نموذج مختلط

📅 آخر تحديث: ٣٠ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣٠ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 27 صور
الموسوعة الحرة

النموذج المختلط ، أو نموذج التأثيرات المختلطة ، أو نموذج مكونات الخطأ المختلط، هو نموذج إحصائي يحتوي على تأثيرات ثابتة وأخرى عشوائية . [ 1 ] [ 2 ] تُستخدم هذه النماذج في مجالات متنوعة ضمن العلوم الفيزيائية والبيولوجية والاجتماعية. وهي مفيدة بشكل خاص في الحالات التي تُجرى فيها قياسات متكررة على نفس الوحدات الإحصائية (انظر أيضًا الدراسة الطولية )، أو عند إجراء القياسات على مجموعات من الوحدات الإحصائية ذات الصلة. [ 2 ] غالبًا ما تُفضّل النماذج المختلطة على نماذج تحليل التباين التقليدية لأنها لا تعتمد على افتراض استقلالية الملاحظات. علاوة على ذلك، تتميز بمرونتها في التعامل مع القيم المفقودة والتباعد غير المنتظم للقياسات المتكررة. [ 3 ] يسمح تحليل النموذج المختلط بنمذجة القياسات بشكل صريح في نطاق أوسع من الارتباط والتباين المشترك ، مما يجنب هياكل التقديرات المتحيزة .

ستتناول هذه الصفحة بشكل أساسي نماذج التأثيرات المختلطة الخطية بدلاً من نماذج التأثيرات المختلطة الخطية المعممة أو نماذج التأثيرات المختلطة غير الخطية . [ 4 ]

الوصف النوعي

النماذج الخطية المختلطة (LMMs) هي نماذج إحصائية تُدمج التأثيرات الثابتة والعشوائية لتمثيل هياكل البيانات غير المستقلة بدقة. تُعدّ النماذج الخطية المختلطة بديلاً لتحليل التباين (ANOVA). غالباً ما يفترض تحليل التباين الاستقلال الإحصائي للملاحظات داخل كل مجموعة، إلا أن هذا الافتراض قد لا ينطبق على البيانات غير المستقلة، مثل البيانات متعددة المستويات/ الهرمية ، أو الطولية ، أو المترابطة .

المجموعات غير المستقلة هي تلك التي يعود فيها التباين بين النتائج إلى الارتباطات داخل المجموعات أو بينها. تُراعي النماذج المختلطة بشكل صحيح البنى المتداخلة /الهياكل الهرمية للبيانات، حيث تتأثر الملاحظات بارتباطاتها المتداخلة. على سبيل المثال، عند دراسة أساليب التعليم التي تشمل مدارس متعددة، توجد مستويات متعددة من المتغيرات التي يجب أخذها في الاعتبار. يشمل المستوى الفردي/المستوى الأدنى الطلاب أو المعلمين الأفراد داخل المدرسة. وتكون الملاحظات المُستقاة من هذا الطالب/المعلم متداخلة ضمن مدرسته. على سبيل المثال، الطالب (أ) هو وحدة داخل المدرسة (أ). المستوى الأعلى التالي هو المدرسة. في هذا المستوى، تحتوي المدرسة على العديد من الطلاب والمعلمين الأفراد. يؤثر مستوى المدرسة على الملاحظات المُستقاة من الطلاب والمعلمين. على سبيل المثال، المدرسة (أ) والمدرسة (ب) هما المستويان الأعلى، ولكل منهما مجموعتها الخاصة من الطالب (أ) والطالب (ب) على التوالي. يُمثل هذا مخطط بيانات هرمي. يتمثل أحد حلول نمذجة البيانات الهرمية في استخدام النماذج الخطية المختلطة.

تمثيل لكيفية كون البيانات المتعلقة بنظام التعليم غير مستقلة ومنظمة في مستويات متداخلة/هرمية.

