ترانس

يمكن إنشاء منقولة المصفوفة A ، والتي يرمز لها بـ A ^T ، ^{[ 3 ] T} A ، A ^tr ، ^t A أو A ^t ، بأي من الطرق التالية:

1. اعكس A حول قطرها الرئيسي (الذي يمتد من أعلى اليسار إلى أسفل اليمين) لتحصل على A ^T
2. اكتب صفوف المصفوفة A على شكل أعمدة المصفوفة A ^T
3. اكتب أعمدة المصفوفة A على شكل صفوف المصفوفة A ^T

بصورة رسمية، العنصر الموجود في الصف i والعمود j من المصفوفة A ^T هو العنصر الموجود في الصف j والعمود i من المصفوفة A :

${\displaystyle \left[\mathbf {A} ^{\text{T}}\right]_{ij}=\left[\mathbf {A} \right]_{ji}.}$

إذا كانت A مصفوفة من الرتبة m × n ، فإن A ^T هي مصفوفة من الرتبة n × m .

• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}}^{\text{T}}=\,{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}}$
• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\text{T}}={\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}}$
• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\text{T}}={\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}}$

لتكن A و B مصفوفتين و c كمية قياسية .

• ${\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{\text{T}}\right)^{\text{T}}=\mathbf {A} .}$

  عملية أخذ المنقول هي عملية انعكاس ( معكوس ذاتي ).

• ${\displaystyle \left(\mathbf {A} +\mathbf {B} \right)^{\text{T}}=\mathbf {A} ^{\text{T}}+\mathbf {B} ^{\text{T}}.}$

  عملية النقل تحافظ على الجمع .

• ${\displaystyle \left(c\mathbf {A} \right)^{\text{T}}=c(\mathbf {A} ^{\text{T}}).}$

  منقولة عدد قياسي هي نفس العدد القياسي. وبالاقتران مع الخاصية السابقة، فإن هذا يعني أن المنقولة هي دالة خطية من فضاء المصفوفات من الرتبة m × n إلى فضاء المصفوفات من الرتبة n × m .

• ${\displaystyle \left(\mathbf {AB} \right)^{\text{T}}=\mathbf {B} ^{\text{T}}\mathbf {A} ^{\text{T}}.}$

  ينعكس ترتيب العوامل. وبالاستقراء، تمتد هذه النتيجة إلى الحالة العامة للمصفوفات المتعددة، لذا

  ( A ₁ A ₂ ... A _{k −1} A _k ) ^T  = A _k ^T A _{k −1} ^T … A ₂ ^T A ₁ ^T  .

• ${\displaystyle \det \left(\mathbf {A} ^{\text{T}}\right)=\det(\mathbf {A} ).}$

  محدد المصفوفة المربعة هو نفسه محدد منقولها.

• يمكن حساب حاصل الضرب النقطي لمتجهين عموديين a و b كعنصر وحيد في حاصل ضرب المصفوفات$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\text{T}}\mathbf {b} .}$$
• إذا كانت A تحتوي فقط على عناصر حقيقية، فإن A ^T A هي مصفوفة شبه موجبة .
• ${\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{\text{T}}\right)^{-1}=\left(\mathbf {A} ^{-1}\right)^{\text{T}}.}$

  منقولة المصفوفة القابلة للعكس هي أيضاً قابلة للعكس، ومعكوسها هو منقولة معكوس المصفوفة الأصلية. ويُستخدم الرمز A ^−T أحياناً لتمثيل أي من هذين التعبيرين المتكافئين.

• إذا كانت A مصفوفة مربعة، فإن قيمها الذاتية تساوي القيم الذاتية لمنقولتها، لأنها تشترك في نفس متعددة الحدود المميزة . ويمكن ملاحظة ذلك مباشرةً، انظر القيم الذاتية لمنقولة المصفوفة.
• ${\displaystyle \left(\mathbf {A} \mathbf {a} \right)\cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} \cdot \left(\mathbf {A} ^{\text{T}}\mathbf {b} \right)}$لمتجهين عموديين${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} }$والضرب النقطي القياسي .
• في أي حقل${\displaystyle k}$، مصفوفة مربعة${\displaystyle \mathbf {A} }$يشبه إلى​${\displaystyle \mathbf {A} ^{\text{T}}}$.

  وهذا يعني أن${\displaystyle \mathbf {A} }$و${\displaystyle \mathbf {A} ^{\text{T}}}$لها نفس العوامل الثابتة ، مما يعني أنها تشترك في نفس متعدد الحدود الأدنى، ومتعدد الحدود المميز، والقيم الذاتية، من بين خصائص أخرى.

  يعتمد إثبات هذه الخاصية على الملاحظتين التاليتين.

