التباين الشرطي

الموسوعة الحرة

في نظرية الاحتمالات والإحصاء ، يُعرف التباين الشرطي بأنه تباين متغير عشوائي بمعلومية قيمة متغير واحد أو أكثر. ويُعرف التباين الشرطي، تحديدًا في الاقتصاد القياسي، بدالة التباين المتباين أو دالة التباين المتباين . [ 1 ] وتُعدّ التباينات الشرطية عناصر أساسية في نماذج الانحدار الذاتي الشرطي غير المتجانس (ARCH).

تعريف

التباين الشرطي لمتغير عشوائي Y بمعلومية متغير عشوائي آخر X هو

متغير⁡(Y|X)=هـ⁡((Y-هـ⁡(Y|X))2|X).{\displaystyle \operatorname {Var} (Y\mid X)=\operatorname {E} {\Big (}{\big (}Y-\operatorname {E} (Y\mid X){\big )}^{2}\;{\Big |}\;X{\Big )}.}

يخبرنا التباين الشرطي بمقدار التباين المتبقي إذا استخدمناهـ⁡(Y|X){\displaystyle \operatorname {E} (Y\mid X)}للتنبؤ بـ Y. هنا، كالعادة،هـ⁡(Y|X){\displaystyle \operatorname {E} (Y\mid X)}يرمز إلى التوقع الشرطي لـ Y بمعلومية X ، والذي قد نتذكر أنه متغير عشوائي بحد ذاته (دالة لـ X ، محددة حتى الاحتمال واحد). ونتيجة لذلك،متغير⁡(Y|X){\displaystyle \operatorname {Var} (Y\mid X)}هو نفسه متغير عشوائي (وهو دالة لـ X ).

شرح، علاقة ذلك بطريقة المربعات الصغرى

تذكر أن التباين هو مربع الانحراف المتوقع بين متغير عشوائي (مثلاً Y ) وقيمته المتوقعة. يمكن اعتبار القيمة المتوقعة بمثابة تنبؤ معقول بنتائج التجربة العشوائية (على وجه الخصوص، تُعد القيمة المتوقعة أفضل تنبؤ ثابت عند تقييم التنبؤات بناءً على مربع خطأ التنبؤ المتوقع). وبالتالي، فإن أحد تفسيرات التباين هو أنه يُعطي أصغر خطأ تنبؤ متوقع ممكن. إذا كانت لدينا معرفة بمتغير عشوائي آخر ( X ) يمكننا استخدامه للتنبؤ بـ Y ، فيمكننا استخدام هذه المعرفة لتقليل مربع الخطأ المتوقع. في الواقع، أفضل تنبؤ لـ Y بمعلومية X هو التوقع الشرطي. على وجه الخصوص، لأيو:R→R{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }قابل للقياس،

هـ⁡[(Y-و(X))2]=هـ⁡[(Y-هـ⁡(Y|X)+هـ⁡(Y|X)-و(X))2]=هـ⁡[هـ⁡{(Y-هـ⁡(Y|X)+هـ⁡(Y|X)-و(X))2|X}]=هـ⁡[متغير⁡(Y|X)]+هـ⁡[(هـ⁡(Y|X)-و(X))2].{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [(Yf(X))^{2}]&=\operatorname {E} [(Y-\operatorname {E} (Y|X)\,\,+\,\,\operatorname {E} (Y|X)-f(X))^{2}]\\&=\operatorname {E} [\operatorname {E} \{(Y-\operatorname {E} (Y|X)\,\,+\,\,\operatorname {E} (Y|X)-f(X))^{2}|X\}]\\&=\operatorname {E} [\operatorname {Var} (Y|X)]+\operatorname {E} [(\operatorname {E} (Y|X)-f(X))^{2}]\,.\end{aligned}}}

عن طريق الاختيارو(X)=هـ⁡(Y|X){\displaystyle f(X)=\operatorname {E} (Y|X)}يصبح الحد الثاني غير السالب صفرًا، مما يُثبت صحة الادعاء. هنا، استُخدم قانون التوقع الكلي في المساواة الثانية . كما نلاحظ أن التباين الشرطي المتوقع لـ Y بمعلومية X يظهر كخطأ غير قابل للاختزال في التنبؤ بـ Y بمعرفة X فقط .