تُمكّننا نماذج التأثيرات المختلطة الخطية (LMMs) من فهم التأثيرات المهمة بين المستويات وداخلها، مع تضمين تصحيحات الأخطاء المعيارية لعدم الاستقلالية المُدمجة في بنية البيانات. [ 4 ] [ 5 ] في المجالات التجريبية، مثل علم النفس الاجتماعي، وعلم اللغة النفسي، وعلم النفس المعرفي (وعلم الأعصاب)، حيث تتضمن الدراسات غالبًا متغيرات تجميع متعددة، قد يؤدي إغفال التأثيرات العشوائية إلى ارتفاع معدلات الخطأ من النوع الأول واستنتاجات غير موثوقة. [ 6 ] [ 7 ] على سبيل المثال، عند تحليل بيانات التجارب التي تشمل عينات من المشاركين وعينات من المحفزات (مثل الصور، والسيناريوهات، وما إلى ذلك)، فإن تجاهل التباين في أي من متغيرات التجميع هذه (مثل حساب المتوسط ​​عبر المحفزات) قد يؤدي إلى استنتاجات مضللة. في مثل هذه الحالات، يمكن للباحثين بدلاً من ذلك التعامل مع كل من المشاركين والمحفزات كتأثيرات عشوائية باستخدام نماذج التأثيرات المختلطة الخطية، وبذلك، يمكنهم تفسير التباين في بياناتهم بشكل صحيح عبر متغيرات التجميع المتعددة. وبالمثل، عند تحليل البيانات من الدراسات الاستقصائية الطولية المقارنة، فإن عدم تضمين التأثيرات العشوائية على جميع المستويات ذات الصلة - مثل البلد والبلد-السنة - يمكن أن يشوه النتائج بشكل كبير. [ 8 ]

التأثير الثابت

تُجسّد التأثيرات الثابتة الاتجاهات/الأنماط المتسقة على مستويات الاهتمام الأساسية. وتُعتبر هذه التأثيرات ثابتة لأنها غير عشوائية، ويُفترض ثباتها بالنسبة للمجتمع المدروس. [ 5 ] على سبيل المثال، عند دراسة التعليم، قد يُمثل التأثير الثابت تأثيرات شاملة على مستوى المدرسة، وهي تأثيرات متسقة بين جميع المدارس.

على الرغم من أن تسلسل البيانات يكون واضحًا عادةً، إلا أنه يجب تحديد التأثيرات الثابتة التي تؤثر على متوسط ​​استجابات جميع المشاركين. بعض معاملات التأثيرات الثابتة كافية دون الحاجة إلى تأثيرات عشوائية مقابلة، بينما تمثل معاملات ثابتة أخرى متوسطًا فقط حيث تكون الوحدات الفردية عشوائية. ويمكن تحديد هذه المعاملات من خلال دمج التقاطعات والميول العشوائية . [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]

في معظم الحالات، يتم النظر في العديد من النماذج ذات الصلة ويتم اعتماد النموذج الذي يمثل نموذجًا عالميًا على أفضل وجه.

التأثير العشوائي، ε

يُعدّ دمج التأثيرات العشوائية مع التأثيرات الثابتة عنصرًا أساسيًا في النموذج المختلط. غالبًا ما تُستخدم التأثيرات الثابتة لتمثيل النموذج الأساسي. في النماذج الخطية المختلطة، يكون الانحدار الحقيقي للمجتمع خطيًا، β. تُطبّق البيانات الثابتة على أعلى مستوى. تُدخل التأثيرات العشوائية تباينًا إحصائيًا على مستويات مختلفة من التسلسل الهرمي للبيانات. تُفسّر هذه التأثيرات مصادر التباين غير المقاسة التي تؤثر على مجموعات معينة في البيانات. على سبيل المثال، الاختلافات بين الطالب 1 والطالب 2 في نفس الصف، أو الاختلافات بين الصف 1 والصف 2 في نفس المدرسة. [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]

التاريخ والوضع الحالي

تمثيل البيانات المتحيزة مقابل البيانات غير المتحيزة والاختلافات بين التقديرات المناسبة باستخدام الانحدار الخطي المربعات الصغرى (LSR) والنموذج الخطي المختلط (LMM).