  • يترك${\displaystyle \mathbf {A} }$و${\displaystyle \mathbf {B} }$يكون${\displaystyle n\times n}$المصفوفات على حقل أساسي ما${\displaystyle k}$ودع${\displaystyle L}$أن يكون امتدادًا ميدانيًا لـ${\displaystyle k}$. لو${\displaystyle \mathbf {A} }$و${\displaystyle \mathbf {B} }$وهي متشابهة مع المصفوفات على${\displaystyle L}$ثم يصبحون متشابهين على نطاق أوسع${\displaystyle k}$وينطبق هذا بشكل خاص عندما${\displaystyle L}$هو الإغلاق الجبري لـ${\displaystyle k}$.
  • لو${\displaystyle \mathbf {A} }$إذا كانت مصفوفة على حقل مغلق جبريًا في شكل جوردان الطبيعي بالنسبة إلى أساس ما، فإن${\displaystyle \mathbf {A} }$يشبه إلى${\displaystyle \mathbf {A} ^{\text{T}}}$ويؤدي هذا بدوره إلى إثبات نفس الحقيقة عندما${\displaystyle \mathbf {A} }$هو عبارة عن كتلة جوردان واحدة، وهو تمرين بسيط.

إذا كانت A مصفوفة من الرتبة m × n ، و AT منقولتها، فإن ناتج ضرب المصفوفتين A وAT هو مصفوفتان مربعتان: AAT من الرتبة m × m، وATA من الرتبة n × n . وهاتان المصفوفتان متناظرتان . في الواقع، عناصر حاصل ضرب المصفوفتين AAT هي حاصل الضرب الداخلي لصف من A مع عمود من AT . وبما أن أعمدة AT هي صفوف من A ، فإن العنصر p  ij يُمثل حاصل الضرب الداخلي لصفين من A. إذا كان p  ij هو عنصر حاصل الضرب، فإنه يُستخرج من الصفين i و j في A. ويُستخرج العنصر p ji  أيضًا من هذين الصفين، وبالتالي p ij = p ji  ، ومصفوفة حاصل الضرب ( p ij ) متناظرة. وبالمثل، فإن حاصل ضرب ATA مصفوفة متناظرة.

^ينتج برهان سريع على تناظر AAT من حقيقة أنه منقول نفسه:

${\displaystyle \left(\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\text{T}}\right)^{\text{T}}=\left(\mathbf {A} ^{\text{T}}\right)^{\text{T}}\mathbf {A} ^{\text{T}}=\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\text{T}}.}$^{[ 4 ]}

في الحاسوب ، يمكن تجنب نقل المصفوفة في الذاكرة بشكل صريح عن طريق الوصول إلى البيانات نفسها بترتيب مختلف. على سبيل المثال، توفر مكتبات برامج الجبر الخطي ، مثل BLAS ، عادةً خيارات لتحديد أن بعض المصفوفات يجب تفسيرها بترتيب منقول لتجنب الحاجة إلى نقل البيانات.

مع ذلك، لا تزال هناك عدة حالات يكون فيها من الضروري أو المرغوب فيه إعادة ترتيب المصفوفة في الذاكرة إلى ترتيبها الأصلي. على سبيل المثال، عند تخزين مصفوفة بترتيب الصفوف ، تكون صفوف المصفوفة متجاورة في الذاكرة بينما تكون أعمدتها غير متجاورة. إذا تطلب الأمر إجراء عمليات متكررة على الأعمدة، كما هو الحال في خوارزمية تحويل فورييه السريع ، فإن نقل المصفوفة في الذاكرة (لجعل الأعمدة متجاورة) قد يُحسّن الأداء من خلال زيادة تجاور البيانات في الذاكرة .

من الناحية المثالية، يُمكن للمرء أن يأمل في نقل مصفوفة بأقل قدر من التخزين الإضافي. وهذا يقودنا إلى مشكلة نقل مصفوفة بحجم n × m في مكانها ، مع تخزين إضافي ثابت O(1) أو على الأكثر تخزين أقل بكثير من mn . بالنسبة لـ n ≠ m ، يتطلب هذا تبديلًا معقدًا لعناصر البيانات يصعب تنفيذه في مكانه. لذلك، كان نقل المصفوفات الفعال في مكانه موضوعًا للعديد من المنشورات البحثية في علوم الحاسوب ، بدءًا من أواخر الخمسينيات، وتم تطوير العديد من الخوارزميات.

