نموذج التأثيرات العشوائية

الموسوعة الحرة

في علم الاقتصاد القياسي ، يُعرف نموذج التأثيرات العشوائية ، أو نموذج مكونات التباين ، بأنه نموذج إحصائي تكون فيه تأثيرات النموذج عبارة عن متغيرات عشوائية . وهو نوع من النماذج الخطية الهرمية ، التي تفترض أن البيانات قيد التحليل مستمدة من تسلسل هرمي لمجموعات سكانية مختلفة، وترتبط اختلافاتهم بهذا التسلسل الهرمي. ويُعد نموذج التأثيرات العشوائية حالة خاصة من النموذج المختلط .

قارن هذا بتعريفات الإحصاء الحيوي ، [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] حيث يستخدم الإحصائيون الحيويون التأثيرات "الثابتة" و"العشوائية" للإشارة على التوالي إلى متوسط ​​السكان والتأثيرات الخاصة بالموضوع (وحيث يُفترض عمومًا أن الأخيرة غير معروفة، متغيرات كامنة ).

الوصف النوعي

تساعد نماذج التأثيرات العشوائية في ضبط التباين غير الملحوظ عندما يكون هذا التباين ثابتًا بمرور الوقت وغير مرتبط بالمتغيرات المستقلة. [ 6 ] يمكن افتراض فرضيتين شائعتين حول التأثير الفردي المحدد: فرضية التأثيرات العشوائية وفرضية التأثيرات الثابتة. تنص فرضية التأثيرات العشوائية على أن التباين الفردي غير الملحوظ غير مرتبط بالمتغيرات المستقلة. أما فرضية التأثيرات الثابتة فتنص على أن التأثير الفردي المحدد قد يكون مرتبطًا بالمتغيرات المستقلة. [ 6 ]

إذا كان افتراض التأثيرات العشوائية صحيحًا، فإن مقدر التأثيرات العشوائية يكون أكثر كفاءة من نموذج التأثيرات الثابتة.

مثال بسيط

يفترضم{\displaystyle m}يتم اختيار المدارس الابتدائية الكبيرة عشوائيًا من بين آلاف المدارس في بلد كبير. لنفترض أيضًا أنن{\displaystyle n}يتم اختيار التلاميذ من نفس العمر عشوائيًا في كل مدرسة مختارة. ويتم تحديد درجاتهم في اختبار الكفاءة القياسي.Yأناج{\displaystyle Y_{ij}}كن نتيجةج{\displaystyle j}التلميذ رقم - فيأنا{\displaystyle i}المدرسة رقم -th.

إحدى الطرق البسيطة لنمذجة هذا المتغير هي

Yأناج=μ+يوأنا+دبليوأناج،{\displaystyle Y_{ij}=\mu +U_{i}+W_{ij},\,}

أينμ{\displaystyle \mu }هو متوسط ​​درجة الاختبار لجميع السكان.

في هذا النموذجيوأنا{\displaystyle U_{i}}وهو التأثير العشوائي الخاص بالمدرسة : يقيس الفرق بين متوسط ​​الدرجات في المدرسةأنا{\displaystyle i}ومتوسط ​​الدرجات في جميع أنحاء البلاد. المصطلحدبليوأناج{\displaystyle W_{ij}}هو التأثير العشوائي الخاص بالفرد، أي أنه انحرافج{\displaystyle j}درجة الطالب رقم - من المتوسط ​​لـأنا{\displaystyle i}المدرسة رقم -th.

يمكن تحسين النموذج بإضافة متغيرات تفسيرية إضافية، والتي من شأنها أن توضح الاختلافات في الدرجات بين المجموعات المختلفة. على سبيل المثال:

Yأناج=μ+β1Sهـxأناج+β2Pأرهـنتsهـدuجأناج+يوأنا+دبليوأناج،{\displaystyle Y_{ij}=\mu +\beta _{1}\mathrm {Sex} _{ij}+\beta _{2}\mathrm {ParentsEduc} _{ij}+U_{i}+W_{ij},\,}

أينSهـxأناج{\displaystyle \mathrm {الجنس} _{ij}}هو متغير ثنائي وهمي وPأرهـنتsهـدuجأناج{\displaystyle \mathrm {ParentsEduc} _{ij}}على سبيل المثال، يتم تسجيل متوسط ​​المستوى التعليمي لوالدي الطفل. هذا نموذج مختلط ، وليس نموذج تأثيرات عشوائية بحتة، لأنه يُدخل متغيرات التأثيرات الثابتة للجنس ومستوى تعليم الوالدين.

مكونات التباين

تباينYأناج{\displaystyle Y_{ij}}هو مجموع التبايناتτ2{\displaystyle \tau ^{2}}وσ2{\displaystyle \sigma ^{2}}ليوأنا{\displaystyle U_{i}}ودبليوأناج{\displaystyle W_{ij}}على التوالى.