قدّم رونالد فيشر نماذج التأثيرات العشوائية لدراسة ارتباطات قيم الصفات بين الأقارب. [ 12 ] في خمسينيات القرن الماضي، قدّم تشارلز روي هندرسون أفضل تقديرات خطية غير متحيزة للتأثيرات الثابتة وأفضل تنبؤات خطية غير متحيزة للتأثيرات العشوائية. [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] لاحقًا، أصبح النمذجة المختلطة مجالًا رئيسيًا في البحث الإحصائي، بما في ذلك العمل على حساب تقديرات الاحتمال الأقصى، ونماذج التأثيرات المختلطة غير الخطية، والبيانات المفقودة في نماذج التأثيرات المختلطة، والتقدير البايزي لنماذج التأثيرات المختلطة. تُطبّق النماذج المختلطة في العديد من التخصصات حيث تُجرى قياسات متعددة مترابطة على كل وحدة ذات أهمية. وهي تُستخدم بشكل بارز في البحوث التي تشمل البشر والحيوانات في مجالات تتراوح من علم الوراثة إلى التسويق، كما استُخدمت أيضًا في رياضة البيسبول [ 17 ] والإحصاءات الصناعية. [ 18 ] وقد حسّن ارتباط النموذج الخطي المختلط من منع الارتباطات الإيجابية الكاذبة. تتسم التجمعات السكانية بترابطها الوثيق، ويصعب للغاية نمذجة بنية القرابة في ديناميكيات السكان دون استخدام النماذج المختلطة. مع ذلك، قد لا تكون النماذج الخطية المختلطة هي الحل الوحيد. إذ تفترض هذه النماذج ثبات التباين المتبقي ، وهو افتراض قد يُنتهك أحيانًا عند مراعاة السمات المستمرة والثنائية المرتبطة ارتباطًا وثيقًا . [ 19 ]

تعريف

في تدوين المصفوفات، يمكن تمثيل النموذج الخطي المختلط على النحو التالي:

y=Xβ+Zu+ϵ{\displaystyle {\boldsymbol {y}}=X{\boldsymbol {\beta}}+Z{\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {\epsilon }}}

أين

  • y{\displaystyle {\boldsymbol {y}}}هو متجه معروف من الملاحظات، بمتوسطهـ(y)=Xβ{\displaystyle E({\boldsymbol {y}})=X{\boldsymbol {\beta }}}؛
  • β{\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}هو متجه غير معروف للتأثيرات الثابتة؛
  • u{\displaystyle {\boldsymbol {u}}}هو متجه غير معروف من التأثيرات العشوائية، بمتوسطهـ(u)=0{\displaystyle E({\boldsymbol {u}})={\boldsymbol {0}}}ومصفوفة التباين والتباين المشتركمتغير⁡(u)=جي{\displaystyle \operatorname {var} ({\boldsymbol {u}})=G}؛
  • ϵ{\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}}هو متجه غير معروف من الأخطاء العشوائية، بمتوسطهـ(ϵ)=0{\displaystyle E({\boldsymbol {\epsilon }})={\boldsymbol {0}}}والتباينمتغير⁡(ϵ)=R{\displaystyle \operatorname {var} ({\boldsymbol {\epsilon }})=R}؛
  • X{\displaystyle X}هي مصفوفة التصميم المعروفة للتأثيرات الثابتة التي تربط الملاحظاتy{\displaystyle {\boldsymbol {y}}}لβ{\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}، على التوالى
  • Z{\displaystyle Z}هي مصفوفة التصميم المعروفة للتأثيرات العشوائية التي تربط الملاحظاتy{\displaystyle {\boldsymbol {y}}}لu{\displaystyle {\boldsymbol {u}}}، على التوالى.

على سبيل المثال، إذا كان بإمكان كل مشاهدة أن تنتمي إلى صفر أو أكثر من بين k فئة، فيمكن اختيار المصفوفة Z ، التي تحتوي على صف واحد لكل مشاهدة، لتضم k عمودًا، حيث تشير القيمة 1 لأي ​​عنصر في المصفوفة Z إلى أن المشاهدة تنتمي إلى فئة معينة، بينما تشير القيمة 0 إلى أنها لا تنتمي إليها. وبالتالي، فإن القيمة المستنتجة لـ u لفئة معينة هي نقطة تقاطع خاصة بتلك الفئة . أما إذا احتوت Z على أعمدة إضافية، حيث تمثل القيم غير الصفرية قيمة متغير مستقل للمشاهدة، فإن القيمة المستنتجة المقابلة لـ u هي ميل خاص بتلك الفئة لذلك المتغير المستقل. ويتم وصف التوزيع المسبق لنقاط التقاطع والميول الخاصة بالفئات بواسطة مصفوفة التغاير G.

