترض أننا نرمي نردًا بشكل متكرر، ونعتبر ظهور الرقم 1 فشلًا. احتمال النجاح في كل محاولة هو 5/6. عدد مرات النجاح قبل الفشل الثالث ينتمي إلى المجموعة اللانهائية {0، 1، 2، 3، ...} . هذا العدد من مرات النجاح هو متغير عشوائي ذو توزيع ثنائي سالب.

عندما r = 1 نحصل على التوزيع الاحتمالي لعدد النجاحات قبل الفشل الأول (أي احتمال حدوث الفشل الأول في المحاولة ( k + 1) )، وهو توزيع هندسي : $${\displaystyle f(k;r,p)=(1-p)\cdot p^{k}}$$

يمكن استخدام التوزيع ذي الحدين السالب، وخاصةً في صيغته البديلة الموضحة أعلاه، كبديل لتوزيع بواسون. وهو مفيدٌ بشكلٍ خاص للبيانات المنفصلة ضمن نطاق موجب غير محدود، حيث يتجاوز تباين العينة متوسطها . في مثل هذه الحالات، تكون المشاهدات مُشتتة بشكلٍ زائد مقارنةً بتوزيع بواسون، الذي يكون فيه المتوسط ​​مساويًا للتباين. لذا، فإن توزيع بواسون ليس نموذجًا مناسبًا. ولأن التوزيع ذي الحدين السالب يحتوي على مُعامل إضافي مقارنةً بتوزيع بواسون، يُمكن استخدام هذا المُعامل الثاني لضبط التباين بشكلٍ مستقل عن المتوسط. انظر: العزوم التراكمية لبعض التوزيعات الاحتمالية المنفصلة .

يُمكن تطبيق ذلك على الإحصاءات السنوية للأعاصير المدارية في شمال المحيط الأطلسي ، أو على الإحصاءات الشهرية إلى نصف السنوية للأعاصير خارج المدارية الشتوية فوق أوروبا، حيث يكون التباين أكبر من المتوسط. ^{[ 23 ] [ 24 ] [ 25 ]} في حالة التشتت الزائد المعتدل، قد يُنتج ذلك نتائج مشابهة إلى حد كبير لتوزيع بواسون ذي التشتت الزائد. ^{[ 26 ] [ 27 ]}

يُستخدم نموذج التوزيع ذي الحدين السالب على نطاق واسع في أبحاث علم البيئة والتنوع البيولوجي لتحليل بيانات العد، حيث يكون التشتت الزائد شائعًا جدًا. ويعود ذلك إلى أن التشتت الزائد يُشير إلى التجمع البيولوجي، مثل تكوّن عناقيد من الأنواع أو المجتمعات. وقد يؤدي تجاهل التشتت الزائد إلى تضخم كبير في معلمات النموذج، مما ينتج عنه استنتاجات إحصائية مضللة. ويعالج التوزيع ذو الحدين السالب مشكلة التشتت الزائد في العد بفعالية من خلال السماح للتباين بالتغير تربيعيًا مع المتوسط. ويتحكم مُعامل تشتت إضافي في ميل الحد التربيعي، مُحددًا بذلك شدة التشتت الزائد. وقد أثبتت علاقة المتوسط ​​بالتباين التربيعية في النموذج أنها نهج واقعي للتعامل مع التشتت الزائد، كما تدعم ذلك أدلة تجريبية من العديد من الدراسات. وبشكل عام، يُقدم نموذج التوزيع ذي الحدين السالب ميزتين جذابتين: (1) التفسير المُريح لمُعامل التشتت كمؤشر على التكتل أو التجمع، و(2) شكله المُبسط، الذي يتميز بصيغة مُغلقة لدالة كتلة الاحتمال. ^{[ 28 ]}

في علم الوراثة، يُستخدم التوزيع ذو الحدين السالب بشكل شائع لنمذجة البيانات على شكل تعدادات قراءات تسلسل منفصلة من تجارب تسلسل الحمض النووي الريبي (RNA) والحمض النووي (DNA) عالية الإنتاجية. ^{[ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]}

في علم أوبئة الأمراض المعدية، تم استخدام التوزيع ذي الحدين السالب كخيار أفضل من توزيع بواسون لنمذجة أعداد الإصابات الثانوية المتشتتة من حالة إصابة واحدة (أحداث الانتشار الفائق). ^{[ 33 ]}

