الارتباط الذاتي

📅 آخر تحديث: ٢٢ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٢ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 114 صور
الموسوعة الحرة
أعلاه: رسم بياني لسلسلة من 100 عدد عشوائي تخفي دالة جيبية . أسفل: يوضح مخطط الارتباط الذاتي (Correulogram ) دالة الارتباط الذاتي (ACF) للسلسلة على المحور الرأسي (y) لكل تأخير على المحور الأفقي (x). تظهر القمم عند التأخيرات التي تكون فيها السلسلة مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بنفسها. تشير القمم إلى يمين القمة الأولى عند التأخير 0 إلى دورية في السلسلة، وتساعد في تقدير دورة الدالة الجيبية المخفية.
مقارنة بصرية بين الالتفاف، والارتباط التبادلي ، والارتباط الذاتي . بالنسبة للعمليات التي تتضمن الدالة f ، وبافتراض أن ارتفاع f يساوي 1.0، تُشير المنطقة المظللة أسفل كل نقطة إلى قيمة النتيجة عند 5 نقاط مختلفة. كما أن تناظر f هو السبب.ز*و{\displaystyle g*f}وو⋆ز{\displaystyle f\star g}متطابقة في هذا المثال.

يقيس الارتباط الذاتي ، المعروف أحيانًا بالارتباط التسلسلي في حالة الزمن المتقطع ، مدى ارتباط إشارة ما بنسخة متأخرة منها. وهو في جوهره، يحدد مدى التشابه بين مشاهدات متغير عشوائي عند نقاط مختلفة في نطاقه (عادةً، الزمن ). يُعد تحليل الارتباط الذاتي أداة رياضية لتحديد الأنماط المتكررة أو الدوريات الخفية داخل إشارة مُشوشة بالضوضاء . ويُستخدم الارتباط الذاتي على نطاق واسع في معالجة الإشارات ، وتحليل المجال الزمني ، وتحليل السلاسل الزمنية لفهم سلوك البيانات بمرور الوقت.

تختلف تعريفات الارتباط الذاتي باختلاف مجالات الدراسة، وليست جميع هذه التعريفات متكافئة. في بعض المجالات، يُستخدم المصطلح بشكل متبادل مع التغاير الذاتي .

تتضمن نماذج السلاسل الزمنية المختلفة الارتباط الذاتي، مثل عمليات جذر الوحدة ، وعمليات الاتجاه الثابت ، وعمليات الانحدار الذاتي ، وعمليات المتوسط ​​المتحرك .

الارتباط الذاتي للعمليات العشوائية

في الإحصاء ، يُعرف الارتباط الذاتي لعملية عشوائية حقيقية أو مركبة بأنه معامل ارتباط بيرسون بين قيم العملية في أوقات مختلفة، كدالة للوقتين أو للفارق الزمني.{Xت}{\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}أن تكون عملية عشوائية بمرور الوقت وXت{\displaystyle X_{t}}ليكن المتغير العشوائي في الوقتت{\displaystyle t}. (ت{\displaystyle t}(قد يكون عددًا صحيحًا لعملية زمنية منفصلة أو عددًا حقيقيًا لعملية زمنية مستمرة .) ثم تعريف دالة الارتباط الذاتي بين الأوقاتت1{\displaystyle t_{1}}وت2{\displaystyle t_{2}}هو [ 1 ] : 388 [ 2 ] : 165

RXX⁡(ت1،ت2)=هـ⁡[Xت1X¯ت2]{\displaystyle \operatorname {R} _{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} \left[X_{t_{1}}{\overline {X}}_{t_{2}}\right]}

أينهـ{\displaystyle \operatorname {E} }يمثل عامل القيمة المتوقعة ، ويمثل الخط المرافق المركب . لاحظ أن القيمة المتوقعة قد لا تكون محددة بدقة .

لنفترض أن العملية لها متوسطμت{\displaystyle \mu _{t}}والتباين​σت2{\displaystyle \sigma _{t}^{2}}في ذلك الوقتت{\displaystyle t}لكلت{\displaystyle t}ينتج عن طرح المتوسط ​​قبل الضرب دالة التغاير الذاتي بين الأوقاتت1{\displaystyle t_{1}}وت2{\displaystyle t_{2}}: [ 1 ] : 392 [ 2 ] : 168

كXX⁡(ت1،ت2)=هـ⁡[(Xت1-μت1)(Xت2-μت2)¯]=هـ⁡[Xت1X¯ت2]-μت1μ¯ت2=RXX⁡(ت1،ت2)-μت1μ¯ت2{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})&=\operatorname {E} \left[(X_{t_{1}}-\mu _{t_{1}}){\overline {(X_{t_{2}}-\mu _{t_{2}})}}\right]\\&=\operatorname {E} \left[X_{t_{1}}{\overline {X}}_{t_{2}}\right]-\mu _{t_{1}}{\overline {\mu }}_{t_{2}}\\&=\operatorname {R} _{XX}(t_{1},t_{2})-\mu _{t_{1}}{\overline {\mu }}_{t_{2}}\end{aligned}}}

لاحظ أن هذا التعبير غير محدد جيدًا لجميع السلاسل الزمنية أو العمليات، لأن المتوسط ​​قد لا يكون موجودًا، أو قد يكون التباين صفرًا (لعملية ثابتة) أو لا نهائيًا (للعمليات ذات التوزيع الذي يفتقر إلى لحظات جيدة السلوك، مثل أنواع معينة من قانون القوة ).

تعريف العملية العشوائية الثابتة بالمعنى الواسع

لو{Xت}{\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}إذا كانت عملية ثابتة بالمعنى الواسع، فإن المتوسطμ{\displaystyle \mu }والتباينσ2{\displaystyle \sigma ^{2}}مستقلة عن الزمن، بالإضافة إلى ذلك، تعتمد دالة التغاير الذاتي فقط على الفارق الزمني بينت1{\displaystyle t_{1}}وت2{\displaystyle t_{2}}يعتمد التغاير الذاتي فقط على المسافة الزمنية بين زوج القيم، وليس على موقعهما الزمني. وهذا يعني ضمناً أن التغاير الذاتي والارتباط الذاتي يمكن التعبير عنهما كدالة للفارق الزمني، وأن هذه الدالة ستكون دالة زوجية لهذا الفارق. τ=ت2-ت1{\displaystyle \tau =t_{2}-t_{1}}وهذا يعطي الأشكال الأكثر شيوعًا لدالة الارتباط الذاتي [ 1 ] : 395