تقدير

الكثافة المشتركة لـy{\displaystyle {\boldsymbol {y}}}وu{\displaystyle {\boldsymbol {u}}}يمكن كتابتها على النحو التالي:و(y،u)=و(y|u)و(u){\displaystyle f({\boldsymbol {y}},{\boldsymbol {u}})=f({\boldsymbol {y}}|{\boldsymbol {u}})\,f({\boldsymbol {u}})}بافتراض الوضع الطبيعي،u∼شمال(0،جي){\displaystyle {\boldsymbol {u}}\sim {\mathcal {N}}({\boldsymbol {0}},G)}،ϵ∼شمال(0،R){\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon}}\sim {\mathcal {N}}({\boldsymbol {0}},R)}وجov(u،ϵ)=0{\displaystyle \mathrm {Cov} ({\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {\epsilon }})={\boldsymbol {0}}}، وتحقيق أقصى كثافة مشتركة علىβ{\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}وu{\displaystyle {\boldsymbol {u}}}، يقدم معادلات النموذج المختلط لهندرسون (MME) للنماذج الخطية المختلطة: [ 13 ] [ 15 ] [ 20 ]

(X′R-1XX′R-1ZZ′R-1XZ′R-1Z+جي-1)(β^u^)=(X′R-1yZ′R-1y){\displaystyle {\begin{pmatrix}X'R^{-1}X&X'R^{-1}Z\\Z'R^{-1}X&Z'R^{-1}Z+G^{-1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\hat {\boldsymbol {\beta }}}\\{\hat {\boldsymbol {u}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}X'R^{-1}{\boldsymbol {y}}\\Z'R^{-1}{\boldsymbol {y}}\end{pmatrix}}}

حيث على سبيل المثال X ′ هي منقولة المصفوفة X و R −1 هي معكوس المصفوفة R.

صياغة أكثر إيجازًا لما سبق هي

([XZ]′R-1[XZ]+جي-1)[β^u^]′=[XZ]′R-1y{\displaystyle ([XZ]'R^{-1}[XZ]+G^{-1})[{\hat {\boldsymbol {\beta }}}{\hat {\boldsymbol {u}}}]'=[XZ]'R^{-1}{\boldsymbol {y}}}

أو مع[XZ]=دبليو{\displaystyle [XZ]=W}،

(دبليو′R-1دبليو+جي-1)[β^u^]′=دبليو′R-1y{\displaystyle (W'R^{-1}W+G^{-1})[{\hat {\boldsymbol {\beta }}}{\hat {\boldsymbol {u}}}]'=W'R^{-1}{\boldsymbol {y}}}

حيث تصبح G −1

(000جي-1){\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0\\0&G^{-1}\end{pmatrix}}}

حلول MME،β^{\displaystyle \textstyle {\hat {\boldsymbol {\beta }}}}وu^{\displaystyle \textstyle {\hat {\boldsymbol {u}}}}تُعد أفضل التقديرات والمتنبئات الخطية غير المتحيزة لـβ{\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}وu{\displaystyle {\boldsymbol {u}}}على التوالي. هذه نتيجة لنظرية غاوس-ماركوف عندما لا يكون التباين الشرطي للنتيجة قابلاً للقياس بالنسبة لمصفوفة الوحدة. عندما يكون التباين الشرطي معروفًا، فإن تقدير المربعات الصغرى الموزونة بالتباين العكسي هو أفضل تقدير خطي غير متحيز. ومع ذلك، نادرًا ما يكون التباين الشرطي معروفًا، إن لم يكن معدومًا. لذلك، من المستحسن تقدير التباين وتقديرات المعلمات الموزونة معًا عند حل مسائل التباين المتعدد.

اختيار بنية التأثيرات العشوائية

أحد الخيارات التي يواجهها المحللون في النماذج المختلطة هو تحديد التأثيرات العشوائية التي يجب تضمينها (مثل متغيرات التجميع، والتقاطعات العشوائية، والميول العشوائية). ومن التوصيات البارزة في سياق اختبار الفرضيات التأكيدي [ 21 ] اعتماد بنية تأثيرات عشوائية "قصوى"، تشمل جميع التأثيرات العشوائية الممكنة التي يبررها التصميم التجريبي، كوسيلة للتحكم في معدلات الخطأ من النوع الأول.

