نموذج التأثيرات الثابتة

منذ${\displaystyle \alpha _{i}}$لا يمكن ملاحظته، ولا يمكن التحكم فيه بشكل مباشر. يقوم نموذج العناصر المحدودة بإلغاء${\displaystyle \alpha _{i}}$عن طريق إزالة معنى المتغيرات باستخدام التحويل الداخلي :

${\displaystyle y_{it}-{\overline {y}}_{i}=\left(X_{it}-{\overline {X}}_{i}\right)\beta +\left(\alpha _{i}-{\overline {\alpha }}_{i}\right)+\left(u_{it}-{\overline {u}}_{i}\right)\implies {\ddot {y}}_{it}={\ddot {X}}_{it}\beta +{\ddot {u}}_{it}}$

أين${\displaystyle {\overline {y}}_{i}={\frac {1}{T}}\sum \limits _{t=1}^{T}y_{it}}$،${\displaystyle {\overline {X}}_{i}={\frac {1}{T}}\sum \limits _{t=1}^{T}X_{it}}$، و${\displaystyle {\overline {u}}_{i}={\frac {1}{T}}\sum \limits _{t=1}^{T}u_{it}}$.

منذ${\displaystyle \alpha _{i}}$ثابت،${\displaystyle {\overline {\alpha _{i}}}=\alpha _{i}}$وبالتالي يتم التخلص من التأثير. مقدر التأثيرات الثابتة${\displaystyle {\hat {\beta }}_{FE}}$ثم يتم الحصول عليها من خلال انحدار المربعات الصغرى العادية لـ${\displaystyle {\ddot {y}}}$على${\displaystyle {\ddot {X}}}$.

توجد ثلاثة بدائل على الأقل للتحويل الداخلي مع اختلافات:

• أحدها هو إضافة متغير وهمي لكل فرد${\displaystyle i>1}$(مع استبعاد الفرد الأول بسبب الارتباط الخطي المتعدد ). هذا مكافئ عدديًا، وليس حسابيًا، لنموذج التأثيرات الثابتة، ولا ينجح إلا إذا كان مجموع عدد السلاسل وعدد المعلمات العامة أقل من عدد المشاهدات. ^{[ 10 ]} يُعدّ أسلوب المتغيرات الوهمية مُستهلكًا كبيرًا لذاكرة الحاسوب، ولا يُنصح به للمسائل الأكبر من سعة ذاكرة الوصول العشوائي المتاحة، وقدرة برنامج التجميع المُستخدم.

• Second alternative is to use consecutive reiterations approach to local and global estimations.^[11] This approach is very suitable for low memory systems on which it is much more computationally efficient than the dummy variable approach.

• The third approach is a nested estimation whereby the local estimation for individual series is programmed in as a part of the model definition.^[12] This approach is the most computationally and memory efficient, but it requires proficient programming skills and access to the model programming code; although, it can be programmed including in SAS.^[13][14]

Finally, each of the above alternatives can be improved if the series-specific estimation is linear (within a nonlinear model), in which case the direct linear solution for individual series can be programmed in as part of the nonlinear model definition.^[15]

An alternative to the within transformation is the first difference transformation, which produces a different estimator. For ${\displaystyle t=2,\dots ,T}$:

${\displaystyle y_{it}-y_{i,t-1}=\left(X_{it}-X_{i,t-1}\right)\beta +\left(\alpha _{i}-\alpha _{i}\right)+\left(u_{it}-u_{i,t-1}\right)\implies \Delta y_{it}=\Delta X_{it}\beta +\Delta u_{it}.}$

The FD estimator ${\displaystyle {\hat {\beta }}_{FD}}$ is then obtained by an OLS regression of ${\displaystyle \Delta y_{it}}$ on ${\displaystyle \Delta X_{it}}$.

When ${\displaystyle T=2}$, the first difference and fixed effects estimators are numerically equivalent. For ${\displaystyle T>2}$, they are not. If the error terms ${\displaystyle u_{it}}$ are homoskedastic with no serial correlation, the fixed effects estimator is more efficient than the first difference estimator. If ${\displaystyle u_{it}}$ follows a random walk, however, the first difference estimator is more efficient.^[16]

Gary Chamberlain's method, a generalization of the within estimator, replaces ${\displaystyle \alpha _{i}}$ with its linear projection onto the explanatory variables. Writing the linear projection as:

${\displaystyle \alpha _{i}=\lambda _{0}+X_{i1}\lambda _{1}+X_{i2}\lambda _{2}+\dots +X_{iT}\lambda _{T}+e_{i}}$

this results in the following equation:

${\displaystyle y_{it}=\lambda _{0}+X_{i1}\lambda _{1}+X_{i2}\lambda _{2}+\dots +X_{it}(\lambda _{t}+\mathbf {\beta } )+\dots +X_{iT}\lambda _{T}+e_{i}+u_{it}}$

which can be estimated by minimum distance estimation.^[17]

Need to have more than one time-variant regressor (${\displaystyle X}$) and time-invariant regressor (${\displaystyle Z}$) and at least one ${\displaystyle X}$ and one ${\displaystyle Z}$ that are uncorrelated with ${\displaystyle \alpha _{i}}$.

Partition the ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle Z}$ variables such that ${\displaystyle {\begin{array}{c}X=[{\underset {TN\times K1}{X_{1it}}}\vdots {\underset {TN\times K2}{X_{2it}}}]\\Z=[{\underset {TN\times G1}{Z_{1it}}}\vdots {\underset {TN\times G2}{Z_{2it}}}]\end{array}}}$ where ${\displaystyle X_{1}}$ and ${\displaystyle Z_{1}}$ are uncorrelated with ${\displaystyle \alpha _{i}}$. Need ${\displaystyle K1>G2}$.

Estimating ${\displaystyle \gamma }$ via OLS on ${\displaystyle {\widehat {di}}=Z_{i}\gamma +\varphi _{it}}$ using ${\displaystyle X_{1}}$ and ${\displaystyle Z_{1}}$حيث أن الأدوات تعطي تقديرًا متسقًا.

عندما يكون هناك عدم يقين في المدخلات لـ${\displaystyle y}$بيانات،${\displaystyle \delta y}$ثم الـ${\displaystyle \chi ^{2}}$ينبغي تقليل قيمة القيمة، بدلاً من مجموع مربعات البواقي. ^{[ 18 ]} ويمكن تحقيق ذلك مباشرة من خلال قواعد الاستبدال:

${\displaystyle {\frac {y_{it}}{\delta y_{it}}}=\mathbf {\beta } {\frac {X_{it}}{\delta y_{it}}}+\alpha _{i}{\frac {1}{\delta y_{it}}}+{\frac {u_{it}}{\delta y_{it}}}}$،

ثم القيم والانحرافات المعيارية لـ${\displaystyle \mathbf {\beta } }$و${\displaystyle \alpha _{i}}$يمكن تحديدها من خلال تحليل المربعات الصغرى العادية الكلاسيكية ومصفوفة التباين والتباين المشترك .