RXX⁡(τ)=هـ⁡[Xت+τX¯ت]{\displaystyle \operatorname {R} _{XX}(\tau )=\operatorname {E} \left[X_{t+\tau }{\overline {X}}_{t}\right]}

ودالة التغاير الذاتي :

كXX⁡(τ)=هـ⁡[(Xت+τ-μ)(Xت-μ)¯]=هـ⁡[Xت+τX¯ت]-μμ¯=RXX⁡(τ)-μμ¯{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {K} _{XX}(\tau )&=\operatorname {E} \left[(X_{t+\tau }-\mu ){\overline {(X_{t}-\mu )}}\right]\\&=\operatorname {E} \left[X_{t+\tau }{\overline {X}}_{t}\right]-\mu {\overline {\mu }}\\&=\operatorname {R} _{XX}(\tau )-\mu {\overline {\mu }}\end{aligned}}}

لاحظ على وجه الخصوص أن

كXX⁡(0)=σ2.{\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(0)=\sigma ^{2}.}

تطبيع

من الممارسات الشائعة في بعض التخصصات (مثل الإحصاء وتحليل السلاسل الزمنية ) تطبيع دالة التغاير الذاتي للحصول على معامل ارتباط بيرسون المعتمد على الزمن . مع ذلك، في تخصصات أخرى (مثل الهندسة) يُستغنى عادةً عن التطبيع، ويُستخدم مصطلحا "الارتباط الذاتي" و"التغاير الذاتي" بشكل متبادل.

تعريف معامل الارتباط الذاتي لعملية عشوائية هو [ 2 ] : 169

ρXX(ت1،ت2)=كXX⁡(ت1،ت2)σت1σت2=هـ⁡[(Xت1-μت1)(Xت2-μت2)¯]σت1σت2.\begin{aligned}\rho_{XX}(t_{1},t_{2})&={\frac{\operatorname{K}_{XX}(t_{1},t_{2})}{\sigma_{t_{1}}\sigma_{t_{2}}}}\\&={\frac{\operatorname{E}\left[\left(X_{t_{1}}-\mu_{t_{1}}\right){\overline{\left(X_{t_{2}}-\mu_{t_{2}}\right)}}\right]}{\sigma_{t_{1}}\sigma_{t_{2}}}}.\end{aligned}}}

إذا كانت الدالةρXX{\displaystyle \rho _{XX}}إذا تم تحديدها بشكل جيد، فيجب أن تقع قيمتها في النطاق[-1،1]{\displaystyle [-1,1]}، حيث يشير الرقم 1 إلى الارتباط التام، ويشير الرقم -1 إلى الارتباط العكسي التام .

بالنسبة لعملية ثابتة بالمعنى الواسع (WSS)، يكون التعريف هو

ρXX(τ)=كXX⁡(τ)σ2=هـ⁡[(Xت+τ-μ)(Xت-μ)¯]σ2.{\displaystyle \rho _{XX}(\tau )={\frac {\operatorname {K} _{XX}(\tau )}{\sigma ^{2}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X_{t+\tau }-\mu ){\overline {(X_{t}-\mu )}}\right]}{\sigma ^{2}}}.}

إن عملية التطبيع مهمة لأن تفسير الارتباط الذاتي على أنه ارتباط يوفر مقياسًا غير مرتبط بالمقياس لقوة الاعتماد الإحصائي ، ولأن التطبيع له تأثير على الخصائص الإحصائية للارتباطات الذاتية المقدرة.

ملكيات

خاصية التناظر

حقيقة أن دالة الارتباط الذاتيRXX{\displaystyle \operatorname {R} _{XX}}يمكن التعبير عن الدالة الزوجية على النحو التالي: [ 2 ] : 171RXX⁡(ت1،ت2)=RXX⁡(ت2،ت1)¯{\displaystyle \operatorname {R} _{XX}(t_{1},t_{2})={\overline {\operatorname {R} _{XX}(t_{2},t_{1})}}} بالنسبة لعملية WSS على التوالي: [ 2 ] : 173RXX⁡(τ)=RXX⁡(-τ)¯.{\displaystyle \operatorname {R} _{XX}(\tau )={\overline {\operatorname {R} _{XX}(-\tau )}}.}

الحد الأقصى عند الصفر

بالنسبة لعملية WSS: [ 2 ] : 174|RXX⁡(τ)|≤RXX⁡(0){\displaystyle \left|\operatorname {R} _{XX}(\tau )\right|\leq \operatorname {R} _{XX}(0)} لاحظ أنRXX⁡(0){\displaystyle \operatorname {R} _{XX}(0)}هو حقيقي دائماً.

متباينة كوشي-شفارتز

متباينة كوشي -شفارتز ، متباينة للعمليات العشوائية: [ 1 ] : 392|RXX⁡(ت1،ت2)|2≤هـ⁡[|Xت1|2]هـ⁡[|Xت2|2]{\displaystyle \left|\operatorname {R} _{XX}(t_{1},t_{2})\right|^{2}\leq \operatorname {E} \left[|X_{t_{1}}|^{2}\right]\operatorname {E} \left[|X_{t_{2}}|^{2}\right]}

الارتباط الذاتي للضوضاء البيضاء

سيكون للارتباط الذاتي لإشارة الضوضاء البيضاء المستمرة في الزمن ذروة قوية (ممثلة بدالة ديراك دلتا ) عندτ=0{\displaystyle \tau =0}وسيكون ذلك بالضبط0{\displaystyle 0}بالنسبة لجميع الحالات الأخرىτ{\displaystyle \tau }.