برمجة

إحدى الطرق المستخدمة لنمذجة النماذج المختلطة هي خوارزمية التوقع والتعظيم (EM)، حيث تُعامل مكونات التباين كمعاملات إزعاج غير مُلاحظة في دالة الاحتمال المشترك. [ 22 ] حاليًا، تُطبَّق هذه الطريقة في برامج إحصائية مثل بايثون (حزمة statsmodels)، وكخطوة أولية فقط في حزمة nlme الخاصة بلغة R (lme()). يكون حل معادلات النموذج المختلط هو تقدير الاحتمال الأقصى عندما يكون توزيع الأخطاء طبيعيًا. [ 23 ] [ 24 ]

تؤثر التأثيرات الثابتة والمختلطة والعشوائية على نماذج الانحدار الخطي.

توجد عدة طرق أخرى لتركيب النماذج المختلطة، بما في ذلك استخدام نموذج التأثيرات المختلطة (MEM) مبدئيًا، ثم طريقة نيوتن-رافسون (المستخدمة بواسطة حزمة R nlme [ 25 ] 's lme()، وSAS MIXED، وSPSS MIXED)، والمربعات الصغرى المعاقبة للحصول على دالة احتمالية لوغاريتمية مُحددة تعتمد فقط على معلمات التباين والتباين المشترك (منخفضة الأبعاد).u{\displaystyle {\boldsymbol {u}}}أي مصفوفة التباين الخاصة بهاجي{\displaystyle {\boldsymbol {G}}}ثم يأتي التحسين المباشر الحديث لدالة الهدف المُختزلة (المستخدمة في حزمة lme4 [ 26 ] في لغة R ، وحزمة MixedModels.jl في لغة Julia )، والتحسين المباشر لدالة الاحتمالية (المستخدمة في حزمة glmmTMB في لغة R ، على سبيل المثال). والجدير بالذكر أنه على الرغم من أن الصيغة الكلاسيكية التي اقترحها هندرسون مفيدة من الناحية النظرية، فإن العديد من حزم البرامج الشائعة تستخدم صيغة مختلفة للحساب العددي للاستفادة من طرق المصفوفات المتفرقة (مثل lme4 وMixedModels.jl).

