مقدر الفروق الأولى

في الإحصاء والاقتصاد القياسي ، يُستخدم مُقدِّر الفروق الأولى (FD) لمعالجة مشكلة المتغيرات المحذوفة في بيانات اللوحات . وهو متسق في ظل افتراضات نموذج التأثيرات الثابتة . في بعض الحالات، قد يكون أكثر كفاءة من مُقدِّر التأثيرات الثابتة القياسي (أو "داخل المجموعة")، على سبيل المثال عندما تتبع حدود الخطأ مسارًا عشوائيًا . ^{[ 1 ]}

يتطلب المُقدِّر بيانات عن متغير تابع،${\displaystyle y_{it}}$والمتغيرات المستقلة،${\displaystyle x_{it}}$، لمجموعة من الوحدات الفردية${\displaystyle i=1,\dots ,N}$والفترات الزمنية${\displaystyle t=1,\dots ,T}$يتم الحصول على المُقدِّر عن طريق إجراء تقدير المربعات الصغرى العادية المجمعة (OLS) لانحدار${\displaystyle \Delta y_{it}}$على${\displaystyle \Delta x_{it}}$.

يتجنب مقدر FD التحيز الناتج عن بعض المتغيرات غير المرصودة والثابتة بمرور الوقت${\displaystyle c_{i}}$، باستخدام الملاحظات المتكررة على مر الزمن:

${\displaystyle y_{it}=x_{it}\beta +c_{i}+u_{it},t=1,...T,}$

${\displaystyle y_{it-1}=x_{it-1}\beta +c_{i}+u_{it-1},t=2,...T.}$

بإجراء عملية التفاضل بين المعادلتين، نحصل على:

${\displaystyle \Delta y_{it}=y_{it}-y_{it-1}=\Delta x_{it}\beta +\Delta u_{it},t=2,...T,}$

مما يزيل ما لم يُلاحظ${\displaystyle c_{i}}$ويلغي الفترة الزمنية الأولى. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

مقدر FD${\displaystyle {\hat {\beta }}_{FD}}$ثم يتم الحصول عليها باستخدام الحدود المشتقة لـ${\displaystyle x}$و${\displaystyle u}$في OLS:

${\displaystyle {\hat {\beta }}_{FD}=(\Delta X'\Delta X)^{-1}\Delta X'\Delta y=\beta +(\Delta X'\Delta X)^{-1}\Delta X'\Delta u}$

أين${\displaystyle X,y,}$و${\displaystyle u}$، هي رموز لمصفوفات المتغيرات ذات الصلة. لاحظ أنه يجب استيفاء شرط الرتبة لـ${\displaystyle \Delta X'\Delta X}$أن يكون قابلاً للعكس (${\displaystyle {\text{rank}}[\Delta X'\Delta X]=k}$)، أين${\displaystyle k}$يمثل عدد المتغيرات المستقلة.

يترك

${\displaystyle \Delta X_{i}=[\Delta X_{i2},\Delta X_{i3},...,\Delta X_{iT}]}$،

وبالمثل،

${\displaystyle \Delta u_{i}=[\Delta u_{i2},\Delta u_{i3},...,\Delta u_{iT}]}$.

إذا كان حد الخطأ خارجيًا تمامًا، أي${\displaystyle E[u_{it}|x_{i1},x_{i2},..,x_{iT}]=0}$وبحسب نظرية النهاية المركزية ، وقانون الأعداد الكبيرة ، ونظرية سلوتسكي ، فإن المُقدِّر يتوزع توزيعًا طبيعيًا بتباين تقاربي قدره

${\displaystyle {\widehat {\text{Avar}}}({\hat {\beta }}_{FD})=E[\Delta X_{i}'\Delta X_{i}]^{-1}E[\Delta X_{i}'\Delta u_{i}\Delta u_{i}'\Delta X_{i}]E[\Delta X_{i}'\Delta X_{i}]^{-1}}$.