نظرية وينر-خينشين

تربط نظرية وينر -خينشين دالة الارتباط الذاتيRXX{\displaystyle \operatorname {R} _{XX}}إلى كثافة القدرة الطيفيةSXX{\displaystyle S_{XX}}عن طريق تحويل فورييه :

RXX⁡(τ)=∫-∞∞SXX(ω)هـأناωτدωSXX(ω)=∫-∞∞RXX⁡(τ)هـ-أناωτدτ.{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {R} _{XX}(\tau )&=\int _{-\infty }^{\infty }S_{XX}(\omega )e^{i\omega \tau }\,{\rm {d}}\omega \\[1ex]S_{XX}(\omega )&=\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {R} _{XX}(\tau )e^{-i\omega \tau }\,{\rm {d}}\tau .\end{aligned}}}

بالنسبة للدوال ذات القيم الحقيقية، فإن دالة الارتباط الذاتي المتناظر لها تحويل متناظر حقيقي، لذا يمكن إعادة صياغة نظرية وينر-خينشين بدلالة جيوب التمام الحقيقية فقط:

RXX⁡(τ)=∫-∞∞SXX(ω)كوس⁡(ωτ)دωSXX(ω)=∫-∞∞RXX⁡(τ)كوس⁡(ωτ)دτ.{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {R} _{XX}(\tau )&=\int _{-\infty }^{\infty }S_{XX}(\omega )\cos(\omega \tau )\,{\rm {d}}\omega \\[1ex]S_{XX}(\omega )&=\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {R} _{XX}(\tau )\cos(\omega \tau )\,{\rm {d}}\tau .\end{aligned}}}

الارتباط الذاتي للمتجهات العشوائية

مصفوفة الارتباط الذاتي (التي قد تعتمد على الزمن) (وتسمى أيضًا العزم الثاني) لمتجه عشوائي (قد يعتمد على الزمن)X=(X1،...،Xن)تي{\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\rm {T}}}هون×ن{\displaystyle n\times n}مصفوفة تحتوي على الارتباطات الذاتية لجميع أزواج عناصر المتجه العشوائي كعناصرX{\displaystyle \mathbf {X} }تُستخدم مصفوفة الارتباط الذاتي في العديد من خوارزميات معالجة الإشارات الرقمية .

بالنسبة لمتجه عشوائيX=(X1،...،Xن)تي{\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\rm {T}}}تحتوي مصفوفة الارتباط الذاتي على عناصر عشوائية لها قيمة متوقعة وتباين موجودان ، ويتم تعريفها بواسطة [ 3 ] : 190 [ 1 ] : 334

RXX≜ هـ⁡[XXتي]{\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }\triangleq \ \operatorname {E} \left[\mathbf {X} \mathbf {X} ^{\rm {T}}\right]}

أينتي{\displaystyle {}^{\rm {T}}}يشير إلى تبديل المتجه.

RXX{\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }}هي مصفوفة ذات أبعادن×ن{\displaystyle n\times n}:

RXX=[هـ⁡[X1X1]هـ⁡[X1X2]⋯هـ⁡[X1Xن]هـ⁡[X2X1]هـ⁡[X2X2]⋯هـ⁡[X2Xن]⋮⋮⋱⋮هـ⁡[XنX1]هـ⁡[XنX2]⋯هـ⁡[XنXن]]{\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }={\begin{bmatrix}\operatorname {E} [X_{1}X_{1}]&\operatorname {E} [X_{1}X_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{1}X_{n}]\\\\\operatorname {E} [X_{2}X_{1}]&\operatorname {E} [X_{2}X_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{2}X_{n}]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\operatorname {E} [X_{n}X_{1}]&\operatorname {E} [X_{n}X_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{n}X_{n}]\end{bmatrix}}}

على سبيل المثال، إذاX=(X1،X2،X3)تي{\displaystyle \mathbf {X} =\left(X_{1},X_{2},X_{3}\right)^{\rm {T}}}إذا كان متجهًا عشوائيًا،RXX{\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }}هو3×3{\displaystyle 3\times 3}مصفوفة(أنا،ج){\displaystyle (i,j)}المدخل رقم -th هوهـ⁡[XأناXج]{\displaystyle \operatorname {E} [X_{i}X_{j}]}.

لوZ{\displaystyle \mathbf {Z} }إذا كان متجهًا عشوائيًا معقدًا ، فإن مصفوفة الارتباط الذاتي تُعرَّف بدلاً من ذلك بواسطة

RZZ≜ هـ⁡[ZZح].{\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }\triangleq \ \operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {Z} ^{\rm {H}}].}

هناح{\displaystyle {}^{\rm {H}}}يشير إلى النقل الهرميتي .

خصائص مصفوفة الارتباط الذاتي

  • مصفوفة الارتباط الذاتي هي مصفوفة هيرميتية للمتجهات العشوائية المركبة ومصفوفة متناظرة للمتجهات العشوائية الحقيقية. [ 3 ] : 190
  • مصفوفة الارتباط الذاتي هي مصفوفة شبه موجبة ، [ 3 ] : 190 أيأتيRXX⁡أ≥0للجميع أ∈Rن{\displaystyle \mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }\mathbf {a} \geq 0\quad {\text{for all }}\mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{n}}بالنسبة لمتجه عشوائي حقيقي، وعلى التواليأحRZZ⁡أ≥0للجميع أ∈جن{\displaystyle \mathbf {a} ^{\mathrm {H} }\operatorname {R} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }\mathbf {a} \geq 0\quad {\text{for all }}\mathbf {a} \in \mathbb {C} ^{n}}في حالة وجود متجه عشوائي معقد.
  • جميع القيم الذاتية لمصفوفة الارتباط الذاتي حقيقية وغير سالبة.
  • ترتبط مصفوفة التغاير الذاتي بمصفوفة الارتباط الذاتي على النحو التالي :كXX=هـ⁡[(X-هـ⁡[X])(X-هـ⁡[X])تي]=RXX-هـ⁡[X]هـ⁡[X]تي{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }&=\operatorname {E} \left[(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])^{\rm {T}}\right]\\&=\operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }-\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {X} ]^{\rm {T}}\end{aligned}}}بالنسبة للمتجهات العشوائية المعقدة على التوالي:كZZ=هـ⁡[(Z-هـ⁡[Z])(Z-هـ⁡[Z])ح]=RZZ-هـ⁡[Z]هـ⁡[Z]ح{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }&=\operatorname {E} \left[(\mathbf {Z} -\operatorname {E} [\mathbf {Z} ])(\mathbf {Z} -\operatorname {E} [\mathbf {Z} ])^{\rm {H}}\right]\\&=\operatorname {R} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }-\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]^{\rm {H}}\end{aligned}}}

الارتباط الذاتي للإشارات الحتمية

في معالجة الإشارات ، يُستخدم التعريف المذكور أعلاه غالبًا دون إجراء عملية التطبيع، أي دون طرح المتوسط ​​والقسمة على التباين. وعندما تُطبع دالة الارتباط الذاتي بالمتوسط ​​والتباين، يُشار إليها أحيانًا بمعامل الارتباط الذاتي [ 4 ] أو دالة التغاير الذاتي.

