التشتت الزائد

يُلاحظ التشتت الزائد غالبًا عند ملاءمة النماذج البارامترية البسيطة جدًا، مثل تلك القائمة على توزيع بواسون . يحتوي توزيع بواسون على مُعامل حر واحد، ولا يسمح بتعديل التباين بشكل مستقل عن المتوسط. غالبًا ما يُحدد اختيار التوزيع من عائلة بواسون طبيعة البيانات التجريبية. على سبيل المثال، يُستخدم تحليل انحدار بواسون عادةً لنمذجة بيانات العد . إذا كان التشتت الزائد سمةً بارزة، فقد يُوفر نموذج بديل ذو مُعاملات حرة إضافية ملاءمةً أفضل. في حالة بيانات العد، يُمكن اقتراح نموذج خليط بواسون، مثل توزيع ذي الحدين السالب ، حيث يُمكن اعتبار متوسط ​​توزيع بواسون نفسه متغيرًا عشوائيًا مُستمدًا - في هذه الحالة - من توزيع جاما، مما يُضيف مُعاملًا حرًا إضافيًا (لاحظ أن توزيع ذي الحدين السالب الناتج يتميز تمامًا بمُعاملين).

كمثال أكثر وضوحًا، لوحظ أن عدد المواليد الذكور في الأسر لا يتوافق بدقة مع التوزيع ذي الحدين كما هو متوقع. ^{[ 1 ]} بل يبدو أن نسب الجنس في الأسر تميل إما نحو الذكور أو الإناث (انظر، على سبيل المثال، فرضية تريفرز-ويلارد كأحد التفسيرات المحتملة)، أي أن هناك عددًا أكبر من الأسر التي تضم ذكورًا فقط، وعددًا أكبر من الأسر التي تضم إناثًا فقط، وعددًا أقل من الأسر التي تقترب من متوسط ​​نسبة الذكور إلى الإناث في المجتمع (51:49) مما هو متوقع من التوزيع ذي الحدين، وبالتالي فإن التباين التجريبي الناتج أكبر مما يحدده نموذج ذي الحدين.

في هذه الحالة، يُعدّ توزيع بيتا-ذو الحدين نموذجًا بديلًا شائعًا وسهل التحليل لتوزيع ذي الحدين، نظرًا لملاءمته الأفضل للبيانات المرصودة. ^{[ 2 ]} ولتجسيد تباين الأسر، يمكن اعتبار مُعامل الاحتمالية في نموذج ذي الحدين (مثلًا، احتمال أن يكون الفرد ذكرًا) متغيرًا عشوائيًا (أي نموذج التأثيرات العشوائية ) يُسحب لكل أسرة من توزيع بيتا باعتباره توزيع المزج. ويحتوي التوزيع المركب الناتج (بيتا-ذو الحدين) على مُعامل حر إضافي.

نموذج شائع آخر للتشتت الزائد - عندما لا تتبع بعض المشاهدات توزيع برنولي - ينشأ من إدخال متغير عشوائي طبيعي في نموذج لوجستي . تتوفر برامج حاسوبية على نطاق واسع لتركيب هذا النوع من النماذج متعددة المستويات . في هذه الحالة، إذا كان تباين المتغير الطبيعي يساوي صفرًا، فإن النموذج يختزل إلى الانحدار اللوجستي القياسي (غير المشتت) . يحتوي هذا النموذج على مُعامل حر إضافي، وهو تباين المتغير الطبيعي.

فيما يتعلق بالمتغيرات العشوائية ذات الحدين، فإن مفهوم التشتت الزائد يكون منطقياً فقط إذا كان n>1 (أي أن التشتت الزائد غير منطقي بالنسبة للمتغيرات العشوائية برنولي).

بما أن التوزيع الطبيعي (الغاوسي) يتضمن التباين كمعامل، فإنه يمكن نمذجة أي بيانات ذات تباين محدود (بما في ذلك أي بيانات محدودة) باستخدام توزيع طبيعي بنفس التباين - فالتوزيع الطبيعي نموذج ذو معلَمين، هما المتوسط ​​والتباين. وبالتالي، في غياب نموذج أساسي، لا يوجد مفهوم لتشتت البيانات الزائد مقارنةً بالنموذج الطبيعي، على الرغم من أن المطابقة قد تكون ضعيفة في جوانب أخرى (مثل العزوم العليا للالتواء والتفرطح ، إلخ). مع ذلك، في حالة نمذجة البيانات بتوزيع طبيعي ذي تباين متوقع، فقد تكون البيانات متشتتة بشكل زائد أو ناقص مقارنةً بهذا التوقع.

على سبيل المثال، في الدراسات الإحصائية ، يُحدد هامش الخطأ (المُحدد بحجم العينة) خطأ المعاينة ، وبالتالي تشتت النتائج في الدراسات المتكررة. عند إجراء تحليل تجميعي لنتائج دراسات متكررة على مجتمع ثابت (بحجم عينة مُحدد، بحيث يكون هامش الخطأ ثابتًا)، يُتوقع أن تتبع النتائج التوزيع الطبيعي بانحراف معياري يساوي هامش الخطأ. مع ذلك، في حال وجود تباين بين الدراسات، حيث تختلف تحيزات المعاينة ، يكون التوزيع مُركبًا ، ويكون مُفرطًا في التشتت مقارنةً بالتوزيع المُتوقع. على سبيل المثال، عند إجراء استطلاعات رأي متكررة بهامش خطأ 3%، إذا أجرتها مؤسسات استطلاع رأي مختلفة، يُتوقع أن يكون الانحراف المعياري للنتائج أكبر من 3%، نتيجةً لتحيز مُجري الاستطلاع الناتج عن اختلاف المنهجيات.