في سياق الأساليب البايزية، توفر حزمة brms واجهة سهلة الاستخدام لتركيب النماذج المختلطة في لغة R باستخدام Stan، مما يسمح بإدراج التوزيعات الاحتمالية المسبقة وتقدير التوزيعات الاحتمالية اللاحقة. [ 27 ] [ 28 ] وفي لغة بايثون، توفر حزمة Bambi منهجًا مبسطًا مماثلًا لتركيب نماذج التأثيرات المختلطة باستخدام PyMC. [ 29 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ بالتاجي، بادي ح. (2008). التحليل الاقتصادي القياسي لبيانات اللوحات (  الطبعة الرابعة). نيويورك: وايلي. ص 54-55 . ISBN  978-0-470-51886-1.
  2. 1 2 غوميز، ديلان جي إي (20 يناير 2022). "هل أستخدم التأثيرات الثابتة أم التأثيرات العشوائية عندما يكون لدي أقل من خمسة مستويات لعامل التجميع في نموذج التأثيرات المختلطة؟" . PeerJ . 10 e12794 . doi : 10.7717/peerj.12794 . PMC 8784019. PMID 35116198 .  
  3. ^ يانغ ، جيان. زيتلين، NA؛ جودارد، أنا؛ فيشر، مساء؛ الأمير ، AL (29 يناير 2014). "المزايا والمزالق في تطبيق أساليب الارتباط النموذجي المختلط" . نات جينيت . 46 (2): 100-106 . دوى : 10.1038 / ng.2876 . بمك 3989144 . بميد 24473328 .  
  4. 1 2 سيلتمان، هوارد (2016). تصميم التجارب وتحليلها . المجلد 1. الصفحات 357-378 .  
  5. 1 2 "مقدمة في النماذج الخطية المختلطة" . الحوسبة البحثية المتقدمة، الأساليب الإحصائية وتحليلات البيانات . مجموعة الاستشارات الإحصائية بجامعة كاليفورنيا في لوس أنجلوس. 2021.
  6. ↑ جود، تشارلز م.؛ ويستفال، جاكوب؛ كيني، ديفيد أ. (2012). "التعامل مع المحفزات كعامل عشوائي في علم النفس الاجتماعي: حل جديد وشامل لمشكلة منتشرة ولكنها مهملة إلى حد كبير". مجلة الشخصية وعلم النفس الاجتماعي . 103 (1): 54-69 . doi : 10.1037/a0028347 . PMID 22612667 . 
  7. ↑ بويسغونتير، ماثيو ب.؛ شيفال، بوريس (سبتمبر 2016). "الانتقال من تحليل التباين إلى النموذج المختلط" . مراجعات علم الأعصاب والسلوك الحيوي . 68 : 1004-1005 . doi : 10.1016/j.neubiorev.2016.05.034 . PMID 27241200 . 
  8. ↑ شميدت-كاتران، ألكسندر و.؛ فيربراذر، مالكولم (فبراير 2016). "التأثيرات العشوائية في النماذج متعددة المستويات: فهمها بشكل خاطئ وفهمها بشكل صحيح". المجلة الأوروبية لعلم الاجتماع . 32 (1): 23-38 . doi : 10.1093/esr/jcv090 . hdl : 1983/de3e0a3c-9b41-4963-880c-452809860a7e .
  9. 1 2 Kreft & de Leeuw, J. تقديم النمذجة متعددة المستويات . لندن: سيج.{{cite book}}: CS1 maint: publisher location ( link )
  10. 1 2 راودنبوش، برايك، إس دبليو، إيه إس (2002). النماذج الخطية الهرمية: التطبيقات وأساليب تحليل البيانات . ثاوزند أوكس، كاليفورنيا: سيج.{{cite book}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )
  11. 1 2 سنايدرز، بوسكر، تي إيه بي، آر جيه (2012). التحليل متعدد المستويات: مقدمة في النمذجة متعددة المستويات الأساسية والمتقدمة . المجلد 2، الطبعة الثانية. لندن: سيج. {{cite book}}صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط ) صيانة CS1: موقع الناشر ( رابط )
  12. ↑ فيشر، ر. أ. (1918). "العلاقة بين الأقارب على افتراض الوراثة المندلية" . معاملات الجمعية الملكية في إدنبرة . 52 (2): 399-433 . doi : 10.1017/S0080456800012163 . S2CID 181213898 . 
  13. 1 2 روبنسون، جي كي (1991). "إن تقدير BLUP أمر جيد: تقدير التأثيرات العشوائية" . العلوم الإحصائية . 6 (1): 15-32 . doi : 10.1214/ss/1177011926 . JSTOR 2245695 . 
  14. ↑ سي آر هندرسون؛ أوسكار كيمبثورن؛ إس آر سيرل؛ سي إم فون كروسيجك (1959). "تقدير الاتجاهات البيئية والوراثية من السجلات الخاضعة للاستبعاد". القياسات الحيوية . 15 (2). الجمعية الدولية للقياسات الحيوية: 192-218 . doi : 10.2307/2527669 . JSTOR 2527669 . 
  15. 1 2 ل. ديل فان فليك. "تشارلز روي هندرسون، 1 أبريل 1911 - 14 مارس 1989" (ملف PDF) . الأكاديمية الوطنية للعلوم بالولايات المتحدة .