الارتباط الذاتي لإشارة الزمن المستمر

بإعطاء إشارةو(ت){\displaystyle f(t)}، الارتباط الذاتي المستمرRوو(τ){\displaystyle R_{ff}(\tau )}يُعرَّف في أغلب الأحيان بأنه التكامل المستمر للارتباط المتبادل لـو(ت){\displaystyle f(t)}مع نفسها، متأخرةτ{\displaystyle \tau }[ 1 ] : 411​

Rوو(τ)=∫-∞∞و(ت+τ)و(ت)¯دت=∫-∞∞و(ت)و(ت-τ)¯دت{\displaystyle R_{ff}(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t+\tau ){\overline {f(t)}}\,{\rm {d}}t=\int _{-\infty }^{\infty }f(t){\overline {f(t-\tau )}}\,{\rm {d}}t}

أينو(ت)¯{\displaystyle {\overline {f(t)}}}يمثل المرافق المعقد لـو(ت){\displaystyle f(t)}لاحظ أن المعلمةت{\displaystyle t}المتغير في التكامل هو متغير وهمي، ولا يُستخدم إلا لحساب التكامل، وليس له معنى محدد.

الارتباط الذاتي لإشارة زمنية منفصلة

الارتباط الذاتي المنفصلR{\displaystyle R}متأخرℓ{\displaystyle \ell }لإشارة زمنية منفصلةy(ن){\displaystyle y(n)}يكون

Ryy(ℓ)=∑ن∈Zy(ن)y(ن-ℓ)¯{\displaystyle R_{yy}(\ell )=\sum _{n\in Z}y(n)\,{\overline {y(n-\ell )}}}

تنطبق التعريفات المذكورة أعلاه على الإشارات القابلة للتكامل التربيعي، أو القابلة للجمع التربيعي، أي ذات الطاقة المحدودة. أما الإشارات التي "تستمر إلى الأبد" فتُعامل كعمليات عشوائية، وفي هذه الحالة يلزم تعريفات مختلفة، بناءً على القيم المتوقعة. بالنسبة للعمليات العشوائية المستقرة بالمعنى الواسع ، تُعرَّف الارتباطات الذاتية على النحو التالي:

Rوو(τ)=هـ⁡[و(ت)و(ت-τ)¯]Ryy(ℓ)=هـ⁡[y(ن)y(ن-ℓ)¯].{\displaystyle {\begin{aligned}R_{ff}(\tau )&=\operatorname {E} \left[f(t){\overline {f(t-\tau )}}\right]\\R_{yy}(\ell )&=\operatorname {E} \left[y(n)\,{\overline {y(n-\ell )}}\right].\end{aligned}}}

بالنسبة للعمليات غير المستقرة ، ستكون هذه أيضًا دوالًا لـت{\displaystyle t}، أون{\displaystyle n}.

بالنسبة للعمليات التي تتسم أيضاً بالخاصية الإرجودية ، يمكن استبدال القيمة المتوقعة بنهاية المتوسط ​​الزمني. ويُعرَّف الارتباط الذاتي للعملية الإرجودية أحياناً بأنه أو يُساوى بـ [ 4 ].

Rوو(τ)=ليمتي→∞1تي∫0تيو(ت+τ)و(ت)¯دتRyy(ℓ)=ليمشمال→∞1شمال∑ن=0شمال-1y(ن)y(ن-ℓ)¯.{\displaystyle {\begin{aligned}R_{ff}(\tau )&=\lim _{T\rightarrow \infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t+\tau ){\overline {f(t)}}\,{\rm {d}}t\\R_{yy}(\ell )&=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}y(n)\,{\overline {y(n-\ell )}}.\end{aligned}}}

تتميز هذه التعريفات بميزة أنها تعطي نتائج معقولة ومحددة جيدًا ذات معلمة واحدة للوظائف الدورية، حتى عندما لا تكون تلك الوظائف ناتجة عن عمليات إرجودية ثابتة.

بدلاً من ذلك، يمكن معالجة الإشارات التي تستمر إلى الأبد من خلال تحليل دالة الارتباط الذاتي قصيرة المدى، باستخدام تكاملات زمنية محدودة. (انظر تحويل فورييه قصير المدى لعملية ذات صلة).

تعريف الإشارات الدورية

لوو{\displaystyle f}هي دالة دورية مستمرة ذات دورةتي{\displaystyle T}، التكامل من-∞{\displaystyle -\infty }ل∞{\displaystyle \infty }يتم استبدالها بالتكامل على أي فترة[ت0،ت0+تي]{\displaystyle [t_{0},t_{0}+T]}من الطولتي{\displaystyle T}:

Rوو(τ)≜∫ت0ت0+تيو(ت+τ)و(ت)¯دت{\displaystyle R_{ff}(\tau )\triangleq \int _{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t+\tau ){\overline {f(t)}}\,dt}

وهو ما يعادل

Rوو(τ)≜∫ت0ت0+تيو(ت)و(ت-τ)¯دت{\displaystyle R_{ff}(\tau )\triangleq \int _{t_{0}}^{t_{0}+T}f(t){\overline {f(t-\tau )}}\,dt}

ملكيات

سنصف فيما يلي خصائص الارتباطات الذاتية أحادية البعد فقط، لأن معظم هذه الخصائص قابلة للتطبيق بسهولة من الحالة أحادية البعد إلى الحالات متعددة الأبعاد. وتسري هذه الخصائص على العمليات المستقرة بالمعنى الواسع . [ 5 ]

  • من الخصائص الأساسية للارتباط الذاتي التناظر،Rوو(τ)=Rوو(-τ){\displaystyle R_{ff}(\tau )=R_{ff}(-\tau )}وهو أمر يسهل إثباته من التعريف. في الحالة المستمرة،
    • الارتباط الذاتي هو دالة زوجيةRوو(-τ)=Rوو(τ){\displaystyle R_{ff}(-\tau )=R_{ff}(\tau )}متىو{\displaystyle f}هي دالة حقيقية، و
    • الارتباط الذاتي هو دالة هيرميتيةRوو(-τ)=Rوو*(τ){\displaystyle R_{ff}(-\tau )=R_{ff}^{*}(\tau )}متىو{\displaystyle f}هي دالة مركبة .
  • تصل دالة الارتباط الذاتي المستمر إلى ذروتها عند نقطة الأصل، حيث تأخذ قيمة حقيقية، أي لأي تأخير.τ{\displaystyle \tau }،|Rوو(τ)|≤Rوو(0){\displaystyle |R_{ff}(\tau )|\leq R_{ff}(0)}[ 1 ] : 410 هذه نتيجة لمتباينة إعادة الترتيب . وينطبق الأمر نفسه في الحالة المنفصلة .
  • إن الارتباط الذاتي لدالة دورية هو نفسه دوري وله نفس الفترة.
  • الارتباط الذاتي لمجموع دالتين غير مرتبطتين تمامًا (الارتباط المتبادل يساوي صفرًا لجميعτ{\displaystyle \tau }) هو مجموع الارتباطات الذاتية لكل دالة على حدة.
  • بما أن الارتباط الذاتي هو نوع محدد من الارتباط المتبادل ، فإنه يحتفظ بجميع خصائص الارتباط المتبادل.
  • باستخدام الرمز*{\displaystyle *}لتمثيل عملية الالتفاف وز-1{\displaystyle g_{-1}}هي دالة تقوم بمعالجة الدالةو{\displaystyle f}ويُعرَّف بأنهز-1(و)(ت)=و(-ت){\displaystyle g_{-1}(f)(t)=f(-t)}، تعريف لـRوو(τ){\displaystyle R_{ff}(\tau )}يمكن كتابتها على النحو التالي:Rوو(τ)=(و*ز-1(و¯))(τ){\displaystyle R_{ff}(\tau )=(f*g_{-1}({\overline {f}}))(\tau )}