حالات خاصة، اختلافات

التكييف على المتغيرات العشوائية المنفصلة

عندما تأخذ X عددًا كبيرًا من القيم القابلة للعدS={x1،x2،...}{\displaystyle S=\{x_{1},x_{2},\dots \}}باحتمالية موجبة، أي أنه متغير عشوائي منفصل ، يمكننا إدخالمتغير⁡(Y|X=x){\displaystyle \operatorname {Var} (Y|X=x)}، التباين الشرطي لـ Y بشرط أن X=x لأي x من S كما يلي:

متغير⁡(Y|X=x)=هـ⁡((Y-هـ⁡(Y|X=x))2|X=x)=هـ⁡(Y2|X=x)-هـ⁡(Y|X=x)2،{\displaystyle \operatorname {Var} (Y|X=x)=\operatorname {E} ((Y-\operatorname {E} (Y\mid X=x))^{2}\mid X=x)=\operatorname {E} (Y^{2}|X=x)-\operatorname {E} (Y|X=x)^{2},}

حيث تذكر ذلكهـ⁡(Z|X=x){\displaystyle \operatorname {E} (Z\mid X=x)}هو التوقع الشرطي لـ Z بشرط أن X=x ، وهو مُعرَّف جيدًا لـx∈S{\displaystyle x\in S}. تدوين بديل لـمتغير⁡(Y|X=x){\displaystyle \operatorname {Var} (Y|X=x)}يكونمتغيرY|X⁡(Y|x).{\displaystyle \operatorname {Var} _{Y\mid X}(Y|x).}

لاحظ ذلك هنامتغير⁡(Y|X=x){\displaystyle \operatorname {Var} (Y|X=x)}يُحدد ثابتًا للقيم الممكنة لـ x ، وعلى وجه الخصوص،متغير⁡(Y|X=x){\displaystyle \operatorname {Var} (Y|X=x)}، ليس متغيرًا عشوائيًا.

صلة هذا التعريف بـمتغير⁡(Y|X){\displaystyle \operatorname {Var} (Y|X)}كما يلي: ليكن S كما سبق، ولنعرّف الدالةv:S→R{\displaystyle v:S\to \mathbb {R} }مثلv(x)=متغير⁡(Y|X=x){\displaystyle v(x)=\operatorname {Var} (Y|X=x)}. ثم،v(X)=متغير⁡(Y|X){\displaystyle v(X)=\operatorname {Var} (Y|X)}من شبه المؤكد .

التعريف باستخدام التوزيعات الشرطية

يمكن أيضًا تعريف "التوقع الشرطي لـ Y بالنظر إلى X=x " بشكل أكثر عمومية باستخدام التوزيع الشرطي لـ Y بالنظر إلى X (هذا موجود في هذه الحالة، حيث أن كل من X و Y هنا لهما قيم حقيقية).

وعلى وجه الخصوص، السماح PY|X{\displaystyle P_{Y|X}} ليكن التوزيع الشرطي (المنتظم)PY|X{\displaystyle P_{Y|X}}من Y بمعلومية X ، أيPY|X:ب×R→[0،1]{\displaystyle P_{Y|X}:{\mathcal {B}}\times \mathbb {R} \to [0,1]}(القصد هو أنPY|X(يو،x)=P(Y∈يو|X=x){\displaystyle P_{Y|X}(U,x)=P(Y\in U|X=x)}بشكل شبه مؤكد على دعم X )، يمكننا تعريف

متغير⁡(Y|X=x)=∫(y-∫y′PY|X(دy′|x))2PY|X(دy|x).{\displaystyle \operatorname {Var} (Y|X=x)=\int \left(y-\int y'P_{Y|X}(dy'|x)\right)^{2}P_{Y|X}(dy|x).}

يمكن بالطبع تخصيص هذا عندما تكون Y منفصلة بحد ذاتها (استبدال التكاملات بالمجاميع)، وأيضًا عندما توجد الكثافة الشرطية لـ Y بالنظر إلى X=x بالنسبة لبعض التوزيعات الأساسية.

مكونات التباين

ينص قانون التباين الكلي على

متغير⁡(Y)=هـ⁡(متغير⁡(Y|X))+متغير⁡(هـ⁡(Y|X)).{\displaystyle \operatorname {Var} (Y)=\operatorname {E} (\operatorname {Var} (Y\mid X))+\operatorname {Var} (\operatorname {E} (Y\mid X)).}

بعبارة أخرى: تباين Y هو مجموع التباين الشرطي المتوقع لـ Y بمعلومية X وتباين القيمة المتوقعة الشرطية لـ Y بمعلومية X. يمثل الحد الأول التباين المتبقي بعد استخدام X للتنبؤ بـ Y ، بينما يمثل الحد الثاني التباين الناتج عن متوسط ​​التنبؤ بـ Y بسبب عشوائية X.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ سبانوس، أريس (1999). "الاشتراط والانحدار". نظرية الاحتمالات والاستدلال الإحصائي . نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج. ص  339-356 [ص 342]. ISBN 0-521-42408-9.

للمزيد من القراءة