بافتراض تجانس التباين وعدم وجود ارتباط تسلسلي،${\displaystyle {\text{Var}}(\Delta u|X)=\sigma _{\Delta u}^{2}}$يمكن تقدير التباين التقاربي على النحو التالي:

${\displaystyle {\widehat {\text{Avar}}}({\hat {\beta }}_{FD})={\hat {\sigma }}_{\Delta u}^{2}(\Delta X'\Delta X)^{-1},}$

أين${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{u}^{2}}$، وهو مُقدِّر ثابت لـ${\displaystyle \sigma _{u}^{2}}$، يتم تحديده بواسطة

${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{\Delta u}^{2}=[n(T-1)-K]^{-1}\sum _{i=1}^{n}\sum _{t=2}^{T}{\widehat {\Delta u_{it}}}^{2}}$

و

${\displaystyle {\widehat {\Delta u_{it}}}=\Delta y_{it}-{\hat {\beta }}_{FD}\Delta x_{it}}$[ ^{4 ]​}

لكي يكون مقدر التأثيرات الثابتة (FE) غير متحيز، فإنه يتطلب خارجية صارمة، تُعرف على النحو التالي:

${\displaystyle E[u_{it}|x_{i1},x_{i2},..,x_{iT}]=0}$.

كما أن مقدر الفرق الأول (FD) غير متحيز في ظل هذا الافتراض.

إذا تم انتهاك مبدأ الاستقلالية الصارمة، ولكن الافتراض الأضعف

${\displaystyle E[(u_{it}-u_{it-1})(x_{it}-x_{it-1})]=0}$

إذا تحققت هذه الفرضية، فإن مقدر FD يكون متسقًا.

تجدر الإشارة إلى أن هذا الافتراض أقل تقييدًا من افتراض الاستقلالية التامة المطلوب لتحقيق الاتساق عند استخدام مقدر التأثيرات الثابتة.${\displaystyle T}$ثابت. إذا${\displaystyle T\rightarrow \infty }$، عندئذٍ يكون كل من FE و FD متسقين في ظل الافتراض الأضعف للخارجية المعاصرة.

يمكن استخدام اختبار هاوسمان لاختبار الافتراضات الكامنة وراء اتساق مقدرات التأثيرات الثابتة ومقدرات الفروق المحدودة. ^{[ 5 ]}

ل${\displaystyle T=2}$^{[ 1 ]} إن تقديرات التأثيرات الثابتة وتقديرات التأثيرات الثابتة متكافئة عددياً.

بافتراض تجانس التباين وعدم وجود ارتباط تسلسلي في${\displaystyle u_{it}}$يُعدّ مُقدِّر التأثيرات الثابتة (FE) أكثر كفاءة من مُقدِّر الفروق المحدودة (FD). وذلك لأن مُقدِّر الفروق المحدودة لا يُحدث أي ارتباط تسلسلي عند حساب الفروق بين الأخطاء.${\displaystyle u_{it}}$يتبع مسارًا عشوائيًا ، ومع ذلك، فإن مقدر FD أكثر كفاءة لأن${\displaystyle \Delta u_{it}}$غير مترابطة تسلسليًا. ^{[ 1 ]}

• تحليل العوامل
• تحليل اللوحة
• نموذج التأثير الثابت

• وولدريدج، جيفري م. (2001). التحليل الاقتصادي القياسي لبيانات المقاطع العرضية وبيانات اللوحات . مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. ص 279-291 . ISBN  978-0-262-23219-7تم الاطلاع عليه بتاريخ 30 أغسطس 2024 .

• وولدريدج، جيفري م. (2013). مدخل إلى الاقتصاد القياسي: منهج حديث (ملف PDF) (  الطبعة الخامسة). ساوث ويسترن سينجيدج ليرنينج. ISBN 978-1-111-53104-1تم الاطلاع عليه بتاريخ 30 أغسطس 2024 .