الارتباط الذاتي متعدد الأبعاد

يُعرَّف الارتباط الذاتي متعدد الأبعاد بشكل مشابه. على سبيل المثال، في ثلاثة أبعاد، يكون الارتباط الذاتي لإشارة منفصلة قابلة للتربيع هو

R(ج،ك،ℓ)=∑ن،q،رxن،q،رx¯ن-ج،q-ك،ر-ℓ.{\displaystyle R(j,k,\ell )=\sum _{n,q,r}x_{n,q,r}\,{\overline {x}}_{n-j,q-k,r-\ell }.}

عندما يتم طرح القيم المتوسطة من الإشارات قبل حساب دالة الارتباط الذاتي، فإن الدالة الناتجة تسمى عادة دالة التغاير الذاتي.

الحوسبة الفعالة

بالنسبة للبيانات المُعبر عنها كسلسلة منفصلة ، ​​غالباً ما يكون من الضروري حساب الارتباط الذاتي بكفاءة حسابية عالية . تعتمد إحدى الطرق المباشرة على تعريف معالجة الإشارات.Rxx(ج)=∑نxنx¯ن-ج{\textstyle R_{xx}(j)=\sum _{n}x_{n}\,{\overline {x}}_{n-j}}يمكن استخدامها عندما يكون حجم الإشارة صغيرًا. على سبيل المثال، لحساب الارتباط الذاتي لتسلسل الإشارة الحقيقيةx=(2،3،-1){\displaystyle x=(2,3,-1)}(أيx0=2،x1=3،x2=-1{\displaystyle x_{0}=2,x_{1}=3,x_{2}=-1}، وxأنا=0{\displaystyle x_{i}=0}بالنسبة لجميع القيم الأخرى لـ i ) يدويًا، ندرك أولاً أن التعريف المعطى للتو هو نفسه الضرب "المعتاد"، ولكن مع إزاحات إلى اليمين، حيث تعطي كل عملية جمع رأسية الارتباط الذاتي لقيم تأخير معينة: 23-1×23-1-2-3169-3+46-2-23143-2{\displaystyle {\begin{array}{rrrrrr}&2&3&-1\\\times &2&3&-1\\\hline &-2&-3&1\\&&6&9&-3\\+&&&4&6&-2\\\hline &-2&3&14&3&-2\end{array}}}

وبالتالي فإن تسلسل الارتباط الذاتي المطلوب هوRxx=(-2،3،14،3،-2){\displaystyle R_{xx}=(-2,3,14,3,-2)}، أينRxx(0)=14،{\displaystyle R_{xx}(0)=14,}Rxx(-1)=Rxx(1)=3،{\displaystyle R_{xx}(-1)=R_{xx}(1)=3,}وRxx(-2)=Rxx(2)=-2،{\displaystyle R_{xx}(-2)=R_{xx}(2)=-2,}تكون قيمة الارتباط الذاتي للقيم المتأخرة الأخرى صفرًا. في هذه العملية الحسابية، لا نقوم بعملية الترحيل أثناء الجمع كما هو معتاد في الضرب العادي. لاحظ أنه يمكننا تقليل عدد العمليات المطلوبة إلى النصف من خلال استغلال التناظر المتأصل في الارتباط الذاتي. إذا كانت الإشارة دورية، أيx=(...،2،3،-1،2،3،-1،...)،{\displaystyle x=(\ldots ,2,3,-1,2,3,-1,\ldots ),}ثم نحصل على ارتباط ذاتي دائري (مشابه للالتفاف الدائري ) حيث تتداخل ذيول التسلسل السابق للارتباط الذاتي الأيسر والأيمن، مما يعطيRxx=(...،14،1،1،14،1،1،...){\displaystyle R_{xx}=(\ldots ,14,1,1,14,1,1,\ldots )}والتي لها نفس الفترة الزمنية لتسلسل الإشارةx.{\displaystyle x.}يمكن اعتبار هذا الإجراء تطبيقًا لخاصية الالتفاف لتحويل Z لإشارة منفصلة.

بينما تُصنّف خوارزمية البحث الشامل ضمن الرتبة n² ، توجد عدة خوارزميات فعّالة قادرة على حساب الارتباط الذاتي ضمن الرتبة n log( n ) . على سبيل المثال، تسمح نظرية وينر-خينشين بحساب الارتباط الذاتي من البيانات الأولية X ( t ) باستخدام تحويلين سريعين لفورييه (FFT): [ 6 ]

FR(و)=تحويل فورييه السريع⁡[X(ت)]S(و)=FR(و)FR*(و)R(τ)=تحويل فورييه العكسي⁡[S(و)]{\displaystyle {\begin{aligned}F_{R}(f)&=\operatorname {FFT} [X(t)]\\S(f)&=F_{R}(f)F_{R}^{*}(f)\\R(\tau )&=\operatorname {IFFT} [S(f)]\end{aligned}}}

حيث تشير IFFT إلى التحويل العكسي السريع لفورييه . وتشير العلامة النجمية إلى المرافق المركب .