لنرمز بـ X ^# إلى الفضاء الثنائي الجبري لوحدة نمطية X على R. ولتكن X و Y وحدتين نمطيتين ^على R. إذا كانت u : X → Y دالة خطية ، فإن مرافقها الجبري أو ثنائيتها [ ^{5 ]} هي الدالة u ^# : Y ^# → X ^# المعرفة بـ f ↦ f ∘ u . تُسمى الدالة الناتجة u ^# ( f ) سحبًا عكسيًا لـ f بواسطة u . تُحدد العلاقة التالية المرافق الجبري لـ u ^{[ 6 ].}  

⟨ u ^# ​​( f ), x ⟩ = ⟨ f , u ( x ) ⟩ لكل f ∈ Y ^# و x ∈ X

حيث ⟨ • , • ⟩ هو الاقتران الطبيعي (أي المعرّف بواسطة ⟨ h , z ⟩  := h ( z ) ). ينطبق هذا التعريف أيضًا دون تغيير على الوحدات اليسارية والفضاءات المتجهة. ^{[ 7 ]}

يمكن اعتبار تعريف المنقول مستقلاً عن أي شكل ثنائي الخطية على الوحدات، على عكس المرافق ( أدناه ).

يُرمز إلى الفضاء الثنائي المتصل لفضاء متجهي طوبولوجي (TVS) X بالرمز X ′ . إذا كان X و Y فضاءين متجهيين طوبولوجيين ، فإن التطبيق الخطي u  : X → Y يكون متصلاً ضعيفًا إذا وفقط إذا كان u ^# ( Y ′ ) ⊆ X ′ ، وفي هذه الحالة ، نرمز بـ ^tₜ u  : Y ′ → X ′ إلى تقييد u ^# على Y ′ . يُسمى التطبيق ^tₜ منقول u ^{[ 8 ]} .

إذا كانت المصفوفة A تصف تطبيقًا خطيًا بالنسبة لقواعد V و W ، فإن المصفوفة A ^T تصف منقولة ذلك التطبيق الخطي بالنسبة للقواعد الثنائية .

كل تطبيق خطي إلى الفضاء الثنائي u  : X → X ^# يُعرّف شكلاً ثنائي الخطية B  : X × X → F ، حيث العلاقة B ( x , y ) = u ( x )( y ) . بتعريف منقول هذا الشكل الثنائي الخطية على أنه الشكل الثنائي الخطية ^t B المعرّف بواسطة المنقول ^t u  : X ^## → X ^#، أي ^t B ( y , x ) = ^t u (Ψ( y ))( x ) ، نجد أن B ( x , y ) = ^t B ( y , x ) . هنا، Ψ هو التشاكل الطبيعي X → X ^## إلى الفضاء الثنائي المزدوج .

إذا كان للفضاءات المتجهة X و Y أشكال ثنائية الخطية غير متدهورة على التوالي B _X و B _Y ، فيمكن تعريف مفهوم يُعرف باسم المرافق ، والذي يرتبط ارتباطًا وثيقًا بالمنقول:

إذا كانت u  : X → Y دالة خطية بين الفضاءين المتجهيين X و Y ، فإننا نُعرّف g بأنها الدالة المرافقة لـ u إذا كانت g  : Y → X تحقق ما يلي:

${\displaystyle B_{X}{\big (}x,g(y){\big )}=B_{Y}{\big (}u(x),y{\big )}}$لكل x ∈ X و y ∈ Y.​

تُعرّف هذه الصيغ الثنائية الخطية تماثلاً بين X و X ^# ، وبين Y و Y ^# ، مما ينتج عنه تماثل بين منقولة ومصفوفة المرافق لـ u . تكون مصفوفة المرافق لدالة ما منقولة فقط إذا كانت قواعدها متعامدة بالنسبة لصيغها الثنائية الخطية. مع ذلك، يستخدم العديد من المؤلفين مصطلح "المنقولة" للإشارة إلى المرافق كما هو مُعرّف هنا.

يُمكّننا المرافق من دراسة ما إذا كان g  : Y → X يساوي u ⁻¹  : Y → X. وعلى وجه الخصوص، يسمح هذا بتعريف المجموعة المتعامدة على فضاء متجهي X ذات الشكل التربيعي دون الرجوع إلى المصفوفات (ولا مكوناتها) باعتبارها مجموعة جميع التطبيقات الخطية X → X التي يكون مرافقها مساويًا لمعكوسها.

في فضاء متجهي معقد، غالباً ما تُستخدم الصيغ الخطية المترافقة (الخطية المترافقة في أحد المتغيرين) بدلاً من الصيغ الخطية الثنائية. ويُعرَّف المرافق الهيرميتي لتطبيق بين هذه الفضاءات بطريقة مماثلة، وتُعطى مصفوفة المرافق الهيرميتي بواسطة مصفوفة النقل المترافقة إذا كانت القواعد متعامدة.