يترك

Y¯أنا∙=1ن∑ج=1نYأناج{\displaystyle {\overline {Y}}_{i\bullet }={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}Y_{ij}}

يجب أن يكون المتوسط، وليس متوسط ​​جميع الدرجات فيأنا{\displaystyle i}المدرسة رقم -th، ولكن من بين أولئك الذين فيأنا{\displaystyle i}المدرسة رقم - التي تم تضمينها في العينة العشوائية . لنفترض

Y¯∙∙=1من∑أنا=1م∑ج=1نYأناج{\displaystyle {\overline {Y}}_{\bullet \bullet }={\frac {1}{mn}}\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}Y_{ij}}

أن يكون المتوسط ​​العام .

يترك

SSدبليو=∑أنا=1م∑ج=1ن(Yأناج-Y¯أنا∙)2{\displaystyle SSW=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}(Y_{ij}-{\overline {Y}}_{i\bullet })^{2}\,}
SSب=ن∑أنا=1م(Y¯أنا∙-Y¯∙∙)2{\displaystyle SSB=n\sum _{i=1}^{m}({\overline {Y}}_{i\bullet }-{\overline {Y}}_{\bullet \bullet })^{2}\,}

لنفترض أن مجموع مربعات الفروق داخل المجموعات ومجموع مربعات الفروق بين المجموعات على التوالي. عندئذٍ يمكن إثبات أن

1م(ن-1)هـ(SSدبليو)=σ2{\displaystyle {\frac {1}{m(n-1)}}E(SSW)=\sigma ^{2}}

و

1(م-1)نهـ(SSب)=σ2ن+τ2.{\displaystyle {\frac {1}{(m-1)n}}E(SSB)={\frac {\sigma ^{2}}{n}}+\tau ^{2}.}

يمكن استخدام هذه " المربعات المتوسطة المتوقعة " كأساس لتقدير "مكونات التباين".σ2{\displaystyle \sigma ^{2}}وτ2{\displaystyle \tau ^{2}}.

الσ2{\displaystyle \sigma ^{2}}يُطلق على هذا المعامل أيضًا اسم معامل الارتباط داخل الفئة .

الاحتمالية الهامشية

بالنسبة لنماذج التأثيرات العشوائية، فإن الاحتمالات الهامشية مهمة. [ 7 ]

التطبيقات

تشمل نماذج التأثيرات العشوائية المستخدمة في الممارسة العملية نموذج بوهلمان لعقود التأمين ونموذج فاي-هيريوت المستخدم لتقدير المناطق الصغيرة .

انظر أيضاً

للمزيد من القراءة

مراجع

  1. ^ ديجل ، بيتر ج. هيجرتي، باتريك؛ ليانغ، كونغ يي؛ زيجر، سكوت ل. (2002). تحليل البيانات الطولية ( الطبعة الثانية). مطبعة جامعة أكسفورد. ص 169 – 171. رقم ISBN   0-19-852484-6.
  2. ↑ فيتزموريس، غاريت م.؛ ليرد، نان م.؛ وير، جيمس هـ. (2004). التحليل الطولي التطبيقي . هوبوكين: جون وايلي وأولاده. ص 326-328 . ISBN  0-471-21487-6.
  3. ↑ ليرد، نان م.؛ وير، جيمس هـ . (1982). "نماذج التأثيرات العشوائية للبيانات الطولية". القياسات الحيوية . 38 (4): 963-974 . doi : 10.2307/2529876 . JSTOR 2529876. PMID 7168798 .  
  4. ↑ غاردينر، جوزيف سي؛ لو، زيهوي؛ رومان، لي آن (2009). "التأثيرات الثابتة، والتأثيرات العشوائية، ونموذج المعادلات التقديرية المعممة: ما هي الاختلافات؟". الإحصاء في الطب . 28 (2): 221-239 . doi : 10.1002/sim.3478 . PMID 19012297 . 
  5. ↑ غوميز، ديلان جي إي (20 يناير 2022). "هل أستخدم التأثيرات الثابتة أم التأثيرات العشوائية عندما يكون لدي أقل من خمسة مستويات لعامل التجميع في نموذج التأثيرات المختلطة؟" . PeerJ . 10 e12794 . doi : 10.7717/peerj.12794 . PMC 8784019. PMID 35116198 .  
  6. 1 2 وولدريدج، جيفري (2010). التحليل الاقتصادي القياسي لبيانات المقاطع العرضية وبيانات اللوحات ( الطبعة الثانية). كامبريدج، ماساتشوستس: مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. ص 252. ISBN   978-0-262-23258-6. OCLC 627701062 . 
  7. ↑ هيديكر، د.، وجيبونز، ر. د. (2006). تحليل البيانات الطولية. ألمانيا: وايلي. صفحة 163. https://books.google.com/books?id=f9p9iIgzQSQC&pg=PA163