بدلاً من ذلك، يمكن إجراء ارتباط متعدد τ باستخدام حساب القوة الغاشمة لقيم τ المنخفضة ، ثم تجميع بيانات X ( t ) تدريجياً بكثافة لوغاريتمية لحساب القيم الأعلى، مما ينتج عنه نفس كفاءة n log( n ) ، ولكن بمتطلبات ذاكرة أقل. [ 7 ] [ 8 ]

تقدير

بالنسبة لعملية منفصلة ذات متوسط ​​وتباين معروفين نلاحظهمان{\displaystyle n}الملاحظات{X1،X2،...،Xن}{\displaystyle \{X_{1},\,X_{2},\,\ldots ,\,X_{n}\}}يمكن الحصول على تقدير لمعامل الارتباط الذاتي على النحو التالي:

R^(ك)=1(ن-ك)σ2∑ت=1ن-ك(Xت-μ)(Xت+ك-μ){\displaystyle {\hat {R}}(k)={\frac {1}{(n-k)\sigma ^{2}}}\sum _{t=1}^{n-k}(X_{t}-\mu )(X_{t+k}-\mu )}

لأي عدد صحيح موجبك<ن{\displaystyle k<n}عندما يكون المتوسط ​​الحقيقيμ{\displaystyle \mu }والتباينσ2{\displaystyle \sigma ^{2}}إذا كانت القيم معروفة، فإن هذا التقدير غير متحيز . أما إذا كان المتوسط ​​والتباين الحقيقيان للعملية غير معروفين، فهناك عدة احتمالات:

  • لوμ{\displaystyle \mu }وσ2{\displaystyle \sigma ^{2}}إذا تم استبدالها بالصيغ القياسية لمتوسط ​​العينة وتباين العينة، فإن هذا تقدير متحيز .
  • يتم استبدال التقدير القائم على مخطط الفترةن-ك{\displaystyle n-k}في الصيغة أعلاه معن{\displaystyle n}هذا التقدير متحيز دائمًا؛ ومع ذلك، فإنه عادةً ما يكون له متوسط ​​خطأ تربيعي أصغر . [ 9 ] [ 10 ]
  • تنشأ احتمالات أخرى من معالجة جزئي البيانات{X1،X2،...،Xن-ك}{\displaystyle \{X_{1},\,X_{2},\,\ldots ,\,X_{n-k}\}}و{Xك+1،Xك+2،...،Xن}{\displaystyle \{X_{k+1},\,X_{k+2},\,\ldots ,\,X_{n}\}}بشكل منفصل وحساب متوسطات العينات و/أو تباينات العينات بشكل منفصل لاستخدامها في تحديد التقدير.

تتمثل ميزة التقديرات من النوع الأخير في أن مجموعة الارتباطات الذاتية المقدرة، كدالة لـك{\displaystyle k}ثم تُشكِّل دالة ذات ارتباط ذاتي صحيح، بمعنى أنه من الممكن تعريف عملية نظرية لها هذا الارتباط الذاتي تحديدًا. أما التقديرات الأخرى، فقد تعاني من مشكلة أنه إذا استُخدمت لحساب تباين توليفة خطية منX{\displaystyle X}[ 11 ]​

نظرية حساني -1/2

في تحليل السلاسل الزمنية، تُعدّ نظرية حساني −1/2 متطابقة للعينات المحدودة تتعلق بالمُقدِّر التقليدي لدالة الارتباط الذاتي للعينة (ACF). بالنسبة لسلسلة زمنية بطولتي≥2{\displaystyle T\geq 2}باستخدام المقدر المصحح لمتوسط ​​العينة المعتادρ^(ح){\displaystyle {\hat {\rho }}(h)}أظهر حساني أن مجموع الارتباطات الذاتية للعينة على جميع التأخيرات الموجبة ثابت: [ 12 ]

∑ح=1تي-1ρ^(ح)=-12.{\displaystyle \sum _{h=1}^{T-1}{\hat {\rho }}(h)=-{\tfrac {1}{2}}.}

تنتج هذه المتطابقة من حقيقة أن التغايرات الذاتية للعينة تُحسب بعد طرح متوسط ​​العينة. ونتيجةً لذلك، فإن مجموع المشاهدات المركزية يساوي صفرًا، مما يفرض قيدًا جبريًا على المجموعة الكاملة للارتباطات الذاتية للعينة. لذا، فإن هذه النظرية هي خاصية للمُقدِّر والعينة المحدودة، وليست خاصية للعملية العشوائية الأساسية.

تشير النتيجة إلى أن الارتباطات الذاتية للعينة عبر فترات التأخير غير مستقلة. كما تُظهر أن دالة الارتباط الذاتي للعينة لا يمكن أن تكون موجبة إجمالاً عند جمعها عبر جميع فترات التأخير الموجبة. وقد أدى ذلك إلى تحذيرات من تفسير مجموع الارتباطات الذاتية المقدرة كمقياس مباشر للاعتماد الكلي أو الاستمرارية أو سلوك الذاكرة الطويلة، نظرًا لأن مجموع التأخير الكامل ثابت عند-1/2{\displaystyle -1/2}بغض النظر عن السلسلة الزمنية الثابتة الأساسية. [ 12 ] [ 13 ]

نوقشت هذه النظرية في سياق التحقق التشخيصي واختيار النموذج في تحليل السلاسل الزمنية. وعلى وجه الخصوص، تناولت دراسات لاحقة آثارها على الاختبارات القائمة على الارتباطات الذاتية للعينات، بما في ذلك إحصائية ليونغ-بوكس، وعلى تفسير أنماط الارتباط الذاتي التجريبية في العمليات ذات الذاكرة القصيرة والطويلة. [ 14 ] [ 15 ] كما استُخدمت هذه النظرية للتأكيد على الفرق بين الارتباطات الذاتية النظرية لعملية ما والارتباطات الذاتية التجريبية المُقدَّرة من عينة محدودة. [ 16 ]

تنطبق هذه النظرية على مُقدِّر الارتباط الذاتي القياسي المصحح بمتوسط ​​العينة. ويجب عدم الخلط بينها وبين العبارات المتعلقة بمجموع دالة الارتباط الذاتي النظرية للعملية الأساسية، والتي قد تختلف باختلاف النموذج ومعاملاته. [ 13 ]

تحليل الانحدار

في تحليل الانحدار باستخدام بيانات السلاسل الزمنية ، يُنمذج الارتباط الذاتي في متغير محل الاهتمام عادةً إما بنموذج الانحدار الذاتي (AR)، أو نموذج المتوسط ​​المتحرك (MA)، أو بمزيج منهما في نموذج الانحدار الذاتي-المتوسط ​​المتحرك (ARMA)، أو بامتداد للنموذج الأخير يُسمى نموذج الانحدار الذاتي-المتوسط ​​المتحرك المتكامل (ARIMA). أما في حالة سلاسل البيانات المتعددة المترابطة، فيُستخدم نموذج الانحدار الذاتي المتجهي (VAR) أو امتداداته.