يُعد التوزيع ذو الحدين السالب النموذج الإحصائي الأكثر فعالية لمجموعة واسعة من ملاحظات التعدد في تجارب تصادم الجسيمات ، على سبيل المثال،${\displaystyle p{\bar {p}},\ hh,\ hA,\ AA,\ e^{+}e^{-}}$^{[ 34 ] [ 35 ] [ 36 ] [ 37 ] [ 38 ]} (انظر ^{[ 39 ]} للاطلاع على نظرة عامة)، ويُزعم أنهاثابتة للمقياسللمادة، ^{[ 40 ] [ 41 ]} مما يوفر أفضل تطابق للملاحظات الفلكية، حيث تتنبأ بعدد المجرات في منطقة من الفضاء. ^{[ 42 ] [ 43 ] [ 44 ] [ 45 ]} ظل التبرير الظاهري لفعالية توزيع ذي الحدين السالب في هذه السياقات مجهولًا لمدة خمسين عامًا، منذ أول ملاحظة له في عام 1973. ^{[ 46 ]} في عام 2023، قدم سكوت ف. تيزلاف برهانًا منالمبادئ الأساسية، حيث أظهر أن توزيع ذي الحدين السالب ينشأ منالتناظراتفيالمعادلات الديناميكيةلمجموعةقانونيةمن الجسيمات فيفضاء مينكوفسكي. ^{[ 47 ]} تقريبًا، بالنظر إلى العدد المتوقع من التجارب${\displaystyle \langle n\rangle }$والعدد المتوقع للنجاحات${\displaystyle \langle r\rangle }$، أين

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle {\mathcal {n}}\rangle -\langle r\rangle &=k,&\langle p\rangle &={\frac {\langle r\rangle }{\langle {\mathcal {n}}\rangle }}\\[1ex]\implies \langle {\mathcal {n}}\rangle &={\frac {k}{1-\langle p\rangle }},&\langle {r}\rangle &={\frac {k\langle p\rangle }{1-\langle p\rangle }},\end{aligned}}}$$

يمكن تحديد مجموعة متماثلة من المعادلات بمعاملات كثافة التيار النسبي لمجموعة نموذجية من الجسيمات الضخمة، عبر

$${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}\left\langle \rho ^{2}\right\rangle -\left\langle j^{2}\right\rangle &=c^{2}\rho _{0}^{2},&\left\langle \beta _{v}^{2}\right\rangle &={\frac {\left\langle j^{2}\right\rangle }{c^{2}\langle \rho ^{2}\rangle }}\\[1ex]\implies c^{2}\left\langle \rho ^{2}\right\rangle &={\frac {c^{2}\rho _{0}^{2}}{1-\left\langle \beta _{v}^{2}\right\rangle }},&\left\langle j^{2}\right\rangle &={\frac {c^{2}\rho _{0}^{2}\left\langle \beta _{v}^{2}\right\rangle }{1-\left\langle \beta _{v}^{2}\right\rangle }},\end{aligned}}}$$

أين${\displaystyle \rho _{0}}$هي الكثافة المتبقية ،${\displaystyle \langle \rho ^{2}\rangle }$هي متوسط ​​الكثافة التربيعية النسبية،${\displaystyle \langle j^{2}\rangle }$هي متوسط ​​كثافة التيار التربيعي النسبي، و${\displaystyle \langle \beta _{v}^{2}\rangle =\langle v^{2}\rangle /c^{2}}$، أين${\displaystyle \langle v^{2}\rangle }$يمثل متوسط ​​مربع سرعة مجموعة الجسيمات و${\displaystyle c}$هي سرعة الضوء — بحيث يمكن للمرء أن يثبت الخريطة التقابلية التالية :

$${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}\rho _{0}^{2}&\mapsto k,&\langle \beta _{v}^{2}\rangle &\mapsto \langle p\rangle ,\\[1ex]c^{2}\langle \rho ^{2}\rangle &\mapsto \langle {\mathcal {n}}\rangle ,&\langle j^{2}\rangle &\mapsto \langle r\rangle .\end{aligned}}}$$

كما تم إثبات برهان بديل صارم للتوافق المذكور أعلاه من خلال ميكانيكا الكم عبر تكامل مسار فاينمان . ^{[ 47 ]}