  16. ↑ ماكلين، روبرت أ.؛ ساندرز، ويليام ل.؛ ستروب، والتر و. (1991). "نهج موحد للنماذج الخطية المختلطة". الإحصائي الأمريكي . 45 (1). الجمعية الإحصائية الأمريكية: 54-64 . doi : 10.2307/2685241 . JSTOR 2685241 . 
  17. ↑ أندرسون، آر جيه (2016). ""خبير تحليلات دوري البيسبول الرئيسي الذي قد يكون نيت سيلفر القادم لديه إحصائية جديدة ثورية"" .
  18. ↑ أوبينشين، بوب؛ ليلي، إيلي (1993). "تحليل البيانات وتصور المعلومات" (ملف PDF) . MWSUG.
  19. ↑ تشين، هـ؛ وانغ، س؛ كونوموس، م ب؛ ستيلب، أ م؛ لي، ز؛ سوفر، ت؛ سزبيرو، أ أ؛ تشين، و؛ بريم، ج م؛ سيليدون، ج س؛ ريدلاين، س؛ بابانيكولاو، س؛ ثورتون، ج ج؛ ثورتون، ت أ؛ لوري، س س؛ رايس، ك؛ لين، إكس (7 أبريل 2016). "التحكم في بنية السكان والقرابة للصفات الثنائية في دراسات الارتباط الجيني عبر النماذج اللوجستية المختلطة" . المجلة الأمريكية لعلم الوراثة البشرية . 98 (4): 653-666 . doi : 10.1016/j.ajhg.2016.02.012 . PMC 4833218. PMID 27018471 .  
  20. ↑ هندرسون، سي آر (1973). "تقييم الأب والاتجاهات الوراثية" (ملف PDF) . مجلة علوم الحيوان . 1973. الجمعية الأمريكية لعلوم الحيوان: 10-41 . doi : 10.1093/ansci/1973.Symposium.10 . تاريخ الاسترجاع: 17 أغسطس 2014 .
  21. ↑ بار، ديل جيه؛ ليفي، روجر؛ شيبرز، كريستوف؛ تيلي، هاري جيه (أبريل 2013). "بنية التأثيرات العشوائية لاختبار الفرضيات التأكيدية: اجعلها في أقصى حد" . مجلة الذاكرة واللغة . 68 (3): 255-278 . doi : 10.1016/j.jml.2012.11.001 . PMC 3881361. PMID 24403724 .  
  22. ↑ ليندستروم، إم إل؛ بيتس، دي إم (1988). "خوارزميات نيوتن-رافسون وخوارزمية EM للنماذج الخطية ذات التأثيرات المختلطة لبيانات القياسات المتكررة". مجلة الجمعية الإحصائية الأمريكية . 83 (404): 1014-1021 . doi : 10.1080/01621459.1988.10478693 .
  23. ↑ ليرد، نان م.؛ وير، جيمس هـ . (1982). "نماذج التأثيرات العشوائية للبيانات الطولية". القياسات الحيوية . 38 (4). الجمعية الدولية للقياسات الحيوية: 963-974 . doi : 10.2307/2529876 . JSTOR 2529876. PMID 7168798 .  
  24. ↑ فيتزموريس، غاريت م.؛ ليرد، نان م.؛ وير، جيمس هـ. (2004). التحليل الطولي التطبيقي . جون وايلي وأولاده. ص 326-328 . 
  25. ↑ بينهيرو، ج؛ بيتس، د.م. (2006). نماذج التأثيرات المختلطة في S و S-PLUS . الإحصاء والحوسبة. نيويورك: سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. doi : 10.1007/b98882 . ISBN 0-387-98957-9.
  26. ↑ بيتس، د.؛ ماكلر، م.؛ بولكر، ب.؛ ووكر، س. (2015). "ملاءمة نماذج التأثيرات المختلطة الخطية باستخدام lme4" . مجلة البرمجيات الإحصائية . 67 (1). doi : 10.18637/jss.v067.i01 . hdl : 2027.42/146808 .
  27. ↑ بوركنر، بول-كريستيان (2017). "brms : حزمة R للنماذج البايزية متعددة المستويات باستخدام Stan" . مجلة البرمجيات الإحصائية . 80 (1). doi : 10.18637/jss.v080.i01 . 
  28. ↑ بوركنر، بول-كريستيان (2018). "النمذجة البايزية المتقدمة متعددة المستويات باستخدام حزمة brms في لغة البرمجة R". مجلة R. 10 ( 1): 395. arXiv : 1705.11123 . doi : 10.32614/RJ-2018-017 .
  29. ↑ كابريتو، توماس؛ بيهو، كامين؛ كومار، رافين؛ ويستفال، جاكوب؛ ياركوني، تال؛ مارتن، أوزفالدو أ. (2020). "بامبي: واجهة بسيطة لتركيب النماذج الخطية البايزية في بايثون". arXiv : 2012.10754 [ stat.CO ].

للمزيد من القراءة

  • جاليكي، أندريه؛ بورزيكوفسكي، توماش (2013). نماذج التأثيرات المختلطة الخطية باستخدام لغة البرمجة R: منهج خطوة بخطوة . نيويورك: سبرينغر. ISBN 978-1-4614-3900-4.
  • ميليكين، جي إيه؛ جونسون، دي إي (1992). تحليل البيانات غير المنظمة: المجلد الأول. التجارب المصممة . نيويورك: تشابمان وهول.
  • ويست، بي تي؛ ويلش، كي بي؛ جاليكي، إيه تي (2007). النماذج الخطية المختلطة: دليل عملي باستخدام البرامج الإحصائية . نيويورك: تشابمان آند هول/سي آر سي.