في طريقة المربعات الصغرى العادية (OLS)، يمكن التحقق جزئيًا من مدى ملاءمة مواصفات النموذج من خلال تحديد ما إذا كان هناك ارتباط ذاتي بين بواقي الانحدار . ويمكن عمومًا اكتشاف الارتباط الذاتي الإشكالي للأخطاء، التي لا يمكن ملاحظتها، لأنه يُنتج ارتباطًا ذاتيًا في البواقي القابلة للملاحظة. (تُعرف الأخطاء أيضًا باسم "حدود الخطأ" في الاقتصاد القياسي ). يُخالف الارتباط الذاتي للأخطاء افتراض طريقة المربعات الصغرى العادية بأن حدود الخطأ غير مترابطة، مما يعني أن نظرية غاوس ماركوف لا تنطبق، وأن مُقدِّرات OLS لم تعد أفضل مُقدِّرات خطية غير متحيزة ( BLUE ). وبينما لا يُؤثر الارتباط الذاتي على تقديرات معاملات OLS، فإن الأخطاء المعيارية تميل إلى أن تكون أقل من قيمتها الحقيقية ( وقيم t أعلى من قيمتها الحقيقية) عندما يكون الارتباط الذاتي للأخطاء عند فترات التأخير القصيرة موجبًا.

الاختبار التقليدي للكشف عن وجود ارتباط ذاتي من الدرجة الأولى هو إحصائية دوربين-واتسون ، أو إحصائية دوربين h إذا كانت المتغيرات التفسيرية تتضمن متغيرًا تابعًا متأخرًا . مع ذلك، يمكن ربط إحصائية دوربين-واتسون خطيًا بمعامل ارتباط بيرسون بين القيم وفترات تأخرها. [ 17 ] أما اختبار برويش-غودفري فهو اختبار أكثر مرونة، يشمل الارتباط الذاتي من الرتب العليا، وينطبق سواءً تضمنت المتغيرات المستقلة فترات تأخر للمتغير التابع أم لا. يتضمن هذا الاختبار انحدارًا مساعدًا، حيث يتم فيه انحدار البواقي المُستخرجة من تقدير النموذج محل الاهتمام على (أ) المتغيرات المستقلة الأصلية و(ب) k فترة تأخر للبواقي، حيث k هي رتبة الاختبار. أبسط صيغة لإحصائية الاختبار من هذا الانحدار المساعد هي TR² ، حيث T هو حجم العينة و R² هو معامل التحديد . في ظل فرضية العدم المتمثلة في عدم وجود ارتباط ذاتي، يتم توزيع هذه الإحصائية تقاربياً على النحو التالي:χ2{\displaystyle \chi ^{2}}مع k درجة من الحرية.

تشمل الاستجابات للارتباط الذاتي غير الصفري طريقة المربعات الصغرى المعممة ومقدر نيوي-ويست HAC (متسق مع عدم تجانس التباين والارتباط الذاتي). [ 18 ]

في تقدير نموذج المتوسط ​​المتحرك ، تُستخدم دالة الارتباط الذاتي لتحديد العدد المناسب لحدود الخطأ المتأخرة التي يجب تضمينها. ويستند هذا إلى حقيقة أنه بالنسبة لعملية المتوسط ​​المتحرك من الرتبة q ، لديناR(τ)≠0{\displaystyle R(\tau )\neq 0}، لτ=0،1،...،q{\displaystyle \tau =0,1,\ldots ,q}، وR(τ)=0{\displaystyle R(\tau )=0}، لτ>q{\displaystyle \tau >q}.

التطبيقات

تتيح قدرة الارتباط الذاتي على إيجاد الأنماط المتكررة في البيانات العديد من التطبيقات، بما في ذلك:

الاعتماد التسلسلي

يرتبط التبعية التسلسلية ارتباطًا وثيقًا بمفهوم الارتباط الذاتي، لكنها تمثل مفهومًا متميزًا (انظر الارتباط والتبعية ). على وجه الخصوص، من الممكن وجود تبعية تسلسلية دون وجود ارتباط (خطي). مع ذلك، في بعض المجالات، يُستخدم المصطلحان كمترادفين.

تكون السلسلة الزمنية لمتغير عشوائي مرتبطة تسلسليًا إذا كانت القيمة عند وقت مات{\displaystyle t}يعتمد هذا المتغير في السلسلة إحصائيًا على قيمته في وقت آخرs{\displaystyle s}تكون السلسلة مستقلة تسلسلياً إذا لم يكن هناك أي تبعية بين أي زوج منها.

إذا كانت سلسلة زمنية{Xت}{\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}إذا كانت العلاقة ثابتة ، فإن هناك تبعية إحصائية بين الزوجين(Xت،Xs){\displaystyle (X_{t},X_{s})}وهذا يعني وجود ارتباط إحصائي بين جميع أزواج القيم عند نفس التأخير الزمنيτ=s-ت{\displaystyle \tau =s-t}.

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 3 4 5 6 7 غوبنر، جون أ. (2006). الاحتمالات والعمليات العشوائية لمهندسي الكهرباء والحاسوب . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-86470-1.
  2. 1 2 3 4 5 6 كون إيل بارك، أساسيات الاحتمالات والعمليات العشوائية مع تطبيقات في الاتصالات، سبرينغر، 2018، ISBN 978-3-319-68074-3
  3. 1 2 3 بابوليس، أثناسيوس، الاحتمالات، المتغيرات العشوائية والعمليات العشوائية ، ماكجرو هيل، 1991
  4. 1 2 دان، باتريك ف. (2005). القياس وتحليل البيانات للهندسة والعلوم . نيويورك: ماكجرو هيل. ISBN 978-0-07-282538-1.
  5. ↑ بروكيس، جون (31 أغسطس 2001). هندسة أنظمة الاتصالات (الطبعة الثانية) . بيرسون. ص 168. ISBN   978-0130617934.
  6. ↑ بوكس، جي إي بي؛ جينكينز، جي إم؛ رينسل، جي سي (1994). تحليل السلاسل الزمنية: التنبؤ والتحكم ( الطبعة الثالثة). أبر سادل ريفر، نيوجيرسي: برنتيس هول. ISBN  978-0130607744.
  7. ↑ فرينكل، د.؛ سميت، ب. (2002). "الفصل 4.4.2". فهم المحاكاة الجزيئية ( الطبعة الثانية). لندن: أكاديميك برس. ISBN  978-0122673511.
  8. ↑ كولبيرغ، ب.؛ هوفلينغ، ف. (2011). "محاكاة مُسرّعة للغاية لديناميكيات المواد الزجاجية باستخدام وحدات معالجة الرسومات: محاذير بشأن دقة الفاصلة العائمة المحدودة". مجلة الاتصالات في الفيزياء الحاسوبية 182 (5): 1120-1129 . arXiv : 0912.3824 . Bibcode : 2011CoPhC.182.1120C . doi : 10.1016/j.cpc.2011.01.009 . S2CID 7173093 . 
  9. ↑ بريستلي، إم بي (1982). التحليل الطيفي والسلاسل الزمنية . لندن، نيويورك: أكاديميك برس. ISBN 978-0125649018.
  10. ↑ بيرسيفال، دونالد ب.؛ أندرو ت. والدن (1993). التحليل الطيفي للتطبيقات الفيزيائية: تقنيات متعددة الأطوار وتقنيات أحادية المتغير التقليدية . مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات 190-195 . ISBN  978-0-521-43541-3.
  11. ↑ بيرسيفال، دونالد ب. (1993). "ثلاث خصائص غريبة لتباين العينة والتباين الذاتي للعمليات المستقرة ذات المتوسط ​​المجهول". الإحصائي الأمريكي . 47 (4): 274-276 . doi : 10.1080/00031305.1993.10475997 .
  12. 1 2 حسني، حسين (2009). "مجموع دالة الارتباط الذاتي للعينة". المؤثرات العشوائية والمعادلات العشوائية . 17 (2): 125-130 . doi : 10.1515/ROSE.2009.008 .
  13. 1 2 حسني، حسين (2010). "ملاحظة حول مجموع دالة الارتباط الذاتي للعينة". فيزيكا أ: الميكانيكا الإحصائية وتطبيقاتها . 389 (8): 1601-1606 . Bibcode : 2010PhyA..389.1601H . doi : 10.1016/j.physa.2009.12.050 .
  14. ↑ حساني، حسين؛ يغانيجي، محمد رضا (2019). "مجموع مربعات دالة الارتباط الذاتي وإحصائيات ليونغ-بوكس". فيزيكا أ: الميكانيكا الإحصائية وتطبيقاتها . 520 : 81-86 . doi : 10.1016/j.physa.2018.12.095 (غير نشط في 26 مايو 2026).{{cite journal}}: صيانة CS1: رقم التعريف الرقمي غير نشط اعتبارًا من مايو 2026 ( رابط )
  15. ↑ حساني، حسين؛ روييه-كارينزي، مانويلا؛ يغانيجي، محمد رضا (2024). "استكشاف أعماق دالة الارتباط الذاتي: انحرافها عن التوزيع الطبيعي" . المعلومات . 15 (8): 449. doi : 10.3390/info15080449 .
  16. ↑ حساني، حسين؛ مشهد، ليلى مارفيان؛ رويير-كارينزي، مانويلا؛ يغانيجي، محمد رضا؛ كومندانتوفا، ناديجدا (2025). "الضوضاء البيضاء وسوء استخدامها: تأثيراتها على كفاءة نماذج السلاسل الزمنية والتنبؤ" . التنبؤ . 7 (1): 8. doi : 10.3390/forecast7010008 .
  17. ↑ "تقنيات الارتباط التسلسلي" . أفكار إحصائية . 26 مايو 2014.
  18. ↑ باوم، كريستوفر ف. (2006). مقدمة في الاقتصاد القياسي الحديث باستخدام برنامج ستاتا . دار نشر ستاتا. رقم ISBN 978-1-59718-013-9.
  19. ↑ إلسون، إليوت ل. (ديسمبر 2011). "مطيافية ارتباط التألق: الماضي والحاضر والمستقبل" . مجلة الفيزياء الحيوية . 101 (12): 2855-2870 . Bibcode : 2011BpJ...101.2855E . doi : 10.1016/j.bpj.2011.11.012 . PMC 3244056. PMID 22208184 .  
  20. ↑ هوليست، روبرت؛ بونيفيرسكي، أندريه؛ تشانغ، شوزو (2017). "الصيغة التحليلية لدالة الارتباط الذاتي لطيفية ارتباط التألق" . المادة اللينة . 13 (6): 1267-1275 . Bibcode : 2017SMat...13.1267H . doi : 10.1039/C6SM02643E . ISSN 1744-683X . PMID 28106203 .  
  21. ↑ فان سيكل، جان (2008). نظام تحديد المواقع العالمي (GPS) للمساحين ( الطبعة الثالثة). مطبعة سي آر سي. الصفحات 18-19 . رقم ISBN   978-0-8493-9195-8.
  22. ↑ كالفاني، بيام رجبي؛ جهانجيري، علي رضا؛ شابوري، سمانة؛ ساري، أمير حسين؛ جليلي، يوسف سيد (أغسطس 2019). "تحليل متعدد الأنماط باستخدام مجهر القوة الذرية لأغشية رقيقة من أكسيد الزنك المطعم بالألومنيوم والمرسبة بالرش تحت درجات حرارة مختلفة للركيزة لتطبيقات الإلكترونيات الضوئية". Superlattices and Microstructures . 132 106173. doi : 10.1016/j.spmi.2019.106173 . S2CID 198468676 . 
  23. ↑ تيرانجيل، جوش (5 فبراير 2009). "الضبط التلقائي للصوت: لماذا تبدو موسيقى البوب ​​مثالية؟" . مجلة تايم . مؤرشف من الأصل في 10 فبراير 2009.
  24. ↑ كاستيني، بوغدان (مارس 2016). "طريقة جديدة لقياس التردد السريع لتطبيقات الحماية" (ملف PDF) . مختبرات شفايتزر الهندسية. مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 9 أكتوبر 2022. تم الاطلاع عليه بتاريخ 28 مايو 2022 .

للمزيد من القراءة

  • حساني، حسين (2009). مجموع دالة الارتباط الذاتي للعينة. المؤثرات العشوائية والمعادلات العشوائية. 17 (2): ص 125-130. doi : 10.1515/ROSE.2009.008 .
  • حساني، حسين (2010). ملاحظة حول مجموع دالة الارتباط الذاتي للعينة. مجلة فيزيكا أ: الميكانيكا الإحصائية وتطبيقاتها. 389 (8): ص 1601-1606. doi : 10.1016/j.physa.2009.12.050 .